HỌ TÊN LỚP 9D3 ĐẠI SỐ: 1) Hệ phương trình A (-2;5) ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN HỌC KÌ 2 x − y =  x + y = có nghiệm (x;y) là: B (0;-3) C (1;2) D (2;1) x + y =    y = − 2) Cặp số sau nghiệm hệ phương trình 1 1     1   0; − ÷ − ;2÷  0; ÷  2; − ÷ 2 2     2  A B C D x − y =  3) Cho hệ phương trình 3 x + y = 12 có kết luận số nghiệm hệ phương trình cho cho: A C Vơ nghiệm Vơ số nghiệm B Có nghiệm D Cả đáp án sai x − y =  3 x − y = 12 4) Cho hệ phương trình có kết luận số nghiệm hệ phương trình cho cho: A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Vô số nghiệm D Cả đáp án sai ax + y =  x + by = −2 5)Với giá trị a, b hệ phương trình  6) Nhận cặp số ( -2; ) nghiệm: A a = 4; b = B a = 0; b = C a = 2; b = D a = - 2; b =- 2x − 3y =  4x + my = 7)Hệ phương trình vơ nghiệm A m = -6 B m = C m = -1 D m = 8) Hệ phương trình sau vơ nghiệm ïìï x - y = í ïï 2x + y = ỵ ïìï x - y = í ïï 2x + y = ỵ ïìï x - y = í ïï x + y = ỵ ïìï x - y = í ïï 2x - 2y = ỵ A B C D 9) Phương trình 3x – 2y + = kết hợp với phương trình lập thành hệ phương trình vô nghiệm A 2x – 3y – = B 6x – 4y + = C -6x + 4y + = D -6x + 4y– = ∆' 10)Biệt thức phương trình 4x2 – 6x – = A B 13 C 20 D 52 11)Phương trình kết hợp với phương trình x+ y = để hệ p.trình bậc ẩn có nghiệm A 3y = -3x+3; B 0x+ y =1; C 2y = - 2x; D y + x =1 ax + y =  x + by = −2 12) Với giá trị a, b hệ phương trình  TRANG 13) Nhận cặp số ( 1; ) nghiệm: A a = -3; b = B a = 0; b = C a = 1; b = D a = 0; b =-3 14) Phương trình 3x - 2y =1 kết hợp với phương trình để hệ phương trìnnh vơ nghiệm: A 6x – 6y =1 B 6x + 4y = C 6x – 4y =2 D 6x – 4y = ’ 15) Biệt thức phương trình 4x2 – 6x – = là: V A B 13 16) Biệt thức ∆' phương trình 4x2 - 2mx - = là: A m2 + 16 B - m2 + C m2 - 16 C 52 D 20 D m2 +4 17) Phương trình sau có nghiệm phân biệt A x2 + x + = B 4x2 - 4x + = C 371x2 + 5x - = D 4x2 = 18) Phương trình sau vô nghiệm : A x2 + x +2 = B x2 - 2x = C (x2 + 1) ( x - ) = D (x2 - 1) ( x + ) = 19) Với giá trị m phương trình x2 - 3x + 2m = có nghiệm phân biệt? A m > B m < C m > 9/8 D m < 9/8 20) Với giá trị m phương trình x2 - 4x + m = có nghiệm kép A m=1 B m=-1 C m=4 D m=-4 21) Một nghiệm p.trình x2 + x - = là: − A -2 B C 22) Phương trình m≠0 ( m + 2) x D -1 − 3mx + = m≠2 phương trình bậc hai ẩn x khi: m ≠ −2 m≠9 A B C D 23) Phương trình có nghiệm kép A x2 – 2x – = B x2 + 4x + = C x2 – x + = D x2 + 2x + = 24) Trong phương trình sau , phương trình có hai nghiệm phân biệt x − 6x + = x2 +1 = A B 2x − x − = x2 + x +1 = C D 25) Phương trình 3x – 27 = có tất nghiệm x = ±9 x = ±3 A x = 27 B x = C D 26) Phương trình x - 3x + m – = có hai nghiệm trái dấu : A m < B m > C m > 27) Phương trình x2 – 2015x - 2014 = có tổng hai nghiệm A 2014 B -2014 C -2015 TRANG D m < D 2015 28) Hai số có tổng tích -6 nghiệm phương trình nào? A x2 – x + = B x2 – x – = C x + x – = D x2 + x + = 29) Phương trình x2 - 5x - = có hai nghiệm là: A -6 B – C D – –6 30) Phương trình x - 4x - = có hai nghiệm là: A -5 B – C D – –5 31) Phương trình 3x2 + bx + = có nghiệm b bằng: A – B – C D 32) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 -mx -3 = x1 + x2 : m m 3 − − A B C D 2 33) Tổng hai nghiệm phương trình x + 2x - = : A B.-2 C.–2 D 34) Phương trình 3x + bx + = có nghiệm -2 b bằng: A – B – C D 35) Tổng tích hai nghiệm phương trình: x2 - 5x -7 = A -7 B C -5 -7 D -5 36) Tổng tích hai nghiệm phương trình: x2 - 10x -3 = A -10 -3 B 10 -3 C -10 -3 D -10 37) Gọi S P tổng tích hai nghiệm phương trình 2x2+x -3=0 Khi S P bằng: A - B C D 4 2 38) Phương trình x2 + 6x + m = có nghiệm x1 x2 Tính x1 + x2 theo m, ta có kết là: A 36 + 2m B – 2m C 36 – 2m D – +m 39) Phương trình x2 + 6x - m = có nghiệm x1 x2 Tính theo m, ta có kết là: 2 x1 + x2 A 36 + 2m B – 2m C 36 – 2m D – +m 40) Biết u+v = 5; u.v =6 Khi u,v hai nghiệm phương trình: A x2 + 5x + =0 B x2 + 5x - =0 C x2 - 5x + =0 A x2 + 7x + 12 B x2 + 7x - 12 C x2 - 7x + 12 =0 x2 - 5x - =0 D.x2 - 7x - 12 =0 =0 =0 41) Biết u+v = 7; u.v =12 Khi u,v hai nghiệm phương trình: 42) Với