S GIO DC V O TO H NI K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT Nm hc 2009 - 2010 Mụn thi: Toỏn Ngy thi: 24 thỏng 6 nm 2009 Thi gian lm bi: 120 phỳt Bi I (2,5 im) Cho biu thc: x 1 1 A x 4 x 2 x 2 = + + + vi x 0 v x 4 1) Rỳt gn A 2) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 25 3) Tỡm x 1 A 3 = Bi II (2,5 im) Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh: Hai t sn xut cựng may mt loi ỏo. Nu t th nht may trong 3 ngy, t th hai may trong 5 ngy thỡ c hai t may c 1310 ỏo.Bit rng trong mt ngy t th nht may c nhiu hn t th hai l 10 chic ỏo. Hi mi t trong mt ngy may c bao nhiờu chic ỏo? Bi III (1,0 im) Cho phng trỡnh (n x): x 2 2(m+1)x + m 2 + 2 = 0 1) Gii phng trỡnh ó cho khi m = 1 2) Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1 ; x 2 tho món: 2 2 1 2 x x 10+ = Bi IV (3,5 im) Cho (O;R) v im A nm bờn ngoi ng trũn. K cỏc tip tuyn AB, AC vi ng trũn (B, C l cỏc tip im). 1) Chng minh ABOC l t giỏc ni tip. 2) Gi E l giao im ca BC v OA. Chng minh BE vuụng gúc vi OA v OE.OA = R 2 3) Trờn cung nh BC ca (O;R) ly im K bt kỡ (K khỏc B v C). Tip tuyn ti K ca (O;R) ct AB, AC theo th t ti P v Q. Chng minh tam giỏc APQ cú chu vi khụng i khi K chuyn ng trờn cung nh BC. 4) ng thng qua O v vuụng gúc vi OA ct cỏc ng thng AB, AC theo th t ti M, N. Chng minh PM + QN MN Bi V (0,5 im) Gii phng trỡnh ( ) 2 2 3 2 1 1 1 x x x 2x x 2x 1 4 4 2 + + + = + + + ----------------------Hết---------------------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký giám thị số 1: . Chữ ký giám thị số 2: . 1 CHNH THC ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường Giáo viên bộ môn Toán - Trường THCS Thái Thịnh Quận Đống Đa – Hà Nội =======*****====== Bài I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 1 A x 4 x 2 x 2 x 1 1 A x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x A x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x A x 2 x 2 x 2 = + + − − + = + + − + − + + + + − + = = − + − + + = = − − + 2 Tính giá trị của A khi x = 25 Với x = 25 ta có 25 5 A 3 25 2 = = − 3 Tìm x để 1 A 3 = − Khi ( ) 1 x 1 A 3 x x 2 3 3 x 2 1 1 4 x 2 x x tmdk 2 4 = − ⇔ = − ⇔ = − + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = Bài II Giải bằng cách lập phương trình: Gọi số áo tổ 2 may được trong một ngày là x ( * x N∈ ; áo/ngày) Số áo tổ 1 may được trong một ngày là x + 10 (áo) 3 ngày tổ thứ nhất may được 3(x +10) (áo) 5 ngày tổ thứ nhất may được 5x (áo) Tổ 1 may trong 3 ngày và tổ 2 may trong 5 ngày được 1310 chiếc áo nên ta có pt: ( ) 3(x+10) + 5x = 1310 3x+30+5x=1310 8x 1310 30 8x 1280 x 160 tmdk ⇔ ⇔ = − ⇔ = ⇔ = Vậy mỗi ngày tổ 1 may được 160 + 10 = 170 chiếc áo Mỗi ngày tổ 2 may được 160 chiếc áo Cách 2:Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau: chẳng hạn giải bằng cách lập hệ pt: Gọi số áo tổ 1 may được trong một ngày là x ( * x N∈ ; áo/ngày) Số áo tổ 2 may được trong một ngày là y ( * y N∈ ; áo/ngày) 3 ngày tổ thứ nhất may được 3x (áo) 5 ngày tổ thứ nhất may được 5y (áo) Vì tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1310 2 Mỗi ngày tổ 1 may được nhiều hơn tổ 2 là 10 chiếc áo nên ta có pt: x – y = 10 Ta có hệ pt: 3x 5y 1310 x y 10 + =   − =  Giải hệ ta được x = 170; y= 160 Bài III Cho phương trình (ẩn x): x 2 – 2(m+1)x + m 2 + 2 = 0 1)Giải phương trình đã cho khi m = 1 Khi m = 1 Phương trình 2 x 4x 3 0− + = Vì 1 + (-4) + 3 = 0, theo hệ thức Vi-ét pt có hai nghiệm phân biệt: ; 1 2 x 1 x 3= = 2)Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn: 2 2 1 2 x x 10+ = x 2 – 2(m+1)x + m 2 + 2 = 0 (1) *) Pt có hai nghiệm 'Δ 0⇔ ≥ ( ) ( ) 2 2 2 2 m 1 m 2 0 m 2m 1 m 2 0 1 2m 1 0 m 2 ⇔ + − + ≥ ⇔ + + − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ *) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có: ( ) . 