Đề thi vào 10 năm 2000-2001 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức : 2 2 1 1x x x x x P x x x x x + + = + + . a) Rút gọn P. b) So sánh P với 5. c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, Chứng minh rằng biểu thức 8/P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P) :y = x 2 . a) Vẽ (P) và (d) khi m = 1. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. c)Tìm m để diện tích OAB bằng 2. Bài 3. Cho đoạn thẳng AB=2a có trung điểm là O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Một đờng thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM.BN = a 2 . a) Chứng minh rằng AOM đồng dạng với BNO và MON = 90 0 . b) Gọi H là là hình chiếu của O lên MN, Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đờng tròn cố định tại H. c) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp MON chạy trên một tia cố định. d) Tìm vị trí của đờng thẳng (d) sao cho chu vi AHB đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. 1 Đề thi vào 10 năm 1999-2000 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức : 3 2 2 1 2 3 5 6 1 ( ) : ( ) x x x x P x x x x x + + + = + + + + a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2. Cho phơng trình x 2 mx + m 2 5 = 0 (m là tham số) a) Giải phơng trình với m = 1 2+ . b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. c) Với những giá trị của m mà phơng trình có nghiệm, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó. Bài 3. Cho ABC có góc A tù, đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O) đờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt đờng tròn (O) và (O) tại M và N sao cho A nằm giữa M và N. a) Chứng minh rằng H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông. b) Chứng minh rằng tỷ số HM HN không đổi. c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 4 điểm A, H, K, I thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định. d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích AHMN lớn nhất. 2 Đề thi vào 10 năm 1998-1999 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức : 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) : ( ) xy x xy x x x P xy xy xy xy + + + + = + + + + . a) Rút gọn P. b) Cho 1 1 6 x y + = Tìm giá trị lớn nhất của P. Bài 2. Cho phơng trình (x + 1) 4 (m 1)(x + 1) 2 m 2 + m 1 = 0. (*) a) Giải phơng trình với m = -1. b) Chứng minh rằng phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của m. c) Tìm các giá trị của m để 1 2 2x x+ = Bài 3. Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và lấy trên đó một điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đờng tròn tại M. a) Tứ giác OBMP là hình gì ? b) Cho AP = 3R , Chứng minh rằng PAM có trực tâm H nằm trên đờng tròn (O;R). c) Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của PAM chạy trên một cung tròn cố định. d) Dựng hình chữ nhật PAON, Chứng minh rằng B, M, N thẳng hàng. 3 Đề thi vào 10 năm 1997-1998 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức : 3 3 3 2 2 2 1 ( )x x x x P x x x x + + = + + + . a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 15/4. Bài 2. Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nớc có thể tích 60 m 3 với thời gian định trớc. Khi đã bơm đợc 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến lúc có điện trở lại, ngời ta sử dụng thêm máy bơm thứ hai có công suất 10 m 3 /h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng với thời gian dự kiến.Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm đó hoạt động. Bài 3. Cho ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đờng tròn tại D. Tia phân giác trong của góc C cắt đờng tròn tại E. Chúng cắt nhau tại F . Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC. a) Chứng minh rằng các tam giác EBF, DAF cân. b) Chứng minh rằng tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB. c) Tứ giác AIFK là hình gì ? d) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. Bài 4. Tìm những giá trị của x thỏa mãn hệ thức sau : 2 3 7 3 3 2 3 4 2 3( ) ( )( ) ( ) + + = {Mờ} 4 Đề thi vào 10 năm học 1997-1998 Sở giáo dục đào tạo Hà Nội Bài 1. Cho biểu thức : 1 1 2 1 1 1 ) : ( ) x x A x x x x x x + + = + + + + . a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = 7. Bài 2. Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhng trong thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm. Vì vậy, mặ dù ngời đó đã làm mỗi giờ thêm một sản phẩm, song thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với thời gian dự định 12 phút. Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ ngời đó làm không quá 20 sản phẩm. Bài 3. Cho đờng tròn (O) bán kính R, một dây AB cố định (AB < 2R) và một điểm M bất kì trên cung lớn AB (M khác A, B). Gọi I là trung điểm của dây AB và (O) là đờng tròn qua M, tiếp xúc với AB tại A. Đờng thẳng MI cắt (O), (O) lần lợt tại các giao điểm thứ hai là N, P. a) Chứng minh rằng : IA 2 = IP.IM b) Chứng minh rằng tứ giác ANBP là hình bình hành. c) Chứng minh rằng IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp của MBP.(Sai) d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của PAB chạy trên một cung tròn cố định. Bài 4. Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho Parabol : y = x 2 (P) và đờng thẳng y = x + m (d). Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho AOB vuông tại O. 5 Đề thi vào 10 năm 1995-1996 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho các biểu thức : 2 3 2 2 x x A x = và 3 2 2 2 x x x B x + = + . a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị x để A = B. Bài 2. Cho phơng trình : x 2 2(m 1)x + m 5 = 0 (x là ẩn) a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = -1 và tìm nghiệm còn lại. b) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của m. c) Với giá trị nào của m thì x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 3. