MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A Chú ý Các câu hỏi có tính tham khảo, có số câu ñáp án sai I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Câu Vi phân cấp hàm số z = x2 + 4y là: c) dz = 2xdx + y4 y −1 dy ; d) dz = 2xdx + y4 y ln 4dy a) dz = 2xdx + y dy ; b) dz = 2xdx + y ln 4dy ; Câu Vi phân cấp hàm số z = ln ( ) x − y là: dx − dy dy − dx dx − dy ; b) dz = ; c) dz = ; x−y x−y 2(x − y) Câu Vi phân cấp hàm số z = arctg(y − x) là: d) dz = a) dz = a) dz = dx + dy + (x − y) ; b) dz = dx − dy + (x − y) c) dz = ; dy − dx + (x − y) ; d) dz = dy − dx 2(x − y) −dx − dy + (x − y)2 Câu Vi phân cấp hàm số z = sin x + e y là: 2 a) d2z = sin xdx2 + 2ye y dy2 ; b) d2z = cos 2xdx2 + e y (4y2 + 2)dy2 ; 2 c) d2z = −2 cos 2xdx2 + 2ye y dy2 ; d) d2z = cos 2xdx2 + e y dy2 Câu ðạo hàm riêng cấp hai z ''xx hàm hai biến z = xe y + y2 + y sin x là: a) z ''xx = −y sin x ; b) z ''xx = y sin x ; c) z ''xx = e y + y cos x ; d) z ''xx = e y − y sin x Câu Cho hàm hai biến z = ex + 2y Kết ñúng là: a) z ''xx = ex + 2y ; b) z ''yy = 4.ex + 2y ; c) z ''xy = 2.e x + 2y ; d) Các kết ñều ñúng Câu Cho hàm số z = f(x, y) = e2x + 3y Hãy chọn ñáp án ñúng ? = 5n e2x + 3y ; a) z(n) n x b) z(n) = 2n e2x + 3y ; n x c) z(n) = 3n e2x + 3y ; n x d) z(n) = e2x + 3y n x Câu Cho hàm số z = f(x, y) = sin(x + y) Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(6)3 = sin(x + y) ; b) z(6)3 = cos(x + y) ; x y x y c) z(6)3 = − sin(x + y) ; d) z(6)3 = − cos(x + y) x y x y Câu Cho hàm số z = f(x, y) = x20 + y20 + x 10 y11 Hãy chọn ñáp án ñúng ? = z(22) = ; b) z(22) = z(22) = 0; a) z(22) 19 19 15 16 x y y x x y yx c) z(22) = z(22) = ; d) z(22) = z(22) = 13 16 11 11 11 11 x y y x x y y x Câu 10 Cho hàm số z = f(x, y) = xy + y cos x + x sin y Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(4) = ; xyx b) z(4) = cos x ; xyx c) z(4) = sin x ; xyx d) z(4) = xyx Câu 11 Cho hàm số z = f(x, y) = exy Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(5)5 = y5e xy ; x b) z(5)5 = x5e xy ; x c) z(5)5 = e xy ; x d) z(5)5 = x Câu 12 Vi phân cấp hai d z hàm hai biến z = y ln x là: a) d2z = x dxdy + dy2 ; y y b) d2z = y dxdy − dx2 ; x x2 c) d2z = x dxdy + dy2 ; y y2 d) d2z = y dxdy − dy2 x x2 Câu 13 Vi phân cấp hai d2z hàm hai biến z = x2 + x sin2 y là: a) d2z = cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2 ; b) d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2 ; c) d2z = 2dx2 − sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2 ; d) d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2 Câu 14 Vi phân cấp hai hàm hai biến z = x2 y là: a) d2z = 2y 3dx2 + 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ; b) d2z = 2y 3dx2 − 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ; c) d2z = y3dx2 + 6x2 ydy2 ; d) d2z = (2xy 3dx + 3x2 y2dy)2 Câu 15 Cho hàm z = x2 − 2x + y2 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 0); b) z đạt cực tiểu M(1; 0); c) z có cực đại cực tiểu; d) z khơng có cực trị phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu 16 Cho hàm z = x − 8x2 + y2 + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại I(0, 0); b) z ñạt cực tiểu J(–2; 0) K(2; 0); c) z có hai điểm dừng I(0; 0) K(2; 0); d) z khơng có cực trị 2 Câu 17 Cho hàm z = x + xy + y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z đạt cực đại O(0; 0); b) z khơng có cực trị; c) z đạt cực tiểu O(0; 0); d) Các khẳng ñịnh sai Câu 18 Cho hàm z = x2 − y2 + 2x − y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?   1 1 a) z ñạt cực ñại M  −1; −  ; b) z ñạt cực tiểu M  −1; −  ;   2 2 d) Các khẳng định sai c) z khơng có cực trị; Câu 19 Cho hàm z = x + 27x + y + 2y + Hãy chọn khẳng định đúng? a) z có hai điểm dừng; b) z có hai cực trị; c) z có cực đại cực tiểu; d) z khơng có cực trị Câu 20 Cho hàm z = x − y − 4x + 32y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 2); b) z ñạt cực tiểu M(1; 2); c) z khơng có điểm dừng; d) z khơng có điểm cực trị Câu 21 Cho hàm z = 3x − 12x + 2y + 3y − 12y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z có cực đại cực tiểu; b) z có điểm cực đại; c) z khơng có điểm dừng; d) z có cực tiểu Câu 22 Cho hàm z = x − y2 − 3x + 6y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 3); b) z ñạt cực tiểu N(–1; 3); c) z có hai ñiểm dừng; d) Các khẳng ñịnh ñều ñúng 2 Câu 23 Cho hàm z = −2x − 2y + 12x + 8y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(3; 2); b) z ñạt cực ñại M(3; 2); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 24 Cho hàm z = −3x + 2e y − 2y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; 0); b) z ñạt cực ñại M(0; 0); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 25 Cho hàm z = x2 − y − ln y − Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; –1); b) z ñạt cực ñại M(0; –1); c) z ln có đạo hàm riêng ℝ ; d) z có điểm dừng khơng có cực trị y Câu 26 Cho hàm z = xe + x + 2y − 4y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; 1); b) z ñạt cực ñại M(0; 1); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 27 Cho hàm z = 2x2 − 4x + sin y − y , với x ∈ ℝ, −π < y < π Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?  π   π a) z ñạt cực ñại M  1;  ; b) z ñạt cực tiểu M  1; −  ;    3  π d) z có ñiểm cực ñại ñiểm cực tiểu c) z ñạt cực tiểu M  1;  ;   Câu 28 Tìm cực trị hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 8x + 2y − 2z + = a) z ñạt cực tiểu M(4; –1); b) z ñạt cực ñại M(4; –1); c) M(4; –1) vừa ñiểm cực ñại vừa ñiểm cực tiểu; d) z khơng có điểm dừng Câu 29 Tìm cực trị hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 4x + 12y + 2z − = a) z ñạt cực tiểu M(2; –6) zCT = –8; b) z ñạt cực ñại M(2; –6) zCð = 6; c) câu a) b) đúng; d) z có ñiểm dừng M(2; –6) Câu 30 Tìm cực trị hàm z = 2x2 + y2 − 2y − với ñiều kiện –x + y + = Chọn khẳng ñịnh ñúng ? 2 1 2 1 a) z ñạt cực tiểu A  ; −  ; b) z ñạt cực ñại A  ; −  ;  3   3  1 2 1 2 d) z ñạt cực tiểu M(1, 0) N  ; −  c) z ñạt cực ñại M(1, 0) N  ; −  ;  3   3  2 Câu 31 Tìm cực trị hàm z = 3x + 4y với ñiều kiện x + y = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5); b) z ñạt cực tiểu M(–3/5, –4/5); c) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5) ñạt cực tiểu N(–3/5, –4/5); d) z ñạt cực tiểu M(3/5, 4/5) ñạt cực ñại N(–3/5, –4/5) x2 y2 + = a) z ñạt cực ñại N1(2, –1) N2(–2, 1); b) z ñạt cực tiểu M1(2, 1) M2(–2, –1); c) z ñạt cực ñại M1(2, 1); M2(–2, –1) ñạt cực tiểu N1(2, –1); N2(–2, 1); d) z ñạt cực tiểu M1(2, 1); M2(–2, –1) ñạt cực ñại N1(2, –1); N2(–2, 1) Câu 32 Tìm cực trị hàm z = xy với điều kiện II TÍCH PHÂN BỘI – ðƯỜNG – MẶT Câu Xác đònh cận tích phân I = ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường D y = x + x , y = 2x a) I = c) I = x2 + x ∫ dx ∫ b) I = f(x, y)dy ∫ dx ∫ −1 2x −2 x2 + x ∫ dx ∫ d) I = f(x, y)dy 2x f(x, y)dy x +x 2x ∫ dx ∫ Câu Xác đònh cận tích phân I = 2x f(x, y)dy x +x ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường D y = 3x, y = x a) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy b) I = ∫ dy ∫ d) I = c) I = x2 3x y ∫ dx ∫ f(x, y)dy f(x, y)dx y/3 x2 y ∫ dy ∫ Câu Xác đònh cận tích phân I = 3x f(x, y)dx y ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn D đường y = x, y = x a) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dx ∫ f(x, y)dy c) I = x b) I = x x D : x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ a) I = c) I = y D b) I = f(x, y)dy x −1 d) I = x −1 ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ f(x, y)dy x y ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường 1− x ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dy ∫ f(x, y)dx x Câu Xác đònh cận tích phân I = ∫ dx ∫ d) I = x f(x, y)dy 1− x ∫ dx ∫ f(x, y)dy −1 Câu Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng đònh sau ñuùng? b a) d ∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy D a b) c b c) b D a ∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy D a d ∫∫ [ f(x) + g(x) ] dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy c d b d) c d ∫∫ [ f(x)g(y) ] dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D a c phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n 14 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy Kết sau đúng? Câu Đổi thứ tự tính tích phân I = 14 a) I = 12 ∫ dy ∫ f(x, y)dx 14 c) I = x y y b) I = y y2 1/ Câu Đặt I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1/ ∫ dy ∫ f(x, y)dx + ∫ y2 1/ y y2 1/ dy ∫ f(x, y)dx d) I = y2 ∫ dy ∫ f(x, y)dx y ∫∫ f(x, y)dxdy , D tam giác có đỉnh O(0, 0); A(1, 0) B(1, 1) Khẳng đònh D sau đúng? a) I = 1 ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx b) I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy d) I = c) I = x 0 1 y y Caâu Ñaët I = x y ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1 1 1 ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy y x ∫∫ f(x, y)dxdy , D tam giác có đỉnh A(0, 1); B(1, 0) C(1, 1) Khẳng đònh D sau đúng? a) I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = c) I = 1− y 0 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy b) I = ∫ dy ∫ d) I = 1− x 1 f(x, y)dx f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = 1− x 1− x Câu Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực I = ∫ dy ∫ 1− y ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1− y 1− y 0 ∫∫ f(x, y)dxdy , D hình tròn x2 + y2 ≤ 4y Đẳng D thức sau đúng? 2π a) I = ∫ dϕ ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ)dr π c) I = π/2 b) I = sin ϕ ∫ dϕ ∫ ∫ cos ϕ dϕ π d) I = rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ∫∫ f( rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ∫ dϕ ∫ rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr Câu 10 Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I = ∫ x + y )dxdy , D nửa hình tròn 2 D x2 + y2 ≤ 1, y ≥ , ta coù 2π a) I = π/2 ∫ dϕ ∫ rf(r)dr b) I = ∫ dx ∫ a) I = 0 d) I = ∫ dϕ ∫ f(r)dr 6xey dy b) I = c) I = Câu 12 Tính tích phân kép: I = ≤ x ≤ π / 2; ≤ y ≤ π a) I = π π/2 dϕ ∫ rf(r)dr c) I = π ∫ rf(r)dr ln x Câu 11 Tính tích phân I = ∫ d) I = ∫∫ (sin x + cos y)dxdy , D hình chữ nhật D b) I = −π Câu 13 Tính tích phân keùp: I = c) I = 2π d) I = −2π ∫∫ xy dxdy D hình chữ nhaät ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = b) I = c) I = d) I = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ∫∫ xydxdy D hình chữ nhật ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ Câu 14 Tính tích phân I = D a) I = b) I = c) I = 1/2 ∫∫ e Caâu 15 Tính tích phân I = x+y d) I = 1/4 dxdy D hình vuông ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = e b) I = e2 − c) I = (e − 1)2 d) I = 2(e − 1) ∫∫ (x2 + y2 )dxdy D hình tròn x2 + y2 Câu 16 Tính tích phaân I = ≤ D a) I = π / c) I = π / b) I = 2π / Câu 17 Tính tích phân I = ∫∫ ( x d) I = π / + y ) dxdy D hình troøn x + y ≤ 2 D a) I = − π / b) I = π / Câu 18 Tính tích phân kép I = c) I = π / d) I = π / x + y dxdy D hình vành khăn ≤ x + y ≤ ∫∫ 2 D b) I = π c) I = π d) I = 14 π / a) I = π / Câu 19 Xét tích phân bội ba hình hộp chữ nhật Ω : a1 ≤ x ≤ a ; b1 ≤ y ≤ b ; c1 ≤ z ≤ c Coâng thức sau đúng? a) = ∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz Ω b) a2 b2 ∫ f ( x ) dx ∫ f ( y ) dy ∫ f ( z ) dz a1 ∫∫∫ f ( x ) g ( y ) h ( z ) dxdydz b1 = Ω c) = Ω d) a2 = ∫∫∫ xydxdydz c2 b2 c1 b1 Ω ∫ f ( x ) dx ∫ g ( y ) dy ∫ h ( z ) dz b1 c1 b2 c2 a1 b1 c1 ∫ xdx + ∫ ydy + ∫ zdz ∫ xdx ∫ ydy ∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = c2 a2 Caâu 20 Xác đònh cận tích phân c1 b2 a1 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz c2 Ω a) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz c) I = 2− x 1 d) I = 0 1− x − y ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz b) I = 8π c) dxdydz ∫∫∫ x2 + y2 Ω I = 4π 2 Caâu 21 Cho Ω miền x + y ≤ ;0 ≤ z ≤ Tính a) b) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz Ω miền giới hạn mặt I =π d) Câu 22 Cho miền Ω giới hạn mặt: z = − x − y , z = Đặt I = 2 ∫∫∫ a) I = c) I = 4−r 0 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz 2π ∫ sin ϕ d ϕ ∫ r b) I = 2π dr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz ∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz d) I = Câu 23 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ I = 2π 4−r 0 ∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz ∫∫∫ cos 4−r 2 4−r f ( x , y , z ) dxdydz Ω Chuyển sang tọa độ trụ xác đònh cận tích phân, ta có 2π I = 2π x + y dxdydz Ω miền giới hạn 2 Ω mặt z = − x − y 2 vaø z = -8 phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) I = c) I = 2π 1− r 0 −8 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz 2π −8 0 b) I = ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz d) I = 2π −8 1− r ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz 0 2π 0 −8 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz Câu 24 Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu xác đònh cận tích phân I = ∫∫∫ x + y + z dxdydz , Ω Ω miền x + y + z ≤ , z ≥ a) I = 2π π ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ c) I = π 0 ∫ d ϕ ∫ r dr π 0 π b) I = ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ π /2 ∫ sin θ d θ d) I = 0 2π π /2 0 ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ Câu 25 Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu xác đònh cận tích phaân I = ∫∫∫ f ( x + y , z ) dxdydz , Ω 1/2 hình cầu x + y + z ≤ R , x ≥ Ω a) I = b) I = 2π π /2 R 0 π /2 π R ∫ dϕ 2 ∫ sin θ d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ 2 ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ −π / c) I = π R ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ d) I = π π /2 − f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ π R ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ π /2 f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ −R Câu 26 Tính tích phân đường I = ∫ ( x + y ) dl , C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ C a) I = c) I = / b) I = Caâu 27 Tính tích phân đường I = d) I = ∫ ( x − y ) dl , C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ C b) I = − a) I = Câu 28 Tính tích phân đường I = ∫ (2 x + y c) I = d) I = ) dl C đoạn thẳng nối điểm C A(0, 0) vaø B(1, 1) b) I = a) I = Câu 29 Tính tích phân đường I = c) I = d) I = 2 ∫ ( 26 x + y ) dl C đoạn thẳng có phương trình C x + y + = noái A(0, –1/4) vaø B(1, –1) a) I = –10 b) I = c) I = 10 Câu 30 Tính tích phân đường I = d) I = –8 ∫ xydl C đường biên hình vuông ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ C a) I = b) I = 16 c) I = 24 Câu 31 Cho điểm A(0, 1) B(1, 1), tính tích phân đường I = ∫ ( xy + x d) I = 36 + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường y = từ điểm A đến B AB a) I = b) I = –4 Câu 32 Tính tích phân đường I = c) I = ∫ ( xy + x d) I = –3 + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường x = từ AB điểm A(2, 1) đến B(2, 0) phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) I = b) I = –2 c) I = Caâu 33 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I = d) I = –3 ∫ xydx + x dy lấy theo đường x + y = từ gốc toạ độ O OA đến A a) I = b) I = c) I = Câu 34 Cho điểm A(0, 1) B(1, 1), tính tích phân đường I = ∫ ( xy + x d) I = + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường y = từ điểm A đến B AB a) I = b) I = -4 c) I = Câu 35 Cho điểm A(0, 1) B(1, 0), tính tích phân đường I = d) I = –3 ∫ ( y + x + 1) dx + ( y − 1) dy AB lấy theo đường y = -x + từ điểm A đến B a) I = b) I = c) I = Caâu 36 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I = ∫ xydx + x d) I = 2 dy lấy theo đường x + y = gốc toạ độ O OA đến A a) I = b) I = c) I = Câu 37 Tính tích phân đường I = ∫ ( xy d) I = − 1) dx + ( yx + ) dy lấy theo đường y = 2x2 từ gốc toạ độ O đến OA A(1, 2) a) I = b) I = Câu 38 Tính I = c) I = ∫ xydx − (3 x d) I = − y ) dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) ñeán A(–1, –1) OA a) I = –1 b) I = Câu 39 Tính I = ∫ (x − y) c) I = –2 d) I = dx + ( x + y ) dy laáy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0) OA a) I = b) I = c) I = 27 d) I = 18 Caâu 40 Cho C hình tròn x + y = Tính tích phân đường loại hai I = 2 ∫ ydx + xdy C a) I = 6π b) I = 3π c) I = 9π d) I = Câu 41 Tích phân đường sau không phụ thuộc vào đường trơn khúc nối A B? a) I = ∫ x( x dx − y ) dy b) I = AB c) I = ∫x ∫x dx + y dy dy + y dx AB dy − y dx d) I = AB ∫x AB Caâu 42 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ ds , S mặt z = 3,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ S a) I = b) I = Câu 43 Tính: I = c) I = d) I = 12 ∫∫ ( x − y + z ) ds , S mặt x − y + z − = ,1 ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ S a) I = b) I = Caâu 44 Tính tích phân mặt loại một: I = d) I = c) I = 12 ∫∫ ds , S mặt z = x ,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ S a) I = c) I = b) I = Câu 45 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ xyds d) I = 2 , S mặt z = x , ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ S a) I = b) I = Câu 46 Tính tích phân mặt loại một: I = c) I = 5/2 d) I = 5/4 ∫∫ xds , S mặt hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1] S a) I = b) I = c) I = d) I = 12 phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Caâu 47 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ ( x + y + z ) ds , S mặt hình lập phương S [0,1]x[0,1]x[0,1] a) I = b) I = Caâu 48 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ zdxdy d) I nhận giá trò khác S mặt mặt ≤ x ≤ , ≤ y ≤ , z = S a) I = b) I = Câu 49 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ zdxdy d) I = S mặt mặt ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 3, z = S a) I = b) I = Câu 50 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ dxdy d) I = S mặt đònh hướng với pháp vector đơn vò dương S (2/3, -2/3, 1/3) mặt x − y + z = 1, ≤ x ≤ , ≤ y ≤ a) I = b) I = c) I = d) I = Câu 51 Cho S mặt biên miền Ω R3, dùng công thức Gauss – Ostrogradski biến đổi tích phân mặt sau sang tích phân bội 3: I = ∫∫ ( y dzdy + z dxdz + x dydx ) S a) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz b) I = Ω ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz c) I = Ω ∫∫∫ dxdydz d) I = Ω Câu 52 Cho S mặt phía hình cầu tích V Ta có a) V = ∫∫ dydz + dxdz + dxdy b) V = ∫∫ xdydz S c) V = + ydxdz + zdxdy S dydz + dxdz + dxdy ∫∫ S xdydz + ydxdz + zdxdy ∫∫ S d) V = Câu 53 Cho S mặt phía hình lập phương Ω Đặt I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy S a) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz b) I = Ω c) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz Ω ∫∫∫ 3( x + y + z ) dxdydz d) I = Ω ∫∫∫ dxdydz Ω Câu 54 Cho S mặt phía hình caàu W: x + y + z ≤ Đặt I = ∫∫ z dydz + y dxdz + z dxdy Ta coù S a) I = b) I = ∫∫∫ dxdydz ∫∫∫ 3( x W c) I = + y + z ) dxdydz W ∫∫∫ 3( y + z ) dxdydz d) I = W ∫∫∫ 3( y + z ) dxdydz W Câu 55 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( zdxdy + xdydz + ydzdx ) S mặt biên hình hộp S Ω : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ , ≤ z ≤ a) I = b) I = Câu 56 Tính tích phân mặt I = c) I = 12 ∫∫ ( zdxdy d) I = 24 + xdydz − ydzdx ) S mặt biên hình trụ S Ω : x + y ≤ ,0 ≤ z ≤ a) I = 2π b) I = 8π c) I = 16 π d) I = 32 π Câu 57 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( zdxdy − xdydz + ydzdx ) S mặt biên hình cầu S Ω : x + y + z ≤ a) I = π b) I = 4π / 2 c) I = 8π / d) I = 4π phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu Cho biết phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y = Cx ðường cong tích phân sau phương trình qua ñiểm A(1, 2)? a) y = b) y = 3x c) y = 2x d) y = x/2 x Câu Hàm số y = 2x + Ce , C số tuỳ ý, nghiệm tổng qt phương trình vi phân sau ? a) y’ – y = (1 + x)2 b) y’ – y = 2(1-x) c) y’ + y = (1+x)2 d) y’ + y = 2(1-x) Câu Phương trình vi phân sau ñây ñược ñưa dạng phương trình tách biến ? b) x2 (x + y)ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = a) x2 (x + 1)arctgydx + x(1 + y2 )dy = c) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = d) [x2 + (x + y)2 ]ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = Câu Phương trình vi phân sau đưa dạng phương trình tách biến ? a) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − y)dy = b) x2 (x + y)ln