SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TỐN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2019 Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A     33  12  37  30  x x  x  12 x   y y 2) Giải hệ phương trình   x  x   y Bài 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x  x  x   m  (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3) cắt parabol  P  : y  x hai điểm A, B Gọi C, D hình chiếu vng góc A, B lên trục Ox Viết phương trình đường thẳng d, biết hình thang ABDC có diện tích 20 Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  y  xy  x  y  20 2) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Bài 4: (4 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (O) cho ADE nằm hai tia AO AB; D, E  (O) Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC, AB P, Q 1) Gọi H giao điểm BC với OA Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp 2) Gọi K điểm đối xứng B qua E Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng Bài 5: (2 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh CB, CD lấy điểm M,   450 Chứng N (M không trùng với B C; N không trùng với C D) cho MAN minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích Bài 6: (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3 b2  c2  a  Hết G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) Ta có A     33  12  37  30  3   33  12  1     33  12   3   33 12 1    3                 12    3 21  12 2) (ĐK: x  0, y  ) 3   x x  x  12 x   y y  x   y  x 2  y  x   y      x  x   x   x  x   y  x  x   y  x  x   y   x   y   x   y  x   y   x    x   y     x 3   x  x   x   x  x    x   y  x     x                     y  1 vo ly  x 1 y 1 x  x    tm  Vậy nghiệm hệ   y 1 y 1 x 3 Bài 2: (4 điểm) 1) Ta có x  x  x   m   x   x   m   *  Đặt t  x   t   Khi (*) trở thành: t  2t  m   ** Do (*) có bốn nghiệm phân biệt  (**) có hai nghiệm dương phân biệt  t  1   m  1  m      Pt    m     1  m  m  1 S  20   t 2) Vì đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3), nên phương trình đường thẳng d có dạng y  kx  Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x  kx   x  kx   * Vì ac  3  , nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) hai điểm A; B, nên hoành độ điểm A, B hai nghiệm (*) x  x  k Theo Vi ét ta có:  A B Lại có A  x A ; x A2  , B  xB ; xB2  , C  xA ;  , D  xB ;  x x    A B Do 20  S ABDC  AC  BD  CD   xA2  xB2    2 x A  xB  x  A  xB  2  xA xB   x A  xB  Đặt t  xA  xB , ta có: t  3 20   t  t  6t  40    t    t  4t  10     t   t       t    G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22  t   x A  xB  16   xA  xB  2  x A2  xB2  x A xB   x A  xB   x A xB   3  k    k   k  2 Vậy phương trình đường thẳng d là: y  x  y  2 x  Bài 3: (4 điểm) 2 1) Ta có: x  y  xy  x  y  20   x  1   x  y    25 2 2 Vì 25  02  52  02   5   32   32   4    3   42   3    4  , nên có trường hợp sau:  x 1   x 1   x 1   x  1  x  1 x  ; )  ; )  ; )     y 4  y  6  y  6 x  y    x  y   5 x  y    x   5  x 1  x 1   x  6 x  x  ; )  ; )  ; )     y  y  x  y   x  y    x  y    y  2 x 1   x   4  x   3 x2  x  5  x  4 ; )  ; )  )      y  8 y   x  y   4 x  y    y  x  y    x 1   x   3  x   4 x3  x  4  x  5 ; )  ; )  )      y  2  x  y   3  y  8  x  y   4  x  y   3  y  Vậy cặp số  x; y  là:  1;  ,  1;   ,  4;   ,  6;  ,  2;  , 3;   ,  2;   ,  5;  ,  4;   3;   ,  4;   ,  5;  Cách khác: x  y  xy  x  y  20  x  3  y  x  y  y  20  * (*) có nghiệm      y    y  y  20     y  y  49   y  y  49    y  1  50  y    1   y  1   8  y  (vì y  Z ) (*) có nghiệm nguyên     y  y  49  k  k  N   y  8;  6;  2; 0; 4; x  x   x  1 *  x  x    x  3x     x  1 x      x  x  *  x  x  24   x  x  12    x   x       x  4  x  5 *  x  x  20   x  3x  10    x   x      x   x  1 *  x  14 x  12   x  x     x  1 x       x  6  x  4 *  x  18x  40   x  x  20    x   x       x  5 +) Với y  8; *  x  10 x  12   x  x     x   x      +) Với y  6; +) Với y  2; +) Với y  0; +) Với y  4; +) Với y  6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000  abcd  9999  3 Ta có abcd   a  b  c  d   1000   a  b  c  d   9999  10  a  b  c  d  21 +) Nếu a  b  c  d  10  abcd  1000  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  11  abcd  1331  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  12  abcd  1728  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  13  abcd  2917  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  14  abcd  2744  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  15  abcd  3375  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  16  abcd  4096  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  17  abcd  4913  nhan  ; G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 +) Nếu a  b  c  d  18  abcd  5832  nhan  ; +) Nếu a  b  c  d  19  abcd  6859  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  20  abcd  8000  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  21  abcd  9261  loai  B Vậy abcd  4913; 5832 E K I Bài 4: (4 điểm) K' Q D P A H O 1) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp C Ta có: AB = AC (AB, AC hai tiếp tuyến (O)), OB = OC (bán kính) Nên OA trung trực BC Xét ABO:  ABO  900 (AB tiếp tuyến (O)), BH  OA (OA trung trực BC)  AB  AH AO a  ABD   AED  sd BD (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây) Xét ABD AEB:   (góc chung) Vậy ABD BAD AEB (g.g)  AB AD   AB  AD.AE  b  AE AB AH AE  AD AO AH AE   chung  Vậy AHD Xét AHD AEO:   cmt  , HAD AD AO    AHD  AEO Do tứ giác OEDH tứ giác nội tiếp (đpcm) Từ (a) (b) suy  AH AO  AD AE  AEO (c.g.c) 2) Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng   Ta có: ODE cân O (do OD = OE)  EDO AHD   AEO  cmt   EDO AEO mà  AHD   EHO  (tứ giác OEDH nội tiếp) Lại có: EDO   900     BHA    EHO   BHD   BHE   AHD  EHO AHD  900  EHO AHD  BHO Nên HB phân giác DHE, mà HA  HB (cmt) nên HA phân giác HD ID AD    c  (I giao điểm HB DE) HE IE AE DP ID DIP, DP // BE (gt)    d  (hệ Ta Lét) BE IE DQ AD ABE, DQ // BE (gt)    e  (hệ Ta Lét) BE AE DP DQ Từ c), d), e)    DP  DQ BE BE DP AD Gọi K’ giao điểm AP BE AEK’, DP // EK’ (gt)   EK  AE DQ DP Từ e), f)   mà DP  DQ  cmt   BE  EK  BE EK  Mặt khác BE  EK  gt   K   K Vậy A, P, K thẳng hàng (đpcm) DHE  f G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Bài 5: (2 điểm) A Tứ giác ABMF: B 45   450  gt  , MBF   450 (BD đường chéo hình vng) MAF E Vậy tứ giác ABMF nội tiếp   AFM  1800   ABM  1800  900  900   450 , AFM:  AFM  900 , FAM K F nên AFM vuông cân F  AF = MF Tương tự AENvuông cân E  AE = NE D M H N C AFH   AEH  900  cmt  (H giao điểm MF NE) Tứ giác AEHF:    MHE   EAF   450 nên tứ giác AEHF nội tiếp  NHF Kẻ EK  MF (K  MF) NFH vng F; EKH vng K nên có:   NH  sin 450 , EK  EH  sin MHE   EH  sin 450 NF  NH  sin NHF Ta có: S MNFE  S MHN  S NHF  S FHE  S EHM 1   HF  EK  HM  HE  sin MHE  HM  NF  HN  HF  sin NHF 2 2   HM  HN  sin 450  HN  HF  sin 450  HF  HE  sin 450  HM  HE  sin 450    HM  HF   HN   HF  HM   HE   sin 450 1  MF   HN  HE   sin 450  MF  NE  sin 450  AF  AE  sin 450  S AEF 2  Bài 6: (2 điểm) Ta chứng minh  a  b  c    ab  bc  ca  * Thật *  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c  ab  bc  ca   2   a  b    b  c    c  a   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  c Áp dụng (*), ta có: 32   ab  bc  ca   ab  bc  ca  2  a  1 b a   a  1  b  1  b  Lại có:   a     b 1 b2  b2  Vì b   2b    a  1   a  1 b  b 1 Tương tự có: Vậy 1  a  1 b   a  1 b   a  1 b    a  1 b    a  1 b   b  2b b2  2b b2   a  1   a  1 b  a 1 ab  b   a  1  b 1  b   b 1 bc  c c 1 ca  a   b  1  ;   c  1  2 c 1 a 1 a 1 b 1 c 1  ab  bc  ca    a  b  c         a  b  c   b 1 c 1 a 1 2 Dấu “=” xảy a  b  c  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 ... Với y  6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000  abcd  99 99  3 Ta có abcd   a  b  c  d   1000   a  b  c  d   99 99  10  a  b  c  d  21 +) Nếu a  b  c  d  10  abcd... ; +) Nếu a  b  c  d  17  abcd  491 3  nhan  ; G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii – TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh – BBM MTT – Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii... t       t    G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii – TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh – BBM MTT – Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg