SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2009-2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 3 13 6 2 3 4 3 3 + + + − b) x y y x x y xy x y − − + − với x > 0 ; y> 0 ; x ≠ y 2. Giải phương trình: 4 x 3 x 2 + = + . Bài 2. (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( ) m 1 x y 2 mx y m 1  − + =   + = +   (m là tham số) 1. Giải hệ phương trình khi m 2= ; 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn: 2 x + y ≤ 3 . Bài 3. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ( ) y k 1 x 4= − + (k là tham số) và parabol (P): 2 y x= . 1. Khi k 2= − , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P); 2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; 3. Gọi y 1 ; y 2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: 1 2 1 2 y y y y+ = . Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính · CHK ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + . Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 1 1 3 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  ÷ − − −   . --- HẾT --- Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: . Giám thị 2: Hoµ Q Kh©m- AV - QP -TB ĐỀ CHÍNH THỨC Híng dÉn c©u khã Bài 2. (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( ) m 1 x y 2 mx y m 1  − + =   + = +   (m là tham số) 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y ) thoả mãn: 2 x + y ≤ 3 . ( ) m 1 x y 2 mx y m 1  − + =   + = +   ⇔ x m 1 2 mx y m 1 = + −   + = +  ⇔ 2 x m 1 y m 2m 1 = −   = − + +  Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 2 x m 1 y m 2m 1 = −   = − + +  Khi đó: 2x + y = −m 2 + 4m − 1 = 3 − (m − 2) 2 ≤ 3 đúng ∀m Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x + y ≤ 3 Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + . Cách 1: Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P. Ta có: · · BAM DAP= (cùng phụ · MAD ) AB = AD (cạnh hình vuông ABCD) · · o ABM ADP 90= = Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP Trong ∆PAN có: · PAN = 90 o ; AD ⊥ PN nên 2 2 2 1 1 1 AD AP AN = + (hệ thức lượng trong tam giác vuông) ⇒ 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + Cách 2: Hoµ Q Kh©m- AV - QP -TB Đặt AB = a; BM = x; Ta có AM a x NM AN AM AN a a x a x − = ⇒ = = − AM x AN a ⇒ = ⇒ 1 . a AM x AN = ⇒ 2 2 2 2 1 . a AM x AN = Khi đo ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . a AM AN x AN AN + = + = 2 2 2 2 x a x AN + Mà a 2 +x 2 = AM 2 ( Pitago ∆ABM) Vậy 2 2 2 2 2 2 1 1 1AM AM AN x AM x + = = Hay 2 2 2 1 1 1 AD AM AN = + ( AD = AB =x) Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 1 1 3 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  ÷ − − −   . C¸ch 1:* ĐK: 2 3 ≥ x Chia cả 2 vế của ptrinh cho 3 ta có: 1 1 1 1 3 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  ÷ − − −   ⇔ 65 1 34 1 96 1 3 1 − + − = − + xxxx Đặt x3 =a; 96 − x =b; 34 − x =c; dx =− 65 ( a, b, c, d >0) dcba 1111 +=+⇒ cd dc ab ba + = + ⇔ . Đặt k cd dc ab ba = + = + ;kabba =+⇒ kcddc =+ Mặt khác : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 ( =9x-9) ( ) ( ) cddcabba 22 22 −+=−+⇔ ⇔ cdcdkababk 2)(2)( 2222 −=− ⇔ 0)(2))((0)(2)()( 22222 =−−+−⇔=−−− cdabcdabcdabkcdabcdkabk [ ] 02)()( 2 =−+−⇔ cdabkcdab Vì : )( 2 cdabk + = ( ) ( ) ( ) ( ) 8 44 )()( 22 2 2 2 2 22 =+≥ + + + = + + + =+ cd cd ab ab cd dc ab ba cd cd dc ab ab ba cdkabk ⇒ 62)( 2 ≥−+ cdabk Suy ra: )65)(34()96(365.3496.30 −−=−⇔−−=−⇒=⇔=− xxxxxxxxcdabcdab 3030)3(096 22 =⇔=−⇔=−⇔=+−⇔ xxxxx ( Thoả mãn x 2 3 ≥ ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3. Hoµ Q Kh©m- AV - QP -TB x a kh©m P K H N D B O A C M . GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Năm học 2009-2 010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian