CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A3

13 81 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 08/05/2019, 19:46

MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A Chú ý Các câu hỏi có tính tham khảo, có số câu ñáp án sai I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN Câu Vi phân cấp hàm số z = x2 + 4y là: c) dz = 2xdx + y4 y −1 dy ; d) dz = 2xdx + y4 y ln 4dy a) dz = 2xdx + y dy ; b) dz = 2xdx + y ln 4dy ; Câu Vi phân cấp hàm số z = ln ( ) x − y là: dx − dy dy − dx dx − dy ; b) dz = ; c) dz = ; x−y x−y 2(x − y) Câu Vi phân cấp hàm số z = arctg(y − x) là: d) dz = a) dz = a) dz = dx + dy + (x − y) ; b) dz = dx − dy + (x − y) c) dz = ; dy − dx + (x − y) ; d) dz = dy − dx 2(x − y) −dx − dy + (x − y)2 Câu Vi phân cấp hàm số z = sin x + e y là: 2 a) d2z = sin xdx2 + 2ye y dy2 ; b) d2z = cos 2xdx2 + e y (4y2 + 2)dy2 ; 2 c) d2z = −2 cos 2xdx2 + 2ye y dy2 ; d) d2z = cos 2xdx2 + e y dy2 Câu ðạo hàm riêng cấp hai z ''xx hàm hai biến z = xe y + y2 + y sin x là: a) z ''xx = −y sin x ; b) z ''xx = y sin x ; c) z ''xx = e y + y cos x ; d) z ''xx = e y − y sin x Câu Cho hàm hai biến z = ex + 2y Kết ñúng là: a) z ''xx = ex + 2y ; b) z ''yy = 4.ex + 2y ; c) z ''xy = 2.e x + 2y ; d) Các kết ñều ñúng Câu Cho hàm số z = f(x, y) = e2x + 3y Hãy chọn ñáp án ñúng ? = 5n e2x + 3y ; a) z(n) n x b) z(n) = 2n e2x + 3y ; n x c) z(n) = 3n e2x + 3y ; n x d) z(n) = e2x + 3y n x Câu Cho hàm số z = f(x, y) = sin(x + y) Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(6)3 = sin(x + y) ; b) z(6)3 = cos(x + y) ; x y x y c) z(6)3 = − sin(x + y) ; d) z(6)3 = − cos(x + y) x y x y Câu Cho hàm số z = f(x, y) = x20 + y20 + x 10 y11 Hãy chọn ñáp án ñúng ? = z(22) = ; b) z(22) = z(22) = 0; a) z(22) 19 19 15 16 x y y x x y yx c) z(22) = z(22) = ; d) z(22) = z(22) = 13 16 11 11 11 11 x y y x x y y x Câu 10 Cho hàm số z = f(x, y) = xy + y cos x + x sin y Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(4) = ; xyx b) z(4) = cos x ; xyx c) z(4) = sin x ; xyx d) z(4) = xyx Câu 11 Cho hàm số z = f(x, y) = exy Hãy chọn ñáp án ñúng ? a) z(5)5 = y5e xy ; x b) z(5)5 = x5e xy ; x c) z(5)5 = e xy ; x d) z(5)5 = x Câu 12 Vi phân cấp hai d z hàm hai biến z = y ln x là: a) d2z = x dxdy + dy2 ; y y b) d2z = y dxdy − dx2 ; x x2 c) d2z = x dxdy + dy2 ; y y2 d) d2z = y dxdy − dy2 x x2 Câu 13 Vi phân cấp hai d2z hàm hai biến z = x2 + x sin2 y là: a) d2z = cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2 ; b) d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2 ; c) d2z = 2dx2 − sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2 ; d) d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2 Câu 14 Vi phân cấp hai hàm hai biến z = x2 y là: a) d2z = 2y 3dx2 + 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ; b) d2z = 2y 3dx2 − 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ; c) d2z = y3dx2 + 6x2 ydy2 ; d) d2z = (2xy 3dx + 3x2 y2dy)2 Câu 15 Cho hàm z = x2 − 2x + y2 Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 0); b) z đạt cực tiểu M(1; 0); c) z có cực đại cực tiểu; d) z khơng có cực trị phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu 16 Cho hàm z = x − 8x2 + y2 + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại I(0, 0); b) z ñạt cực tiểu J(–2; 0) K(2; 0); c) z có hai điểm dừng I(0; 0) K(2; 0); d) z khơng có cực trị 2 Câu 17 Cho hàm z = x + xy + y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z đạt cực đại O(0; 0); b) z khơng có cực trị; c) z đạt cực tiểu O(0; 0); d) Các khẳng ñịnh sai Câu 18 Cho hàm z = x2 − y2 + 2x − y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?   1 1 a) z ñạt cực ñại M  −1; −  ; b) z ñạt cực tiểu M  −1; −  ;   2 2 d) Các khẳng định sai c) z khơng có cực trị; Câu 19 Cho hàm z = x + 27x + y + 2y + Hãy chọn khẳng định đúng? a) z có hai điểm dừng; b) z có hai cực trị; c) z có cực đại cực tiểu; d) z khơng có cực trị Câu 20 Cho hàm z = x − y − 4x + 32y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 2); b) z ñạt cực tiểu M(1; 2); c) z khơng có điểm dừng; d) z khơng có điểm cực trị Câu 21 Cho hàm z = 3x − 12x + 2y + 3y − 12y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z có cực đại cực tiểu; b) z có điểm cực đại; c) z khơng có điểm dừng; d) z có cực tiểu Câu 22 Cho hàm z = x − y2 − 3x + 6y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực ñại M(1; 3); b) z ñạt cực tiểu N(–1; 3); c) z có hai ñiểm dừng; d) Các khẳng ñịnh ñều ñúng 2 Câu 23 Cho hàm z = −2x − 2y + 12x + 8y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(3; 2); b) z ñạt cực ñại M(3; 2); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 24 Cho hàm z = −3x + 2e y − 2y + Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; 0); b) z ñạt cực ñại M(0; 0); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 25 Cho hàm z = x2 − y − ln y − Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; –1); b) z ñạt cực ñại M(0; –1); c) z ln có đạo hàm riêng ℝ ; d) z có điểm dừng khơng có cực trị y Câu 26 Cho hàm z = xe + x + 2y − 4y Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng? a) z ñạt cực tiểu M(0; 1); b) z ñạt cực ñại M(0; 1); c) z có điểm dừng khơng có cực trị; d) z khơng có điểm dừng Câu 27 Cho hàm z = 2x2 − 4x + sin y − y , với x ∈ ℝ, −π < y < π Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?  π   π a) z ñạt cực ñại M  1;  ; b) z ñạt cực tiểu M  1; −  ;    3  π d) z có ñiểm cực ñại ñiểm cực tiểu c) z ñạt cực tiểu M  1;  ;   Câu 28 Tìm cực trị hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 8x + 2y − 2z + = a) z ñạt cực tiểu M(4; –1); b) z ñạt cực ñại M(4; –1); c) M(4; –1) vừa ñiểm cực ñại vừa ñiểm cực tiểu; d) z khơng có điểm dừng Câu 29 Tìm cực trị hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 4x + 12y + 2z − = a) z ñạt cực tiểu M(2; –6) zCT = –8; b) z ñạt cực ñại M(2; –6) zCð = 6; c) câu a) b) đúng; d) z có ñiểm dừng M(2; –6) Câu 30 Tìm cực trị hàm z = 2x2 + y2 − 2y − với ñiều kiện –x + y + = Chọn khẳng ñịnh ñúng ? 2 1 2 1 a) z ñạt cực tiểu A  ; −  ; b) z ñạt cực ñại A  ; −  ;  3   3  1 2 1 2 d) z ñạt cực tiểu M(1, 0) N  ; −  c) z ñạt cực ñại M(1, 0) N  ; −  ;  3   3  2 Câu 31 Tìm cực trị hàm z = 3x + 4y với ñiều kiện x + y = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5); b) z ñạt cực tiểu M(–3/5, –4/5); c) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5) ñạt cực tiểu N(–3/5, –4/5); d) z ñạt cực tiểu M(3/5, 4/5) ñạt cực ñại N(–3/5, –4/5) x2 y2 + = a) z ñạt cực ñại N1(2, –1) N2(–2, 1); b) z ñạt cực tiểu M1(2, 1) M2(–2, –1); c) z ñạt cực ñại M1(2, 1); M2(–2, –1) ñạt cực tiểu N1(2, –1); N2(–2, 1); d) z ñạt cực tiểu M1(2, 1); M2(–2, –1) ñạt cực ñại N1(2, –1); N2(–2, 1) Câu 32 Tìm cực trị hàm z = xy với điều kiện II TÍCH PHÂN BỘI – ðƯỜNG – MẶT Câu Xác đònh cận tích phân I = ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường D y = x + x , y = 2x a) I = c) I = x2 + x ∫ dx ∫ b) I = f(x, y)dy ∫ dx ∫ −1 2x −2 x2 + x ∫ dx ∫ d) I = f(x, y)dy 2x f(x, y)dy x +x 2x ∫ dx ∫ Câu Xác đònh cận tích phân I = 2x f(x, y)dy x +x ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường D y = 3x, y = x a) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy b) I = ∫ dy ∫ d) I = c) I = x2 3x y ∫ dx ∫ f(x, y)dy f(x, y)dx y/3 x2 y ∫ dy ∫ Câu Xác đònh cận tích phân I = 3x f(x, y)dx y ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn D đường y = x, y = x a) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dx ∫ f(x, y)dy c) I = x b) I = x x D : x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ a) I = c) I = y D b) I = f(x, y)dy x −1 d) I = x −1 ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ f(x, y)dy x y ∫∫ f(x, y)dxdy , D miền giới hạn đường 1− x ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dy ∫ f(x, y)dx x Câu Xác đònh cận tích phân I = ∫ dx ∫ d) I = x f(x, y)dy 1− x ∫ dx ∫ f(x, y)dy −1 Câu Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng đònh sau ñuùng? b a) d ∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy D a b) c b c) b D a ∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy D a d ∫∫ [ f(x) + g(x) ] dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy c d b d) c d ∫∫ [ f(x)g(y) ] dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D a c phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n 14 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy Kết sau đúng? Câu Đổi thứ tự tính tích phân I = 14 a) I = 12 ∫ dy ∫ f(x, y)dx 14 c) I = x y y b) I = y y2 1/ Câu Đặt I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1/ ∫ dy ∫ f(x, y)dx + ∫ y2 1/ y y2 1/ dy ∫ f(x, y)dx d) I = y2 ∫ dy ∫ f(x, y)dx y ∫∫ f(x, y)dxdy , D tam giác có đỉnh O(0, 0); A(1, 0) B(1, 1) Khẳng đònh D sau đúng? a) I = 1 ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx b) I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy d) I = c) I = x 0 1 y y Caâu Ñaët I = x y ∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1 1 1 ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy y x ∫∫ f(x, y)dxdy , D tam giác có đỉnh A(0, 1); B(1, 0) C(1, 1) Khẳng đònh D sau đúng? a) I = ∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = c) I = 1− y 0 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy b) I = ∫ dy ∫ d) I = 1− x 1 f(x, y)dx f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy = 1− x 1− x Câu Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực I = ∫ dy ∫ 1− y ∫ dx ∫ f(x, y)dy ∫ dy ∫ f(x, y)dx 1− y 1− y 0 ∫∫ f(x, y)dxdy , D hình tròn x2 + y2 ≤ 4y Đẳng D thức sau đúng? 2π a) I = ∫ dϕ ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ)dr π c) I = π/2 b) I = sin ϕ ∫ dϕ ∫ ∫ cos ϕ dϕ π d) I = rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ∫∫ f( rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr ∫ dϕ ∫ rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr Câu 10 Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I = ∫ x + y )dxdy , D nửa hình tròn 2 D x2 + y2 ≤ 1, y ≥ , ta coù 2π a) I = π/2 ∫ dϕ ∫ rf(r)dr b) I = ∫ dx ∫ a) I = 0 d) I = ∫ dϕ ∫ f(r)dr 6xey dy b) I = c) I = Câu 12 Tính tích phân kép: I = ≤ x ≤ π / 2; ≤ y ≤ π a) I = π π/2 dϕ ∫ rf(r)dr c) I = π ∫ rf(r)dr ln x Câu 11 Tính tích phân I = ∫ d) I = ∫∫ (sin x + cos y)dxdy , D hình chữ nhật D b) I = −π Câu 13 Tính tích phân keùp: I = c) I = 2π d) I = −2π ∫∫ xy dxdy D hình chữ nhaät ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = b) I = c) I = d) I = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ∫∫ xydxdy D hình chữ nhật ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ Câu 14 Tính tích phân I = D a) I = b) I = c) I = 1/2 ∫∫ e Caâu 15 Tính tích phân I = x+y d) I = 1/4 dxdy D hình vuông ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = e b) I = e2 − c) I = (e − 1)2 d) I = 2(e − 1) ∫∫ (x2 + y2 )dxdy D hình tròn x2 + y2 Câu 16 Tính tích phaân I = ≤ D a) I = π / c) I = π / b) I = 2π / Câu 17 Tính tích phân I = ∫∫ ( x d) I = π / + y ) dxdy D hình troøn x + y ≤ 2 D a) I = − π / b) I = π / Câu 18 Tính tích phân kép I = c) I = π / d) I = π / x + y dxdy D hình vành khăn ≤ x + y ≤ ∫∫ 2 D b) I = π c) I = π d) I = 14 π / a) I = π / Câu 19 Xét tích phân bội ba hình hộp chữ nhật Ω : a1 ≤ x ≤ a ; b1 ≤ y ≤ b ; c1 ≤ z ≤ c Coâng thức sau đúng? a) = ∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz Ω b) a2 b2 ∫ f ( x ) dx ∫ f ( y ) dy ∫ f ( z ) dz a1 ∫∫∫ f ( x ) g ( y ) h ( z ) dxdydz b1 = Ω c) = Ω d) a2 = ∫∫∫ xydxdydz c2 b2 c1 b1 Ω ∫ f ( x ) dx ∫ g ( y ) dy ∫ h ( z ) dz b1 c1 b2 c2 a1 b1 c1 ∫ xdx + ∫ ydy + ∫ zdz ∫ xdx ∫ ydy ∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = c2 a2 Caâu 20 Xác đònh cận tích phân c1 b2 a1 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz c2 Ω a) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz c) I = 2− x 1 d) I = 0 1− x − y ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz b) I = 8π c) dxdydz ∫∫∫ x2 + y2 Ω I = 4π 2 Caâu 21 Cho Ω miền x + y ≤ ;0 ≤ z ≤ Tính a) b) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz Ω miền giới hạn mặt I =π d) Câu 22 Cho miền Ω giới hạn mặt: z = − x − y , z = Đặt I = 2 ∫∫∫ a) I = c) I = 4−r 0 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz 2π ∫ sin ϕ d ϕ ∫ r b) I = 2π dr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz ∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz d) I = Câu 23 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ I = 2π 4−r 0 ∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ , z ) dz ∫∫∫ cos 4−r 2 4−r f ( x , y , z ) dxdydz Ω Chuyển sang tọa độ trụ xác đònh cận tích phân, ta có 2π I = 2π x + y dxdydz Ω miền giới hạn 2 Ω mặt z = − x − y 2 vaø z = -8 phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) I = c) I = 2π 1− r 0 −8 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz 2π −8 0 b) I = ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz d) I = 2π −8 1− r ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz 0 2π 0 −8 ∫ d ϕ ∫ dr ∫ r cos rdz Câu 24 Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu xác đònh cận tích phân I = ∫∫∫ x + y + z dxdydz , Ω Ω miền x + y + z ≤ , z ≥ a) I = 2π π ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ c) I = π 0 ∫ d ϕ ∫ r dr π 0 π b) I = ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ π /2 ∫ sin θ d θ d) I = 0 2π π /2 0 ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ d θ Câu 25 Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu xác đònh cận tích phaân I = ∫∫∫ f ( x + y , z ) dxdydz , Ω 1/2 hình cầu x + y + z ≤ R , x ≥ Ω a) I = b) I = 2π π /2 R 0 π /2 π R ∫ dϕ 2 ∫ sin θ d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ 2 ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ −π / c) I = π R ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ d) I = π π /2 − f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ π R ∫ d ϕ ∫ sin θ d θ ∫ ρ π /2 f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ −R Câu 26 Tính tích phân đường I = ∫ ( x + y ) dl , C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ C a) I = c) I = / b) I = Caâu 27 Tính tích phân đường I = d) I = ∫ ( x − y ) dl , C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ C b) I = − a) I = Câu 28 Tính tích phân đường I = ∫ (2 x + y c) I = d) I = ) dl C đoạn thẳng nối điểm C A(0, 0) vaø B(1, 1) b) I = a) I = Câu 29 Tính tích phân đường I = c) I = d) I = 2 ∫ ( 26 x + y ) dl C đoạn thẳng có phương trình C x + y + = noái A(0, –1/4) vaø B(1, –1) a) I = –10 b) I = c) I = 10 Câu 30 Tính tích phân đường I = d) I = –8 ∫ xydl C đường biên hình vuông ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ C a) I = b) I = 16 c) I = 24 Câu 31 Cho điểm A(0, 1) B(1, 1), tính tích phân đường I = ∫ ( xy + x d) I = 36 + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường y = từ điểm A đến B AB a) I = b) I = –4 Câu 32 Tính tích phân đường I = c) I = ∫ ( xy + x d) I = –3 + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường x = từ AB điểm A(2, 1) đến B(2, 0) phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) I = b) I = –2 c) I = Caâu 33 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I = d) I = –3 ∫ xydx + x dy lấy theo đường x + y = từ gốc toạ độ O OA đến A a) I = b) I = c) I = Câu 34 Cho điểm A(0, 1) B(1, 1), tính tích phân đường I = ∫ ( xy + x d) I = + 1) dx − ( xy + y − 1) dy lấy theo đường y = từ điểm A đến B AB a) I = b) I = -4 c) I = Câu 35 Cho điểm A(0, 1) B(1, 0), tính tích phân đường I = d) I = –3 ∫ ( y + x + 1) dx + ( y − 1) dy AB lấy theo đường y = -x + từ điểm A đến B a) I = b) I = c) I = Caâu 36 Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I = ∫ xydx + x d) I = 2 dy lấy theo đường x + y = gốc toạ độ O OA đến A a) I = b) I = c) I = Câu 37 Tính tích phân đường I = ∫ ( xy d) I = − 1) dx + ( yx + ) dy lấy theo đường y = 2x2 từ gốc toạ độ O đến OA A(1, 2) a) I = b) I = Câu 38 Tính I = c) I = ∫ xydx − (3 x d) I = − y ) dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) ñeán A(–1, –1) OA a) I = –1 b) I = Câu 39 Tính I = ∫ (x − y) c) I = –2 d) I = dx + ( x + y ) dy laáy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0) OA a) I = b) I = c) I = 27 d) I = 18 Caâu 40 Cho C hình tròn x + y = Tính tích phân đường loại hai I = 2 ∫ ydx + xdy C a) I = 6π b) I = 3π c) I = 9π d) I = Câu 41 Tích phân đường sau không phụ thuộc vào đường trơn