Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN IV: O HM Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm chủ đề 3 Đạo hàm cấp cao I. Kiến thức cơ bản 1. Đạo hàm cấp hai Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f''(x). Ví dụ 1. a. Cho y=x 2 -3x+1. Ta có: y'=2x-3 và y''=2. b. Cho y=sinx. Ta có: y'=cosx và y''=-sinx. c. Cho y=lnx. Ta có: y'= x 1 và y''=- 2 x 1 . d. Cho y=x 2 x1 + . Ta có: y'= 2 x1 + + 2 2 x1 x + = 2 2 x1 x21 + + và y''= , 2 2 x1 x21 + + = 2 2 1 222 x1 )x1(x)x21(x1x4 + +++ = 2 3 2 2 )x1( x)x23( + + . e. Cho y=lnf(x). Ta có: y'= f 'f và y''= , f 'f = 2 2 f )'f(f''f . f. Cho y=u v với u>0 và giả sử u, v là các hàm khả vi hai lần theo x. Ta có: y'= u v (v'lnu+ u v'u ) và y''= , v u v'u uln'vu + =(u v )'.(v'lnu+ u v'u )+(u v ). , u v'u uln'v + = u v + ++ + 2 2 2 u v)'u('v'uu2v''uu uln''v u v'u uln'v . Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng hàm số y=acosx+bsinx, trong đó a, b là các hằng số tuỳ ý, thoả mãn phơng trình y''+y=0. Giải. Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta đợc: y'=-asinx+bcosx, y''=-acosx-bsinx=-y y''+y=0 (đpcm). 2. Đạo hàm cấp ba, đạo hàm cấp n Tơng tự, đạo hàm của hàm số f''(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f'''(x). 2 Chủ đề 3: Đạo hàm cấp cao Đạo hàm của hàm số f'''(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số f(x), kí hiệu là y'''' hay f (4) (x). Tơng tự, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 5, 6, . của f(x), kí hiệu là y (3) , y (4) , y (5) , . Tổng quát hoá ta có định nghĩa sau: Đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) của hàm số f(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f(x), kí hiệu là y (n) hay f (n) (x) (với nZ, n2). f (n) (x)=[ f (n-1) (x)]' Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp 4, cấp 5, . cấp n của y=x 3 . Giải. Ta có: y'=3x 2 ; y''=3.2x=6x; y (3) =6 Do đó y (4) =y (5) = .= y (n) =0 Tổng quát, đạo hàm cấp n của y=x n là: y (n) =n.(n-1).(n-2) .3.2.1=n! (đọc là n giai thừa). Vậy y=x n y (n) =n!. Ví dụ 4 : Tính đạo hàm cấp n của y= x 1 . Giải. Ta có: y'=(x -1 )'=(-1) x -2 ; y''=(-1)(-2) x -3 ; y (3) = (-1)(-2)(-3) x -4 Bằng qui nạp ta chứng minh đợc: y (n) = (-1)(-2)(-3) .(-n) x -n-1 = 1n n x !n.)1( + . Ví dụ 5 : Tính đạo hàm cấp n của y=e ax . Giải. Ta có: y'= a.e ax ; y''=a 2 .e ax ; y (3) = a 3 .e ax . Bằng qui nạp ta chứng minh đợc: y (n) =a n .e ax . Đặc biệt: y=e x y (n) = e x . Từ các ví dụ trên, ta có tổng kết sau: Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x). Xác định công thức tính f (n) (x). phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tính f'(x), f''(x) (đôi khi cần tính tới f (3) (x), f (4) (x)). Bớc 2 : Dự đoán công thức tổng quát f (n) (x) sau đó chứng minh bằng ph- ơng pháp quy nạp. Chú ý. 1. Cần nhớ các công thức cơ bản sau: a. )n(m )x( =m(m-1) .(m-n+1).x m-n . b. (lnx) (n) = n 1n x )!1n()1( . c. )n(x )a( =a x .ln n a (a>0). d. (sinx) (n) = sin(x+n 2 ). 3 Phần IV: Đạo hàm e. (cosx) (n) = cos(x+n 2 ). 2. Công thức Lepnit: Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: (uv) (n) = = n 0i i n C u (i) .v (n-i) . Ví dụ 6: CMR nếu hàm số f(x) có đạo hàm cấp n, thì: [f(ax+b)] (n) =a n f (n) (ax+b). (1) Giải. Ta đi chứng minh bằng quy nạp. Với n=1, ta có: [f(ax+b)]'=a f'(ax+b). Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k, tức là ta có: [f(ax+b)] (k) =a k f (k) (ax+b). (2) Ta đi chứng minh (1) cũng đúg với n=k+1, tức là phải chứng minh: [f(ax+b)] (k+1) =a k+1 f (k+1) (ax+b). (3) Thật vậy, đạo hàm (2) theo x, ta nhận đợc (3), đó là điều phải chứng minh. Ví dụ 7: Cho hàm số y= dcx bax + + . Tính y (n) . Giải. Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có: y= c a c d x a b x + + = c a + + c d x c d a b 1 = c a + c a ( a b - c d ). 1 c d x + (c0). Từ đó ta dự đoán kết quả là: y (n) = c a ( a b - c d ).(-1) n .n!. 1n c d x + . Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. (đề nghị bạn đọc tự làm). Ví dụ 8: Cho hàm số y= 2x3x 1 2 + . Tính y (n) . Giải. Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có: y= 2x3x 1 2 + = )1x)(2x( 1 = 2x A + 1x B = )1x)(2x( B2Ax)BA( + = =+ 1B2A 0BA = = 1B 1A . Do đó hàm số đợc viết lại dới dạng: y= 2x 1 - 1x 1 . 4 Chủ đề 3: Đạo hàm cấp cao Từ đó ta dự đoán kết quả là: y (n) =(-1) n .n!. 1n )2x( 1 + -(-1) n .n!. 1n )1x( 1 + =(-1) n .n!. + 1n )2x( 1 - + 1n )1x( 1 . Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. ( đề nghị bạn đọc tự làm ). Ví dụ 9: Cho hàm số y=sin 3 x. Tính y (n) . Giải. Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có: y= 4 3 sinx- 4 1 sin3x. Từ đó ta dự đoán kết quả là: y (n) = 4 3 sin(x+n 2 )- 4 1 .3 n .sin(3x+n 2 ). Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. (đề nghị bạn đọc tự làm). Ví dụ 10: Cho hàm số y=sinax sinbx. Tính y (n) . Giải. Trớc hết ta đa hàm số về dạng thuận tiện để lấy đạo hàm, ta có: y= 2 1 [cos(a-b)x- cos(a+b)x]. Từ đó ta dự đoán kết quả là: y (n) = 2 1 {(a-b) n .cos[(a-b)x+n 2 ]- (a+b) n .cos[(a+b)x+n 2 ]}. Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. (đề nghị bạn đọc tự làm). Ví dụ 11: Cho hàm số y=xcosax. Tính y (n) . Giải. ( Sử dụng công thức Lepnit ) Ta dự đoán kết quả là: y (n) =xa n .cos(ax+n 2 )+ 1 n C a n-1 .cos[ax+(n-1) 2 ]. Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. (đề nghị bạn đọc tự làm). Ví dụ 12: Cho hàm số y=ln bxa bxa + . Tính y (n) . Giải. Lấy đạo hàm ta có: 5 Phần IV: Đạo hàm y'= bxa bxa bxa bxa ' + + = )bxa)(bxa( ab2 + = bxa b + + bxa b . Đạo hàm y' (n-1) lần (đợc y (n) ), ta dự đoán kết quả là: y (n) = n 1n1n )bxa( b)!1n.()1.(b + + n 1n1n )bxa( )b()!1n.()1.(b =(n-1)!.b n . + n 1n )bxa( )1( + n )bxa( 1 . Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. ( đề nghị bạn đọc tự làm ). II. Các bài toán chọn lọc Bài 1: Giả sử hàm số f(x) xác định và có đạo hàm cấp hai khi xx 0 . Xác định các số a, b, c để hàm số: F(x)= >++ 00 2 0 0 xxkhic)xx(b)xx(a xxkhi)x(f cũng có đạo hàm cấp hai. bài giải Trớc hết hàm số F(x) phải có đạo hàm cấp 1 tại điểm x 0 các đạo hàm một phía tại điểm liên tục x 0 của hàm F(x) phải bằng nhau. Bởi vậy cần có: f(x 0 )=c (tính liên tục của hàm F(x)); 0x lim x )x(f)xx(f 00 + = )x(f 0 ' =b, tức là F'(x 0 )=b . Tiếp theo, để có đạo hàm cấp hai cần có: 0x lim x )x('F)xx('F 00 + = + 0x lim x )x('F)xx('F 00 + 0x lim x )x(f)xx(f 0 ' 0 ' + = + 0x lim x bbxa2 + =2a. Vậy, điều kiện là: a= 2 1 )x(f 0 '' , )x(f 0 ' =b và c=f(x 0 ). 6 Chñ ®Ò 3: §¹o hµm cÊp cao Bµi 2: Cho hµm sè y=sinx. Chøng minh r»ng y (n) =sin(x+n 2 π ). bµi gi¶i Ta ®i chøng minh b»ng quy n¹p. • Víi n=1: y'=cosx= sin(x+ 2 π ) ®óng. • Gi¶i sö c«ng thøc ®óng víi n=k, tøc lµ: y (k) =sin(x+k 2 π ). • Ta ®i chøng minh c«ng thøc ®óng víi n=k+1, tøc lµ chøng minh: y (k+1) = sin[x+(k+1) 2 π ]. ThËt vËy: y (k+1) =[y (k) ]'=[ sin(x+k 2 π )]'= cos(x+k 2 π )= sin(x+k 2 π + 2 π ) = sin[x+(k+1) 2 π ]. VËy: y (n) =sin(x+n 2 π ). Bµi 3 (§HY -1999): TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè y=sin 2 x, tõ ®ã suy ra ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè y=cos 2 x. bµi gi¶i NhËn xÐt r»ng: (sinx)'=cosx=sin(x+ 2 π ) vµ (cosx)'=-sinx=cos(x+ 2 π ). Do ®ã: y=sin 2 x= 2 1 (1-cos2x)= 2 1 [1+sin(2x- 2 π )]. ⇒ y'= 2 1 .2sin(2x- 2 π + 2 π )=sin2x, y''=2sin(2x+ 2 π ) vµ y (3) =2 2 sin(2x+2. 2 π ), . y (n) =2 n-1 sin[2x+(n-1). 2 π ]. V× cos 2 x+sin 2 x=1=h»ng sè ⇒ (cos 2 x) (n) = -(sin 2 x) (n) =- 2 n-1 sin[2x+(n-1). 2 π ]. Bµi 4: Cho hµm sè y= x1 1 + . TÝnh y (n) . bµi gi¶i 7 Phần IV: Đạo hàm Để dự đoán kết quả, ta xét: y'=- 2 )x1( 1 + ; y''= 3 )x1( 2 + và y'''=- 4 )x1( 3.2 + ; Dự đoán y (n) = 1n n )x1( !n.)1( + + . (1) Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. Với n=1: y'= 11 )x1( !1).1( + + =- 2 )x1( 1 + đúng. Giả sử công thức đúng với n=k, tức là: y (k) = 1k k )x1( !k.)1( + + . Ta đi chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là chứng minh: y (k+1) = 2k 1k )x1( )!1k.()1( + + + + . Thật vậy: y (k+1) =[y (k) ]'=[ 1k k )x1( !k.)1( + + ]'= (-1) k .k! ' 1k )x1( 1 + + =(-1) k .k! + + + 2k )x1( 1k = 2k 1k )x1( )!1k.