GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA Chủ đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN I Véctơ không gian ① Véctơ, giá độ dài véctơ  Véctơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB véctơ có điểm đầu A , điểm cuối B Véctơ cịn kí hiệu a , b , c , …  Giá véctơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối véctơ Hai véctơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại, hai véctơ có giá cắt gọi hai véctơ không phương Hai véctơ phương hướng ngược hướng  Độ dài véctơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối véctơ Véctơ có độ dài gọi véctơ đơn vị Kí hiệu độ dài véctơ AB AB Như vậy: AB = AB = BA ② Hai véctơ nhau, đối Cho hai véctơ a , b (≠ )  Hai véctơ a b gọi chúng có hướng độ dài a hướng b Kí hiệu a = b a = b ⇔  | a | = | b |  Hai véctơ a gọi đối chúng ngược hướng độ dài a hướng b Kí hiệu a = −b a = b ⇔  | a | = | b | ③ Véctơ – không Véctơ – khơng véctơ có điểm đầu điểm cuố i trùng Kí hiệu: , AA = BB = CC = = Véctơ – khơng có phương, hướng tùy ý, có độ dài không Véctơ – không phương, hướng với mọ i véctơ II Phép cộng phép trừ véctơ ① Định nghĩa  Cho a b Trong không gian lấy điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b Véctơ AC gọi tổng hai véctơ a b kí hiệu AC = AB + BC = a + b ( )  a −b = a +− b ② Tính chất  Tính chất giao hốn: a + b = b + a  Tính chất kết hợp: a +b +c = a + b +c (  Cộng với :  Cộng với véctơ đối: b a ) ( a+0 = 0+a = a a + ( −a ) = −a + a = a ) A B b a+ b C TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 ③ Các qui tắc  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C ta có: AC = AB + BC Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín Cho n điểm A1 , A2 , A3 , …, An –1 , An Ta có: A1 A2 + A2 A3 + … + An−1 An = A1 An A3 An A2 An-1 A1 A4 A5 B A10 A9 A7 A A8 C  Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ): B Với ba điểm A , B , C ta có: AC = BC − BA  Qui tắc hình bình hành: C A D Với hình bình hành ABCD ta có: AC = AB + AD DB = AB − AD  Qui tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ với AB , AD , AA′ ba cạnh D có chung đỉnh A AC ′ đường chéo, ta có: AC ′ = AB + AD + AA′ C A B III Phép nhân số với véctơ D' ① Định nghĩa Cho k ≠ véctơ a ≠ Tích k.a véctơ: C' A' B' - Cùng hướng với a k > - Ngược hướng với a k < ② Tính chất Với a , b bất kì; m, n ∈ R , ta có: ( )  m a + b = ma + mb  ( m + n ) a = ma + na  m ( na ) = ( mn ) a  1.a = a , ( −1) a = −a  0.a = ; k = ③ Điều kiện để hai véctơ phương M Cho hai véctơ a b ( ≠ ), k ≠ : a phương b ⇔ a = kb Hệ quả: điều kiện để ba điểm A , B , C thẳng hàng AB = k AC A ④ Một số tính chất I B  Tính chất trung điểm Cho đoạn thẳng AB có I trung điểm, ta có: IA + IB = ; IA = − IB ; AI = IB = A  MA + MB = MI ( M bất kì)  Tính chất trọng tâm Cho ∆ABC , G trọng tâm, ta có: GA + GB + GC = G B  MA + MB + MC = 3MG ( M bất kì)  Tính chất hình bình hành Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có:  OA + OB + OC + OD =  MA + MB + MC + MD = MO B A C C O D AB GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA IV Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng ① Khái niện đồng phẳng ba véctơ không gian Cho ba véctơ a , b , c (≠ ) khơng gian Từ điểm O ta dựng OA = a , OB = b , OC = c Khi xảy hai trường hợp:  Các đường thẳng OA , OB , OC không nằm mặt phẳng ta nói ba véctơ a , b , c không đồng phẳng  Các đường thẳng OA , OB , OC nằm mặt phẳng ta nói ba véctơ a , b , c đồng phẳng ② Định nghĩa a Ba véctơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b c Trên hình bên, giá véctơ a , b , c song song với mặt B phẳng (α) nên ba véctơ a , b , c đồng phẳng C ③ Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng A O α Định lí Cho ba véctơ a , b , c a b khơng phương Điều kiện cần đủ để ba véctơ a , b , c đồng phẳng có