http://www.truongtructuyen.vn GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (2,0đ) Cho hàm số: x+2 y= (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Bài giải  3 TXÐ: ¡ \ −   2 Sù biÕn thiên Tìm tiƯm cËn ®øng: lim ± x →− x+2 = ⇒ ®å thÞ hàm sè (1) có tiƯm c Ën ngang y = 2x + 3 3  < v íi ∀x ≠ − ⇒ hàm sè ln nghịch biến trờn ; ữv 2 Tìm tiƯm cËn ngang: lim x →±∞ Tính y' = −1 ( 2x + ) Bảng biến thiên Đồ thị: bảng biến thiên phụ Vẽ đồ thị: x+2 = đồ thị hm số (1) cú ti Ưm cËn ®øng x = − 2x + 2    − ; + ữkhụng cú cực trị http://www.truongtructuyen.vn y x -4 -3 -2 -1 -2 -4  1 Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận điểm I  − , ÷làm tâm đối xứng  2 Gäi A ( a;0 ) ∈ Ox; B ( 0;b ) ∈ Oy theo gi¶ thiÕt ta có: |a| = |b| ng vỡ hm số nghịch biến nờn tiÕp tun chØ có thĨ có d¹ng y = kx + m víi k < nên a = b x y Phương trỡnh đường thẳng AB: + = a b  x+2  2x + = − x + a x y  ⇔ + = ⇔ y = − x + a tiÕp xúc víi (1) ⇔  a a  −1 = −1  (2x + 3)2   x = −1 ⇒ a = (lo¹i) −1 = −1 ⇔ 2x + = ±1 ⇔  (2x + 3)  x = −2 ⇒ a = −2 VËy ph­¬ng trình tiÕp tun cđa (1) y = −x − Câu II: (2,0 đ) ( − sinx ) cosx = + sinx ) ( − sinx ) Giải phương trình: ( Tõ ph­¬ng trình http://www.truongtructuyen.vn Giải phương trình: 3x − + − 5x − = ( x ∈ ¡ ) Bài giải π   x ≠ − + k2π   1 + 2sinx ≠ 7π sinx ≠ −  §iỊu kiƯn :  ⇔  + k2π ⇔ x ≠ 1 − sinx ≠ sinx ≠   π   x ≠ + k2π  ( − sinx ) cosx ( + sinx ) ( − sinx ) = ( ⇔ cos x − sin x cos x = − sinx + 2sinx − 2sin2 x ( ) ⇔ cosx − 2sinxcosx = −2sin2 x + sinx +1 ⇔ cos x − sin x = cos 2x + sin 2x 3 cos x − sin x = cos 2x + sin2x 2 2 π  π  ⇔ sin  − x ÷ = sin  + 2x ÷ 6  3  ⇔ π 6 − x = ⇔ π − x = 6  π + 2x + k2π ⇔ 2π − 2x + k2π π k2π   x = − 18 +   x = π + k2π ( lo¹i )   ) http://www.truongtructuyen.vn 2) 3x − + − 5x − = ÐỈt 3x − = u ⇒ 3x − = u3 − 5x = v ≥ ⇒ − 5x = v  u = − v 2u + 3v =  ⇔  3 5u + 3v = 5  − v  + 3v =   ữ 3 Giải phương trình:  − v ÷ + 3v =   ⇔ 135v − 1104v + 2880v − 2496 = ( ) ⇔ ( v − ) 135v − 564v + 624 = ⇔v=4 Vì 135v − 564v + 624 = u = −2 ⇔ − 5x = 16 ⇒ x = −2 Câu III: (1,0 đ) VN http://www.truongtructuyen.vn π/2 ∫ (cos x − 1)cos Tính tích phân I = x dx Gi¶i I= π/2 ∫ cos5 x dx − π/2 ∫ cos x dx = I1 − I2 Tính I1 = π/2 ∫ cos x dx = = π/2 ∫ cos x.cos x dx π/2 ∫ ( − sin x ) 2 d(sin x) = π/2 ∫ ( sin ) x − sin2 x + d(sin x)  sin5 x sin3 x  π/2 = − + sin x ÷  0 = − +1= 15 π/2 π/2 Tính I2 = ∫ cos2 x dx = ∫ ( + cos 2x ) dx 0 = π/2 π π + sin 2x = 4 Ta : I = I1 I2 = π − 15 Câu IV: (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài giải Hình thang ABCD http://www.truongtructuyen.vn http://www.truongtructuyen.vn Hình thang ABCD µ µ A = D = 900 AB = AD = 2a ⇒ ΙA = ΙD = a ∆AΙB tam giác vuông B = A + AB2 = a + 4a = 5a ∆ vu«ng ΙDC : ΙC2 = a + a2 = 2a Tõ C kỴ CH ⊥ AB CHB tam giác vuông CH = 2a, CD = a ⇒ HB = a BC2 = HC2 + HB2 = 4a + a2 = 5a2 ( ⇒ BIC tam giác cân BC2 = B = 5a ) KỴ ΙK ⊥ CB : TÝnh ΙK a 2 a 9a2 ⇒ BJ2 = BΙ − ΙJ2 = 5a2 − = 2 3a BJ = , BJ.