1 2 2 1 2 x x 2 m 1 x x m 2 + = +   = +  Ta có ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( «ng tm®k) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 10 x x 2x x 10 2 m 1 2 m 2 10 4 m 2m 1 2m 4 10 0 4m 8m 4 2m 14 0 2m 8m 10 0 m 1 tmdk m 5 kh + = ⇔ + − = ⇔ + − + = ⇔ + + − − − = ⇔ + + − − = ⇔ + − = =  ⇔  = −  Vậy với m = 1 thoả mãn yêu cầu đề bài. 3 Bài IV 1 1 1 1 1 N M Q P E C B O A K 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. Xét (O): AB⊥OB (AB là tiếp tuyến của (O)) ⇒ góc OBA = 90 o Chứng minh tương tự: góc OCA = 90 o ⇒ góc OBA +góc OCA = 180 o Xét tứ giác ABOC: góc OBA +góc OCA = 180 o (cmt) Mà B và C là hai đỉnh đối nhau ⇒tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt) 2 2)Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R 2 Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) ⇒ AB = AC và AO là phân giác góc BAC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒∆ABC là tam giác cân tại A (dhnb tam giác cân) Mà AO là phân giác góc BAC (cmt) ⇒ AO⊥BC (t/c tam giác cân) ⇔AO⊥BE Xét tam giác OBA vuông tại B: AO⊥BE (cmt) ⇒OE.OA=OB 2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) ⇔OE.OA=R 2 3 3)Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. Xét (O): PB, PK là hai tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒PK = PB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự QK = QC Ta có chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + KQ Mà PK = PB; KQ = QC (cmt) ⇒Chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PB + QC = AP + PB + AQ + QC Chu vi tam giác APQ = AB + AC Mà A, (O) cố đinh ⇒ Tiếp tuyến AB, AC cố định ⇒AB, AC không đổi Chu vi tam giác APQ = AB + AC không đổi khi K di chuyển trên cung BC nhỏ. 4)Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC 4 4 theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN +) Chứng minh được: ∆AMN cân tại A ⇒ góc M = góc N (tc tam giác cân) ⇒ góc A + 2 góc M 1 = 180 o (*) Ta có góc A + góc BOC = 180 o (tứ giác OBAC là tgnt) Chứng minh được góc BOC = 2 góc POQ ⇒ góc A + 2góc POQ = 180 o (**) Từ (*) và (**) ta có góc M 1 = góc POQ Ta có góc PON là góc ngoài của ∆MOP ⇒ góc PON = góc P 1 + góc M 1 ⇔góc POQ + góc O 1 = góc P 1 + góc M 1 Mà góc M 1 = góc POQ (cmt) ⇒góc O 1 = góc P 1 Xét ∆ONQ và ∆PMO: gócM 1 = gócN 1 (cmt) gócO 1 = gócP 1 (cmt) ⇒∆ONQ đồng dạng với ∆PMO ⇒ NQ ON MO PM = (đn 2 tam giác đồng dạng) ⇒PM.NQ = OM.ON = OM 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số PM>0 và PN >0 ta có: . 2 PM PN 2 PM PN PM PN 2 OM PM PN 2OM PM PN MN + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ Câu V Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x 2x x 2x 1 4 4 2 1 1 1 x x x 2x 1 2x 1 4 2 2 1 1 1 x x 2x 1 x 1 4 2 2 1 1 1 1 x x x x x 1 2 2 2 2 − + + + = + + +     ⇔ − + + = + + +  ÷       ⇔ − + + = + +        ⇔ − + + + = + +  ÷ ÷  ÷      Điều kiện: ( ) 2 1 1 x x 1 0 x 2 2   + + ≥ ⇔ ≥ −  ÷   Phương trình tương đương: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x 1 2 2 2 2 1 1 1 x x 1 x x 1 2 2 2 1 1 1 1 x x x 1 x x x 1 2 2 2 2 1 1 x x 1 1 0 x x 0 2 2 1 1 x 0 x 2 2 x 0 x 0        ⇔ − + + + = + +  ÷ ÷  ÷  ÷             ⇔ + − + = + +  ÷ ÷  ÷              ⇔ + = + + ⇔ + = + +  ÷  ÷  ÷  ÷             ⇔ + + − = ⇔ + =  ÷  ÷       + = = −   ⇔ ⇔  = =    ( ; ®k)tm 1 S 0 2     ⇒ = −     6 . . 1 CHNH THC ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường Giáo viên bộ môn Toán - Trường THCS. 1 310 chiếc áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1 310 2 Mỗi ngày tổ 1 may được nhiều hơn tổ 2 là 10 chiếc áo nên ta có pt: x – y = 10 Ta có hệ pt: 3x 5y 1 310 x y 10