Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2011 môn TOÁN CHUYÊN – Sở giáo dục đào tạo TỈNH ĐẮK NÔNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐĂK NÔNG KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Khóa ngày 22 tháng 6 năm 2011 MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) a. Giải phương trình: . b. Giải hệ phương trình: Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức: (với ) a. Rút gọn P. b. Tính giá trị biểu thức P biết . Câu 3: (2,0 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): , (m là tham số). a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt I, J với mọi m. b. Xác định m để tam giác OIJ cân tại O (O là gốc tọa độ). Câu 4: (3,0 điểm) Cho AB = 3a, trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho . Hai đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn tâm O đường kính BC lần lượt tại P và Q. a. Chứng minh tứ giác OPAQ nội tiếp. b. Kéo dài OP cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh rằng tứ giác OBEQ là hình thoi. c. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M. Đặt BM = x. ME cắt AQ tại N. Xác định x theo a để tam giác EQN có diện tích bằng . Câu 5: (1,0 điểm) Giả sử phương trình: có 2 nghiệm và phương trình có 2 nghiệm . Chứng minh rằng: . -----Hết------ (Giám thị không giải thích gì thêm). Họ và tên thí sinh: ., SBD: Giám thị 1: , Giám thị 2: 4 2 x 7x 12 0− + = 2 2 4 2 1 1 5 x y 1 5 21 x y + = + = a a a a 1 P . a 1 a(a a 1) + + = + − a 0, a 1> ≠ a 13 48 7 48= − + − 2 1 y x 2 = y mx 3= + 1 AC AB 3 = 2 a 3 16 2 ax bx c 0+ + = 1 2 x , x 2 cx bx a 0+ + = 3 4 x , x 2 2 2 2 1 2 3 4 x 2x x 2x 4 2+ + + ≥ ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH ĐĂK NÔNG Khóa ngày 22 tháng 6 năm 2011 MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Nội dung Điểm Câu 1: a. Đặt t = . Phương trình đã cho trở thành: 0,5 0,25 t = 3 t = 4 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm ; . 0,25 b. Điều kiện: Đặt . Hệ đã cho trở thành: 0,25 hoặc 0,25 Với hệ có nghiệm Với hệ có nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có 8 nghiệm: , 0,25 0,25 Câu 2: a. Ta có: 0,5 0,25 0,25 b. Ta có: 0,5 0,25 0,25 Câu 3: a. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): (1) 0,5 2 , 0t x t= ≥ 2 7 12 0t t− + = 3 4 t t = ⇔ = ⇒ 3x = ± ⇒ 2x = ± 3x = ± 2x = ± . 0x y ≠ 2 2 1 1 ; ( , 0)u v u v x y = = > 2 5 1 4 5 21 u v u v u v + = = ⇔ = + = 4 1 u v = = 1 4 u v = = 1 1 1 1 (1; ), (1; ), ( 1; ), ( 1; ) 2 2 2 2 − − − − 4 1 u v = = 1 1 1 1 ( ;1), ( ; 1), ( ;1), ( ; 1) 2 2 2 2 − − − − 1 1 1 1 (1; ), (1; ), ( 1; ), ( 1; ) 2 2 2 2 − − − − 1 1 1 1 ( ;1), ( ; 1), ( ;1), ( ; 1) 2 2 2 2 − − − − 3 ( 1) 1 . 1 ( 1) a a a P a a a + + = + − ( 1) 1 . 1 ( 1)( 1) a a P a a a a + + = + − + + 1 1 P a = − 13 48 2 3 1− = − 7 48 2 3− = − 3 1a = + 1 3 P = 2 1 3 2 x mx= + 2 2 6 0x mx⇔ − − = ĐỀ CHÍNH THỨC với mọi m 0,25 Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt. 0,25 b. Để tam giác OIJ cân tại O thì OI = OJ. 0,5 0,5 Câu 4: a. Do AP, AQ là tiếp tuyến với (O) nên: 0,5 . Suy ra tứ giác OPAQ nội tiếp. 0,5 b. Vì C là trung điểm của AO nên PC = QC =a. Suy ra tứ giác OPCQ là hình thoi. CP // OQ và CP = OQ = a (1) Do BECP là hình chữ nhật nên: BE // CP và BE = CP = a. (2) 0,5 (1), (2) suy ra: BE//OQ, BE= OQ = a nên tứ giác OBEQ là hình bình hành. Mặt khác OB = OQ = a nên OBEQ là hình thoi. (đpcm) 0,5 c. Kẻ NK AM, NK cắt EQ tại H. Vì QE//AM nên NH EQ và (1) Ta có: Từ (1) suy ra Vậy với x = 2a thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 0,25 0,25 2 ' 6 0m∆ = + > ⊥ ;AP OP AQ OQ⊥ ⊥ ⇒ · · 0 180APO AQO+ = ⇒ ⊥ ⊥ EQ NH MA NK = 2 1 3 3 . 2 16 8 EQN a a S NH EQ NH ∆ = = ⇒ = 3 3 5 3 8 2 8 a a a NK NH HK⇒ = + = + = 1 5 3 5 2 5 EQ MA EQ a x a x a MA = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = 0,25 Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức Côsi Ta có: 0,5 Suy ra: Mặt khác: Do đó 0,5 *Lưu ý: HS có thể làm theo cách khác đúng cũng được điểm tối đa. 2 2 1 2 1 2 2 2 2 | | 2 2 c x x x x a + ≥ = 2 2 3 4 3 4 2 2 2 | | 2 2 a x x x x c + ≥ = 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 2 2 c a x x x x a c + + + ≥ + ÷ 2 . 2 . 2 c a c a c a a c a c a c + ≥ = = 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 4 2x x x x+ + + ≥ . x mx= + 2 2 6 0x mx⇔ − − = ĐỀ CHÍNH THỨC với m i m 0,25 Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghi m phân biệt với m i m. Do đó (P) luôn cắt (d) tại 2 đi m. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 đi m phân biệt I, J với m i m. b. Xác định m để tam giác OIJ cân tại O (O là gốc tọa độ). Câu 4: (3,0 đi m) Cho