số m , n cho c = ma + nb A b c c m.a a O B n.b ④ Phân tích véctơ theo ba véctơ khơng đồng phẳng D Định lí pc Nếu ba véctơ a , b , c khơng đồng phẳng với O d nb véctơ d , ta tìm số m , n , p cho d = ma + nb + pc ma A c b D' Dạng Tính tốn véctơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB (quy tắc cộng) AB = CB − CA (quy tắc trừ) ② Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta ln có: AC = AB + AD ③ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ , ta được: AC ′ = AB + AD + AA′ ④ Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB , M điển bất kỳ: IA + IB = MA + MB = 2MI ⑤ Tính chất trọng tâm tam giác: G trọng tâm ∆ABC , ∀M ta có: GA + GB + GC = MA + MB + MC = 3MG a TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 ⑥ Tính chất trọng tâm tứ diện: G trọng tâm tứ diện ABCD : GA + GB + GC + GD = ∀M ta có: MA + MB + MC + MD = MG ⑦ Ba véctơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng ⑧ Nếu ba véctơ a , b , c khơng đồng phẳng mỗ i véctơ d viết dạng d = ma + nb + pc , với m , n , p  Chú ý:  Để biểu diễn véctơ hệ sở ta thường đưa gốc để tính, chẳng hạn véctơ MN gốc O cho trước OM , ON theo hệ sở thuận lợi, từ ta có: MN = ON − OM  Để tính đoạn AB ta bình phương vơ hướng AB = AB hệ sở gồm véctơ đồng phẳng  Để tính góc hai véctơ u v ta tính u , u.v  cos ( u , v ) = v u.v u.v B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Đặt AB = a , AD = b , AA′ = c Hãy phân tích véctơ AC ′ , BD′ , B′D′ , DB′ , BC ′ AD′ theo ba véctơ a , b , c Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ Đặt AA′ = a , AB = b , AC = c a) Hãy phân tích véctơ B′C , BC ′ theo ba véctơ a , b , c b) Gọi G′ trọng tâm tam giác A′B′C ′ Biểu thị véctơ AG′ qua ba véctơ a , b , c GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD Gọi A′ , B ′ , C ′ , D ′ trọng tâm tam giác BCD , CDA , DAB , ABC Đặt AA′ = a , BB′ = b , CC ′ = c Hãy phân tích véctơ DD′ , AB , BC , CD , DA theo ba véctơ a , b , c Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có AB = c , CD = c′ , AC = b , BD = b′ , BC = a , AD = a′ Tính cosin góc véctơ BC DA Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh BC = a cạnh cịn lại a Tính cosin góc véctơ AB SC TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có SA = SB = SC = b đơi hợp với góc 30° Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm G chúng Ví dụ Cho hình tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M N trung điểm AB CD a) Tính độ dài MN b) Tính góc hai véctơ MN BC GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA Dạng Chứng minh đẳng thức véctơ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Sử dụng phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với số, tích vơ hướng ② Sử dụng quy tắc trung điểm, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, quy tắc hình bình hành, hình hộp, …  Chú ý: ∆ABC ∆A′B′C ′ có trọng tâm AA′ + BB′ + CC ′ = B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh: a) 2MN = AD + BC = AC + BD b) Điểm G trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = Ví dụ Cho tứ diện ABCD với G trọng tâm a) Chứng minh AB + AC + AD = AG b) Gọi A′ trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: A′B AA′ + A′C AA′ + A′D.AA′ = Ví dụ 10 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi D1 , D2 , D3 điểm đố i xứng điểm D ′ qua A , B′ , C Chứng tỏ B trọng tâm tứ diện D1D2 D3 D′ TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABCD a) Chứng minh ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC b) Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành SA + SB + SC + SD = SO Dạng Quan hệ đồng phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Để chứng minh ba véctơ a , b , c đồng phẳng, ta chứng minh tồn cặp số thực m , n cho: c = ma + nb ② Để chứng minh ba véctơ a , b , c