Gợi ý làm bài thi môn Toán Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Hà Nội năm học 2009-2010 Bài I / (2,5 đi ể m) Cho bi ể u t h ức A = 1/ Rút gọn bi ể u t h ức A. x + x − 4 1 + x − 2 1 x + 2 , vớ i x ≥ 0 v à x ≠ 4 2/ T í nh g iá t r ị c ủa bi ể u t hứ c A khi x = 25. 3/ T ì m g iá t r ị c ủa x để A = − 1 3 G i ải: 1/ A = x + x − 4 1 + x − 2 1 x + 2 = x + ( x + 2 + x − 2)( x − 2 = x + 2) ( x + 2 x − 2)( x x + 2) = x ( x + 2) = x 2/ A = ( x − 2)( x = x − 2 x + 2) 25 25 − 2 x − 2 = 5 3 3/ A = − 1 ⇒ x = − 1 ⇔ 3 x = − x + 2 3 x − 2 3 4 x = 2 x = 1 2 x = 1 4 Bài II / (2,5 đi ể m) Giải bài t oán sau đây bằng c ách l ập phương t r ì nh hoặc hệ phương t r ì nh: Ha i t ổ s ả n xuấ t c ùng m a y mộ t l o ại á o. N ế u t ổ t hứ nh ất m a y t rong 3 ng à y, t ổ t hứ h ai m a y t rong 5 ngày t hì cả ha i t ổ m a y đượ c 1310 c hi ếc á o. B iết r ằ ng t rong một ng à y t ổ t hứ nhấ t m a y đượ c nhi ề u hơn t ổ t hứ h ai là 10 c hi ếc á o. Hỏ i mỗ i t ổ t rong mộ t ng à y m a y đượ c b a o nhi ê u c hi ếc á o ? G i ải: Gọ i số á o t ổ 2 m a y đượ c t rong 1 ng à y là x (x ∈ N*) số á o t ổ 1 m a y đượ c t rong 1 ng à y là x +10 3 ngày t ổ 1 m a y đượ c 3(x+10) 5 ngày t ổ 2 m a y đượ c 5x Th e o đ ề b ài ha i t ổ m a y đượ c 1310 c hi ếc , ta c ó : 3(x+10) + 5x = 1310 3x + 30 + 5x = 1310 8x + 30 = 1310 8x = 1280 x = 1280:8 x = 160 V ậ y 1 ngày t ổ 2 m a y đượ c 160 c hi ếc á o 1 ngày t ổ 1 m a y đượ c 160+10 = 170 c hi ếc á o.  Bài III / (1,0 đi ể m) Cho phương t r ì nh ( ẩ n x) : x 2 – 2(m+1)x + m 2 +2 = 0 1/ Gi ải phương t r ì nh đ ã c ho khi m = 1. 2/ T ì m g iá t r ị c ủa m để phương t r ì nh đ ã c ho c ó h ai nghi ệ m phân bi ệt x 1 , x 2 t hỏ a m ã n h ệ t h ức x 1 2 + x 2 2 = 10. G i ải: 1/ Khi m = 1: x 2 – 4x + 3 = 0 c a +b+ c = 1 + (-4) + 3 = 0 ⇒ x 1 = 1; x 2 = = 3 a 2/ Đ ể phương t r ì nh c ó 2 nghi ệ m ph â n bi ệt: ∆ ' = [-(m+1)] 2 – (m 2 +2) = m 2 + 2m + 1 – m 2 – 2 = 2m -1 > 0 1 ∆' > 0 T a c ó : ⇒ m > 2 − b c x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 (Th e o Vi- et x 1 +x 2 = a = [2(m+1)] 2 – 2(m 2 +2) = 4(m 2 + 2m + 1) – 2m 2 -4 = 4m 2 + 8m + 4 – 2m 2 -4 = 2m 2 + 8m Th e o đ ề b ài x 1 2 + x 2 2 = 10: 2m 2 + 8m = 10 ⇒ 2m 2 + 8m – 10 = 0 2(m 2 + 4m – 5) = 0 2(m 2 + 5m – m – 5) = 0 2[m(m+5)-(m+5)] = 0 2(m+5)(m-1) = 0 = 2m+1 ; x 1 x 2 = a = m 2 +2) Đượ c:  m = - 5 ( loai)  m = 1 Bài IV / (3,5 đi ể m) Cho đường t ròn (O;R) v à đ iể m A n ằ m b ê n ngo ài đường t ròn. K ẻ các tiế p t uy ế n AB, AC vớ i đường t ròn (B,C là các tiế p đ iể m) 1/ Chứng m i nh ABOC là t ứ gi ác nộ i tiế p. 2/ Gọ i E là g ia o đi ể m c ủa BC v à OA. Chứng m i nh BE vuông gó c vớ i OA v à OE.OA = R 2 . 