CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÷ ÷ ú 2 2 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm: A > B A — B > 0 ; A < B A — B < 0 A ≥ B A — B ≥ 0 ; A ≤ B A — B ≤ 0 2. Tính chất: 1) A > B và B > C A > C 2) A > B A + C > B + C. 3) A > B AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0. 4) A > B, C > D A + C > B + D. 5) A > B > 0 và C > D > 0 A.C > B.D 6) A > B > 0 và n N * A n > B n . 7) A > B > 0 và n N n A n B . 8) A > B 1 1 A B nếu AB > 0. Hoặc: 1 1 A B nếu AB < 0. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Ch ứ ng minh: a + b ≥ ab (1) a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) 2 H D: (1) a + b — ab = a b 0 (dúng). Bài 2: Ch ứ ng minh: (a + b) 2 ≥ 4ab. H D: Biến dôi dưa về (a — b) 2 ≥ 0. Bài 3: Ch ứ ng minh: a 2 + b 2 ≥ 2ab. H D: Xé t hiệu, dưa về (a — b) 2 ≥ 0. Bài 4: Ch ứ ng minh: (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). H D: Biến dôi hiệu (ac + bd) 2 — (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) t hành (ay — bx) 2 . Bài 5: Ch ứ ng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca HD: Biến dôi hiệu a 2 + b 2 + c 2 — ab + bc + ca t hành (a — b) 2 + (b — c) 2 + (c — a) 2 Bài 6: Ch ứ ng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 ≥ a + b + c + d. 2 2 2 2 HD: Biến dôi a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 1 — a + b + c + d t hành: a 1 b 1 c 1 d 1 Bài 7: Ch ứ ng minh: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ a(b + c + d + e) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( b HD: Biến dôi về dạng: a — ( c + a — ( d ö + a — ( e ö + a — 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ø 2 ø 2 ø è ç 2 ø Bài 8: Ch ứ ng minh: (ax + by + cz) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) H D: Biến dôi về dạng: (ay — bx) 2 + (az — cx) 2 + (bz — cy) 2 ≥ 0 Bài 9: Ch ứ ng minh a 4 + b 4 ≥ ab 3 + a 3 b. a, b ≥ 0. é ( ö 2 2 ù HD: Biến dôi, phân tIc h t hành: (a — b) 2 (a 2 + ab + b 2 ) = (a — b) 2 ê ç a + b ÷ + 3b ú 0, Va,b . a 3 + b 3 ( a + b ö 3 ë ê ê 2 4 ú û Bài 10: Ch ứ ng minh: 2 ç è 2 ø ÷ HD: Xé t hiệu, phân tIc h t hành nhân t ử dpcm. Bài 11: Ch ứ ng minh: a b a b . 2 2 CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC 2 2 HD: Quy dồng mẫu, xé t hiệu dưa về dạng: (a — b) 2 ≥ 0. Bài 12: Ch ứ ng minh: a b 2 c 2 a b c 3 3 HD: Xé t hiệu, dưa về dạng: (a — b) 2 + (b — c) 2 + (c — a) 2 ≥ 0. ĐỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS Trang 1 Trang 2 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS ÷ ÷ Bài 13: Ch ứ ng minh: x y 4 xy x y . x, y > 0. H D: Biên dôi vê (x + y) 2 ) 4xy t uơ ng t ự bài 2. Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005 + H D: Ch ứ ng minh A 2 ) B 2 dpcm. Bài 15: Ch ứ ng minh: a 2 + b 2 ) a + b — 1 . 