không đồng phẳng, ta chứng minh: ma + nb + pc = ⇔ m = n = p = ③ Bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng véctơ AB , AC , AD đồng phẳng B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 12 Chứng minh: a) Nếu có ma + nb + pc = số m , n , p khác véctơ a , b , c đồng phẳng b) Nếu a , b , c ba véctơ không đồng phẳng ma + nb + pc = m = n = p = GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA Ví dụ 13 Cho hình tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = 3MD cạnh BC lấy điểm N cho NB = −3 NC Chứng minh ba véctơ AB , DC MN đồng phẳng Dạng Cùng phương song song A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Để chứng minh ba điểm A , B , C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véctơ AB , AC phương, nghĩa AB = k.AC ; chọn điểm O để chứng minh OC = kOA + tOB , với t + k = ② Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng nhau, ta cần chứng minh hai véctơ AB , CD phương Khi AB , CD phương có điểm thuộc đường thẳng AB mà khơng thuộc đường thẳng CD ngược lại AB CD hai đường thẳng song song ③ Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm mặt phẳng ( P ) ta chọn TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 86 PHỤ LỤC A – KIẾN KIẾN THỨC CƠ BẢN Chứng minh đường thẳng d song song mp (α) (d ⊄ (α)) Cách Chứng minh d //d ′ d ′ ⊂ (α ) Cách Chứng minh d ⊂ ( β ) ( β ) // (α ) Cách C/m d (α ) vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh mp((α) song song với mp((β) Cách Chứng minh mp (α ) chứa hai đường thẳng cắt song song với ( β ) (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia) Cách Chứng minh (α ) ( β ) song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách Hai mặt phẳng (α ) , ( β ) có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b (α ) ∩ ( β ) = Sx // a // b Cách (α ) // a , a ⊂ ( β )  (α ) ∩ ( β ) = b // a Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song song Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vuông góc với mặt phẳng song song với Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đố i tứ giác đặc biệt, … Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến  d vng góc với mp cịn lại Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ Cách Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a ⊥ (α ) Cách Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc vớ i mặt phẳng lại Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm (α ) Chứng minh hai đường thẳng d d′ vng góc: Cách Chứng minh d ⊥ (α ) d ′ ⊂ (α ) Cách Sử dụng định lí đường vng góc Cách Chứng tỏ góc d , d ′ 90° Chứng minh hai mặt phẳng (α) (β) vng góc: Cách Chứng minh (α ) ⊃ d d ⊥ ( β ) Cách Chứng tỏ góc hai mặt phẳng (α ) ( β ) 90° Cách Chứng minh a // (α ) mà ( β ) ⊥ a Cách Chứng minh (α ) // ( P ) mà ( β ) ⊥ ( P ) GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 87 B – CÔNG THỨC THỨC CƠ BẢN Tam giác a Tam giác thường: 1 abc ① S ∆ABC = BC.AH = AB AC.sin A = = pr = p ( p − a )( p − b )( p − c ) 2 4R ② S ∆ABM = S ∆ACM = S∆ABC 2 ③ AG = AM ( G trọng tâm) B AB + AC BC ④ Độ dài trung tuyến: AM = − 2 ⑤ Định lí hàm số cosin: BC = AB + AC − AB AC.cos A a a b c ⑥ Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C b Tam giác ABC cạnh a: ① S ∆ABC ( canh ) = H A C M C H a AG = AH = 3 A canh × a AH = = ③ 2 c Tam giác ABC vuông a: 1 ① S ∆ABC = AB.AC = AH BC 2 ② BC = AB + AC B H ⑤ HA = HB.HC ③ BA = BH BC ④ CA = CH CB ⑤ HA2 = HB.HC ⑥ AH BC = AB AC 1 = + 2 AH AB AC AC ⑩ sin B = BC ⑧ ⑦ G B a2 = ② A C HB AB = HC AC AB ⑪ cos B = BC BC AC ⑫ tan B = AB ⑨ AM = AB ⑬ cot B = AC C d Tam giác ABC vuông cân A ① BC = AB = AC ② AB = AC = BC A D Tứ giác A a Hình bình hành: Diện tích: S ABCD = BC AH = AB AD.sin A B A B H C B b Hình thoi: D AC.BD = AB AD.sin A C • Đặc biệt: ABC = 60° BAC = 120° tam giác ABC , ACD A D A c Hình chữ nhật: S ABCD = AB AD • Diện tích: S ABCD = d Hình vng: • Diện tích: S ABCD = AB B C A D B C D • Đường chéo: AC = AB e Hình thang: S ABCD = ( AD + BC ) AH B H C TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TỐN 11 – HK2 88 C – MỘT SỐ HÌNH THƯ THƯỜNG GẶP HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy S H1.