()1( + + + + (đpcm). Vậy: y (n) = 1n n )x1( !n.)1( + + . Bài 5 (Đề-82): Cho hàm số y= 2x3x 3x5 2 + . a. Tìm a, b sao cho y= 1x a + 2x b . b. b. Tính y (n) . bài giải a. Ta có: y= 2x3x 3x5 2 + = )2x)(1x( 3x5 = 1x a + 2x b = 2x3x ba2x)ba( 2 + + 8 Chủ đề 3: Đạo hàm cấp cao Suy ra: = =+ 3ba2 5ba = = 7b 2a . Khi đó ta đợc: y= 2x 7 - 1x 2 b. Để dự đoán kết quả, ta xét: y'=7. 2 )2x( 1 -2. 2 )1x( 1 ; y''=7. 3 )2x( 2.1 -2. 3 )1x( 2.1 Dự đoán y (n) =7. + 1n n )2x( !n.)1( -2. + 1n n )1x( !n.)1( . (1) Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phơng pháp quy nạp. Với n=1: y'=7. 2 )2x( 1 -2. 2 )1x( 1 đúng. Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: y (k) = 7. + 1k k )2x( !k.)1( -2. + 1k k )1x( !k.)1( . Ta đi chứng minh công thức đúng với n=k+1, tức là chứng minh: y (k+1) = 7. + + + 2k 1k )2x( )!1k.()1( -2. + + + 2k 1k )1x( )!1k.()1( . Thật vậy: y (k+1) = [y (k) ]'= ' 1k k 1k k )1x( !k.)1( .2 )2x( !k.)1( .7 ++ = 7.(-1) k .k! + + 2k )2x( 1k -2.(-1) k .k! + + 2k )1x( 1k = 7. + + + 2k 1k )2x( )!1k.()1( -2. + + + 2k 1k )1x( )!1k.()1( . (đpcm) Vậy: y (n) =7. + 1n n )2x( !n.)1( -2. + 1n n )1x( !n.)1( . 9 Phần IV: Đạo hàm III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Tính đạo hàm cấp hai các hàm số: a. y=ax 3 +bx 2 +cx+d. b. y=x.e x . c. y=x.lnx. d. y= 2x 3x3x 2 + . e. y=arctgx. f. y=ln(x+ 1x 2 + ). g. y= 2 x1 arcsinx. Bài tập 2. Cho hàm số y=f(x) khả vi ba lần. Tìm y'' và y''' nếu a. y=f(x x ). b. y=f(e x ). Bài tập 3. Cho hàm số y=cosx. Chứng minh rằng y (n) =cos(x+n 2 ). Bài tập 4. Cho hàm số y=ln|x|. Chứng minh rằng y (n) = n 1n x )!1n.()1( . Bài tập 5. Cho hàm số y= 2 x1 2 . a. Tìm a, b sao cho y= 1x a + 1x b + . b. Tính y (n) . Bài tập 6. Cho hàm số y= 2x3x 3x2 2 ++ + . a. Tìm a, b sao cho y= 1x a + + 2x b + . b. Tính y (n) . Bài tập 7. (ĐHL/ĐHXD - 2000) Cho hàm số y= 1xx2 2x3x 2 2 + + . Chứng minh rằng y (n) = (-1) n .n! + 1n 1n )1x2( 2 - + + 1n )1x( 2 . Bài tập 8. (ĐHY 2000) Cho hàm số y= 3x2x 20x3x5 2 2 . Tính đạo hàm cấp n của f(x) (không phải chứng minh). Bài tập 9. Tính y (n) của các hàm số sau: a. y=cos 3 x b. y=sin 4 x+cos 4 x c. y=sinax cosbx. d. y=cosax cosbx. e. y=sin 2 ax cosbx. f. y=sinax cos 2 bx. g. (ĐHGTVT - 96): y=ln(2x+1). Bài tập 10. Cho đa thức f(x)=a n x n + a n-1 x n-1 + .a 1 x+a 0 . a. Chứng minh rằng: a k = !k )0(f )k( . b. á p dụng : tính hệ số của x 2 trong khai triển f(x)=(x 2 -x+1) 1999 . 10 . trách. 1 Phần IV: Đạo hàm chủ đề 3 Đạo hàm cấp cao I. Kiến thức cơ bản 1. Đạo hàm cấp hai Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x). Đạo hàm của hàm số f'(x),. y''+y=0 (đpcm). 2. Đạo hàm cấp ba, đạo hàm cấp n Tơng tự, đạo hàm của hàm số f''(x), nếu có, đợc gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu