ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008-2009 TỈNH LẠNG SƠN Câu 1 (2 điểm) a) Với x > 1, rút gọn biểu thức: 4 3 2 x 2x x A x 1 − + = − ; 1 x 2 x B 1 1 x 1 x 1    − = + −  ÷ ÷ + −    b) Tìm x để tích A.B = 8 Giải: a) Với x > 1 ta có: ( ) 2 2 4 3 2 2 x (x 2x 1) x 2x x A x 1 x 1 x(x 1) x(x 1) x x 1 x 1 − + − + = = − − − − = = = − − 1 x 2 x 1 x x 1 2 x x 1 B 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 . x 1 x 1 x 1       − − + + − + = + − =  ÷ ÷  ÷ ÷ + − + −       + = = + − − Vậy A = x ; 2 B x 1 = − b) Vì A.B = 8 và x > 1 nên: 2 x. 8 x 1 = − 2x 8 x 8⇔ = − 2 x 4 x 4 0 ( x 2) 0 x 2 ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = x 4⇔ = (thoả mãn điều kiện x > 1) Vậy x = 4 Câu 2: (1 điểm) a) Hãy biểu diễn hai điểm A(2; 3); B(-2; -1) trên mặt phẳng toạ độ. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B. Giải a) Biểu diễn điểm A, B trên mặt phẳng toạ độ Oxy: b) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a ≠ 0) (d) Theo đầu bài A ∈ (d) ⇒ 3 = 2a + b (1) B ∈ (d) ⇒ -1 = -2a + b (2) Từ (1) và (2) giải hệ: 2a b 3 2b 2 b 1 2a b 1 2a b 3 2a 1 3 + = = =    ⇔ ⇔    − + = − + = + =    b 1 a 1 2a 2 b 1 = =   ⇔ ⇔   = =   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1 Câu 3: (2 điểm) Cho phương trình (ẩn x) : x 2 – 2(m + 1)x + m 2 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 sao cho: x 2 – x 1 = 3, khi đó tính x 1 , x 2 . Giải a) Khi m = 1 ta có: x 2 – 4x + 1 = 0 ∆’ = 4 – 1 = 3 1 2 x 2 3 x 2 3 = − = + Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 x 2 3 ; x 2 3= − = + b) Ta có: 2 2 2 2 ' (m 1) m m 2m 1 m 2m 1 ∆ = + − = + + − = + Phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 ⇔ ∆’ ≥ 0 ⇔ 2m + 1 ≥ 0 ⇔ 1 m 2 − ≥ Với 1 m 2 − ≥ phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi đó theo Viét ta có: x 1 + x 2 = 2(m + 1); x 1 x 2 = m 2 theo đầu bài: x 2 – x 1 = 3 ⇔ (x 2 – x 1 ) 2 = 9 (bình phương 2 vế) ⇔ 2 2 1 2 1 2 x x 2x x 9+ − = ⇔ ( ) 2 1 2 1 2 x x 4x x 9+ − = ⇔ 4(m + 1) 2 – 4m 2 = 9 ⇔ 4(m 2 + 2m + 1) – 4m 2 = 9 ⇔ 4m 2 + 8m + 4 – 4m 2 = 9 ⇔ 8m = 5 ⇔ 5 m 8 = (thoả mãn 1 m 2 − ≥ ) Với 5 m 8 = ta có: 2 1 2 1 5 x x 2 1 8 x x 3    + = +   ÷     − =  2 1 2 2 1 1 2 13 25 x x 2x 4 4 x x 3 x x 3   + = =   ⇔ ⇔     − = = −   2 1 1 2 25 1 x x 8 8 25 1 25 x 3 x 8 8 8   = =     ⇔ ⇔     = − = =     Vậy 5 m 8 = và 1 2 1 25 x ; x 8 8 = = Câu 4 (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Hạ DH, EG vuông góc với AB (điểm H, G thuộc AB), DH cắt AC tại K. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp được đường tròn. b) AD 2 = AK.AC c) AE.AC+BE.BD = 4R 2 d) M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính AB. Xác định vị trí của điểm M để MA + MB lớn nhất, tính giá trị đó. Giải: L J K G H E O A B C D M a) Ta có: · 0 ADB 90= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ · 0 ADE 90= · 0 EGA 90= (gt) ⇒ · · 0 ADE EGA 180+ = ⇒ Tứ giác ADEG nội tiếp. Chứng minh tương tự ta có tứ giác BCKH nội tiếp. b) Giả sử DH cắt (O) tại J ta có: AB ⊥ DJ ⇒ sđ º AJ = sđ » AD mà: · º 1 ADJ sdAJ 2 = và · » 1 ACD sdAD 2 = ⇒ · · ADJ ACD= ⇒ · · ADK ACD= Xét ∆ADK và ∆ACD ta có: · · ADK ACD= (cmt) và µ A chung. ⇒ ∆ADK đồng dạng ∆ACD ⇒ 2 AD AK AD AK.AC AC AD = ⇒ = c) Ta có ∆AGE đồng dạng ∆ACB (góc nhọn góc vuông) ⇒ AE AG AE.AC AG.AB AB AC = ⇒ = (1) Tương tự: BE.BD = BG.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC + BE.BD = AG.AB + BG.AB = AB(AG+BG)=AB.AB = 4R 2 Vậy AE.AC + BE.BD =4R 2 d) Hạ ML⊥AB tại L ta có: MA 2 + MB 2 = AB 2 (đl pitago) ⇔ (MA+MB) 2 – 2MA.MB = 4R 2 ⇔ (MA+MB) 2 = 4R 2 + 2MA.MB 2 MA MB 4R 2MA.MB⇔ + = + 2 MA MB 4R 2ML.AB⇔ + = + 2 2 MA MB 4R 4ML.R 2 R ML.R⇔ + = + = + MA+MB lớn nhất ⇔ ML lớn nhất ⇔ ML = R Vậy M là điểm chính giữa của cung AB ⇒ MA+MB = 2 2 2 R R 2R 2+ = Câu 5 (1 điểm) Cho a.b ≥ 1. Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ a + b, dấu bằng xảy ra khi nào ? Giải Xét a.b ≥ 1 ta có: a, b ≥ 0 hoặc a, b <0 Trường hợp 1: với a <0; b <0 hiển nhiên a 2 + b 2 > a + b (loại) Trường hợp 2: với a ≥ 0; b ≥ 0 theo bất đẳng thức coshi ta có: a 2 + b 2 ≥ 2ab mà ab ≥ 1 ⇒ a 2 + b 2 ≥ 2 ⇒ a 2 + b 2 – 2 ≥ 0 Giả sử: a 2 + b 2 ≥ a + b ⇔ 2a 2 + 2b 2 ≥ 2a + 2b ⇔ 2a 2 + 2b 2 – 2a – 2b ≥ 0 ⇔ (a 2 – 2a +1) + (b 2 – 2b + 1) + (a 2 +b 2 – 2) ≥ 0 ⇔ (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (a 2 +b 2 – 2) ≥ 0 luôn đúng Vậy: a 2 + b 2 ≥ a + b Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 ------------Hết----------- Nguyễn Trần Khánh – Phòng GD&ĐT huyện Cao Lộc - Lạng Sơn . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008-2009 TỈNH LẠNG SƠN Câu 1 (2 điểm) a) Với x > 1, rút gọn biểu. ------------Hết----------- Nguyễn Trần Khánh – Phòng GD&ĐT huyện Cao Lộc - Lạng Sơn