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: hình vng hình chữ nhật Đường cao: SA Cạnh bên: SA , SB , SC , SD D Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA A Mặt bên: ∆SAB vuông A ∆SBC vuông B S ∆SCD vuông D ∆SAD vuông A B C H1.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD ) α : Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt) α  Hình chiếu SB lên ( ABCD ) AB ( ) ( ) B  SB , ( ABCD ) = SB , AB = SBA = α D A C S Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD ) α : α Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)  Hình chiếu SD lên ( ABCD ) AD ( D A ) ( )  SD, ( ABCD ) = SD, AD = SDA = α B C S Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD ) α : D Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) (gt)  Hình chiếu SC lên ( ABCD ) AC ( ) ( )  SC , ( ABCD ) = SC , AC = SCA = α A B H1.3 - Góc cạnh bên mặt bên: Góc cạnh bên SB mặt bên ( SAD ) α : ( ) ( ) C S α D A Ta có: AB ⊥ ( SAD )  Hình chiếu SB lên ( SAD ) SA  SB , ( SAD ) = SB, SA = BSA = α α B C S Góc cạnh bên SD mặt bên ( SAB ) α : α Ta có: AD ⊥ ( SAB ) D A  Hình chiếu SD lên ( SAB ) SA ( ) ( )  SD, ( SAB ) = SD, SA = DSA = α B C S Góc cạnh bên SC mặt bên ( SAB ) α : α Ta có: BC ⊥ ( SAB ) D  Hình chiếu SC lên ( SAB ) SB ( ) ( )  SC , ( SAB ) = SC , SB = BSC = α A B C S Góc cạnh bên SC mặt bên ( SAD ) α : α Ta có: DC ⊥ ( SAD )  Hình chiếu SC lên ( SAD ) SD ( ) ( D ) A  SC , ( SAD) = SC , SD = DSC = α B C GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 89 H1.4 - Góc mặt bên mặt đáy: S Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) α : Ta có: BC ⊥ AB B (?), BC ⊥ SB B (?) ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ( ) ( ) B Góc mặt bên ( SCD ) mặt đáy ( ABCD ) α : Ta có: CD ⊥ AD D (?), CD ⊥ SD D (?) ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD ( ) ( D α  ( SBC ), ( ABCD) = AB , SB = SBA = α A C S α )  ( SCD ), ( ABCD) = AD, SD = SDA = α D A B Góc mặt phẳng ( SBD ) mặt đáy ( ABCD ) α : C S  Đáy ABCD hình chữ nhật: Trong ( ABCD ) , vẽ AH ⊥ BD H  BD ⊥ SH (?) ( ) ( )  ( SBD ), ( ABCD ) = AH , SH = SHA = α A H  Chú ý: Nếu AB < AD điểm H gần B Nếu AB > AD điểm H gần D D α B C S  Đáy ABCD hình vng: Gọi O = AC ∩ BD  AO ⊥ BD (?) A  BD ⊥ SO (?) ( ) ( )  ( SBD ), ( ABCD ) = SO, AO = SOA = α D α O B C H1.5 – Khoảng cách “điểm – mặt” S Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) H Trong mp ( SAD ) , vẽ AH ⊥ SD H D  AH ⊥ ( SCD ) (?)  d ( A, ( SCD ) ) = AH A B C Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) Vì AB // ( SCD ) (?) nên d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) (xem dạng 1) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) S Trong mp ( SAB ) , vẽ AH ⊥ SB H  AH ⊥ ( SBC ) (?) H  d ( A, ( SBC ) ) = AH Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) Vì AD // ( SBC ) (?) nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) (xem dạng 3) D A B C TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 90 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD )  Đáy ABCD hình chữ nhật: • Trong ( ABCD ) , vẽ AI ⊥ BD I S  BD ⊥ ( SAI ) (?) H • Trong ( SAI ) , vẽ AH ⊥ SI H A  AH ⊥ ( SBD ) (?) D I  d ( A, ( SBD ) ) = AH B C  Chú ý: Nếu AB < AD điểm I gần B Nếu AB > AD điểm I gần D  Đáy ABCD hình vng: • Gọi O = AC ∩ BD  AO ⊥ BD (?)  BD ⊥ ( SAO ) (?) S • Trong ( SAO ) , vẽ AH ⊥ SO H  AH ⊥ ( SBD ) (?)  