ydx − (1 + y2 )(x − 1)dy = c) x2 (x + y)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = d) [x2 + (x + 1)2 ]ln ydx − (1 + y2 )(x + 1)dy = Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '+ a) (x + 1)y = C b) (x + 1) + y = C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) sin x + cos y = C b) sin x − cos y = C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) arcsin x + arctgy = C y =0 x +1 c) C1(x + 1) + C2 y = d) (x + 1)2 + y2 = C dx dy + =0 sin y cos x c) C1 sin x + C2 cos y = dx dy =0 1+x − y2 b) arcsin x − arctgy = C + d) C1 cos x + C2 sin y = c) arctgx + arcsin y = C d) arctgx + ln | y + − y2 |= C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 2xydx + dy = a) x2 y + y = C b) xy2 + y = C c) 2xy + = C d) x2 + ln | y |= C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1 + y2 )dx + x ln xdy = a) (1 + y2 )x + x ln x = C b) ln | ln x | + arcsin y = C c) ln | ln x | + + y2 = C d) ln | ln x | +arctgy = C (1 − y2 )dx + x ln xdy = Câu 10 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) x + y2 + xy ln x = C b) ln | ln x | + arcsin y = C c) ln | ln x | + − y2 = C d) ln | ln x | +arctgy = C Câu 11 Phương trình vi phân sau phương trình đẳng cấp? a) dy x2 + y2 dy 2x + 3y + = b) = dx x+5 dx x+y c) dy x2 + y2 = dx xy d) dy x y + y 2x = dx x2 + y2 y y2 − x x2 −x x x −x a) y = b) y = c) y = d) y = C + ln | x | C + ln | x | C − ln | x | C ln | x | Câu 13 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy ' = y + x a) y = x(C + ln | x |) b) y = x(C − ln | x |) c) y = x / (C + ln | x |) d) y = x / (C − ln | x |) Câu 14 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân tồn phần? Câu 12 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' = a) (ye x − xex )dx + (e x − y2 sin y)dy = ; b) (yex + xe x )dx + (ex + x2 sin y)dy = ; c) (yex + xe y )dx + (ex + y2 sin y)dy = ; d) (ye x − xe y )dx + (e x − y2 sin y)dy = Câu 15 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân toàn phần? b) (y sin x − cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = ; a) (y sin x − cos y)dx + (cos x − x sin y)dy = ; c) (y sin x + cos y)dx + (cos x + x sin y)dy = ; d) (y sin x + cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = Câu 16 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân ydx + xdy = a) xy = C b) y = Cx c) x + y = C d) x − y = C phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu 17 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân tồn phần (y + ex )dx + xdy = a) xy − ex = C b) xy + ex = C c) x + y + ex = C d) x − y + ex = C Câu 18 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân tồn phần (e y + 1)dx + (xe y + 1)dy = a) xy − xe y = C b) xy + xe y = C c) x + y + xe y = C y =0 x C 2C C a) y = b) y = c) y = x x x Câu 20 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' cos x + y = d) x − y + xe y = C Câu 19 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '+ d) y = − C x b) y = Ce tgx c) y = C + e tgx a) y = Ce−tgx Câu 21 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '− 3y = d) y = eC.tgx b) y = C − e3x c) y = Ce3x a) y = Ce−3x Câu 22 Phương trình y '− y cos x = có nghiệm tổng quát là: d) y = C + e3x a) y = Cxe− cos x b) y = Cx + esin x c) y = C + e− sin x d) y = C.e− sin x Câu 23 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '(1 − e x ) − ex y = C a) y(x − ex ) − ex y2 = C b) y = − ex c) y = C(1 − ex ) d) y = C ln(1 − ex ) y = 4x ln x dạng: x C(x) C(x) C(x) C(x) a) y = b) y = c) y = d) y = − x x x x y Câu 25 Trong phương pháp biến thiên số ta tìm nghiệm tổng quát phg trình y '− = x ln x dạng: x C(x) a) y = b) y = C(x) − x c) y = C(x) + x d) y = C(x)x x Câu 26 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '− 2y = e2x Câu 24 Trong phương pháp biến thiên số ta tìm nghiệm tổng quát phg trình y '+ a) y = (−x + C)e2x b) y = (x + C)e2x c) y = (−x + C)ex d) y = (x + C)e x Câu 27 Xét phương trình vi phân (2x + x)y2dx + y 3x 3dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân ñưa ñược dạng tách