Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM A. TNH N IU CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số chủ đề 4 ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức phơng pháp chung Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét đợc tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức. Cụ thể: Xét hàm số f(x) trên đoạn [a, b], - Nếu f'(x)0, x[a, b] hàm số f(x) đồng biến trên [a, b] f(x)f(a) hoặc f(x)f(b). - Nếu f'(x)0, x[a, b] hàm số f(x) nghịch biến trên [a, b] f(x)f(a) hoặc f(x)f(b). Ví dụ 1. Cho 0<x< 2 . CMR: a. sinx<x. b. tgx>x. Giải a. Xét hàm số f(x)=sinx-x với 0<x< 2 . Đạo hàm: f'(x)=cosx-1<0 với 0<x< 2 hàm số f(x) nghịch biến trên (0, 2 ). Do đó: f(x)<f(0) với 0<x< 2 sinx-x<0 với 0<x< 2 sinx<x với 0<x< 2 . b. Xét hàm số f(x)=tgx-x với 0<x< 2 . Đạo hàm: f'(x)= xcos 1 2 -1=tg 2 x>0 với 0<x< 2 hàm số f(x) đồng biến trên (0, 2 ) Do đó: f(x)>f(0) với 0<x< 2 tgx-x>0 với 0<x< 2 tgx>x với 0<x< 2 . (đpcm) 2 Chủ đề 4: ứ ng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức Chú ý . Đôi khi chúng ta không thể khẳng định đợc ngay rằng f'(x)0, x[a, b] (hoặc f'(x)0, x[a, b]), ví dụ nh hàm số f(x)=x- 6 x 3 -sinx với x>0 ta có f'(x)=1- 2 x 2 -cosx rõ ràng không thể khẳng định đợc gì với x>0, trong các tr- ờng hợp nh vậy, một thủ thuật thông thờng đợc áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x. Ví dụ 2. (Đề 113) CMR x- 6 x 3 <sinx với x>0. Giải. Xét hàm số f(x)=x- 6 x 3 -sinx với x>0. Đạo hàm: f'(x)= 1- 2 x 2 -cosx, f''(x)= -x+sinx, f'''(x)= -1+cosx<0 với x>0 f''(x) nghịch biến với x>0 f''(x)<f''(0) với x>0 f''(x)<0 với x>0 f'(x) nghịch biến với x>0 f'(x)<f'(0) với x>0 f'(x)<0 với x>0 f(x) nghịch biến với x>0 f(x)<f(0) với x>0 x- 6 x 3 -sinx<0 với x>0 x- 6 x 3 <x với x>0. Chú ý . Trong hai ví dụ 1, 2 chúng ta đã sử dụng nguyên tắc theo chiều thuận: từ bất đẳng thức giữa a và b, dùng tính đơn điệu của hàm số f để chứng minh bất đẳng thức giữa f(a) và f(b). Bây giờ chúng ta đã sử dụng nguyên tắc theo chiều ngợc lại. Ví dụ 3. CMR sin20 0 > 3 1 . Giải. Ta có sin60 0 =3sin20 0 -4sin 3 20 0 , do đó sin20 0 là nghiệm của phơng trình 2 3 =3x-4x 3 . Xét hàm số f(x)=3x-4x 3 , Đạo hàm: f'(x)= 3-12x 2 , Bảng biến thiên x - -1/2 1/2 + y' - 0 + 0 - y + - Ta có: sin20 0 , 3 1 (- 2 1 , 2 1 ) là khoảng đồng biến của hàm số f(x), nên: 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số sin20 0 > 3 1 f(sin20 0 )>f( 3 1 ) 2 3 > 27 23 27 3 >46 2187>2116 (lđ). Chú ý . Một số bài toán bất đẳng thức khi đa về xét hàm số cần phải quan tâm tới các điểm cực trị. Ví dụ 4. (ĐHBK Hà nội - 1994) CMR nếu x+y=1 thì x 4 +y 4 8 1 . Giải. Từ x+y=1 y=1-x nên x 4 +y 4 =x 4 +(1-x) 4 . Xét hàm số f(x)=x 4 +(1-x) 4 . Đạo hàm: f'(x)= 4x 3 -4(1-x) 3 , f'(x)=0 x= 2 1 . Bảng biến thiên x - 1/2 + y' - 0 + y + 1/8 + Từ đó suy ra f(x) 8 1 , x và dấu đẳng thức xảy ra khi x=y= 2 1 . II.các bài toán chọn lọc Bài 1 (ĐHKT Hà nội-98) CMR với x>0 ta có e x >1+x+ 2 x 2 . bài giải Xét hàm số f(x)= e x -1-x- 2 x 2 . Đạo hàm: f'(x)= e x -1-x, f''(x)= e x -1>0 với x>0 f'(x) đồng biến với x>0 f'(x)>f'(0) với x>0 f'(x)>0 với x>0 f(x) đồng biến với x>0 f(x)>f(0) với x>0 e x -1-x- 2 x 2 >0 với x>0 e x >1+x+ 2 x 2 với x>0. Bài 2 (ĐHSP II-98) CMR trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có: 3 2 (sinA+sinB+sinC)+ 3 1 (tgA+tgB+tgC)>. bài giải Xét hàm số f(x)= 3 2 sinx+ 3 1 tgx-x với 0<x< 2 . Đạo hàm: 4 Chủ đề 4: ứ ng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức f'(x)= 3 2 cosx+ 3 1 . xcos 1 