d ( A, ( SBD ) ) = AH H A Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) D O Vì O trung điểm AC nên d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) B C HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vng A B SA vng góc với đáy H2.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Hình thang ABCD vng A B Đường cao: SA Cạnh bên: SA , SB , SC , SD A Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA Mặt bên: ∆SAB vuông A ∆SBC vuông B B ∆SAD vuông A S D A C D B C  Chú ý: Nếu AB = BC AD = BC AC ⊥ CD  CD ⊥ ( SAC )  ∆SCD vng C H2.2 - Góc cạnh bên SB đáy S Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD ) : Ta có : SA ⊥ ABCD (gt)  Hình chiếu SB lên ( ABCD ) AB ( ) ( )  SB , ( ABCD ) = SB, AB = SBA A Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: SA ⊥ ABCD (gt) B  Hình chiếu SD lên ( ABCD ) AD  SD, ( ABCD) = SD, AD = SDA ( ) ( ) ) ( ) Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: SA ⊥ ABCD (gt) (  Hình chiếu SC lên ( ABCD ) AC  SC , ( ABCD) = SC , AC = SCA D C GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 91 H2.3 - Góc mặt bên mặt đáy: S Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: BC ⊥ AB B (?) BC ⊥ SB B (?) ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ( ) ( A )  ( SBC ), ( ABCD) = AB, SB = SBA D B Góc mặt bên ( SCD ) mặt đáy ( ABCD ) : C S Trong ( ABCD ) , vẽ AM ⊥ CD M  SM ⊥ CD M (?) Mà ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD ( ) ( A D )  ( SCD ), ( ABCD) = AM , SM = SMA = α M  Chú ý: Nếu AB = BC AD = BC AC ⊥ CD Do M ≡ C B C S H2.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) H Trong mp ( SAB ) , vẽ AH ⊥ SB H A  AH ⊥ ( SBC ) (?)  d ( A, ( SBC ) ) = AH D B C Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SBC ) Vì AD // ( SBC ) (?) nên d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) (xem dạng 3) S Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) • Trong ( ABCD ) , vẽ AM ⊥ CD M  CD ⊥ ( SAM ) (?) H A • Trong ( SAM ) , vẽ AH ⊥ SM H D M  AH ⊥ ( SCD ) (?) B  d ( A, ( SCD ) ) = AH C  Chú ý: Nếu AB = BC AD = BC AC ⊥ CD Do M ≡ C HÌNH Hình chóp tứ giác S.ABCD S H3.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: ABCD hình vng SO SA = SB = SC = SD AB = BC = CD = DA ∆SAB , ∆SBC , ∆SCD , ∆SAD tam giác cân S A D O B Gọi O tâm hình vng ABCD  SO ⊥ ( ABCD ) C TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 92 H3.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SA mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: SO ⊥ ( ABCD ) (?)  Hình chiếu SA lên ( ABCD ) AO ( ) ( S )  SA, ( ABCD ) = SA, AO = SAO Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD ) : ( ) ( ) Tương tự SB , ( ABCD ) = SB , BO = SBO A Góc cạnh bên SC mặt đáy (ABCD): ( ) ( ) Tương tự SC , ( ABCD) = SC , CO = SCO O B Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD ) : ( ) ( D C ) Tương tự SD, ( ABCD) = SD, DO = SDO SAO = SBO = SCO = SDO → “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” S H3.3 - Góc mặt bên mặt đáy:  Chú ý: Góc mặt bên ( SAB ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: Mà OM ⊥ AB M (?)  AB ⊥ SM M (?) A ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ( D M ) ( )  ( SAB ), ( ABCD) = OM , SM = SMO O S B C Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: ON ⊥ BC N (?)  BC ⊥ SN N (?) Mà ( SBC ) ⊥ ( ABCD ) = BC ( ) ( A )  ( SBC ), ( ABCD) = ON , SN = SNO D O B N S C Góc mặt bên ( SCD ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: OP ⊥ CD P (?)  CD ⊥ SP P (?) Mà ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD ( ) ( A )  ( SCD ), ( ABCD) = OP, SP = SPO D O S B P C Góc mặt bên ( SAD ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: OQ ⊥ AD Q (?)  AD ⊥ SQ Q (?) Mà ( ) ( )  ( SAD ), ( ABCD) = OQ, SQ = SQO  Chú ý: Q A ( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD SMO = SNO = SPO = SQO → “Góc mặt bên với mặt đáy nhau” O B C D GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 93 H3.