CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB C điểm đường trịn Tiếp tuyến A C (O) cắt P CH đường cao tam giác ABC (H thuộc AB), M trung điểm CH Chứng minh B, M, P thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC D, E BO cắt DE F Gọi M, N trung điểm AC, BC Chứng minh F, M, N thẳng hàng Bài 3:Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC D, E BO cắt DE F M, N trung điểm AC BC MN cắt DE F Chứng B, O, F thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC, đường cao AH Đường trịn (O) cắt đường tròn (A; AH) P Q Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh điểm P, Q, D, E thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung BC không chứa A Gọi D, E, F hình chiếu M BC, AC AB a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng b) Gọi I, J, K điểm đối xứng M qua D, E, F Chứng minh I, J, K thuộc đường thẳng đường thẳng qua trực tâm H tam giác ABC Bài 6: Cho đường trịn (O) điểm S nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến SA, SB đến đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) D điểm đường tròn (O) ( D khác A B) SD cắt (O) điểm thứ hai E Chứng minh tiếp tuyến (O) D E cắt điểm thuộc đường thẳng AB Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB AC E D Tiếp tuyến D E (O) cắt S Gọi H giao điểm BD CE a) Chứng minh A, S, H thẳng hàng b) SB cắt (O) K Chứng minh đường thẳng DE, AH CK đồng qui điểm Bài 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB C điểm thuộc đường trịn Vẽ Đường trịn đường kính CH cắt (O) F, cắt AB, AC D E Chứng minh đường thẳng CF, AB DE đồng qui Bài 9: Cho đường tròn (O) điểm S nằm ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (O) (A, B hai tiếp điểm) M điểm cung nhỏ AB (MA < MB) Qua M vẽ tiếp tuyến với (O) cắt SA, SB P Q Đường tròn (I) nội tiếp tam giác SPQ tiếp xúc với SP , PQ D E Chứng minh đường thẳng DE, AM SO đồng qui Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E D a) Chứng minh AD AC = AE AB b) Gọi H giao điểm BD CE, K giao điểm AH BC Chứng minh Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 c) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N hai tiếp điểm Chứng minh d) Chứng minh M, H, N thẳng hàng Gợi ý : Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng nhiên bạn dùng phương pháp sau: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh B, C phía AD Suy tia AB AC trùng hay A, B, C thẳng hàng Hoặc dùng phương pháp trùng khít: Dựng đường thẳng qua A C, cắt đường chứa B B’ Sau chứng minh B B’ trùng nhau… Trên vài ý giúp bạn giải tốt dạng toán Bài 1: BC kéo dài cắt AP Q Chứng minh P trung điểm AQ Gọi M’ giao điểm BP CH Chứng minh M’ trung điểm CH Bài 2: Chứng minh tứ giác EFCO nội tiếp, suy ta Chứng minh FN MN song song với AB Bài 3: Chứng minh Bài 4: a) Tự chứng minh b) Chứng minh tứ giác AHFB nội tiếp Suy Chứng minh Từ suy K, H, J thẳng hàng Bài 5: Gọi I giao đểm P giao điểm hai tiếp tuyến D E (O) I giao điểm OP DE Chứng minh Khi chứng minh , suy (1) Chứng minh điểm S, A, I, O, B thuộc đường tròn, suy Từ (1) (2) suy P, A, B thẳng hàng Bài 6: Gọi I giao điểm DE AH Chứng minh K, I, C thẳng hàng Gọi F giao điểm AH BC Chứng minh Suy tứ giác BKIF nội tiếp, suy Mà Suy điểu cần chứng minh Bài 8: Gọi K giao điểm DE SO Chứng minh K, M, A thẳng hàng Chứng minh IKEQ nội tiếp (giống 2) Chứng minh IPOQ nội tiếp Chứng minh KM// PI MA // PI Suy điều cần chứng minh Bài khó nhất, chứng minh điểm M, H, N thẳng hàng! Em tìm PP chứng minh, dài dòng, mong Thầy post lên pp ngắn gọn em cảm ơn Thầy! Chứng minh hay rồi, đơi cách dài dịng tốn thời gian ít, cịn cách ngắn gọn tốn thời gian nhiều đơi khơng có lợi thi Bài 9: d) Chứng minh Suy Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Từ ta có thẳng hàng$ PS: Ý tưởng thầy nói đầu rồi, hay sử dụng Bài 7: Gọi O giao điềm CF AB I trung điểm CH Chứng minh ( chứng minh I trực tâm tam giác OCP) Chứng minh Suy P thuộc DE CHUYÊN ĐỀ : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN THI HSG Trong SGK hình học lớp có tốn sau đây: Bài tốn 1: Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ cắt (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt (O) C D Chứng minh MA.MB = MC.MD Gợi ý: Chứng minh tốn khơng khó cách xét hai trường hợp M nằm nằm đường tròn (O) Trong trường hợp chứng minh tam giác MAC tamg giác MCD đồng dạng, từ ta suy kết cần chứng minh Qua tốn ta chứng minh tốn sau: Bài tốn 2: Nếu M khơng nằm đường trịn (O; R), đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) A B Khi tích MA MB không đổi Gợi ý: Chứng minh toán cần vẽ đường thẳng qua M O cắt (O) C, D Sau chứng minh tương tự toán ta kết Bài toán cho ta ý tưởng để giải tốn họ đường trịn qua điểm cố định Ta xét toán sau: Bài