§Ị C©u1 : Cho biĨu thøc  x −1  x +  x (1 − x ) + x  − x :  x +  x2 −  x −1   A=   a, Ruý gän biÓu thức A b , Tính giá trị biểu thức cho x= c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình: Với x ;1 +2  ( x − y) + 3( x − y) =   x + y = 12 b Giải bất phơng trình: x − x − x − 15 x= ± +2 +2 17 Câu : a)Đặt x-y=a ta ®ỵc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4  ( x − y) + 3( x − y) = Tõ ®ã ta cã   x + y = 12  x− y = * (1)  x + y = 12  x− y = −4 * (2)  x + y = 12 Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 ã Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 ã Xét 2m-10=> m 1/2 ta có , ∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) m − m +1 = 2m −1 2m − 1 (-1,0)=> -1< 2m −1  >0  =>  2m − =>m E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK O hay điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK b ∠ BCF= ∠ BAF Mµ ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 Ta cã ∠ BKF= ∠ BEF Mµ BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vuông ABED)=> ∠ BKF=450 V× ∠ BKC= ∠ BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B Đề Bài 1: Cho biÓu thøc: P = ( )  x x −1 x x +   x − x +       x − x − x + x :  x −1     a,Rót gän P b,T×m x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm A C b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mÃn x1 x2 =50 Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm dơng phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biƯt t1 vµ t2 b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trị nhá nhÊt cña: A = 501 + x +y xy Đáp án Bài 1: (2 điểm) ĐK: x a, Rót gän: P = b P = ≥ 0; x ≠ ( x( x − 1) x − z : x( x − 1) x −1 x +1 =1 + x −1 ) P= x Để P nguyên x −1 =1 ⇒ x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = ⇒ x = x −1 = ⇒ x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= {0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) = ( 2m + 1) − m + m − ≥    x1 x2 = m + m − >  x + x = 2m + <     ∆ = 25 >  ⇔  (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −  m< −  x −1 ( x − 1) = x +1 x −1 ( m −2) b Gi¶i phơng trình: ( m +3) =50 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − =  − 1+  m1 =  ⇔ m = − 1− 2 Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0 V× x1> => 1   c   + b + a = x1 x  x1 ct2 + bt + a = 0; t1 = Chứng tỏ x1 nghiệm dơng phơng trình: Vì x2 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 x2> nên c 1  1    + b.  + a = x  x   2  ơng trình ct2 + bt + a = ; t2 = điều chứng tỏ x2 mét nghiƯm d¬ng cđa ph- x2 VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiĐm dơng phân biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt t1 ; t2 t1 = x1 ; t2 = x b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 = x1 + x1 ≥2 t2 + x2 = x2 + x2 ≥2 Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 Bài a Giả sử đà tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên A CH AB BH AC => BD ⊥ AB vµ CD ⊥ AC Q Do ®ã: ∠ ABD = 900 vµ ∠ ACD = 900 Vậy AD đờng kính đờng tròn tâm O H O Ngợc lại D đầu đờng kính AD P C B D đờng tròn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ∠ ADB nhng ∠ ADB = ∠ ACB nhng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: ∠ APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = ∠ PHB Mµ ∠ PAB = ∠ DAB đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay  AD lµ lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O Đề Bài 1: Cho biÓu thøc: P = x ( x + y )(1 − y ) − y x + y) ( ) x +1 − ( xy )( x +1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã hƯ sè gãc m ®i qua ®iĨm M(-1 ; -2) a) Chøng minh r»ng víi giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m ®Ĩ A,B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung Bài 3: Giải hệ phơng trình : x + y + z =  1 1  + + =1 x y z  xy + yz + zx = 27 Bài 4: Cho đờng tròn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iĨm thuộc đờng tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa ®iĨm C , kỴ tia Ax tiÕp xóc víi ®êng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R Bµi 5: Cho 1 1 + + = x y z x +y +z tháa m·n : x, y , z R HÃy tính giá trị biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x(1 + *) Rút gọn P: P = = = = = ( ( x ) − y (1 − x + ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( ( x + x + y ( )( )( y 1+ x − )( )( ( x + x 1− y +x− y ) − xy ) (1 + y y x ≥ ; y ≥ ; y ≠1 ; x + y ≠ ) ) xy + y − xy x + ) (1 − y ) x y ( y ) ) )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + y 1+ x 1− VËy P = x + x + xy − b) P = ⇔ ( ⇔ x1+ ( ⇔ )( xy − ) ( y − x −1 + y ) =2 = x + xy − y y ) y +1 =1 y =1 Ta cã: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m – ⇔ x2 + mx + m = (*) Vì phơng trình (*) cã ∆ = m − 4m + = ( m − 2) + > ∀m nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m < x + y + z = (1)  1 1 Bµi :  + + = (2) x y z  xy + yz + xz = 27 ( 3)  §KX§ : x ≠ , y ≠ , z ≠ ⇒ ( x + y + z ) = 81 ⇔ x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 81 ⇔ x + y + z = 81 − ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z = 27 ⇒ x + y + z = ( xy + yz + zx ) ⇒ 2( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = ( x − y ) =  ⇔ ( y − z ) = ( z − x ) =  x = y  ⇔ y = z  z = x ⇔ x= y= z Thay vµo (1) => x = y = z = Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Q Bµi 4: a) XÐt ∆ABM vµ NBM Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) N nên :AMB = NMB = 90o M điểm cung nhỏ AC C nªn ABM = MBN => BAM = BNM M => BAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB) A O => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M b) Xét MCB vµ ∆ MNQ cã : MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) ∠ BMC = ∠ MNQ ( v× : ∠ MCB = ∠ MNC ; ∠ MBC = ∠ MQN ) => ∆ MCB = ∆ MNQ (c g c) => BC = NQ XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC ⊥ BQ ⇒AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( −1) R Bµi 5: Tõ : => 1 1 + + = x y z x +y +z => x x +y x + y +z −z + =0 xy z( x + y + z ) + 1 + − =0 y z x +y +z B   ⇒ ( z + y )  xy + z ( x + y + z )  =0     zx + zy + z + xy  ⇒ ( x + y )  xyz ( x + y + z )  =    ⇒ ( x + y )( y + z ) ( z + x ) = Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = §Ị Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x lµ: A.y = x + ; B.y = x - ; C.y = H·y chän c©u trả lời x - ; D.y = - 2x - 2) Mét h×nh trơ cã chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình lại kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C 3; bình Tỉ số bán D kết khác Bìa2: 1) Giải phơng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lín nhÊt cđa A = x + y Bµi 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, ®iĨm M di ®éng gãc xAy cho MA MB = Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vuông góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hớng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bài : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hết cho số phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( x + y )2 = x + y + xy = + xy (1) Ta cã: x+y ≥ xy => > xy (Bất đẳng thức Cô si) (2) Từ (1) (2) suy ra: A2 = + Max A2 = x = y = xy MB MD D A = MA AD M =2 C => MD = 2MD (0,25 ®iĨm) XÐt ba ®iĨm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhá nhÊt cđa MB + MC lµ DC * Cách dựng điểm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính - Dựng D tia Ax cho AD = N C AB AB M giao điểm DC đờng tròn (A; I AB) K O A Bµi 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N M D B Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung điểm cđa MN b) KỴ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định Đề Bài Cho ba số x, y, z tho· m·n ®ång thêi : x2 + y + = y + z + = z + 2x + = TÝnh giá trị biểu thức : A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bµi 2) Cho biÓu thøc : M = x − x + y + xy − y + 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình : x + y + x + y = 18    x ( x + 1) y ( y + 1) = 72  Bµi Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D a.Chứng minh : AC BD = R2 b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực dơng Chứng minh r»ng : ( a + b) + a+b ≥ 2a b + 2b a Bµi 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC Híng dÉn giải Bài Từ giả thiết ta có : x2 + y + =   y + 2z +1 = z + 2x + =  2 Céng vế đẳng thức ta có : ( x + x + 1) + ( y + y + 1) + ( z + z + 1) = ⇒ ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 2 x +1 =  ⇔  y +1 = ⇒ x = y = z = z +1 =  C©u  x( y − 2) = (x + 