biến; c) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp 1; d) (1) phương trình vi phân Bernoulli Câu 28 Xét phương trình vi phân (y2 + 3xy)dx + (7x2 + 4xy)dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân tách biến; c) (1) phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp Câu 29 Xét phương trình vi phân (y2 − 2xy)dx + (x2 − 5xy)dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân tách biến; c) (1) phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp Câu 30 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''− 2y '+ 5y = a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x d) y = C1e x + C2e2x Câu 31 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''+ 4y = a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x d) y = C1e2x + C2 e−2x Câu 32 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 4y ''− 16y = a) y = C1e2x + C2 e−2x b) y = C1e2x + C2e2x c) y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) d) y = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Câu 33 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''− 22y '+ 121y = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 10 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n b) y = e−11x (xC1 + C2 ) a) y = e11x (xC1 + C2 ) c) y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x) d) y = (C1 + C2 )e11x Câu 34 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''+ 4y '+ 3y = a) y = C1e x + C2e−3x b) y = C1e−x + C2e−3x c) y = C1e−x + C2e3x d) y = C1e x + C2e3x Câu 35 Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y ''− 2y '+ 2y = 2ex y = x2e2 , nghiệm tổng quát phương trình là: a) y = x2 ex + Cex b) y = Cx2e2 c) y = x2ex + C1ex + C2xex d) y = x2ex + C1ex + C2ex Câu 36 Cho biết nghiệm riêng y ''+ y ' = sin x + cos 2x y = − cos 2x − x cos x , nghiệm tổng quát phương trình là: b) y = cos 2x + x cos x + C1e x + C2e−x a) y = C1 cos 2x + C2x cos x c) y = − cos 2x − x cos x + C1ex + C2 e−x d) y = − cos 2x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x …………………………………………… ðỀ THI A THAM KHẢO Thời gian: 60 phút Câu Tích phân mặt I = ∫∫ dxdy S mặt mặt x2 + S y2 ≤ , z = A I = −9π B I = −3π C I = 3π D I = 9π Câu Tích phân ñường I = ∫ ydl ñó C có phương trình x + y = 1, ≤ x ≤ C A I = B I = 2 C I = 2 D I = Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y′′ − A y = ln x−2 + C1x + C2 x+2 B y = ∫∫ (4 + x2 )2 + x2 = + C1x + C2 x + C1x + C2 dxdy D miền giới hạn 2y ≤ x2 + y2 ≤ 4y, x ≥ C y = ln(x2 + 4) + C1x + C2 Câu Tính tích phân I = 4x D y = −arctg D 3π A I = B I = 3π C I = π D I = Câu Cho Ω miền giới hạn x2 + y2 ≤ π2 , ≤ z ≤ Tính I = ∫∫∫ π cos x2 + y2 dxdydz Ω A I = 9π B I = 4π C I = 4π x2 + y2 D I = ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )dxdydz , Ω Câu Chuyển tích phân sau sang tọa ñộ cầu xác ñịnh cận I = Ω miền ≤ x + y + z ≤ 2π A I = C I = 2 π ∫ dϕ ∫ r4dr ∫ sin θdθ 2π B I = ∫ dϕ ∫ r3dr ∫ sin θdθ 0 2π π 2π ∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ D I = π 2 π ∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 11 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu Tính tích phân đường loại I = ∫ xdy − ydx AB lấy theo đường AB x2 + y = nằm góc phần tư thứ hai theo chiều dương π π A I = B I = 2π C I = π D I = − 2 Câu Cho hàm z = x − y − cos x − 32y , khẳng ñịnh sau ñây ñúng? A z có cực đại cực tiểu B z khơng có điểm dừng C z đạt cực tiểu N(0;–2) D z ñạt cực ñại M(0; 2) Câu Tính tích phân I = − ∫∫ dxdy D giới hạn y = x2 , y = −x2 − 2x D 5 1 A I = − B I = C I = D I = − 6 6 2 Câu 10 Cho điểm A(2; 2) Tính tích phân ñường loại I = ∫ (2xy + 3x + 2)dx + (2x y + y − 2)dy lấy theo OA x từ gốc tọa ñộ O ñến A A I = 24 B I = 16 ñường y = C I = D I = Câu 11 Tìm vi phân cấp hai hàm hai biến z = x + x sin y 2 A d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2 B d2z = cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2 C d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2 D d2z = 2dx2 − sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2 Câu 12 Tìm độ dài cung