Đang tải... (xem toàn văn)
THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊNTHIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN
THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức chủ đề đa dạng hấp dẫn nội hay khó Tốn học Nó thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học lớn, từ nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi nhà Toán học tiếng đời BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur, Trong bật mà chúng khơng thể khơng nhắc đến, bất đẳng thức Cauchy (Cơsi) bất đẳng thức đơn giản, gần gũi lại bất đẳng thức mạnh có ứng dụng rộng rãi Tốn học nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác Trong chương trình Tốn học phổ thơng, vấn đề bất đẳng thức xem nội dung hóc búa Khi nghiên cứu, tìm hiểu học tập nội dung hầu hết e ngại khơng thật cảm thấy thích thú với Tuy nhiên , toán bất đẳng thức lại tốn góp mặt đầy đủ kì thi HSG kì thi tuyển Đại học Như thế, chẳng nhẽ gặp toán BĐT kì thi lại bỏ qua dễ dàng đầu hang hay sao? Để giúp cho học sinh có nhìn thiện cảm khơng e ngại việc sử dụng BĐT Cauchy nhóm em tìm hiểu làm chuyên đề “THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN” KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bất đẳng thức Cosi 1.1.1 Phát biểu - Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực khơng âm: Cho a1, a2 ≥ 0, ta có: Dấu “ =” xảy a1 = a2 - Bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm: Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có Dấu “ =” xảy a1 = a2=…=an - Bất đẳng thức Cosi mở rộng: Cho a1, a2 ,…,an số thực dương m 1, m2, , mn số hữu tỷ dương, ta có: Dấu “ =” xảy a1 = a2=…=an Ví dụ : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1.1.2 Giải: Áp dụng BĐT Cosi cho ba số (a, b, c) ta có: (1) (2) Nhân vế (1) (2) ta được: Dấu “=” xảy a = b = c 1.2 Các kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy 1.2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “≥ ” Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Chứng minh rằng: , với a,b,c Giải: Sử dụng BĐT Cosi: , ta có: , với a, b, c - Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế khơng âm - Cần ý rằng: x, y khơng biết âm hay dương - Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT CơSi - Trong tốn dấu “ ≥ ” => đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Cosi cho cặp số, cặp số 1.2.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo Bài 2: CMR với a > b > ta ln có: Giải: Ta có nhận xét: b+a –b =a khơng phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu phân tích sau: Với a > b > Dấu “=” xảy 1.2.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” BDT Cosi quy tắc tính đồng thời dấu “=”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biên Bài 3: Cho a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng BDT Cosi dấu “=” xảy a = Có hình thức tách sau: Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): Vậy ta có: Dấu “=” xảy a = - Ta sử dụng điều kiện dấu “=” điểm rơi a=2 dựa quy tắc biên để tìm - Ở ta thấy tính đồng thời dấu “=” việc áp dụng BĐT Cosi cho số , đạt giá trị lớn a = 2, tức chúng có điểm rơi a = 1.2.4: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng (TBC) Nếu đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu “ + ” dấu “ ” ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng thay dấu “ ” dấu “ + ” Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Bài : CMR: Giải: Theo BĐT Cosi ta có: =>(dpcm) - Nếu giữ nguyên vế trái biến tích thành tổng ta khơng thể triệt tiêu ẩn số => ta có phép biến đổi tương đương (1) sau biến tích thành tổng ta phân thức có mẫu số - Dấu “” gợi ý cho ta sử dụng BĐT Cosi ta phải đánh giá từ TBN sang TBC 1.2.5 Kỹ thuật nhân thêm số đánh giá từ TBN sang TBC Bài 5: CMR: Giải: Bài hồn tồn chia vế cho ab sau áp dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC phần trước trình bày, nhiên ta áp dụng phương pháp mới: phương pháp nhân thêm số Ta có: Dấu “=” xả => Ta thấy việc nhân thêm số vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, lại nhân thêm mà Thực chất vấn đề chọn điểm rơi BĐT theo quy tắc biên a = b = 1.2.6 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số kiểu thao tác sau: Phép cộng: Phép nhân: (x,y,z0) 1.2.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số Nội dung cần nắm thao tác sau: Bài 7: Chứng minh :) Giải: 1.2.8 Kỹ thuật đổi biến số Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh khó giải, khó nhận biết phương pháp giải,ta chuyển từ tóa từ tình khó biến đổi trạng thái dễ biến đổi Phương pháp gọi phương pháp biến đổi Bài 8: Chứng minh rằng: Giải: Đặt Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: Bất đẳng thức hiển nhiên Thật áp dụng BĐT Cosi ta có: Dấu “=” xảy x = y = z a = b = c NỘI DUNG 2.1 Thời gian – đối tượng học sinh: - Thời gian, địa điểm: Lớp Toán 11, tiết 6,7, thứ Hai ngày 26 tháng năm 2018 - Đối tượng: Học sinh lớp chuyên Toán 11 – Trường THPT Chuyên Thái Nguyên - Sĩ số: 20 học sinh 2.2 Kế hoạch dạy học BỒI DƯỠNG: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN I Mục tiêu học: Qua học, HS Về kiến thức: - Hiểu nội dung bất đẳng thức Cauchy - Nắm kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán Về kỹ năng: - Biết cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy giải toán áp dụng vào toán thực tế - Phát triển kĩ hợp tác nhóm, kĩ phát giải vấn đề, kĩ thuyết trình, kĩ giao tiếp, kĩ tự đánh giá đánh giá đồng đẳng Về tư duy, thái độ: - Phát triển kĩ tư lơgic, khả khái qt hóa, quy lạ quen thông qua việc phát biểu nội dung bất đẳng thức Cauchy hoạt động giải toán - Rèn luyện thái độ nghiêm túc, tính cẩn thận, chặt chẽ, khoa học thông qua hoạt động xét dấu biểu thức; tinh thần đoàn kết hợp tác khả làm việc độc lập, tính cẩn thận, trách nhiệm hoạt động làm việc theo nhóm - Tích cực, chủ động, sáng tạo học tập Định hướng phát triển lực: - Qua học góp phần phát triển người học lực sau: lực phát giải vấn đề, lực tư duy, lực hợp tác, lực đánh giá II Chuẩn bị giáo viên học sinh - Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer Projector, bảng phụ, câu hỏi gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức - Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi, III Tiến trình dạy học: Ổn định tổ chức lớp ( phút ): - Kiểm tra sĩ số - Ổn định tổ chức lớp - Chia nhóm học sinh: nhóm, nhóm học sinh Bài mới: * Gợi động cơ, hướng đích: ( phút ) Bất đẳng thức chủ đề đa dạng hấp dẫn nội hay khó Tốn học Các em học số bất đẳng thức kinh điển Toán học bất đẳng thức Cauchy (Cơsi) Đây bất đẳng thức đơn giản, gần gũi lại bất đẳng thức mạnh có ứng dụng rộng rãi Toán học nhiều lĩnhvực khoa học tự nhiên khác Để giúp cho em có nhìn thiện cảm khơng e ngại việc sử dụng BĐT Cauchy hôm cô em tìm hiểu số kỹ thuật sử dụng BĐT Cosi phổ biến giải toán GV ghi tiêu đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN 3.1 Hoạt động 1: Phát biểu nội dung BĐT Cauchy ( phút ) Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung học - GV yêu cầu học sinh - Cho a1, a2 ≥ 0, ta có: BĐT Cauchy (Cơsi) nhắc lại nội dung BĐT - Bất đẳng thức Cosi cho Cauchy (Côsi) cho hai số Dấu “ =” xảy hai số thực không âm: thực không âm a1 = a2 Cho a1, a2 ≥ 0, ta có: Dấu “ =” xảy a1 = a2 - Bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm: Cho a1, a2 ,…,an ≥ 0, ta có - GV giới thiệu cho học sinh nội dung BĐT - GV: Có nhiều kỹ sử dụng ghi Dấu “ =” xảy a1 = a2=…=an Cauchy tổng quát thuật - HS theo dõi, lắng nghe BĐT Cauchy giải toán (GV kể tên kỹ thuật chính), có kỹ thuật phổ biến dễ dàng sử dụng mà cô giới thiệu cho em ngày hôm nay, kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân 3.2 Hoạt động : Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cauchy (20 phút ) Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung học *HĐTP1: Một số kỹ thuật sử dụng - GV: Đánh giá từ TBC BĐT Cauchy sang TBN đánh giá a, Kỹ thuật đánh giá từ BĐT theo chiều “≥ ” trung bình cộng sang trung Đánh giá từ tổng sang - HS theo dõi, lắng nghe bình nhân tích làm theo hướng dẫn GV - GV hướng dẫn giải VD1: Chứng minh rằng: , chậm VD1 cho HS với a,b,c - GV nêu ý cho HS: + Chỉ nhân vế Giải: Sử dụng BĐT Cosi: , ta có: BĐT chiều ( kết BĐT chiều) , với a, b, c vế không âm + Cần ý rằng: x, y khơng biết âm hay dương b, Kỹ thuật đánh giá từ - Nói chung ta gặp trung bình nhân sang tốn sử dụng BĐT trung bình cộng Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT CơSi *HĐTP2: - GV giới thiệu kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC Nếu đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay dấu “ + ” dấu “ ” ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng thay dấu “ ” dấu “ + ” VD2 : CMR: Giải: Theo BĐT Cosi ta có: Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số - GV hướng dẫn giải VD2 cho HS => đpcm c, Kỹ thuật tách nghịch đảo VD3: CMR với a > b > ta ln có: - Nếu giữ ngun vế trái biến tích thành tổng ta khơng thể triệt tiêu ẩn số Giải:Với a>b>0, ta có: Dấu “=” xảy => ta có phép biến đổi tương đương (1) sau biến tích thành tổng ta d, Kỹ thuật chọn điểm rơi phân thức có mẫu số *HĐTP3: - GV giới thiệu kỹ thuật tách nghịch đảo - GV hướng dẫn HS giải VD3 VD4: Cho a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: Ta có: Ta có nhận xét: b+a –b =a khơng phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu phân tích cho tích hạng tử nghịch đảo hạng tử thứ *HĐTP4: - GV giới thiệu kỹ thuật Dấu “=” xảy a = chọn điểm rơi Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” BDT Cosi quy tắc tính đồng thời dấu “=”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biên - GV hướng dẫn HS giải VD4 Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hạng tử để cho áp dụng BDT Cosi dấu “=” xảy a = Có hình thức tách sau: Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): - Vậy ta sử dụng điều kiện dấu “=” điểm rơi a=2 dựa quy tắc biên để tìm - Ở ta thấy tính đồng thời dấu “=” việc áp dụng BĐT Cosi cho số , đạt giá trị lớn a = 2, tức chúng có điểm rơi a = 3.3 Hoạt động 3: Củng cố( 50 phút ) - Kỹ thuật dạy học: Phòng tranh * GV giới thiệu phòng tranh (2’): GV tổ chức vị trí phòng tranh thơng báo nhiệm vụ HS - Hình thức: Như nhóm chia từ đầu giờ, GV tách nhóm góc lớp học, tạo thành phòng tranh đánh số thứ tự từ đến - Giai đoạn – Vẽ tranh (12’): Mỗi nhóm giao tranh đánh số thứ tự tương ứng số thứ tự nhóm, tranh ẩn chứa tốn thực tếs Các nhóm tìm cách giải tốn nhóm - Giai đoạn – Xem tranh (12’x3=36’): Mỗi nhóm cử thành viên làm chuyên gia phòng tranh, thành viên lại di chuyển tới phòng tranh theo vòng tròn lại phòng tranh nhóm Tại phòng tranh, chuyên gia phòng tranh giới thiệu nội dung tranh (đề toán cách giải) cho khách xem tranh, đồng thời khách xem tranh giới thiệu, truyền đạt lại cho chuyên gia phòng tranh nội dung tranh nhóm Mỗi lượt di chuyển xem tranh 12 phút Hết lượt di chuyển đóng cửa phòng tranh * BÀI TỐN PHỊNG TRANH: Bài tốn 1: Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng Hai mặt bên hai kình hình chữ nhật dài 20m rộng 5m Gọi a (m) độ dài cạnh Tìm a cho hình lăng trụ tích lớn Trả lời: Lăng trụ tích là: Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: Từ (1) (2) suy ra: Thể tích hình lăng trụ lớn 250 (m) Bài toán 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, nhà thiết kế ln đ ặt m ục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nh ất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ dm diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy c hình tr ụ ph ải b ằng bao nhiêu? Giải + Đặt bán kính đáy, chiều cao lon sữa bò hình trụ l ần l ượt r, h (đ ơn v ị dm) + Theo đề ta có: (dm) + Diện tích tồn phần hình trụ nhỏ khi: nhỏ + Theo bất đẳng thức Cosi: Dấu "=" xảy khi: Bài tốn 3: Một xưởng khí nhận làm thùng phi với thể tích yêu cầu lít Hỏi bán kính đáy chiều cao để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Giải: Đổi lít = Gọi bán kính đáy chiều cao Khi ta tích thùng phi là: Vì vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích tồn phần nên ta cần tìm để diện tích tồn phần lớn Ta có Vậy đạt GTNN Vậy với bán kính đáy 1(m) chiều cao (m) xưởng khí tiết kiệm nguyên vật liệu Bài tốn 4: Tại xã Thống Nhất có trang trại Chủ trang trại muốn nuôi thêm đàn dê ông mua hàng rào để bảo vệ chúng Các lo ại v ật li ệu dùng để làm bao gồm: gỗ tơn lạnh Nhưng ơng ch ỉ 1.500.000 đ ồng đ ủ để mua tôn lạnh loại 61.000 đồng tấm, có chiều dài 1m, chi ều cao 1,6m Ông muốn xây dựng hàng rào vừa để tạo khơng gian thơng thống Bạn giúp chủ trang trại tìm cách xây dựng hàng rào? Giải: Ta giả sử chọn mơ hình chuồng theo hình chữ nhật Số tôn mua từ 1.500.000 đồng 24 Chuồng có chu vi 24 m Gọi x(m), y(m) chiều rộng chiều dài chuồng Khi ta có: nên Từ ta có tốn cho hai số x, y dương cho Tìm x, y để biểu thức đạt giá trị lớn Ta có Dấu "=" xảy Như để đạt mong muốn chủ trang trại xây chuồng theo c ạnh hình vng có độ dài 6(m) 3.4 Kiểm tra, đánh giá (10’) - Hình thức: Mỗi nhóm chọn học sinh nhóm lại lên bảng giải tốn nhóm vòng phút (4 học sinh đồng thời lên bảng, học sinh đại diện lấy điểm cho nhóm) GV gọi HS nhận xét làm, nhóm có tốn đánh giá cho điểm cho giải 3.5 Củng cố (2’) - GV nhắc lại số kiến thức trọng tâm cho tập luyện thêm cho học sinh Nhóm 1: KẾT LUẬN Trong chuyên đề chúng em đề cập đến kiến thức chung bất đẳng thức Cosi, kỹ áp dụng bất đẳng thức Cosi chứng minh biểu thức, ứng dụng bất đẳng thức Cosi toán thực tế Do hạn chế kiến thức thời gian, chun đề nhiều thiếu sót chúng em mong nhận góp ý từ phía bạn đọc ...“THIẾT KẾ DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN” KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bất đẳng thức Cosi 1.1.1 Phát biểu - Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực không âm: Cho. .. nhóm học sinh: nhóm, nhóm học sinh Bài mới: * Gợi động cơ, hướng đích: ( phút ) Bất đẳng thức chủ đề đa dạng hấp dẫn nội hay khó Toán học Các em học số bất đẳng thức kinh điển Tốn học bất đẳng thức. .. hoạch dạy học BỒI DƯỠNG: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY TRONG GIẢI TOÁN I Mục tiêu học: Qua học, HS Về kiến thức: - Hiểu nội dung bất đẳng thức Cauchy - Nắm kỹ sử dụng bất đẳng thức