2 -1= 3 1 ( cosx+cosx+ xcos 1 2 ) -1 3 1 .3- 1=0, hàm số f(x) đồng biến với 0<x< 2 f(x)>f(0) 3 2 sinx+ 3 1 tgx-x>0 với 0<x< 2 . Vậy: 3 2 (sinA+sinB+sinC)+ 3 1 (tgA+tgB+tgC)-(A+B+C) =( 3 2 sinA+ 3 1 tgA-A)+ ( 3 2 sinB+ 3 1 tgB-B)+ ( 3 2 sinC+ 3 1 tgC- C)>0 3 2 (sinA+sinB+sinC)+ 3 1 (tgA+tgB+tgC)>A+B+C 3 2 (sinA+sinB+sinC)+ 3 1 (tgA+tgB+tgC)> . (đpcm) Bài 3 (Đề 113 - ĐHD Hà nội-98) CMR với 0<x< 2 thì 2 2sinx +2 tgx > 1 2 x3 2 + . bài giải Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 2 2sinx +2 tgx 2 tgxxsin2 22 =2 tgxxsin2 2 + . (1) Xét hàm số f(x)=2sinx+tgx-3x. Đạo hàm: f'(x)=2cosx+ xcos 1 2 -3 Nhận xét rằng với 0<x< 2 ta có: 2cosx+ xcos 1 2 -3> 2cos 2 x+ xcos 1 2 -3>2 2 -3>0 f'(x)>0 với 0<x< 2 hàm số f(x) đồng biến trên (0, 2 ) f(x)>f(0) với 0<x< 2 2sinx+tgx-3x>0 2sinx+tgx>3x 2 1 (2sinx+tgx)> 2 x3 ))tgxxsin2( 2 1 2 + > 2 x3 2 tgxxsin2 2 + > 2 x3 2 2 tgxxsin2 2 + > 1 2 x3 2 + (2) Từ (1) và (2) suy ra với 0<x< 2 ta có 2 2sinx +2 tgx > 1 2 x3 2 + . (đpcm) Bài 4 (ĐHAN Đề 1 97): n là một số nguyên dơng lẻ 3. CMR với mọi số thực x0, ta luôn có: 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số (1+x+ !2 x 2 + !3 x 3 + .+ !n x n )(1-x+ !2 x 2 - !3 x 3 + .- !n x n )<1. bài giải Đặt: f(x)= 1+x+ !2 x 2 + !3 x 3 + .+ !n x n , g(x)= 1-x+ !2 x 2 - !3 x 3 + .- !n x n F(x)=f(x)g(x). Ta đi chứng minh F(x)<1 với x0. Ta có: f'(x)= 1+x+ !2 x 2 + !3 x 3 + .+ )!1n( x 1n =f(x) - !n x n , g'(x)= -1+x- !2 x 2 + !3 x 3 + .+ )!1n( x 1n =-g(x) - !n x n , F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[ f(x) - !n x n ]g(x)+f(x)[ -g(x) - !n x n ] = - !n x n [f(x)+g(x)]= - 2 !n x n [1+ !2 x 2 + .+ )!1n( x 1n ] <> >< 0xkhi0)x('F 0xkhi0)x('F . Bảng biến thiên x - 0 + F' + 0 - F 1 Vậy, F(x)<1 với x0. Bài 5 (Đề 26) CMR x(1-x 2 ) 9 32 với mọi x(0, 1). Từ đó chứng minh rằng: nếu a, b, c>0 và a 2 +b 2 +c 2 =1 thì 22 cb a + + 22 ac b + + 22 ba c + 2 33 . bài giải Xét hàm số f(x)= x(1-x 2 ) Miền xác định D=R. Đạo hàm: f'(x)= 1-3x 2 f'(x)=0 x= 3 1 . Bảng biến thiên x - -1/ 3 0 1/ 3 1 + y' - 0 + 0 - 6 Chủ đề 4: ứ ng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức y 0 9 32 0 Từ bảng biến thiên ta có f(x)= x(1-x 2 ) 9 32 với mọi x(0, 1). áp dụng: ta có )x1(x 1 2 2 33 2 x1 x 2 3x3 2 (*) Do đó: 22 cb a + + 22 ac b + + 22 ba c + = 2 a1 a + 2 b1 b + 2 c1 c 2 3a3 2 + 2 3b3 2 + 2 3c3 2 = 2 33 (a 2 +b 2 +c 2 )= 2 33 (đpcm) III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. (Đề 78) CMR với 0<x< 2 thì: 2 sinx +2 tgx 2 x+1 . Bài tập 2. CMR với x>0 thì: a. (Đề 78) 2 sinx +2 tgx 2 x+1 . b. (Đề 143) lnx< x . d. e x > 2x2x x 2 + . e. x1 x + <ln(1+x)<x. f. 1+2lnx<x 2 . g. sinx<x- !3 x 3 + !5 x 5 . h. cosx<x- !2 x 2 + !4 x 4 . i. (Đề 101) e x >1+x+ !2 x 2 + .+ !n x n với mọi n nguyên dơng. Bài tập 3. (Đề 8) Cho nN * . CMR: x 2 x1 < nc2 1 với x(0, 1). Bài tập 4. (Đề 102) CMR với 0<x< 4 luôn có: xsin)xsinx(cos xcos 2 >8. Bài tập 5. (Đề 12) Với a+b0 và nN * , chứng minh rằng: n 2 ba + 2 ba nn + . Bài tập 6. (Đề 122) CMR nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 1 thì: (1+x) n +(1-x) n <2 n . 7 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số Bài tập 7. Cho n số dơng a 1 , a 2 , ., a n từng đôi một (a i , a j ) (ij) có tích a i .a j 1. Chứng minh rằng: 1 a1 1 + + 2 a1 1 + + .+ n a1 1 + n n21 a .aa1 n + . 8 . ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng. giải Xét hàm số f(x)= 3 2 sinx+ 3 1 tgx-x với 0<x< 2 . Đạo hàm: 4 Chủ đề 4: ứ ng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức f'(x)=