2 2 2 2007 và B = 2 2006 . ( 1 ö HD: Biên dôi dua vê ç a — ÷ ( 1 ö + ç b — ÷ 0 2 ø 2 ø Bài 16: Ch ứ ng minh: a 2 + a + 1 3 a 2 + 1 2 HD: Quy dồng: 2a 2 + 2a + 2 ≤ 3a 2 + 3 (a — 1) 2 . Bài 17: Ch ứ ng minh: a) a + 1 2, Va > 0 . b) a + 1 —2, Va < 0 . a a HD: a) Vì a > 0 nên: a 2 — 2a + 1 ) 0 (a — 1) 2 ) 0. b) Vì a < 0: a 2 + 2a + 1 ) 0 (a + 1) 2 ) 0. Bài 18: Ch ứ ng minh: a) Nêu ab > 0 th ì: a b 2 . b) Nêu ab < 0 t hì: a b 2 . b a b a H D: a) Từ (a — b) 2 ) 0 a 2 + b 2 ) 2ab. Chia cả hai vê của a 2 + b 2 ) 2ab cho ab > 0 dpcm. b) Chia cả hai vê của a 2 + b 2 ) — 2ab cho ab < 0 dpcm Bài 19: Cho x ) y, a ) b. Ch ứ ng minh: ax + by a + b . x + y . 2 2 2 HD: Biên dôi, dua vê: (a — b)(x — y) ) 0 (dúng). Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Ch ứ ng minh: a + b + c ( 1 1 1 ö 2 ç + + ÷ . bc ca ab a b c ø HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy dồng, biên dôi vê: (a + b + c) 2 ) 0 (dúng). Bài 21: Cho ab ) 1. Ch ứ ng minh: 2 + a 2 + b 2 1 1 + a 2 2 + 1 1 + b 2 2 1 + ab (*). H D: (*) 1 + a 2 + b 2 + a 2 b 2 1 + ab (a — b) 2 (1 — ab) ≤ 0 (dúng). x 2 y 2 ( x y Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Ch ứ ng minh: + + 4 3 ç + ÷ . y 2 x 2 y x H D: Dã t x + y = t y x ( | t | ) 2 ). Bấ t dẳng th ứ c viê t lại: t 2 — 3t + 2 ) 0 (t — 1)( t — 2) ) 0, | t | ) 2. Bài 23: Ch ứ ng minh: (a — 1)(a — 3)(a — 5)(a — 7) + 15 ) 0, a. H D: BDT t(t + 6) + 15 ) 0 (t + 3) 2 + 6 > 0, a Bài 24: Ch ứ ng minh: (x — 1)(x — 3)(x — 4)(x — 6) + 10 > 0, x. H D: Làm t uơ ng t ự bài 23. Bài 25: Cho a, b ) 0. Ch ứ ng minh: a 3 + b 3 ) ab(a + b). HD: Xé t hiệu dua vê bấ t dẳng th ứ c: (x + y)(x — y) 2 ) 0. 2. Phương pháp làm trội, ước lượng Bài 26: Ch ứ ng minh rằng t ông sau dây không là số t ự nhiên: S = 1 + 1 1 2 2 2 + 1 + . + 3 2 1 (n 2) . n 2 Trang 3 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS HD: Dễ th ấy A > 1. Mã t khác: A < 1 + 1 + 1 + 1 + . + 1 = 2 — 1 < 2 Vậy: 1<A<2. 1 1.2 2.3 (n — 1)n n Bài 27: Ch ứ ng minh: A = 1 + 1 + . + 1 < 3 .(Vn e N * ) . 1.3 2.4 n(n + 2) 4 CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC 2 H D: Làm t uơ ng t ự bài 1. Bài 28: Ch ứ ng minh: A = 1 + 1 + . + 1 < 1 .(Vn e N * ) HD: Làm t uơ ng t ự bài 1. 2.5 5.8 (3n —1)(3n + 2) 6 Bài 29: Ch ứ ng minh: A = 1 + 1 + . + 1 < 1.( V n e N * ) 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) HD: S ử dụng: 1 = 1 é 1 — 1 ù ê ú n(n + 1)(n + 2) 2 ê [ n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ú ] Bài 30: Ch ứ ng minh: A = 1 + 1 + 1 + . + 1 > 1 (n N, n > 1) n+ 1 n+ 2 n+ 3 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của t ông bởi số nhỏ nhấ t là 1 2n A > 1 .n = 1 (dpcm). 2n 2 Bài 31: Ch ứ ng minh: B = 1 + 1 + 1 + . + 1 1.(n N, n > 1) n n+ 1 n+ 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của t ông bởi số nhỏ nhấ t là 1 B > 1 .