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SCD ) S Trong ( ABCD ) , vẽ OM ⊥ CD M  CD ⊥ ( SOM ) (?) H Trong ( SOM ) , vẽ OH ⊥ SM H A  d ( O, ( SCD ) ) = OH D M O Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) B C Vì O trung điểm AC nên d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) Vì O trung điểm BD nên d ( B, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) ) HÌNH Hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy H4.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp tam giác ABC SA SA , SB , SC AB , BC , CA ∆SAB tam giác vuông A ∆SAC tam giác vuông A Chú ý: Nếu ∆ABC vng B ∆SBC vng B Nếu ∆ABC vng C ∆SBC vng C Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: S C A B H4.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABC ) : S Ta có: SA ⊥ ( ABC ) (gt)  Hình chiếu SB lên ( ABC ) AB ( ) ( )  SB , ( ABC ) = SB, AB = SBA Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABC ) : Ta có: SA ⊥ ( ABC ) (gt) B  Hình chiếu SC lên ( ABC ) AC ( ) ( C A S )  SC , ( ABC ) = SC , AC = SCA H4.3 - Góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC): Tam giác ABC vng B Ta có: BC ⊥ AB B (?) BC ⊥ SB B (?) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ( ) ( ) S B  ( SBC ), ( ABC ) = AB, SB = SBA Tam giác ABC vng C Ta có: BC ⊥ AC C (?) BC ⊥ SC C (?) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC C A C A ( ) ( )  ( SBC ), ( ABC ) = AC , SC = SCA B TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 94 Tam giác ABC vuông A Trong ( ABC ) , vẽ AM ⊥ BC M (?) S  BC ⊥ SM M (?) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  Chú ý: ( ) ( )  ( SBC ), ( ABC ) = AM , SM = SMA  M không trung điểm BC  Nếu ABC > ACB M đoạn BC gần B    Nếu ABC < ACB M đoạn BC gần C Nếu AB > AC M đoạn BC gần C Nếu AB < AC M đoạn BC gần B M B S Tam giác ABC cân A (hoặc đều) Gọi M trung điểm BC  BC ⊥ AM M (?)  BC ⊥ SM M (?) ( C A ) ( ) Mà ( SBC ) ∩ ( ABC ) = SM  ( SBC ), ( ABC ) = AM , SM = SMA C A M Tam giác ABC có ABC > 900 Trong ( ABC ) , vẽ AM ⊥ BC M (?) B S  BC ⊥ SM M (?) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ( ) ( )  ( SBC ), ( ABC ) = AM , SM = SMA C A  Chú ý: M nằm ngồi đoạn BC phía B Tam giác ABC có ACB > 900 Trong ( ABC ) , vẽ AM ⊥ BC M (?) B M S  BC ⊥ SM M (?) ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ( ) ( )  ( SBC ), ( ABC ) = AM , SM = SMA  Chú ý: M nằm ngồi đoạn BC phía C M A C S B H4.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) Trong ( ABC ) , vẽ BH ⊥ AC H H A C  BH ⊥ ( SAC ) (?)  d ( B, ( SAC ) ) = BH  Chú ý:  Nếu ∆ABC vuông A H ≡ A AB = d ( B, ( SAC ) ) B S  Nếu ∆ABC vng C H ≡ C BC = d ( B, ( SAC ) ) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) Trong ( ABC ) , vẽ CH ⊥ AB H  CH ⊥ ( SAB ) (?)  d ( C , ( SAB ) ) = CH C A H B GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 95  Chú ý: S  Nếu ∆ABC vng ∆ABC H ≡ A CA = d ( C , ( SAB ) )  Nếu ∆ABC vng B H ≡ C CB = d ( B, ( SAB ) ) H Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) C A • Trong ( ABC ) , vẽ AM ⊥ BC M (?)  BC ⊥ SM M (?) M • Trong ( SAM ) , vẽ AH ⊥ SM H  d ( A, ( SBC ) ) = AH B  Chú ý: Tùy đặc điểm ∆ABC để định vị trí điểm M đường thẳng BC HÌNH Hình chóp tam giác S.ABC S H5.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: Tam giác ABC SO SA = SB = SC AB = BC = CA ∆SAB , ∆SBC , ∆SCA tam giác cân S A C O B Gọi O trọng tâm tam giác ABC  SO ⊥ ( ABC )  Chú ý: Tứ diện S ABC hình chóp có đáy mặt bên tam giác H5.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SA mặt đáy ( ABC ) : S Ta có: SO ⊥ ( ABC ) (?)  