tròn có phương trình x2 + y2 = 242 thỏa ñiều kiện − 3.x ≤ y ≤ x A l = π π D l = 7π f(x, y, z)dxdydz , Ω tứ diện ñược giới hạn mặt phẳng B l = 14π Câu 13 Xét tích phân I = ∫∫∫ C l = Ω x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = ðẳng thức sau ñây ñúng? A I = 1− x ∫ dx ∫ C I = dy 1− z ∫ dz ∫ 1− x − y ∫ B I = f(x, y, z)dz 1− y ∫ dy ∫ 0 1− y − z dz ∫ f(x, y, z)dx 1− x − z dx ∫ f(x, y, z)dy D Các đẳng thức Câu 14 Tính diện tích S mặt x = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 2π Câu 15 Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng định sau ñây ñúng? A S = 2π B S = π b A d a b a B c d ∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy D a c d b ∫∫ [f(x)g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D D S = b ∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy D C C S = π D c d ∫∫ [f(x) + g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy D a c Câu 16 Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y′′ + 2y′ + 26y = 29e y = e , tìm nghiệm tổng quát phương trình? x x A y = 29e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x) B y = e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x) C y = 29e x + C1e−x + C2e5x D y = e x + C1e−x + C2e5x Câu 17 Xác định cận tích phân I = ∫∫ f(x, y)dxdy D giới hạn ñường D phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 12 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n x = 3, x = 5, 3x − 2y + = 0, 3x − 2y + = 3x + A I = ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ D I = f(x, y)dy 2y −1 ∫ dx ∫ ∫∫ (x + y + z)dS f(x, y)dy 3y − 3 Câu 18 Tính tích phân mặt loại I = f(x, y)dy 3x + 3y −1 3 ∫ dx ∫ 2y − C I = B I = f(x, y)dy 3x +1 3x +1 S mặt S x + y + z = 1, ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ A I = B I = C I = D I = − 2 Câu 19 Cho miền Ω giới hạn mặt z = − x − y , z = ðặt I = ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz Chuyển sang Ω tọa ñộ trụ xác ñịnh cận tích phân, ta có: 2π A I = C I = − r2 ∫ dϕ ∫ rdr ∫ 2π f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz B I = ∫ dϕ ∫ 0 0 2π 4 − r2 2π ∫ dϕ ∫ rdr ∫ 0 f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz D I = − r2 dr ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz 0 − r2 ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr ∫ 0 f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz Câu 20 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x y + 1dx + y x + 1dy = ? ( ) A ln x + C ( x2 + − ln y + x2 + + ) y2 + = C B x2 + y2 + ( y2 + = C D ln x + =C ) ( ) x2 + + ln y + y2 + = C Câu 21 Tìm vi phân cấp hàm z = arctg(y − x) A dz = dy − dx + (x − y) B dz = Câu 22 Tính tích phân I = ∫∫ dx + dy + (x − y) C dz = dx − dy + (x − y) D dz = −dx − dy + (x − y)2 x2 + y2 dxdy , D phần hình tròn x2 + y2 ≤ thuộc góc phần tư thứ D 2π 4π 3π 8π A I = B I = C I = D I = 3 Câu 23 Tính tích phân I = ∫∫ (x + 2y + z)dS , S mặt x + 2y + z − = 0, x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ S 6 B I = C I = D I = Câu 24 Tính tích phân I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , S mặt bên elipsoid A I = S 2 y z + ≤ A I = 144π B I = 32π Ω : x2 + Câu 25 Tính tích phân I = C I = 8π D I = 36π ∫∫ zdxdy , S mặt mặt z = ñược giới hạn x + y ≤ 1, x ≥ 0, ≤ y ≤ S với vector pháp tuyến theo chiều dương A I = B I = C I = D I = …………………………Hết……………………… phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 13 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ...  ;  3   3  2 Câu 31 Tìm cực trị hàm z = 3x + 4y với ñiều kiện x + y = phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5);... f(x)dx + ∫ g(y)dy c d b d) c d ∫∫ [ f(x)g(y) ] dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D a c phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n 14 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy Kết sau... = −2π ∫∫ xy dxdy D hình chữ nhật ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = b) I = c) I = d) I = phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ∫∫ xydxdy D hình chữ nhật ≤