toán ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (O) M N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O Gợi ý: Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tia đối tia AO Ta có khơng đổi A (O) cố định Hơn P thuộc tia đối tia AO cố định nên P điểm cố định Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB dây cung cố định E trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn tâm O bán kính OE P Q Chứng minh tích AP AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ qua điểm cố định Gợi ý: Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 Vì E trung điểm AB nên OE vng góc với AB, suy AB tiếp tuyến (O; OE) Ta chứng minh không đổi Gọi I giao điểm đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ AB Khi ta có: khơng đổi Suy I điểm cố định Bài tốn 5: (HSG Q Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tuyến ABC (B, C thuộc (O)) Chứng minh cát tuyến thay đổi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường thẳng cố định Gợi ý: Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC AO Tương tự hai ta chứng minh E điểm cố định Từ suy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường trung trực OE Bài tập Bài 1: Cho đường tròn (O) đường thẳng d không cắt (O) M điểm thay đổi d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB đến (O) (A, B hai tiếp điểm) Chứng minh AB qua điểm cố định Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm S cố định nằm ngồi đường trịn AB đường kính thay đổi SA, SB cắt (O) C D a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB qua điểm cố định b) Chứng minh CD qua điểm cố định Bài 3: Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi qua A B CP, CQ tiếp tuyến (O) (P, Q tiếp điểm) Chứng minh rằng: a) P, Q thuộc đường tròn cố định b) Trung điểm M PQ ln thuộc đường trịn cố định CHUN ĐỀ : BÀI TỐN TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M điểm thuộc đường thẳng BC a) Chứng minh: b) Gọi I K hình chiếu B C AM Chứng minh: Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Giải: a) Vẽ Khi ta có: b) Ta có Hệ 1: Cho tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC trung điểm BC Hệ 2: Cho tam giác ABC, điểm M Khi AM qua trung điểm BC Hệ 3: Cho tam giác ABC, G điểm Khi G trọng tâm tam giác ABC Bài toán 2: Cho tam giác ABC D E hai điểm thuộc cạnh AB AC Khi Giải: Theo tốn ta có: Suy ra: Chú ý: Kết tốn cịn D, E thuộc đường thẳng AB AC Hệ 1: Nếu hai tam giác ABC MNP có Hệ 2: Tỉ số hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Nghĩa là: tam giác ABC tam giác MNP đồng dạng thì: Trên vài kết diện tích mà cách chứng minh đơn giản lại có nhiều ứng dụng hay Sau vài ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC M trung điểm AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AC = AN Gọi K giao điểm BN CM Chứng minh KC = 4KM Hướng dẫn giải: Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Ta có Suy , suy Bài 2: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác AO, BO, CO cắt BC, AC AB M, N, P Chứng minh: Hướng dẫn giải: Ta có: Chứng minh tương tự ta có: Từ suy ra: Bài 3: Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE ACFG có diện tích Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác ABC Chứng minh OC qua trung điểm DF Hướng dẫn giải: Ta cần chứng hai tam giác OCD OCF có diện tích Vẽ Vẽ OH, OK vng góc với CD CF(H thuộc CD, K thuộc CF) Ta chứng minh Từ suy ra: Mà nên ta có: Từ ta có: OC qua trung điểm DF Bài 4: Trên cạnh AB, AB, AC tam giác ABC cố định, người ta lấy điểm M, N, P cho: a) Tính theo Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 b) Tính k cho Hướng dẫn giải đạt giá trị nhỏ Ta có: Vì Do đó: Chứng minh tương tự ta có: Từ ta có: b) Vì diện tích tam giác ABC khơng đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ đạt giá trị nhỏ Ta có Dấu xảy k = Vậy diện tích tam giác MNP lớn diện tích tam giác ABC k = Bài tập làm thêm Bài 1: Chứng minh lại hệ nêu phần Tìm cách chứng minh khác Bài 2: Cho tam giác ABC có Đường cao BH CK Chứng minh Bài 3: Cho tam giác ABC, cạnh AB AC lấy điểm M N cho: AB = 3AM, AC = 3CN BN CM cắt O, AO cắt BC P.Tính Bài 4: Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh rằng: (Định lí Ceva) Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b BC = a AD, BE CF đường phân giác a) Tính BD, CD theo a, b, c b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c diện tích tam giác ABC c) Chứng minh diện tích tam giác ABC lớn lần diện tích tam giác DEF d) Phát biểu chứng minh toán tổng quát Bài 6: Cho tam giác ABC, G điểm nằm tam giác Gọi D, E, F hình chiếu G BC, AC AB Trên tia GD, GE, GF lấy điểm M, N, P cho Chứng minh G trọng tâm tam giác MNP Bài 7: Cho tam giác ABC có G trọng tâm M điểm