(n 2 — n) = 1— 1 > 1(dpcm). n 2 n 2 n Bài 32: Ch ứ ng minh: C = 1 + 1 + 1 + . + 1 < 1 (n N, n ) 2) 2! 3! 4! n! HD: A < 1 + 1 + 1 + . + 1 = 1— 1 < 1. 1.2 2.3 3.4 (n —1)n n Bài 33: Ch ứ ng minh: D = 1 + 2 + 3 + . + n-1 < 1 (n N, n ) 2) 2! 3! 4! n! HD: D = 2 —1 + 3 —1 + . + n —1 = 2 — 1 + 3 — 1 + . + n — 1 2! 3! n ! 2! 2! 3! 3! n ! n! = 1— 1 + 1 — 1 + . + 1 — 1 = 1— 1 < 1 2! 2! 3! (n — 1)! n ! n! Bài 34: Ch ứ ng minh: A = 1 + 1 2 2 4 2 + 1 + . + 6 2 1 (2 n) 2 < 1 (n N, n ) 1). 2 ( ö ( ( ö HD: C1: A = 1 ç 1 + 1 + 1 + . + 1 1 1 1 ÷ < ç 1 + + + . + 1 1 1 ÷ = ç 2 — ÷ < . 4 è ç 2 2 3 2 n 2 ø ÷ 4 1.2 2.3 (n — 1)n è ç n ø ÷ ( 2 ö ÷ C2: A < 1 + 1 + . + 1 = 1 + 1 + . + 1 = 1 ç 1 — 1 ÷ < 1 2 2 —1 4 2 — 1 ( 2n 2 ) — 1 1.3 3.5 (2n —1)(2n + 1) 2 ç è 2n + 1 ÷ ø 2 Bài 35: Ch ứ ng minh: 1 + 1 3 2 5 2 + 1 + . + 7 2 1 < 1 (2n + 1) 2 4 (n N, n ) 1). HD: Làm t uơ ng t ự cách 2 của bài 6 dpcm. Bài 36: Ch ứ ng minh: 1 + 1 2 2 3 2 + 1 + . + 1 4 2 n 2 < 2 (n N, n ) 2). 3 HD: Nhân xé t : 1 < 4 = 2 ( 1 + 1 ( 1 A = 2 — 1 ö 2 < . n 2 4n 2 — 1 ç è 2n —1 2n + 1 ÷ ø è ç 3 2n + 1 ÷ ø 3 CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC Bài 37: Ch ứ ng minh: 1 1 1 1 . 1 2 . 2 2 2 2 3 2 n HD: 2A = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + . + 1 A = 2A — A = 2 — 1 < 2. 2 2 2 2 3 2 n—1 2 n Bài 38: Ch ứ ng minh: B = 1 2 3 . 100 2 2 2 2 2 3 2 100 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS Trang 3 CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC Trang 4 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS HD: Làm t uơ ng t ự bài 9, áp dụng kê t quả của bài 9 với n = 99 ta duợc: B = A — 100 < A < 2 . 2 100 Bài 39: Ch ứ ng minh: B = 1 1 1 . 1 1 3 3 HD: Ta có: 1 < 1 = 4 3 5 3 1 n 3 = 1 ( 12 1 — 1 B < 1 . 1 = 1 . n 3 n 3 — 1 (n —1)n(n + 1) 2 ç è n(n —1) n(n + 1) ÷ ø 2 6 12 Bài 40: Ch ứ ng minh: A = 1 1 1 . 100 3 . 3 3 2 3 3 3 100 4 HD: Ta có: 3A = 1 + 2 + 3 + . + 100 Þ 2D = 1 + 1 + 1 + . + 1 — 100 . 3 3 2 3 99 3 3 2 3 99 3 100 Dã t : S = 1 + 1 + 1 3 3 2 + . + 1 3 99 3S — S = 2S = 3 — 1 < 3 3 99 2D < S 4D < 2S D < 3 . 4 Bài 41: Ch ứ ng minh: 1.2 1 2.3 1 3.4 1 . 99.100 1 2 . 2! 3! 4! 100! HD: Ta có: n(n + 1) —1 = 1 — 1 A = 1 + 1 + 1 — 1 — 1 < 1 + 1 + 1 = 2. (n + 1)! (n —1)! (n + 1)! 2 1! 2! 99 100 2 1! 2! Bài 42: Ch ứ ng minh: B = 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 ( n N, n ) 1) 1.3 2.4 3.5 n(n 2) 1 (n + 1) 2 HD: Nhân xé t : 1 + = . B = 2 2 3 2 . . (n + 1) 2 = n + 1 . 2 < 2 . n(n + 2) n(n + 2) 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 n + 2 Bài 43: Ch ứ ng minh: A = 1 2 1 2 1 2 . 1 2 1 (n N, n ) 2) HD: Nhân xé t : 1— 2 6 12 20 n(n 1) 3 = (n —1)(n + 2) . Thay vào và rú t gọn: A = 1 . n + 2 > 1 . n(n + 1) n(n + 1) Bài 44: Ch ứ ng minh: 1 + 1 + . + 1 < 1 .(Vn e N * ) . n 3 3 5 13 n 2 + (n + 1) 2 2 HD: S i dụng: 1 = 1 < 1 ( 1 — 1 dpcm. n 2 + (n + 1) 2 2n 2 + 2n + 1 2 ç è n n + 1 ÷ ø Bài 45: Ch ứ ng minh: 1 + 1 + 1 + . + 1 < 1 .(Vn e N * ) 1.3 1.2.4 1.2.3.5 1.2.3 .n(n + 2) 2! HD: S i dụng: A = 1 = n + 1 = n + 2 — 1 1.2.3 .n(n + 2) 1.2.3 .n(n + 1)(n + 2) 1.2.3 .n(n + 1)(n + 2) = 1 — 1 = 1 — 1 dpcm. 1.2.3 .n(n + 1) 1.2.3 .n(n + 1)(n + 2) (k +1)! (k + 2)! Bài 46: Ch ứ ng minh: 1 + 1 + . + 1 < 1 . n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + 2005 HD: S i dụng: 1 < 1 = 1 . (k = 1, 2, ., 2005) dpcm. n 2 + k n 2 n CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC Trang 5 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS Bài 47: Ch ứ ng minh: 1 + 1 + . + 1 , Vn e N * 2 1 3 2 (n + 1) n HD: 1 ( n + 1 + n )( n + 1 — n ) 2 n + 1.( n + 1 — n ) ( 1 1 2 = < = (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n ç è ç — n n + 1 ÷ ø . ( 1 1 Bài 48: Ch ứ ng minh: S = 2. + + . + 1 < 2005 . ç ÷ ç è 3(1 + 2 ) 5( 2 + 3) 4011( 2005 + 2006) 2007 HD: Vâi n ) 1: 2 = 2( n + 1 — n ) < 2( n + 1 — n ) = 1 — 1 (2n + 1)( n + n + 1) 4n 2 + 4n + 1 2 n(n + 1) n n + 1 S < 1— 2 < 1— 2 = 1— 2 = n . Cho n = 2005. 4n + 4 n 2 + 4n + 4 Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau: n + 2 n + 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2007 1 A . .Hãy so sánh A vâi . 2007 1 2007 2 1 2007 2 2 1 2007 2 3 1 2007 2 2006 1 1003 H D: Vâi các số t ự nhiên m, k lân hơn 1 ta có: m m mk m mk m 2m m m 2m . k 1 k 1 k 2 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 1 Suy ra: A 1 2 2008 1 . 1003 2007 2 2007 1 1003 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ Bài 50: Cho a, b, c là dộ dài của ba cạnh t am giác. Ch ứ ng minh: a) ab + bc + ac ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac) b) abc > (a — b + c)(a + c — b)(b + c — a) c) 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 — a 4 — b 4 — c 4 > 0. d) a 2 (b + c — a) + b 2 (c + a — b) + c 2 (a + b — c) ) 3abc. H D: Biên dôi, dua vê bấ t dẳng th ứ c t am giác. Bài 51: Cho a, b, c là các số duơng. Ch ứ ng minh: (a 2 + b 2 )c + (b 2 + c 2 )a + (c 2 + a 2 )c ) 6abc. HD: Ap dung bấ t dẳng th ứ c: x 2 + y 2 ) 2xy dpcm Bài 52: Cho a, b, c là các số duơng. Ch ứ ng minh: ab + bc + ac a + b + c . a + b b + c a + c 2 HD: Ap dung: (x + y) 2 ) 4xy, chia hai vê cho số duơng 4(x + y): xy x + y . Thay x, y bang 3 x + y 4 cãp số (a, b), (b, c), (c, a). Cộng vê vâi vê của 3 bấ t dẳng th ứ c dpcm. a 2 b 2 c 2 c b a Bài 53: Ch ứ ng minh: + + + + . b 2 c 2 a 2 b a c HD: Ap dung x 2 + y 2 ) 2xy. Nhân 2 vê vâi 2, làm t uơ ng t ự bài 3 vâi 3 cãp ( a , b ö ÷ , ( b , c ö ÷ , ( c , a . Bài 54: Cho a, b, c > 0. Ch ứ ng minh: 2 + 2 + 2 1 + 1 + 1 . è ç b c ø ÷ ç è c a ÷ ø ç è a b ÷ ø HD: Ap dung bô dê: 4 1 + 1 a + b b + c a + c a b c cho các cãp số (a, b), (b, c), (c, a) dpcm. x + y x y Bài 55: Cho a, b, c > 0. Ch ứ ng minh: 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ) a 2 (b + c) + b 2 (b + c) + c 2 (a + b). H D: Ap dung bấ t dẳng th ứ c: x 3 + y 3 ) xy(x + y) cho 3 cãp giao hoán a, b, c dpcm. 2 2 ( 1 Bài 56: Cho a, b > 0 và a + b = 1. Ch ứ ng minh: a + ( 1 ö + b + 25 . è ç a ÷ ø ç è b ÷ ø 2 ( ç 1 + 2 ö 1 ÷ ÷ 2 HD: Ap dung: x 2 + y 2 (x + y) vâi x = a + 1 , y = b + 1 VT ) ab ø ( 1 + 4 ) = 25 . 2 a b 2 2 2 2 Cần chú ý là 1 ( a + b ö 4 vi ab ç ÷ = 1 . ab 2 ø 4 DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS Trang 5 [...]...CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC ( 1 1 Bài 57: Cho a, b > 0 Chrng minh: (a + b)ç + ÷ 4 a b 1 1 2 HD: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi: a + b 2 ab , + a b ab ( 1 1 1ö Bài 58: a, b, c > 0 Chrng minh: (a + b + c) ç + + 9 ø a b c÷ HD: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số Làm thuơng thự bài 8 Bài 59: Cho a, b, c > 0 Chrng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ) 8abc HD: Ap dung Bấth dãng thhrc Côsi... a)(x — b)(x — c)(x — d) = 0 x + Ax + Bx + Cx + abcd = 0 DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS Trang 6 CHUYÊN DỀ: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC Phuơng thrinh P(x) = 0 có các hệ số duơng, do dó không thhể có nghiệm duơng Theo cách dãth thhi phuơng thrinh P(x) = 0 lại có 2 nghiệm duơng a và b (vô lI) dpcm 2 C2: Giả si 3 bấth dãng thhrc thrên là dúng Từ (1) và (2) (a + b) < ab + cd (*) 2 Từ (2) và (3) (a + b) cd b và ab = 1 chrng minh: 2 2 a —b 2 (a — b) + 2ab 2 HD: Biên dôi vê thrái, áp dung bấth dãng thhrc Côsi: VT = = (a — b) + 2 2.a—b a —b Bài 66: Cho 4 số duơng a, b, c, d Chrng minh rang: 3 bấth dãng thhrc sau không dồng thhời xảy ra: a) a + b < c + d (1) b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) c) (a + b)cd < (c + d)ab (3) (Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006) C1: Dãth A = c + d — a — b > 0, B = ab — ac — ad... b)(b +c)(c + a) ) 8abc HD: Ap dung Bấth dãng thhrc Côsi suy ra dpcm bc ca ab + + a+ b+ ca b c 2 2 2 2 2 2 HD: Viêth lại Bấth dãng thhrc: a b + b c + c a ) abc(a + b + c) Ap dung Côsi Bài 60: Cho a, b, c > 0 Chrng minh: dpcm a b c 3 + + b+ c a+ c b+ a 2 HD: Biên dôi vê thrái, Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số Ta duợc: ( a b 1 1 1 3 c +1÷ + ç +1÷ + ç +1÷ — 3 = [ (a +b) + (b+c) + (c+a) ]ç + + ÷—3 . CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÷ ÷ ú 2 2 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm: A > B A — B > 0. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Ch ứ ng minh: a + b ≥ ab (1) a, b > 0. (Bất đẳng thức Côsi) 2 H D: (1)