Hình chiếu SA lên ( ABC ) AO ( ) ( )  SA, ( ABC ) = SA, AO = SAO Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABC ) : ( ) ( C A ) Tương tự SB, ( ABC ) = SB , BO = SBO O Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABC ) : ( ) ( B ) Tương tự SC , ( ABC ) = SC , CO = SCO  Chú ý: SAO = SBO = SCO → “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” H5.3 - Góc mặt bên mặt đáy: S Góc mặt bên ( SAB ) mặt đáy ( ABC ) : Ta có: OM ⊥ AB M (?)  AB ⊥ SM M (?) Mà ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB ( ) ( )  ( SAB ), ( ABC ) = OM , SM = SMO Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABC ) : P A Ta có: ON ⊥ BC N (?)  BC ⊥ SN N (?) Mà ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  ( ( SBC ), ( ABCD) ) = ( ON , SN ) = SNO O M B C N TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 96 Góc mặt bên ( SAC ) mặt đáy ( ABC ) : Ta có: OP ⊥ AC P (?)  AC ⊥ SP P (?) Mà ( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC  Chú ý: ( ) ( )  ( SAC ), ( ABC ) = OP, SP = SPO SMO = SNO = SPO → “Góc mặt bên với mặt đáy nhau” H5.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SAB ) S • Trong ( ABC ) , vẽ OM ⊥ AB M  AB ⊥ ( SOM ) (?) • Trong ( SOM ) , vẽ OH ⊥ SM H  d ( O, ( SAB ) ) = OH Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) MC Vì O trọng tâm ∆ABC nên =3 MO MC  d ( C , ( SAB ) ) = ⋅ d ( O, ( SAB ) ) = d ( O, ( SAB ) ) MO H C A O M B HÌNH 6a Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) “Ln ln vẽ SH vng góc với giao tuyến” S H6a.1 - Góc cạnh bên mặt đáy • Vẽ SH ⊥ AB H Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) A C  Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB Góc cạnh bên SA mặt đáy ( ABC ) : H B S Ta có: SH ⊥ ( ABC ) (?)  Hình chiếu SA lên ( ABC ) AH ( ) ( )  SA, ( ABC ) = SA, AH = SAH A Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABC ) : C H B Ta có: SH ⊥ ( ABC ) (?)  Hình chiếu SB lên ( ABC ) BH ( ) ( S )  SB, ( ABC ) = SB , BH = SBH Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABC ) : Ta có: SH ⊥ ( ABC ) (?) A  Hình chiếu SC lên ( ABC ) CH ( ) ( )  SC , ( ABC ) = SC , CH = SCH C H B GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 97 S H6a.2 - Góc mặt bên mặt đáy: • Vẽ SH ⊥ AB H • Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí A điểm H đường thẳng AB  Chú ý: M Góc mặt bên (SAB) mặt đáy ( ABC ) : ( C H ) B Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên ( SAB ), ( ABC ) = 900 Góc mặt bên ( SAC ) mặt đáy ( ABC ) : Vẽ HM ⊥ AC M HM ⊥ AC  Ta có:   AC ⊥ ( SHM ) , mà SM ⊂ ( SHM )  SM ⊥ AC SH ⊥ AC  ( ) ( S )  ( SBC ), ( ABC ) = HM , SM = SMH Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABC ) : A C Vẽ HN ⊥ BC N HN ⊥ BC  Ta có:   BC ⊥ ( SHN ) , SH ⊥ BC  H N B ( ) ( ) mà SN ⊂ ( SHN )  SN ⊥ AB  ( SBC ), ( ABC ) = HN , SN = SNH HÌNH 6b Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng “Ln ln vẽ SH vng góc với giao tuyến” H6b.1 - Góc cạnh bên mặt đáy • Vẽ SH ⊥ AB H • Vì ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ) nên SH ⊥ ( ABCD ) S  Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB Góc cạnh bên SA mặt đáy ( ABCD ) : A H B Ta có: SH ⊥ ( ABCD ) (?) ( D ) ( C )  Hình chiếu SA lên ( ABCD ) AH  SA, ( ABCD) = SA, AH = SAH S Góc cạnh bên SB mặt đáy ( ABCD ) : ( ) ( ) Tương tự SB , ( ABCD ) = SB , BH = SBH A Góc cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD ) : ( ) ( ) Tương tự SC , ( ABCD ) = SC , CH = SCH Góc cạnh bên SD mặt đáy ( ABCD ) : ( ) ( ) Tương tự SC , ( ABCD) = SD, DH = SDH D H B C TÀI LIỆ LIỆU HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 98 S H6b.2 - Góc mặt bên mặt đáy: Góc mặt bên ( SAD ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: HA ⊥ AD (?) SH ⊥ AD (?)  AD ⊥ ( SHA )  AD ⊥ SA ( ) ( A ) Mà ( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD  ( SAD ), ( ABCD) = SA, AH = SAH H B ) ( C S Góc mặt bên ( SBC ) mặt đáy ( ABCD ) : Ta có: BA ⊥ BC (?) SH ⊥ BC (?)  