SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 10, 11 Khóa thi ngày 03 tháng năm 2019 Mơn thi: Tốn lớp 11 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề có 01 trang) Câu I (5,0 điểm) Giải phương trình: sin x cos x  sin x  Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  x  a  , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b  Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Câu II (3,0 điểm) Cho k số tự nhiên thỏa mãn:  k  2014 k k 1 k 5 k  C51C2014   C55C2014  C2019 Chứng minh rằng: C50C2014 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x2   x2    x4   x2   x2 Câu III (3,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  sin1; un  un 1  sin n , với n  , n  n2 Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân a D với DC  Chứng minh rằng: AD  BC Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) 300 Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với A(2;1) , B (1; 2) , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y   Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác 27 ABC Câu VI (3,0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng:      1 2  1  1   a  b  c  Đẳng thức xảy nào?  2  a b  b  c  c  a  -HẾT - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu MTCT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………… Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu Câu I (5đ) (3đ) (2đ) Nội dung Giải phương trình: sin 3x cos x  sin x  sin x cos x  sin x  (1) Ta có: sin x  (1  cos x) s inx Điểm (1)  ((1  cos x) cos2 x  1) sin x  1.0đ  (1  cos2x)(1+4cos 2 x ) sin x  1.0đ sin x  k  x 1.0đ cos2x=-1 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  3x  a  , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b  Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Gọi q công bội CSN  x2  x1q; x3  x1q ; x4  x1q Theo viet ta có:  x1 (1  q )   x1  x2   x x  a   x1 x2  a     x3  x4  12  x1q (1  q )  12 x x  b  x3 x4  b  Suy q  + q =  x1  , giải a = 2, b = 32 +q = -2  x1  3 , giải a = -18, b = -288 Câu II (3đ) (1.5đ) Cho k số tự nhiên thỏa mãn:  k  2014 k k 1 k 5 k Chứng minh rằng: C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 Ta có: (1  x)5 (1  x)2014  (1  x)2019 M  (1  x)5  C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x5 1.0đ 1.0đ 0.5đ 2013 2013 2014 2014 k N  (1  x) 2014  C2014  C2014 x   C2014 x k   C2014 x  C2014 x 2018 2018 2019 2019 k P  (1  x) 2019  C2019  C2019 x   C2019 x k   C2019 x  C2019 x k 0.5đ Ta có hệ số x P C , P = M.N k Mà số hạng chứa x M.N : k 2019 k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 4 k 4 k 5 k 5 C50C2014 x k  C51 xC2014 x  C52 x 2C2014 x  C53 x3C2014 x  C54 x 4C2014 x  C55 x5C2014 x (1.5đ) k k 1 k 5 k Vậy : C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m  0.5đ   x2   x2    x4   x2   x2 ĐK: 1  x  , Đặt t   x   x , t liên tục  1;1 t   t    x   t   0;  t  t  Pttt: m(t  2)  t  t   m  t2 t  t  ; t  0;  , f (t ) liên tục  0;  Xét f (t )  t2 f '(t )  t  4t  0, t  0; (t  2)   0.5đ 0.5đ 0.5đ  f (t ) nghịch biến  0;  Vậy pt cho có nghiệm thực f ( 2)    m   f (0) Câu III (3đ) Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  sin1; un  un 1  sin n , với n2 n  , n  Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn 1     2, n  N * , 2 n 1 1 1          2 1.2 2.3 n n.(n  1) 1 1 1          2  2 n 1 n n Ta có: 1.0đ sin1 sin sin n    2 n  1 1 Suy : 2         un      2, n  N * n  n 1 Vậy dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Bằng qui nạp ta CM được: un  Câu IV (3đ) (1đ) 1.0đ 1.0đ Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với DC  a Chứng minh rằng: AD  BC Gọi M trung điểm BC, ta có: ABC nên AM  BC , DBC cân nên 1.0đ DM  BC  BC  ( AMD)  BC  AD (2đ) Gọi G trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc hai đường thẳng AG CD, biết góc hai mặt phẳng (ABC) (BCD) 300 Theo gt ta có góc MA MD 300 Kẻ GN//CD, nối AN a +TH1: góc DAM 300, ta có: MD  a  MG  , ABC nên AM  a 0.5đ Áp dụng định lí cosin cho AMG a 13 CD a a , GN  ANC có AN   Trong ANG 6 5 có cos(AGN)= Gọi góc ( AG; CD)   cos = 65 65 13 +TH2: Góc AMD 1500 Tính tương tự ta có: cos = ta có AG  0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu V (3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x + y – = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27  1  Gọi M trung điểm AB, ta có : M  ;  Gọi C(a ; b), 2   a  b 1  a  b 1     a  b   0, (1) , suy G  ; d   3  mặt khác AB : 3x  y    d (C ; AB)  Diện tích S 3a  b  27 AB.d (C ; AB)   10 2 1.0đ , 10 3a  b  10  27  3a  b   27, (2) 1.0đ Từ (1) (2) ta có hệ:  a   C  9; 5    a  b  b  5     3a  b  32    9  a   a  b    C  9 ; 17        17  2  3a  b  22  b   Câu VI (3đ) 1.0đ Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng:      1 2  1  1   a  b  c  Đẳng thức xảy nào?  2  a b  b  c  c  a  2 Từ giả thiết ta có  a , b , c  Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 4  (3  a )      a2 2 3 a 3 a 4 Tương tự:    b2 ;    c2 3b  c2     Do đó:  2  1 2  1 2  1  (a  2)(b  2)(c  2), (1)  a b  b  c  c  a  Áp dụng BĐT Bun… ta có: (a  2)(b  2)  (a  1)(b  1)  a  b   (a  b)  (a  b)  3 = ((a  b)2  2)  (a  2)(b  2)(c  2)  ((a  b)2  2)(c  2) 2  2(a  b)  2c  3(a  b  c) , (2) 2  2 2 1.0đ 1.0đ  Từ (1) (2) ta BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c=1 1.0đ ... C2014 x  C2014 x 2018 2018 2019 2019 k P  (1  x) 2019  C2019  C2019 x   C2019 x k   C2019 x  C2019 x k 0.5đ Ta có hệ số x P C , P = M.N k Mà số hạng chứa x M.N : k 2019 k k 1 k 1...Huớng dẫn chấm – Toán 11 Câu Câu I (5đ) (3đ) (2đ) Nội dung Giải phương trình: sin 3x cos x  sin x  sin x cos x  sin x  (1) Ta có: sin x  (1  cos x) s inx Điểm (1)  ((1  cos x) cos2...  2014 k k 1 k 5 k Chứng minh rằng: C50C2014  C51C2014   C55C2014  C2019 Ta có: (1  x)5 (1  x)2014  (1  x )2019 M  (1  x)5  C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x5 1.0đ 1.0đ