ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm ) Cho ( ) 3 4 2 3 3 5 2 17 5 38 2 x + − = + − − tính ( ) 2009 2 1P x x= + + Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x 2 + b.x + c = 0 ( 1 ) và x 2 - b 2 x + bc = 0 (2 ) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x 1 ; x 2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm 3 4 ;x x thoả mãn điều kiện 3 1 4 2 1x x x x− = − = . xác định b và c Bài 3 : ( 2 điểm ) 1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3≤ . Chứng ming rằng 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca + ≥ + + + + Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC 1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng 3. Chứng minh MP NQ PQ OM a b c OC + + = + + Bài 5 : ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x - y 3 = 1 2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không Lời giải Bài 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 4 2 3 3 3 1 3 5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2 1 1 1 1 2 17 5 38 17 5 38 2 x + − + − = = + − − + − − = = = − − − + − vậy P = 1 Bài 2 : vì 3 1 4 2 1x x x x− = − = => 3 1 4 2 1; 1x x x x= + = + Theo hệ thức Vi ét ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 (1) . (2) 1 1 (3) 1 . 1 (4) x x b x x c x x b x x bc + = −   =   + + + =   + + =  Từ (1 ) và ( 3 ) => b 2 + b - 2 = 0  b = 1 ; b = -2 từ ( 4 ) => 1 2 1 2 . 1x x x x bc+ + + = => c - b + 1 = bc ( 5 ) +) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x 2 + +b x + c = 0 trở thành X 2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1 1 4 0 4 c c∆ = − ≥ ⇔ ≤ +) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x 2 + b x + c = 0 trở thành x 2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2± vậy b= 1; c 1 4 c ≤ ; b = -2 ; c = -1 Bài 3 : 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3 a b c abc+ + ≥ 3 1 1 1 1 3 a b c abc + + ≥ => ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   dấu “=” sảy ra  a = b = c 2. ta có ( ) 2 2 2 2 3 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + ≤ + + ⇒ + + ≤ ≤ 2007 669 ab bc ca ⇒ ≥ + + Áp dụng câu 1 ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 9a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca   + + + + + + + ≥  ÷ + + + + + +   => ( ) 2 2 2 2 1 1 9 1 a b c ab bc ca a b c + ≥ ≥ + + + + + + vậy 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca + ≥ + + + + . dấu “=” sảy ra  a = b = c = 1 Bài 4 : a) ta có · · · µ µ ( ) · µ µ µ ( ) · · 0 1 2 180 1 2 2 BOP BAO ABO A B C PNC A B BOP PNC = + = + − = = + ⇒ = => tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp +) do tứ giác AOQM nội tiếp=> · · 0 90AQO AMO= = tứ giác BOPN nội tiếp => · · 0 90BPO BNO= = => · · 0 90AQB APB= = => tứ giác AQPB nội tiếp b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA => · · µ · 1 2 EQB EBQ B QBC= = = => QE //BC Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC  Q; E; F thẳng hàng c) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) MP OM OP MOP COB g g a OC OB NQ ON OM NOQ COA g g b OC OC PQ OP OM POQ BOA g g c OB OC OM MP NQ PQ MP NQ PQ OC a b c A B C ∆ ∆ − ⇒ = = ∆ ∆ − ⇒ = = ∆ ∆ − ⇒ = = + + => = = = = + + Bài 5 : 1) 3 x - y 3 = 1 ( ) ( ) 2 3 1 1 x y y y⇒ = + − + => tồn tại m; n sao cho 2 1 3 3 1 1 3 9 3.3 3 3 m m n m m n y y y y m b x m b x   + = = −   − + = ⇔ − + =     + = + =   +) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0 +) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3 1 9 3.3 3 9 3 9 m m n m m n n   − +   ⇔ ⇔ =   − +     M M M M => ( ) 9 3.3 3 3 3 3 3 0 m m m m − + = ⇒ − = => m = 1 => y = 2 ; x = 2 vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T . ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2 010 Bài 1 : ( 1 điểm ) Cho ( ) 3 4 2 3 3 5 2. phương trình x 2 + b.x + c = 0 ( 1 ) và x 2 - b 2 x + bc = 0 (2 ) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x 1 ; x 2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm 3