BC ⊥ ( SHB )  BC ⊥ SB ( D A ) Mà ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC  ( SBC ), ( ABCD) = SB , AH = SBH D H B Góc mặt bên ( SCD ) mặt đáy ( ABCD ) : C S Trong ( ABCD ) , vẽ HM ⊥ CD M Ta có: HM ⊥ CD    CD ⊥ ( SHM )  CD ⊥ SM SH ⊥ CD  ( A ) ( ) Mà ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  ( SCD), ( ABCD) = HM , SM = SMH D H M B HÌNH Hình lăng trụ ① Lăng trụ có: • Hai đáy song song đa giác • Các cạnh bên song song • Các mặt bên hình bình hành ② Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy C Lăng trụ xiên Cạnh bên vng góc đáy ③ Lăng trụ tam giá lăng trụ đứng, có đáy tam giác ④ Lăng trụ có đáy tam giác lăng trụ xiên, có đáy tam giác Lăng trụ đứng ⑤ Lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng, có đáy hình vng ⑥ Lăng trụ có đáy tứ giác lăng trụ xiên, có đáy hình vng Đáy đa giác ⑦ Hình hộp hình lăng trụ xiên, có đáy hình bình hành ⑧ Hình hộp đứng lăng trụ đứng, có đáy hình bình hành ⑨ Hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng, có đáy hình chữ nhật Lăng trụ ⑩ Hình lập phương lăng trụ đứng, có đáy mặt bên hình vng A' B' ⑪ Lăng trụ đứng ABC A′B′ C′ • Góc ( A′BC ) ( ABC ) : Vẽ AM ⊥ BC M  A′M ⊥ BC (?)  ( A′BC ), ( ABC ) = AMA′ ( C' A ) C M • Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác ABC để xác định vị trí điểm M đường thẳng BC A' ( ) Ta có: BC ⊥ CD  CD ⊥ B′C (?)  ( A′B′CD), ( ABCD) = BCB′ D' C' B' ⑫ Hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C′ D′ • Góc ( A′B ′CD ) ( ABCD ) : B D A B C GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA 99 MỤC LỤC VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GĨC Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN Dạng Tính tốn véctơ Dạng Chứng minh đẳng thức véctơ Dạng Quan hệ đồng phẳng Dạng Cùng phương song song BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12 Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 14 Dạng Chứng minh vuông góc 15 Dạng Góc hai đường thẳng 16 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 20 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 21 Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 22 Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 24 Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 28 Dạng Thiết diện qua điểm cho trước vng góc với trước 31 Dạng Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm 34 BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 36 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 37 Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 40 Dạng Góc hai mặt phẳng 42 Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 46 Dạng Thiết diện chứa đường thẳng a vng góc với (α) 49 Dạng Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp 51 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 53 Vấn đề KHOẢNG CÁCH 57 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng 58 Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 61 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 67 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 69 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 75 Tài liệu tham khảo 84 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 85 PHỤ LỤC 86 MỤC LỤC 99 ... TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA Chủ đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN I Véctơ khơng gian ① Véctơ, giá độ dài véctơ  Véctơ khơng gian đoạn thẳng có hướng Kí... BD vng góc với đơi Khẳng định sau khẳng định đúng? A Góc AC ( BCD ) góc ∠ACD B Góc AD ( ABC ) góc ∠ADB C Góc AC ( ABD ) góc ∠CAB D Góc CD ( ABD ) góc ∠CBD Câu 39 Cho tam giác ABC vuông cân... HỌ HỌC TẬ TẬP TOÁN 11 – HK2 14 Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I Tích vơ hướng hai véctơ khơng gian ① Góc hai véctơ Cho u v hai véctơ không gian Từ điểm A vẽ AB = u , AC = v Khi ta gọi góc BAC