khúc nối A B? a) I = ∫ x( x dx − y ) dy b) I = AB c) I = ∫x ∫x dx + y dy dy + y dx AB dy − y dx d) I = AB ∫x AB Caâu 42 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ ds , S mặt z = 3,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ S a) I = b) I = Câu 43 Tính: I = c) I = d) I = 12 ∫∫ ( x − y + z ) ds , S mặt x − y + z − = ,1 ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ S a) I = b) I = Caâu 44 Tính tích phân mặt loại một: I = d) I = c) I = 12 ∫∫ ds , S mặt z = x ,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ S a) I = c) I = b) I = Câu 45 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ xyds d) I = 2 , S mặt z = x , ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ S a) I = b) I = Câu 46 Tính tích phân mặt loại một: I = c) I = 5/2 d) I = 5/4 ∫∫ xds , S mặt hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1] S a) I = b) I = c) I = d) I = 12 phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Caâu 47 Tính tích phân mặt loại một: I = ∫∫ ( x + y + z ) ds , S mặt hình lập phương S [0,1]x[0,1]x[0,1] a) I = b) I = Caâu 48 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ zdxdy d) I nhận giá trò khác S mặt mặt ≤ x ≤ , ≤ y ≤ , z = S a) I = b) I = Câu 49 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ zdxdy d) I = S mặt mặt ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 3, z = S a) I = b) I = Câu 50 Tính tích phân mặt I = c) I = ∫∫ dxdy d) I = S mặt đònh hướng với pháp vector đơn vò dương S (2/3, -2/3, 1/3) mặt x − y + z = 1, ≤ x ≤ , ≤ y ≤ a) I = b) I = c) I = d) I = Câu 51 Cho S mặt biên miền Ω R3, dùng công thức Gauss – Ostrogradski biến đổi tích phân mặt sau sang tích phân bội 3: I = ∫∫ ( y dzdy + z dxdz + x dydx ) S a) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz b) I = Ω ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz c) I = Ω ∫∫∫ dxdydz d) I = Ω Câu 52 Cho S mặt phía hình cầu tích V Ta có a) V = ∫∫ dydz + dxdz + dxdy b) V = ∫∫ xdydz S c) V = + ydxdz + zdxdy S dydz + dxdz + dxdy ∫∫ S xdydz + ydxdz + zdxdy ∫∫ S d) V = Câu 53 Cho S mặt phía hình lập phương Ω Đặt I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy S a) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz b) I = Ω c) I = ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz Ω ∫∫∫ 3( x + y + z ) dxdydz d) I = Ω ∫∫∫ dxdydz Ω Câu 54 Cho S mặt phía hình caàu W: x + y + z ≤ Đặt I = ∫∫ z dydz + y dxdz + z dxdy Ta coù S a) I = b) I = ∫∫∫ dxdydz ∫∫∫ 3( x W c) I = + y + z ) dxdydz W ∫∫∫ 3( y + z ) dxdydz d) I = W ∫∫∫ 3( y + z ) dxdydz W Câu 55 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( zdxdy + xdydz + ydzdx ) S mặt biên hình hộp S Ω : ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ , ≤ z ≤ a) I = b) I = Câu 56 Tính tích phân mặt I = c) I = 12 ∫∫ ( zdxdy d) I = 24 + xdydz − ydzdx ) S mặt biên hình trụ S Ω : x + y ≤ ,0 ≤ z ≤ a) I = 2π b) I = 8π c) I = 16 π d) I = 32 π Câu 57 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( zdxdy − xdydz + ydzdx ) S mặt biên hình cầu S Ω : x + y + z ≤ a) I = π b) I = 4π / 2 c) I = 8π / d) I = 4π phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n III PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Câu Cho biết phương trình vi phân có nghiệm tổng quát y = Cx ðường cong tích phân sau phương trình qua ñiểm A(1, 2)? a) y = b) y = 3x c) y = 2x d) y = x/2 x Câu Hàm số y = 2x + Ce , C số tuỳ ý, nghiệm tổng qt phương trình vi phân sau ? a) y’ – y = (1 + x)2 b) y’ – y = 2(1-x) c) y’ + y = (1+x)2 d) y’ + y = 2(1-x) Câu Phương trình vi phân sau ñây ñược ñưa dạng phương trình tách biến ? b) x2 (x + y)ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = a) x2 (x + 1)arctgydx + x(1 + y2 )dy = c) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = d) [x2 + (x + y)2 ]ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = Câu Phương trình vi phân sau đưa dạng phương trình tách biến ? a) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − y)dy = b) x2 (x + y)ln ydx − (1 + y2 )(x − 1)dy = c) x2 (x + y)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = d) [x2 + (x + 1)2 ]ln ydx − (1 + y2 )(x + 1)dy = Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '+ a) (x + 1)y = C b) (x + 1) + y = C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) sin x + cos y = C b) sin x − cos y = C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) arcsin x + arctgy = C y =0 x +1 c) C1(x + 1) + C2 y = d) (x + 1)2 + y2 = C dx dy + =0 sin y cos x c) C1 sin x + C2 cos y = dx dy =0 1+x − y2 b) arcsin x − arctgy = C + d) C1 cos x + C2 sin y = c) arctgx + arcsin y = C d) arctgx + ln | y + − y2 |= C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 2xydx + dy = a) x2 y + y = C b) xy2 + y = C c) 2xy + = C d) x2 + ln | y |= C Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1 + y2 )dx + x ln xdy = a) (1 + y2 )x + x ln x = C b) ln | ln x | + arcsin y = C c) ln | ln x | + + y2 = C d) ln | ln x | +arctgy = C (1 − y2 )dx + x ln xdy = Câu 10 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân a) x + y2 + xy ln x = C b) ln | ln x | + arcsin y = C c) ln | ln x | + − y2 = C d) ln | ln x | +arctgy = C Câu 11 Phương trình vi phân sau phương trình đẳng cấp? a) dy x2 + y2 dy 2x + 3y + = b) = dx x+5 dx x+y c) dy x2 + y2 = dx xy d) dy x y + y 2x = dx x2 + y2 y y2 − x x2 −x x x −x a) y = b) y = c) y = d) y = C + ln | x | C + ln | x | C − ln | x | C ln | x | Câu 13 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy ' = y + x a) y = x(C + ln | x |) b) y = x(C − ln | x |) c) y = x / (C + ln | x |) d) y = x / (C − ln | x |) Câu 14 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân tồn phần? Câu 12 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' = a) (ye x − xex )dx + (e x − y2 sin y)dy = ; b) (yex + xe x )dx + (ex + x2 sin y)dy = ; c) (yex + xe y )dx + (ex + y2 sin y)dy = ; d) (ye x − xe y )dx + (e x − y2 sin y)dy = Câu 15 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân toàn phần? b) (y sin x − cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = ; a) (y sin x − cos y)dx + (cos x − x sin y)dy = ; c) (y sin x + cos y)dx + (cos x + x sin y)dy = ; d) (y sin x + cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = Câu 16 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân ydx + xdy = a) xy = C b) y = Cx c) x + y = C d) x − y = C phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu 17 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân tồn phần (y + ex )dx + xdy = a) xy − ex = C b) xy + ex = C c) x + y + ex = C d) x − y + ex = C Câu 18 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân tồn phần (e y + 1)dx + (xe y + 1)dy = a) xy − xe y = C b) xy + xe y = C c) x + y + xe y = C y =0 x C 2C C a) y = b) y = c) y = x x x Câu 20 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' cos x + y = d) x − y + xe y = C Câu 19 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '+ d) y = − C x b) y = Ce tgx c) y = C + e tgx a) y = Ce−tgx Câu 21 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '− 3y = d) y = eC.tgx b) y = C − e3x c) y = Ce3x a) y = Ce−3x Câu 22 Phương trình y '− y cos x = có nghiệm tổng quát là: d) y = C + e3x a) y = Cxe− cos x b) y = Cx + esin x c) y = C + e− sin x d) y = C.e− sin x Câu 23 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '(1 − e x ) − ex y = C a) y(x − ex ) − ex y2 = C b) y = − ex c) y = C(1 − ex ) d) y = C ln(1 − ex ) y = 4x ln x dạng: x C(x) C(x) C(x) C(x) a) y = b) y = c) y = d) y = − x x x x y Câu 25 Trong phương pháp biến thiên số ta tìm nghiệm tổng quát phg trình y '− = x ln x dạng: x C(x) a) y = b) y = C(x) − x c) y = C(x) + x d) y = C(x)x x Câu 26 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '− 2y = e2x Câu 24 Trong phương pháp biến thiên số ta tìm nghiệm tổng quát phg trình y '+ a) y = (−x + C)e2x b) y = (x + C)e2x c) y = (−x + C)ex d) y = (x + C)e x Câu 27 Xét phương trình vi phân (2x + x)y2dx + y 3x 3dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân ñưa ñược dạng tách biến; c) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp 1; d) (1) phương trình vi phân Bernoulli Câu 28 Xét phương trình vi phân (y2 + 3xy)dx + (7x2 + 4xy)dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân tách biến; c) (1) phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp Câu 29 Xét phương trình vi phân (y2 − 2xy)dx + (x2 − 5xy)dy = (1) Khẳng ñịnh sau ñây ñúng? a) (1) phương trình vi phân đẳng cấp; b) (1) phương trình vi phân tách biến; c) (1) phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp Câu 30 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''− 2y '+ 5y = a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x d) y = C1e x + C2e2x Câu 31 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''+ 4y = a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x d) y = C1e2x + C2 e−2x Câu 32 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 4y ''− 16y = a) y = C1e2x + C2 e−2x b) y = C1e2x + C2e2x c) y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) d) y = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) Câu 33 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''− 22y '+ 121y = phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 10 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n b) y = e−11x (xC1 + C2 ) a) y = e11x (xC1 + C2 ) c) y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x) d) y = (C1 + C2 )e11x Câu 34 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''+ 4y '+ 3y = a) y = C1e x + C2e−3x b) y = C1e−x + C2e−3x c) y = C1e−x + C2e3x d) y = C1e x + C2e3x Câu 35 Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y ''− 2y '+ 2y = 2ex y = x2e2 , nghiệm tổng quát phương trình là: a) y = x2 ex + Cex b) y = Cx2e2 c) y = x2ex + C1ex + C2xex d) y = x2ex + C1ex + C2ex Câu 36 Cho biết nghiệm riêng y ''+ y ' = sin x + cos 2x y = − cos 2x − x cos x , nghiệm tổng quát phương trình là: b) y = cos 2x + x cos x + C1e x + C2e−x a) y = C1 cos 2x + C2x cos x c) y = − cos 2x − x cos x + C1ex + C2 e−x d) y = − cos 2x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x …………………………………………… ðỀ THI A THAM KHẢO Thời gian: 60 phút Câu Tích phân mặt I = ∫∫ dxdy S mặt mặt x2 + S y2 ≤ , z = A I = −9π B I = −3π C I = 3π D I = 9π Câu Tích phân ñường I = ∫ ydl ñó C có phương trình x + y = 1, ≤ x ≤ C A I = B I = 2 C I = 2 D I = Câu Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y′′ − A y = ln x−2 + C1x + C2 x+2 B y = ∫∫ (4 + x2 )2 + x2 = + C1x + C2 x + C1x + C2 dxdy D miền giới hạn 2y ≤ x2 + y2 ≤ 4y, x ≥ C y = ln(x2 + 4) + C1x + C2 Câu Tính tích phân I = 4x D y = −arctg D 3π A I = B I = 3π C I = π D I = Câu Cho Ω miền giới hạn x2 + y2 ≤ π2 , ≤ z ≤ Tính I = ∫∫∫ π cos x2 + y2 dxdydz Ω A I = 9π B I = 4π C I = 4π x2 + y2 D I = ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )dxdydz , Ω Câu Chuyển tích phân sau sang tọa ñộ cầu xác ñịnh cận I = Ω miền ≤ x + y + z ≤ 2π A I = C I = 2 π ∫ dϕ ∫ r4dr ∫ sin θdθ 2π B I = ∫ dϕ ∫ r3dr ∫ sin θdθ 0 2π π 2π ∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ D I = π 2 π ∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 11 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n Câu Tính tích phân đường loại I = ∫ xdy − ydx AB lấy theo đường AB x2 + y = nằm góc phần tư thứ hai theo chiều dương π π A I = B I = 2π C I = π D I = − 2 Câu Cho hàm z = x − y − cos x − 32y , khẳng ñịnh sau ñây ñúng? A z có cực đại cực tiểu B z khơng có điểm dừng C z đạt cực tiểu N(0;–2) D z ñạt cực ñại M(0; 2) Câu Tính tích phân I = − ∫∫ dxdy D giới hạn y = x2 , y = −x2 − 2x D 5 1 A I = − B I = C I = D I = − 6 6 2 Câu 10 Cho điểm A(2; 2) Tính tích phân ñường loại I = ∫ (2xy + 3x + 2)dx + (2x y + y − 2)dy lấy theo OA x từ gốc tọa ñộ O ñến A A I = 24 B I = 16 ñường y = C I = D I = Câu 11 Tìm vi phân cấp hai hàm hai biến z = x + x sin y 2 A d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2 B d2z = cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2 C d2z = 2dx2 + sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2 D d2z = 2dx2 − sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2 Câu 12 Tìm độ dài cung tròn có phương trình x2 + y2 = 242 thỏa ñiều kiện − 3.x ≤ y ≤ x A l = π π D l = 7π f(x, y, z)dxdydz , Ω tứ diện ñược giới hạn mặt phẳng B l = 14π Câu 13 Xét tích phân I = ∫∫∫ C l = Ω x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = ðẳng thức sau ñây ñúng? A I = 1− x ∫ dx ∫ C I = dy 1− z ∫ dz ∫ 1− x − y ∫ B I = f(x, y, z)dz 1− y ∫ dy ∫ 0 1− y − z dz ∫ f(x, y, z)dx 1− x − z dx ∫ f(x, y, z)dy D Các đẳng thức Câu 14 Tính diện tích S mặt x = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 2π Câu 15 Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng định sau ñây ñúng? A S = 2π B S = π b A d a b a B c d ∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy D a c d b ∫∫ [f(x)g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D D S = b ∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy D C C S = π D c d ∫∫ [f(x) + g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy D a c Câu 16 Cho biết nghiệm riêng phương trình vi phân y′′ + 2y′ + 26y = 29e y = e , tìm nghiệm tổng quát phương trình? x x A y = 29e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x) B y = e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x) C y = 29e x + C1e−x + C2e5x D y = e x + C1e−x + C2e5x Câu 17 Xác định cận tích phân I = ∫∫ f(x, y)dxdy D giới hạn ñường D phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 12 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n x = 3, x = 5, 3x − 2y + = 0, 3x − 2y + = 3x + A I = ∫ dx ∫ ∫ dx ∫ D I = f(x, y)dy 2y −1 ∫ dx ∫ ∫∫ (x + y + z)dS f(x, y)dy 3y − 3 Câu 18 Tính tích phân mặt loại I = f(x, y)dy 3x + 3y −1 3 ∫ dx ∫ 2y − C I = B I = f(x, y)dy 3x +1 3x +1 S mặt S x + y + z = 1, ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ A I = B I = C I = D I = − 2 Câu 19 Cho miền Ω giới hạn mặt z = − x − y , z = ðặt I = ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz Chuyển sang Ω tọa ñộ trụ xác ñịnh cận tích phân, ta có: 2π A I = C I = − r2 ∫ dϕ ∫ rdr ∫ 2π f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz B I = ∫ dϕ ∫ 0 0 2π 4 − r2 2π ∫ dϕ ∫ rdr ∫ 0 f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz D I = − r2 dr ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz 0 − r2 ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr ∫ 0 f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz Câu 20 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x y + 1dx + y x + 1dy = ? ( ) A ln x + C ( x2 + − ln y + x2 + + ) y2 + = C B x2 + y2 + ( y2 + = C D ln x + =C ) ( ) x2 + + ln y + y2 + = C Câu 21 Tìm vi phân cấp hàm z = arctg(y − x) A dz = dy − dx + (x − y) B dz = Câu 22 Tính tích phân I = ∫∫ dx + dy + (x − y) C dz = dx − dy + (x − y) D dz = −dx − dy + (x − y)2 x2 + y2 dxdy , D phần hình tròn x2 + y2 ≤ thuộc góc phần tư thứ D 2π 4π 3π 8π A I = B I = C I = D I = 3 Câu 23 Tính tích phân I = ∫∫ (x + 2y + z)dS , S mặt x + 2y + z − = 0, x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ S 6 B I = C I = D I = Câu 24 Tính tích phân I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , S mặt bên elipsoid A I = S 2 y z + ≤ A I = 144π B I = 32π Ω : x2 + Câu 25 Tính tích phân I = C I = 8π D I = 36π ∫∫ zdxdy , S mặt mặt z = ñược giới hạn x + y ≤ 1, x ≥ 0, ≤ y ≤ S với vector pháp tuyến theo chiều dương A I = B I = C I = D I = …………………………Hết……………………… phuongphaphoctap.tk phuongphaphoctap.tkTrang 13 Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ...  ;  3   3  2 Câu 31 Tìm cực trị hàm z = 3x + 4y với ñiều kiện x + y = phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n a) z ñạt cực ñại M(3/5, 4/5);... f(x)dx + ∫ g(y)dy c d b d) c d ∫∫ [ f(x)g(y) ] dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy D a c phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n 14 x ∫ dx ∫ f(x, y)dy Kết sau... = −2π ∫∫ xy dxdy D hình chữ nhật ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ D a) I = b) I = c) I = d) I = phuongphaphoctap. tk phuongphaphoctap. tkTrang Nguye~n Nguye~n Tro.ng Tro.ng Nha^n Nha^n ∫∫ xydxdy D hình chữ nhật ≤
- Xem thêm -

Xem thêm: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A3, CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A3