2)( y − 4)   (x − 3)(2 y + 7) = (2x − 7)( y + 3)  xy − 2x = xy + y − 4x − ⇔  2xy − y + 7x − 21 = 2xy − y + 6x − 21  x − y = −  x = -2 ⇔ ⇔   x+ y =  y = C©u 3a) Ta cã: A= = = C©u 2− x x x   x −1    x − x +1 x −1   x − x + x   :  −  x −1 x −1   x −1      = =>   x −1   x  ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1)  : − +  ( x − 1)( x + 1) x −1   x −1    = b) A =  x x +1 x −1       x −1 − x −1  :  x +    =3 x − x +1 − x +1 x −1 − x +2 x −1 : : x = x −1 => 3x + x x −1 x − x +2 -2=0 x −1 ⋅ x −1 = x 2− x x => x = 2/3 P A E B O H C a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) b) nên theo định lý Ta let ¸p dơng cho tam gi¸c CPB ta có EH CH = PB CB ; (1) Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC ∞ ∆ POB Do ®ã: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trug điểm AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH = ( R − AH.CB AH.CB ) 2PB 2PB ⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB ⇔ AH = = 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R d − R 2.R d − R = 4(d − R ) + 4R d2 Câu (1đ) Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ > (2m - 1)2 - (m - 1) > Tõ ®ã suy m 1,5 Mặt khác, theo định lý Viét giả thiÕt ta cã: (1) 2m −  x1 + x = −   m−  ⇔  x x =   3x − 4x = 11   13 - 4m  x1 =   7m −   x1 = 26 - 8m   13 - 4m 7m −  − 26 - 8m = 11 Giải phơng trình 13 - 4m 7m − −4 = 11 26 - 8m ta đợc m = - m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt t Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức: A= 3+ 5+ + + 7+ + .+ 97 + 99 3333 35   B = 35 + 335 + 3335 + +   99 số Câu II :Phân tích thành nhân tử : 1) X2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2 Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P vµ Q a) Chøng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP MQ C©u 5: Cho P = x 4x + x Tìm điều kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa, rót gän biĨu thøc đáp án Câu : 1) A = 3+ + 5+ + 7+ + .+ 97 + 99 = ( 5− 3+ 7− + 9− + .+ 99 − 97 )= ( 99 − )     35 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  = 99 sè =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) ( 102 -1 +103 10101 −10    +165   27   198 + B= 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ 1) Ta cã : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) a2b2+2abcd+c2d2 ≤ a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 ≤ a2d2 - 2cbcd+c2b2 ≤ (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = xÃy ad=bc 2) áp dụng đẳng thức trªn ta cã : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) ≤ (x2 + y2) (1 +16) => x2 + y2 ≥ 25 17 => 4x2 + 4y2 ≥ 100 dÊu 17 = x·y x= 17 ,y= 20 17 (2đ) Câu : 5đ Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => DM MP = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB CI IA (1) Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA Do DMQ đồng dạng với BIA => DM MQ = => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA Tõ (1) (2) ta suy MP MQ =1 Câu Để P xác định : x2-4x+3 vµ 1-x >0 Tõ 1-x > => x < Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có : (x-1) < (x-3) < tõ ®ã suy tÝch cđa (x-1)(x-3) > VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã : P= x − 4x + 1− x = ( x 1)( x 3) 1x = 3x Đề 11 Câu : a Rót gän biĨu thøc A = 1+ b Tính giá trị tổng 1 + a ( a + 1) B = 1+ Víi a > 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 100 C©u : Cho pt x − mx + m − = m a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ b Gäi x1 , x lµ hai nghiƯm pt Tìm GTLN, GTNN bt P= Câu : Cho x ≥ 1, y ≥1 x1 x2 + x1 + x2 + 2( x1 x + 1) 2 Chøng minh 1 + ≥ 2 + xy 1+ x 1+ y Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gäi E vµ F lần lợt hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB D Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn Chứng minh MA AH AD = BD BH MB Hớng dẫn Câu a Bình phơng vế ⇒ A= a2 + a +1 a( a + 1) (Vì a > 0) c áp dụng câu a A =1 + 1 − a a +1 9999 = 100 100 ∆≥0 ∀ m ⇒ B = 100 Câu a : cm B (2 đ) áp dơng hƯ thøc Viet ta cã:  x1 + x2 = m   x1 x2 = m − P= 2m + (1) Tìm đk đẻ pt (1) cã nghiÖm theo Èn m2 + ≤ P ≤1 ⇒ GTLN = − ⇔ m = −2 GTNN = ⇔ m = ⇒− Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc x( y − x ) y( x − y ) b®t ⇔ (1 + x )(1 + xy ) + (1 + y )(1 + xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( xy − 1) xy Câu 4: a - Kẻ thêm đờng phụ - Chứng minh MD ®êng kÝnh cña (o) => b Gäi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1 HF = H2 AH AD HE.h1 MA = BD BH HF h2 MB ⇔ ∆HEF (1) ⇒ HF h2 = HE.h Thay vµo (1) ta cã: o E' F E F' D A B H I ∞ ∆DF ' E ' MA AH AD = BD BH MB M Đề 12 Câu 1: Cho biểu thức D =  a+ b a + b + 2ab  a + b  +   : 1 + + ab   − ab    ab a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2 c) Tìm giá trị lớn D 2 Câu 2: Cho phơng trình x2- mx + 2 m2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoà mÃn 1 + = x1 + x x1 x C©u 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Chøng minh r»ng AI = 2bc.Cos b +c α ˆ A = α(α = 90 ) (Cho Sin2 α = 2SinαCosα ) Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho NA NB Vễ vào đờng tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chøng minh tø gi¸c ABMI néi tiÕp c) Chøng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tính giá trị của: B= xy zx xyz + + z y x Đáp án a Câu 1: a) - Điều kiện xác định D  b ≥  ab ≠  - Rót gän D D=  a + 2b a   a + b + ab   :  − ab    − ab  D= a a +1 b) a = 2+ VËy D = = 2( + = ( + 1) ⇒ a = + 1 +2 3 −2 = 4− +1 c) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã a ≤ a +1 D Vậy giá trị D Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) ⇔ x + x − = ⇔ x + 2x − = 2  x1 = − − 10 ⇒  x2 = + 10 b) Để phơng trình cã nghiƯm th× ∆ ≥ ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ * ( ) m + 4m − ≠ ( ) + Để phơng trình có nghiệm kh¸c  m1 ≠ − − *  ⇒  m2 ≠ − +  ⇔ 1 + + = x + x ⇔ ( x + x )( x x − 1) = ⇔ 2 12 x1 x2  x1 + x2 =   x1x2 − =  m=  2m =  ⇔  ⇔  m −= − 19  m + 8m − =   m −= + 19 KÕt hỵp víi điều kiện (*)và (**) ta đợc m = C©u 3: + S ∆ABI = m = −4 − 19 A α AI cSin ; 2 α a B α 2 I b c C α AI bSin ; 2 + S ∆ABC = bcSinα; S ∆ABC = S ∆ABI + S ∆AIC + S ∆AIC = ⇒ bcSinα = AISin α (b + c) bcSinα ⇒ AI = = α Sin (b + c) C©u 4: ) ) ⇒ QA = QB b) 2bcCos b+c α ˆ ˆ a) N1 = N Gäi Q = NP Suy Q cố định (O) A1 = M ( = A2 ) ⇒ Tø gi¸c ABMI nội tiếp c) Trên tia đối QB lấy ®iĨm F cho QF = QB, F cè ®Þnh Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF ˆ ABF vuông A B = 45 ⇒ AFB = 45 ˆ ˆ L¹i cã P1 = 45 ⇒ AFB = P1 ⇒ Tø gi¸c APQF néi tiÕp ⇒ ˆ ˆ APF = AQF = 90 2 ˆ ˆ Ta cã: APF + APM = 90 + 90 ⇒ M1,P,F Thẳng hàng Câu 5: Biến đổi B = xyz N A = 180 M I 1 P  1   + +  =  = xyz =2 x  xyz y z Q F Đề 13 Bài 1: Cho biÓu thøc A = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   1 − x −1÷   x 4( x 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên B Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài : Cho số dơng x, y thỏa m·n ®iỊu kiƯn x2 + y2 ≥ x3 + y4 Chøng minh: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y Đáp án Bài 1: a) §iỊu kiƯn x tháa m·n x − ≠   x − 4( x − 1) ≥   x + 4( x − 1) ≥   x − 4( x − 1) > ⇔ x ≠ x ≥   x ≥ x ≠  ⇔ x > x KL: A xác định < x < hc x > b) Rót gän A A= ( x − − 1)2 + ( x − + 1)2 x − x −1 ( x − 2)2 x −1 −1 + x −1 +1 x − x −2 x −1 Víi < x < A= 1− x A= Víi x > A= x −1 KÕt ln Víi < x < th× A = Víi x > th× A = 1− x x −1 Bµi 2: a) A vµ B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Gi¶ sư M (x, 0) ∈ xx’ ta cã MA = ( x − 5)2 + (0 − 2)2 MB = ( x − 3)2 + (0 + 4)2 ∆MAB c©n ⇒ MA = MB ⇔ ( x − 5)2 + = ( x − 3)2 + 16 ⇔ (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 ⇔x=1 KÕt luËn: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phơng trình có nghiƯm nguyªn ∆ = m4 - 4m - số phơng Ta lại có: m = 0; < loại m = ∆ = = 22 nhËn m ≥ th× 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ ∆ - (2m2 - 2m - 5) < ∆ < ∆ + 4m + ⇔ m4 - 2m + < ∆ < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < ∆ < (m2)2 ∆ kh«ng chÝnh phơng Vậy m = giá trị cần tìm Bµi 4: A F E » · · a) EAD = EFD(= sd ED) (0,25) » · · FAD = FDC(= sd FD ) (0,25) · · · · mµ EDA = FAD ⇒ EFD = FDC (0,25) B D ⇒ EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) » » b) AD lµ phân giác góc BAC nên DE = DF 1 » · s® AE = s® ADE 2 · à à à ACD = ADE EAD = DAC à ẳ ằ sđ ACD = sđ( AED − DF ) = ⇒ ∆DΑΕ ∼ ∆ADC (g.g) » 1 · ¼ » ¼ » · · à Tơng tự: sđ ADF = sd AF = sd ( AFD − DF ) = (sd AFD − DE ) = sd ABD ⇒ ADF = ABD 2 AFD ~ (g.g c) Theo trên: + ∆AED ~ ∆ΑDB AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AB AD ⇒ ⇒ AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + ≥ ⇒ 2y3 ≤ y4 + y2 ⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 ≤ x2 + y3 ®ã x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ ⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒ x2 + y2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ (y - 1)(y3 -1) ≥ C x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + ≥ ⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒x+y≤2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y Đề 14 Câu 1: x- 4(x-1) + x+ 4(x-1) cho A= (1- ) x - 4(x-1) x-1 a/ rót gän biĨu thøc A b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thoà mÃn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 4: tìm max biểu thức: x2+3x+1 x2+1 Câu 5: Từ đỉnh A hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với góc 45 Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q a/ Chøng minh r»ng ®iĨm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM hớng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x2 x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 A= x-2 ( (x-2) x-1 + x- 2 x- = x-1 x-1 x- -1 + = x-2 b/ Để A nguyên x- ớc dơng * x- =1 x=0 loại ) x-1 2 = x-1 * x- =2 th× x=5 vËy víi x = A nhận giá trị nguyên Câu 2: Ta có x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt vàchỉ m-7-4 m≥-7+4 (*) a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoà mÃn (*) b/ Theo giả thiết ta cã: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2’) x1x2 =-m+6 (3’) giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mÃn (*) Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 2 3m -1≠-2 3m -1 m=1/2 m=1/2 m *Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0 3m -1= -2 m=±1/2 V« nghiƯm Kh«ng có giá trị m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với x(vì x2+10) x2+3x+1 gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm *y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 -2 ≤ y0 ≤ Vậy: ymin=-2 y max=4 Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) A Giải a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới góc 450 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc FQE = ∠ ABE =1v chøng minh t¬ng tù ta cã ∠ FBE = 1v ⇒ Q, P, C cïng n»m trªn đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân AE AQ = (1) t¬ng tù ∆ APF AF ⇒ = AB D vuông cân (2) từ (1) (2) AQP ~ AEF (c.g.c) (y0-1)2≤ suy B M P E Q F C S AEF = ( )2 hay SAEF = 2SAQP S AQP c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ ∠ APD= ∠ CPD ⇒ ∠ MCD= ∠ MPD= ∠ APD= ∠ CPD= ∠ CMD MD=CD MCD MPD=600 mà MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã ∠ APB=450 MAB=600-450=150 Đề 15 Bài 1: Cho biểu thức M = x −9 x −5 x + + x +1 x −3 + x +3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng trình 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)tìm x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = x Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà m·n Chøng ming r»ng: 2x + y + z + x + 2y + z + + y + z =4 ≤1 x + y + 2z x − x + 2006 x2 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (víi x ≠ ) ˆ Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho xAy = 45 Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn APQ b S AEF = S Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết CPD = CMD Bài 5: (1đ) 1 + + =0 a b c Cho ba sè a, b , c khác thoà mÃn: ; HÃy tính P đáp án Bài 1:M = a.ĐK x x x + + x +1 x −3 x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Rót gän M = x −9 − + x +3 2− x 0,5® ( )( ) ( )( x + x − + x +1 x − x −3 ( )( ) x −2 ) = ac bc ac + + c2 a2 b2 ... x − x + 200 6 ( x ≠ 0) x2 B= Ta cã: B = 1 + + =4 x y z x − x + 200 6 x2 ⇔ B= ⇔B= 200 6 x − 2 .200 6 x + 200 6 200 6 x ( x − 200 6) + 200 5 x x2 ⇔ ( x − 200 6) + 200 5 + 200 5 200 6 x 200 6 V× (x - 200 6)2 ≥... - 200 5/ + / x - 200 6/ = / x - 200 5/ + / 200 8 - x/ (1) ≥ / x − 200 5 + 200 8 − x / ≥ / / = mµ /x - 200 5/ + / x - 200 6/ + / y - 200 7/ + / x - 200 8/ = KÕt hỵp (1 vµ (2) ta cã / x - 200 6/ + / y - 200 7/... (O) b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R DE > R VËy R > DE > R Câu