ΙC Ta có BJ.ΙC = ΙK.BC ⇒ ΙK = BC 3a a 3a ΙK = = a 5 ( SΙC ) , ( SΙC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SΙ ⊥ ( ABCD ) Gọi J trung điểm C ΙJ = · IK ⊥ BC ⇒ SK ⊥ BC ⇒ SKI = 600 3a ⇒ SΙ = ΙK.tan 600 = ( AB + CD ) AD = ( 2a + a ) 2a = 3a2 DiÖn tÝch ABCD = 2 3 3a 3a 3a 15 V = 3a2 3= = 5 Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có : (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 Bi gii http://www.truongtructuyen.vn Đặt t = y + z, gi¶ thiÕt suy yz = ( y + z) Vì yz ≤ x + xt ⇒ x ( x + y + z ) = 3yz ≤ ⇒ x + tx ≤ t ⇒ ( 2x + t ) ≤ 4t ⇒ 2x + t ≤ 2t ⇒ 2x ≤ t ( y + z) B§T ph¶i chøng minh ⇔ ( 2x + y + z ) − ( x + y ) ( x + z ) ( 2x + y + z ) + ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) ≤ ( y + z ) ⇔ ( 2x + y + z ) − ( x + y ) ( x + z ) 2x ≤ ( x + z ) 3 ⇔ ( 2x + y + z ) − 6x  x + x ( y + z ) + yz  ≤ ( y + z )   3  x + xt  3 ⇔ ( 2x + t ) − 6x  x + xt +  ≤ 5t   ( ) ⇔ 2t 2x + 3xt − 2t ≤ Vì t >0 ⇔ 2x + 3xt − 2t ≤ t t 3t ⇒ 2x + 3xt ≤ + = 2t 2 2 2 ⇒ 2x + 3xt − 2t ≤ ( ®pcm ) Vì < x ≤ DÊu " = " x¶y ⇔ x = y = z > Phần riêng (3,0) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng: ∆: x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính ng trũn ú Bi gii http://www.truongtructuyen.vn Phần riờng câu 6a (1) I giao cña AC BD nên M' ®èi xøng víi M quaIthì M' ∈ CD xM + xM' + xM'    xI = 6 =    2 ⇔  xM' = 11 ⇔    yM' = −1  y = yM + yM' 2 = + yM'  I     ' MỈt khác: ME ⊥ IE nên: u ur u uu u r EM' IE = ⇔ (11 − uE )(xE − 1) − (1 + y E )(yE − 5) = 2 ⇔ xE + 12xE − 11 − yE + 4yE + = 2 ⇔ xE − yE + 12xE + 4yE − = (1) Mà E∈∆ :x + y - =0 ⇔ xE + yE − = (2) Tõ (1) vµ(2) ta cã 2  xE − yE + 12xE + 4yE − =    xE = − yE  −79   yE = 18   169 −79  ⇔ →E  ; ÷ 169  18 18  x =  E 18  u u  −29 −61  ur ' ME = ; ữlà vectơ ph­¬ngcđa AB  18 18  r r hay uAB = (29; 61) ⇒ nAB = (61; − 29) ⇒ Phương trỡnh đường AB : 61(x 1) 29(y − 5) = ⇔ 61x − 29y + 84 = http://www.truongtructuyen.vn 6a2 Ph­¬ng trình (C) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = 2 ⇒ T©m Ι ( −2 ; − ) ; bán kính R = Kẻ H ( ) H trung điểm AB Víi ΙH = d ( Ι / ∆ ) = 4m + m2 Đường thẳng ( ) c ¾t (C) ΙH < R | − 4m | ⇔ < ⇔ 14m2 − 8m − < 1+ m ⇔ − 30 + 30