5 Bài CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Đường trịn định hướng cung lượng giác + Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại A chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ làm chiều dương Trên đường tròn định hướng cho hai điểm Một điểm di động B A M đường trịn ln theo chiều (âm dương) từ đến tạo nên A B cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối B A Với hai điểm cho đường tròn định hướng ta có vơ số cung A, B lượng giác điểm đầu điểm cuối Mỗi cung c kớ hiu l B A, ỵ AB Gúc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác Một điểm chuyển động đường tròn từ ti ỵ C M D CD to nờn cung lng giỏc núi trờn Khi ú tia quay ỵ OM CD xung quanh gốc từ vị trí tới vị trí Ta nói tia O OC OD OM tạo góc lượng giác, có tia đầu tia cuối OC, OD Kí hiệu góc lượng giác ( OC, OD) D C B ( 0;1) Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M O + vẽ đường tròn định hướng tâm bán kính A '( - 1;0) O R =1 Đường tròn cắt hai trục tọa độ bốn điểm O A ( 0;1) B '( 0;- 1) A ( 1;0) , A '( - 1;0) , B( 0;1) , B '( 0;- 1) Ta lấy A ( 1;0) làm điểm gốc đường trịn Đường trịn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A ) II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Độ radian a) Đơn vị radian Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad b) Quan hệ độ radian p = rad 180 ỉ 180ư ÷ 1rad = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốp ứ c) Độ dài cung tròn Trên đường tròn bán kính cung nửa đường trịn có số đo có độ R, p rad dài pR Vậy cung có số đo a rad đường trịn bán kính R có độ dài l = Ra Số đo cung lượng giác Số đo cung lượng giác Kí hiệu số đo cung ( þ AM sđ þ þ A¹ M ) số thực âm hay dương AM AM Ghi nhớ Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội ca 2p Ta vit s ỵ AM = a + k2p, k ẻ Â ú l a l s đo cung lượng giác tùy ý có điểm đầu A , điểm cuối M Số đo góc lượng giác Số đo góc lượng giác ( OA, OC ) số đo cung lượng giác Ð AC tương ứng Chú ý Vì cung lượng giác ứng với góc lượng giác ngược lại, đồng thời số đo cung góc lượng giác tương ứng trùng nhau, nên từ sau ta nói cung điều cho góc ngược lại Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A ( 1;0) làm điểm đầu tất cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo đường a tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối cung Điểm cuối M M xác định hệ thức sđ Ð AM = a CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề LÝ THUYẾT Câu Khẳng định sau nói đường tròn định hướng '' ? '' A Mỗi đường tròn đường tròn định hướng B Mỗi đường tròn chọn điểm gốc đường tròn định hướng C Mỗi đường tròn chọn chiều chuyển động điểm gốc đường tròn định hướng D Mỗi đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương chiều ngược lại gọi chiều âm đường tròn định hướng Câu Quy ước chọn chiều dương đường tròn định hướng là: A Luôn chiều quay kim đồng hồ B Ln ngược chiều quay kim đồng hồ C Có thể chiều quay kim đồng hồ mà ngược chiều quay kim đồng hồ D Không chiều quay kim đồng hồ không ngược chiều quay kim đồng hồ Câu Trên đường tròn nh hng, mi cung lng giỏc xỏc nh: ỵ AB A Một góc lượng giác tia đầu B Hai góc lượng giác tia đầu C Bốn góc lượng giác tia đầu OA OA , tia cuối , tia cuối OB OB , tia cuối OA OB D Vơ số góc lượng giác tia đầu , tia cuối OA OB Câu Khẳng định sau nói góc lượng giác ? '' '' A Trên đường tròn tâm giác B Trên đường tròn tâm điểm đầu O O điểm cuối bán kính R =1 , góc hình học AOB góc lượng bán kính , góc hình học có phân biệt AOB R =1 góc lượng giác C A B Trên đường trịn định hướng, góc hình học D Trên đường trịn định hướng, góc hình học AOB AOB góc lượng giác có phân biệt điểm đầu điểm cuối góc lượng giác A B Câu Khẳng định sau nói đường tròn lượng giác '' '' ? A Mỗi đường tròn đường tròn lượng giác B Mỗi đường trịn có bán kính đường trịn lượng giác R =1 C Mỗi đường trịn có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ R =1 đường tròn lượng giác D Mỗi đường tròn định hướng có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ R =1 đường tròn lượng giác Vấn đề ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠI Câu Trên đường trịn cung có số đo rad là? A Cung có độ dài B Cung tương ứng với góc tâm C Cung có độ dài đường kính nửa đường kính Câu Khẳng định sau đúng? A B C p rad = 10 p rad = 600 p rad = 1800 Câu Khẳng định sau đúng? A B C rad = 10 rad = 600 rad = 1800 600 D Cung có độ dài D ỉ 180ư ÷ p rad = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốp ứ D Cõu Nếu cung trịn có số đo ổ 180ử ữ rad = ỗ ữ ỗ ữ ç èp ø số đo radian là: a0 A B C D 180pa 180p ap p a 180 180a Câu 10 Nếu cung trịn có số đo số đo radian là: 3a0 A ap 60 Câu 11 Đổi số đo góc 700 1080 A 3p Câu 13 Đổi số đo góc nghìn A 0,7947 B C B C ap 180 sang đơn vị radian A 70 p Câu 12 Đổi số đo góc B 18 sang đơn vị radian 180 ap 7p 18 D D 60 ap 18p B 45032' C D 3p p p 10 sang đơn vị radian với độ xác đến hàng phần C 0,7948 Câu 14 Đổi số đo góc 40025' hàng phần trăm A B 0,705 0,70 Câu 15 Đổi số đo góc D 0,794 sang đơn vị radian với độ xác đến C - 125045¢ 0,795 0,7054 D 0,71 sang đơn vị radian A B C D 503p 503p 251p 251p 720 720 360 360 Câu 16 Đổi số đo góc sang đơn vị độ, phút, giây p rad 12 A B C D 150 100 60 50 Câu 17 Đổi số đo góc sang đơn vị độ, phút, giây 3p rad 16 A B C D 33045' - 29030' - 33045' - 32055 Câu 18 Đổi số đo góc sang đơn vị độ, phút, giây - rad A B C D - 286044'28'' - 286028'44'' - 2860 286028'44'' Câu 19 Đổi số đo góc sang đơn vị độ, phút, giây rad A B C D 42097¢18¢¢ 42058¢ 42097¢ 42058¢18¢¢ Câu 20 Đổi số đo góc A - 114059¢15¢¢ B - rad sang đơn vị độ, phút, giây C - 114035¢ - 114035¢29¢¢ D - 114059¢ Vấn đề ĐỘ DÀI CUNG TRỊN Câu 21 Mệnh đề sau đúng? A Số đo cung tròn tỉ lệ với độ dài cung B Độ dài cung trịn tỉ lệ với bán kính C Số đo cung trịn tỉ lệ với bán kính D Độ dài cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo cung Câu 22 Tính độ dài cung đường trịn có bán kính số l 20cm đo p 16 A B C D l = 3,93cm l = 2,94cm l = 3,39cm l = 1,49cm Câu 23 Tính độ dài cung đường trịn có số đo 1,5 bán kính 20 cm A B C D 30cm 40cm 20cm 60cm Câu 24 Một đường trịn có đường kính Tính độ dài cung 20cm đường trịn có số đo (lấy chữ số thập phân) 350 A B C D 6,01cm 6,11cm 6,21cm 6,31cm Câu 25 Tính số đo cung có độ dài cung đường trịn có 40 cm bán kính 20 cm A B C D 1,5rad 0,67rad 800 880 Câu 26 Một cung trịn có độ dài lần bán kính Số đo cung trịn radian A B C D Câu 27 Trên đường trịn bán kính , cung trịn có độ dài độ dài nửa R đường trịn có số đo (tính radian) là: A B C D p/ p/ p/ , có số đo radian đường trịn 2,5 10cm cung có bán kính là: A B C D 2,5cm 3,5cm 4,5cm 4cm Câu 29 Bánh xe đạp người xe đạp quay vòng giây Hỏi giây, bánh xe quay góc độ A B C D 5 p p p p Câu 30 Một bánh xe có Số đo góc mà bánh xe quay di 72 chuyển là: 10 A B C D 300 400 500 600 p/ Câu 28 Một cung có độ dài Vấn đề GÓC LƯỢNG GIÁC Câu 31 Cho góc lượng giác nhiêu góc ( Ox,Oy) = 22030'+ k3600 ( Ox,Oy) = 1822030' A B k Ỵ Æ k = Câu 32 Cho góc lượng giác k bao ? C a= A Với giá trị D k = –5 k = Tìm để k 10p < a < 11p p + k2p C B D k = k = k = k = Câu 33 Một đồng hồ, có kim số kim phút số OG OP Số đo góc lượng giác 12 ( OG,OP ) A C p + k2p, k ẻ Â B 9p + k2p, k ẻ Â 10 Cõu 34 Trờn ng trịn lượng giác có điểm gốc Điểm thuộc đường A M trịn cho cung lượng giác có số đo Gọi điểm đối xứng với N AM 450 qua trục , số đo cung lượng giác bng Ox AN M 2700 + k3600, k ẻ Â - 2700 + k3600, k ẻ Â D A C - 450 450 B 3150 - 450 + k3600, k Ỵ Z 3150 D Câu 35 Trên đường tròn với điểm gốc Điểm thuộc đường tròn A M cho cung lượng giác có số đo Gọi điểm đối xứng với điểm N AM 600 qua trục , số đo cung là: Oy AN M A C 120o - 1200 B 2400 D - 2400 1200 + k3600, k Ỵ Z Câu 36 Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc tròn cho cung lượng giác điểm qua gốc tọa độ A Gọi có số đo AM 750 , số đo cung lượng giác Điểm N thuộc đường M điểm đối xứng với bằng: O AN M A B - 1050 2550 C D - 1050 - 1050 + k3600 , k Ỵ Z 2550 Câu 37 Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): 5p p a =, b= , Các cung có điểm cuối trùng nhau: 25p 19p g= , d= A ; B ; g a a b g b d d C D a, b, g b, g, d Câu 38 Các cặp góc lượng giác sau đường tròn đơn vị, tia đầu tia cuối Hãy nêu kết SAI kết sau đây: A B p 35p p 152p 3 10 C D p 155p p 281p 3 7 Câu 39 Trên đường tròn lượng giác gốc , cung lượng giác có điểm A biểu diễn tạo thành tam giác ? A B C D kp kp k2p kp 3 Câu 40 Trên đường trịn lượng giác gốc biểu diễn tạo thành hình vng A B kp kp BAØI A C , cung lượng giác có điểm k2p D kp GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung · Tung độ điểm y = OK M ỵ cú s AM gi l sin ca a (cũn vit ỵ AM = a v kớ hiu l ) ỵ AM = a sin a sin a = OK · Hoành độ điểm x = OH M gọi cơsin a kí hiệu y B cosa = OH Nếu gọi tang kí M a sin a cosa A' hiệu (người ta cịn dùng kí hiệu ) tga tana H · cosa ¹ 0, tan a = · Nếu tỉ số K a sin a ¹ 0, cịn dùng kí hiệu Các giá trị cotga cosa sin a gọi cơtang ) cot a = a kí hiệu B' cota sin a, cosa, tan a, cot a gọi giá trị lượng giác a Ta gọi trục tung trục sin, trục hồnh trục cơsin Hệ sina cosa (người ta cosa sin a cung 1) A x O sin a cosa tỉ số cosa xác định với ¡ Hơn nữa, ta có sin( a + k2p) = sin a, " k ẻ Â; cos( a + k2p) = cosa, " k ẻ Â 2) Vì nên ta có - 1£ OK £ 1; - 1£ OH £ - 1£ sin a £ - 1£ cosa £ 3) Với mỴ ¡ mà - 1£ m£ cosb = m 4) xác định với tana 5) cota xác định với a¹ tồn b cho sin a = m v a kp ( k ẻ Â ) trờn ng trũn lng giỏc ỵ v p + kp ( k ẻ Â ) 6) Dấu giá trị lượng giác góc cung a a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối AM = a Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư Giá trị lượng giác cosa I II III IV + - - + sina tana + + - - + - + - cota + - + - Giá trị lượng giác cung đặc biệt a p p p p sina 2 cosa 2 2 tana cota Không xác định 3 1 Không xác định II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tana Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến 10 Câu 37 Ta cú ổ ổ ổp 9p p sinỗ +aữ = sinỗ 4p + + a ữ = sinỗ +aữ = cosa ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ2 ỗ ỗ2 ố ứ ố ứ ố ø Câu 38 Ta có Chọn B ỉ 3p ổ p ổ pử ữ sinỗ = sinỗ = sinỗ ữ ữ ữ ỗa ỗa + - 2pữ ỗa + ữ ữ ữ ữ= cosa = ç ç ç è è ø è 2ø 2ø Câu 39 Ta có Chọn C tan( 2017p + a ) = tan a Câu 40 Ta có Chọn D Câu 41 Ta có ỉ pư ỉp A = cosỗ + sin( a - p) = cosỗ ữ ữ ça - ÷ ç - a÷ ÷ ÷- sin( p - a ) = sin a - sin a = ỗ ỗ ố ố2 ứ 2ứ ổ ổp p ữ ữ.cos( p - x) S = cosỗ - xữ sin( p - x) - sinỗ - xữ ç ç ÷ ÷ ç2 ç2 è ø è ø = sin x.sin x - cos x.( - cos x) = sin2 x + cos2 x = Câu 42 Ta có Chọn C Chọn D P = sin( p + a ) cos( p - a ) = - sin a.( - cosa ) = sin a.cosa Và æ ổp p Q = sinỗ cosỗ = cosa.( - sin a ) = - sin a.cosa ÷ ÷ ç - a÷ ç +a÷ ÷ ÷ ç ç è2 ø è2 ø Khi Chọn A P + Q = sin a.cosa - sin a.cosa = Câu 43 Ta có ỉ p sin( 10p + x) = sin x sinỗ - xữ ữ ỗ ữ= cos x; ç è2 ø Và ỉ ỉ ỉ 3p p p cos( 8p- x) = cos x cosỗ = cosỗ = cosỗ ữ ữ ữ ỗ - xữ ç2p - - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷=- sin x; ỗ ỗ ỗ ố2 ứ ố ứ ố2 ø Khi é ỉp ù2 é ỉ3p ù2 ử ữ ờsinỗ ỳ + ờcosỗ ỳ - xữ + sin 10 p + x x + cos p x ( ) ( ) ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỳ ỳ ứ ứ è2 û ê ë è2 û = ( cos x + sin x) +( cos x - sin x) Chọn B = cos2 x + 2.sin x.cos x + sin2 x + cos2 x - 2.sin x.cos x + sin2 x = Câu 44 Ta có æ ö æ ö 17p p p 7p tan = tanỗ + 4pữ tanỗ - xữ ữ ữ ỗ ỗ ữ= tan = ữ= cot x ỗ ỗ è4 ø è2 ø Và cot ỉ 13p p p = cotỗ + 3pữ ữ= cot = 1; cot( 7p - x) = - cot x ỗ ữ ç è4 ø 4 50 Suy P = ( 1+ cot x) +( 1- cot x) Câu 45 Ta có Chọn C = 2+ 2cot x = sin2 x ỉ p÷ ữ xữ = - cos x sinỗ x+ ữ = cos x ỗ ữ ữ ỗ ứ ố 2ứ ổ pữ ổp sinỗ x- ữ = - sinỗ ç ç ÷ ç ç2 è 2ø è Kết hợp với giá trị ỉ 13p p p sin = sinỗ + 6pữ = sin = ữ ỗ ữ ç è2 ø 2 Suy Chọn C æ pử ổ pử 13p ữ ữ ỗ ỗ sinỗx - ữ x+ ữ ỗ ữ+ sin = sinố ÷Û - cos x +1= cos x Û cos x = ỗ ỗ ố 2ứ 2ứ Cõu 46 Ta có Và tan( 4p +1,25) = tan1,25 suy cot1,25.tan1,25 = ổ pử sinỗ x+ ữ ữ ỗ ữ= cos x; cos( 6p - x) = cos( x - 6p) = cos x ỗ ố 2ứ Khi ú ổ pử cot1,25.tan( 4p +1,25) - sinỗ x+ ữ ữ ç ÷.cos( 6p - x) = 1- cos x = sin x = ỗ ố 2ứ Mt khỏc Chn C sin x tan x = ắắ đ tan x = cos x Câu 47 Vì ba góc tam giác suy A, B, C A +C = p - B Khi sin( A +C ) = sin( p - B) = sin B; cos( A +C ) = cos( p - B) = - cos B tan( A +C ) = tan( p - B) = - tan B; cot( A +C ) = cot( p - B) = - cot B Câu 48 Vì Do Và C A, B, C góc tam giác A+B góc bù ABC nên Chọn B C = 180o - ( A + B) Þ sinC = sin( A + B) ; cosC = - cos( A + B) tanC = - tan( A + B) ; cotC = cot( A + B) Câu 49 Ta có A + B +C = p Û A + B = p - C Do Chọn D cos( A + B) = cos( p - C ) = - cosC Câu 50 A, B, C ba góc tam giác A + B +C = 1800 Û A + B = 1800 - C Ta có Chọn D sin( A + B + 2C ) = sin( 1800 - C + 2C ) = sin( 1800 +C ) = - sinC 51 Þ Câu 51 Ta có Câu 52 Ta có Chọn B Câu 53 Ta có ìï ïï cosa = ± 1- sin2 a = 5 ùù 13 ắắ đ cosa = í ïï p 13 ïï < a < p ïỵ ìï ïï sin a = ± 1- cos2 a = ± 2 sin a ïïí ¾¾ ® sin a = - ¾¾ ® tan a = = ïï 3p cosa ïï p < a < ïỵ ìï ìï 4ư ïï 1+ổ ữ ỗ ùù 1+ tan2 a = 12 ữ ç ÷= ïï ç è 3ø cos2 a cos a ùùớ ơắ đớ ùù 2017p ùù p 2019p