3/ Tr ê n c ung nhỏ BC c ủa đường t ròn (O;R) lấ y đ iể m K b ất kỳ (K kh ác B v à C). T iế p t uy ế n tại K c ủa đường t ròn (O;R) cắt AB, AC t h e o t hứ t ự các đ iể m P, Q. Chứng m i nh ta m g iác APQ c ó c hu vi không đổ i khi K c huy ể n động t r ê n c ung nhỏ BC. 4/ Đường t h ẳ ng qua O v à vuông gó c vớ i OA cắt các đường t h ẳ ng AB, AC t h e o t hứ t ự tại các đ iể m M, N. Chứng m i nh PM + QN ≥ MN. G i ải: M B P K O A E Q N C 1/ Xé t ◊ABOC c ó ∠ABO = 1V ( tí nh c h ất tiế p t uy ế n) ∠ACO = 1V ( tí nh c h ất tiế p t uy ế n) ⇒ ∠ABO + ∠ACO = 1V + 1V = 2V là h ai gó c đố i d iệ n ⇒ ◊ABOC nộ i tiế p. 2/ AB = AC ( t/c 2 tiế p t uy ế n c ùng xu ất ph át t ừ 1 đi ể m) ⇒ ∆ ABC câ n. m à AO là ph â n g iác c ủa ∠BAC ( t/c 2 tiế p t uy ế n c ùng xu ất ph át t ừ 1 đi ể m) ⇒ AO là đường ca o c ủa ∆ ABC h a y AO⊥BC. Xé t ∆ ABO vuông ở B c ó BE là đường ca o, t h e o h ệ t h ức l ượng t rong ta m g iác vuông ⇒ OB 2 = OE.OA, m à OB = R ⇒ R 2 = OE.OA 3/ PK = PB ( t/c 2 tiế p t uy ế n c ùng xu ất ph át t ừ 1 đi ể m) KQ = QC ( t/c 2 tiế p t uy ế n c ùng xu ất ph át t ừ 1 đi ể m) Xé t P ∆ APQ = AP + AQ + QP = AP + AQ + PK + KQ = AP + PK + AQ + KQ = AP + PB + AQ + QC = AB + AC = 2AB - (O) c ố định - A c ố định AB không đổ i 4/ ∆ OMP ∆ QNO ⇒ MP = OM ⇒ MP.QN = OM.ON = MN . MN = MN 2 ⇒ MN 2 = 4MP.QN ON QN 2 2 4 MN = 2 MP.QN ≤ MP+NQ (Th e o BĐT C a uchy) Hay MP+NQ ≥ MN (ĐPCM) Bài V / (0,5 đi ể m) G iải phương t r ì nh : G i ải: x 2 − 1 + 4 x 2 + x + 1 4 = 1 (2x 3 + x 2 + 2x + 1). 2 x 2 − 1 + 4 x 2 + x + 1 4 = 1 (2x 3 + x 2 + 2x + 1) 2   ⇔ 2 x 2 − 1 + 4 ⇔ 4 x 2 − 1 + 4 x 2 + x + 1 4 x 2 + x + 1 4 = 2x 3 + x 2 + 2x + 1 = x 2 (2x + 1) + (2x + 1) ⇔ 4 x 2 − 1 + 2 4 x 2 + 4 x + 1 = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ (2x + 1)(2x − 1) + 2 (2x + 1) 2 = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1) + 2 2 x + 1 = (2x + 1) (x 2 + 1) T a t h ấ y : Vế t r ái c ủ a PT l uôn ≥ 0 vớ i ∀ x m à x 2 + 1 > 0 vớ i ∀ x ⇒ 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 1 2 PT ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1) + 2(2 x + 1) = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1 + 2) = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ (2x + 1) 2 = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ 2x+1 = (2x + 1) (x 2 + 1) ⇔ (2x + 1)(x 2 + 1-1) = 0 ⇔ x 2 (2x + 1) = 0  x = 0 ⇔  2x + 1 = 0  x = 0 ⇔  x = - 1  2 Thử lại , ta t h ấ y x = 0 v à x = − 1 2 t hỏ a m ã n. K ết l uận : PT c ó 2 nghi ệ m x = 0; x = − 1 2 ------------------------------------ Ngườ i giải đề t h i : NGUYỄN NGỌC ĐẠI (Giáo viê n Trường THCS Đống Đa, Hà Nội) . Gợi ý làm bài thi môn Toán Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Hà Nội năm học 2009-2 010 Bài I / (2,5 đi ể m) Cho bi ể u t h. là x +10 3 ngày t ổ 1 m a y đượ c 3(x +10) 5 ngày t ổ 2 m a y đượ c 5x Th e o đ ề b ài ha i t ổ m a y đượ c 1 310 c hi ếc , ta c ó : 3(x +10) + 5x = 1 310 3x