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một điểm C trên đờng tròn ( C khác A và B) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC; P là giao của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lợt tại N, Q. a) Chứng minh rằng ABN cân. b) Tứ giác APNQ là hình gì ? c) Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa C. Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng đợc không ? Tại sao ? d) Xác định vị trí của điểm C để đờng tròn ngoại tiếp MNQ tiếp xúc với đờng tròn (O). 6 Đề thi vào 10 năm 2003-2004 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức 2 2 2 1 1 1 ( )x x x x x P x x x x + = + + + . a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị là số nguyên. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = -x 2 và đờng thẳng (d) đi qua điểm I (0;-1) có hệ số góc k. a) Viết phơng trình của đờng thẳng (d). Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Gọi hoành độ của A và B là x 1 và x 2 , Chứng minh rằng 1 2 2x x . c) Chứng minh rằng OAB vuông. Bài 3. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB ta dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và nửa đờng tròn (O) đờng kính OA. Trên(O) lấy M khác A và O; tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O). a) Chứng minh rằng ADM cân. b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OD tại E, xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng EA đối với (O) và (O). c) Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng. d) Tại vị trí của M sao cho ME // AB, hãy tính tính độ dài đoạn thẳng OM theo a. 7 Đề thi vào 10 năm 2004-2005 Ams- Chu văn an. Bài 1. Chứng minh rằng số tự nhiên 1 1 1 1 1 1 2 3 2003 2004 1 2 3 4 2003 2004 . . . . .( )A = + + + + + + chia hết cho 2005. Bài 2. Cho phơng trình : x + 3(m 3x 2 ) 2 = m. a) Giải phơng trình với m = 2. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm. Bài 3. Giải bất phơng trình : 2 3 3 25 2 9 4( )x x x x + + . Bài 4. Cho ABC có ba góc nhọn, kẻ hai dờng cao BE, CF. a) Biết góc BAC bằng 60 0 , tính độ dài EF theo BC = a. b) Trên nửa đờng tròn đờng kính BC không chứa E, F lấy một điểm M bất kì. Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CE, EB. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng BC CE EB S MH MI MK = + + . Bài 5. Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính r = 1/4 chứa toàn bộ đa giác đó. 8 Đề thi vào 10 năm 2004-2005 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho biểu thức 2 1 1 1 2 1 1 2 ( )( ) x x x P x x x + = + . a) Rút gọn P. b) Tìm x để 2 P x > . Bài 2. Cho phơng trình: x 2 (m-2)x m 2 + 3m 4 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2. Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình : 2kx + (k 1)y = 2 (k là tham số) a) Với giá trị nào của k thì đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng 3y x= . Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất. Bài 4. Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kì trên cạnh Oy. Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA, MB lần lợt tại điểm thứ hai là C và E. Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai là F. a) Chứng minh rằng 4 điểm O, A, E, M nằm trên cùng một đờng tròn , tìm tâm của đ- ờng tròn đó. b) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ? c) Chứng minh rằng : OE.OF + BE.BM = OB 2 . d) Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành, tìm mối liên hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi. 9 Đề thi vào 10 năm 2005-2006 Ams- Chu văn an. Bài 1. Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4. Bài 2. Cho hệ phơng trình : 4 2 2 2 2 13 6( ) ( ) x y x y m xy x y m + + = + + = a) Giải hệ với m = -10. b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 3. Ba số dơng x, y, z thỏa mãn hệ thức : 1 2 3 6 x y z + + = , xét biểu thức P = x + y 2 + z 3 . a) Chứng minh rằng P x + 2y + 3z 3. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 4. Cho ABC, lấy ba điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P ( D nằm giữa A và P) sao cho DA.DP = DB.DC. a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp và hai tam giác DEF, PCB đồng dạng. b) Gọi S và S lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC và DEF, Chứng minh rằng 2 2 ' ( ) S EF S AD Bài 5. Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thỏa mãn đồng thừoi hai điều kiện : Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. Mỗi đờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 0,5. Chứng minh rằng trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy. 10 [...].. .Đề thi vào 10 năm 200 5-2 006 Ams- Chu văn an Bài 1 Cho biểu thức P = x x 1 x x +1 x +1 + x x x+ x x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 2/9 Bài 2 Cho bất phơng trình : 3(m 1)x + 1 > 2m + x (m là tham số ) a) Giải bất phơng trình... AB, dựng tia Ax vuông góc với đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C a) Chứng minh rằng các tam giác AIB , AMC là các tam giác cân b) Khi M di động, Chứng minh rằng C di chuyển trên một cung tròn cố định c) Xác định vị trí của M để chu vi AMC đạt giá trị lớn nhất Bài 5 Cho ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ACB = , góc AMB = Chứng minh rằng : (sin+cos)2 = 1 + sin Bài 4 11 . giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính r = 1/4 chứa toàn bộ đa giác đó. 8 Đề thi vào 10 năm 200 4-2 005 Ams- Chu văn an. Bài 1 di chuyển trên một cung tròn cố định. d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích AHMN lớn nhất. 2 Đề thi vào 10 năm 199 8-1 999 Ams- Chu văn an.