nằm tam giác GM cắt đường thẳng AB, AC BC D, E, F Chứng minh rằng: Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Bài 8: Cho hình vng ABCD có AB = 6cm Trên cạnh BC lấy M cho BM = 2CM Đường thẳng qua B vng góc với DM H cắt CD K Tính diện tích tam giác CKH CHUN ĐỀ : BÀI TỐN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm di chuyển cung lớn AB, H hình chiếu M AB Tìm vị trí M để MH đạt giá trị lớn Giải toán trường hợp M thuộc cung nhỏ AB Hướng dẫn giải: Vẽ OI vng góc với AB (I thuộc AB) Ta có Dấu ” =” xảy M, O, I thẳng hàng hay M trung điểm cung AB Vậy MA + MB đạt giá trị lớn M trung điểm cung AB Tương tự trường hợp M trung điểm cung nhỏ AB Bài 2: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định M điểm thay đổi cung nhỏ AB Tìm vị trí M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải: Trên tia đối tia MA lấy điểm C cho MB = MC Khi ta có MA + MB = AC Ta có Suy C thuộc cung chứa góc dựng đoạn AB Từ AC lớn AC đường kính Khi M trung điểm cung AB Vậy MA + MB lớn M trung điểm cung AB Trên hai toán cực trị lớp 9, từ hai toán ta giải tốn sau: Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định C điểm thay đổi cung lớn AB Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm vị trí C để chu vi, diện tích tam giác HAB có giá trị lớn Bài 2: Cho đường trịn (O) AB dây cố định Tìm điểm C thuộc cung lớn AB cho đạt giá trị nhỏ Bài 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn (O) hình vng có chu vi lớn Page CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Bài 4: ( CT NK 2007 - 200 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P điểm cung BC không chứa điểm A Hạ AM, AN vng góc với PB, PC a) Chứng minh MN qua điểm cố định P thay đổi b) Xác định vị trí P cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm M.Đường tròn tâm D qua M tiếp xúc với AB B đường tròn tâm E qua M tiếp xúc AC C cắt I a) Tìm vị trí M để DE có giá trị nhỏ b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn CHUYÊN ĐỀ : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta có cách sau: Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối Cách 2: Chứng minh góc ngồi góc đỉnh đối Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể nhìn cạnh hai góc Cách 4: Chứng minh đỉnh cách điểm Các cách chủ yếu cách chứng minh dựa vào chứng minh góc Ngồi cách có vài điều kiện đủ khác để tứ giác tứ giác nội tiếp Chúng ta xét toán sau: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC Gợi ý: Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp : chứng minh đẳng thức cạnh Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau: Bài 2: Cho đườn tròn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Hướng dẫn giải: Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC Thật ta có: (hệ thức lượng tam giác vng APO) (tam giác APB ACP đồng dạng) Page CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10 Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có Từ ta có , chứng minh tương tự ta có tứ giác ADOE nội tiếp Bài tập Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) điểm I nằm đường tròn Hai dây cung AB CD qua I Tiếp tuyến A B cắt P, tiếp tuyến C D cắt Q Gọi M giao điểm OQ CD, N giao điểm OQ AB Chứng minh: a) Tứ giác MNPQ nội tiếp b) OI vng góc với PQ Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD) Gọi O trung điểm AD Đường thẳng qua A vng góc với OB cắt đường thẳng qua D vng góc với OC K Chứng minh OK vng góc với BC CHUN ĐỀ : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN Để chứng minh đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn ta dùng cách sau đây: Cách : Chứng minh khoảng cách từ O đến d R Hay nói cách khác ta vẽ , chứng minh Cách 2: Nếu biết d (O) có giao điểm A, ta cần chứng minh Trên hai cách chủ yếu, ngồi cịn có cách sau Cách 3: Cách dựa toán phụ sau:  Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia Ax thỏa (Ax phía với tia AC đường thẳng AB) Khi Ax tia tiếp tuyến (O) Cách thường dùng để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Cách ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít - phương pháp hiệu để chứng minh toán đảo Và phương pháp dùng nhiều tốn chứng minh tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác Page 10 ... nên ta có Chứng minh tương tự ta có Tam giác DEF cân DE = DF, ED = EF FD = FE PA = PB, PB = PC PC = PA P thuộc đường trung trực AB, BC AC Vậy tam giác DEF cân P nằm đường trung trực AB, BC AC tam... trục hình thang) nên tam giác vuông cân, suy Tam giác ABC cân A, suy $latex =\widehat{MBC} + \widehat{MBC} + \widehat{ABM}$ Suy Từ ta có Và Bài 7: Cho đường trịn (O), bán kính Tam giác ABC thay... C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có Từ ta có , chứng