giá trị m phương trình x − mx + = có nghiệm kép: A m = B m = - C m = ± D m = 43) Phương trình nao sau có nghiệm trái dấu? A x2 – 3x + = B x2 – x – = C x2 + 5x + = D x2+3x + = 44) Nếu hai số x, y có tổng x + y = S xy = P, x, y hai nghiệm phương trình: 2 A X + SX − P = B X − SX + P = C ax + bx + c = D TRANG BÀI 1: 1) Xác định hàm số y = ax2 (P) biết M( -1; 2) thuộc vào (P) 2) Vẽ đồ thị hàm số y = - 2x2 3) Giải hệ phương trình : x + y =  x + y = : 2 x − y =  4 x + y = 3 x + y = 14  8 x + y = 4 x + y =  4) Khơng giải hệ phương trình, xác định số nghiệm hệ  x + y = BÀI 2: Giải phương trình 1) 3x2 + 5x – = 2) a, 5x2 - 3x = b, 6x2 - 4x - = C) 4x4 – 3x2 – = 3) Giải phương trình 2x2 – x – = BÀI 4: 1) Cho hàm số y = 2,5x2 (P) a, Vẽ đồ thị (P) hàm số b, Tìm hệ số a phương trình đường thẳng (d) y = ax + 4, biết đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) điểm A có hồnh độ -2 2 2) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 Các điểm A(2;1); B(3; ) điểm thuộc, không thuộc (P)? BÀI 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – = (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Biết phương trình (1) có nghiệm x1 = Hãy tính nghiệm cịn lại x2 m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm giá trị nguyên dương m để biểu x x +3 A= x1 + x thức có giá trị nguyên BÀI 6: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x + m2 – = (1) (m tham số) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 52 BÀI 7: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x + m + = (1), (x ẩn số, m tham số) a Tìm m để phương trình có nghiệm b Tìm m để phương trình có nghiệm tìm nghiệm cịn lại c Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2 – 2(x1 + x2) = -4 BA 8: Cho phương trình x2 – 2x + m = a) Giải phương trình với m = -15 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x 22 = BÀI 9: Cho phương trình bậc hai 2x2 + 5x + m = (với m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c) Tìm giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm BÀI 10 Cho phương trình: x2-2x + m = (1) Với giá trị m phương trình (1) TRANG a) Có nghiệm phân biệt? b) Có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x12+x22= Hai xe khởi hành lúc từ thành phố A đến thành phố B cách 120 km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km/h nên đến B sớm 20 phút Tính vận tốc xe? BÀI 11: Cho phương trình bậc hai, ẩn số x : x2 – 3x + k – = a Giải phương trình k = b Với giá trị k phương trình có nghiệm c Tìm giá trị k cho phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 – x22 = 15 BÀI 12: Cho phương trình: x + 3x – m = (ẩn x, tham số m) a) Xác định hệ số a, b, c b) Tìm m phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 11 BÀI 13: Cho phương trình: x2 + (m+1)x + m = (*), m tham số, x ẩn a) Chứng minh phương trình (*) ln có nghiệm với m? b) Tìm m để phương trình (*) có nghiêm x = Tìm nghiệm thứ ? c) Tìm m để phương trình (*) có nghiêm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x22 đạt giá trị nhỏ BÀI 14: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = (*) ( m tham số, x ẩn) a) Chứng minh phương trình (*) ln có nghiệm với m? b) Tìm m để phương trình (*) có nghiêm x = Tìm nghiệm thứ ? c) Tìm m để phương trình (*) có nghiêm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : x12 + x22 =4 x − 2mx + m − = ( 1) BÀI 15: Cho phương trình ( m tham số ) x1 , x2 a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với m b)Tìm m để phương trình (*) có nghiêm x = Tìm nghiệm thứ ? M = x12 + x22 − x1 x2 c) Tìm m cho biểu thức đạt giá trị nhỏ BÀI NÂNG CAO: 1) Chứng minh với giá trị a, b a2 − ab + b2 ≥ a + ab + b2 ) ( 2) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng: 3) Cho a, b > ab >1 Chứng minh rằng: GỢI Ý: Ta có: x y2 + ≥x+y y x 1 + ≥ 2 + a + b + ab 1 + ≥ 2 + a + b + ab + a + b2 ≥ 2 2 + a + b + a b + ab ⇔ + a + b + 2ab + a 3b + ab3 ≥ + 2a + 2b + 2a 2b ⇔ ⇔ (ab − 1)( a + b) ≥ Luôn ab>1 TRANG + x y 4) Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + 2y + 3 y + = ( x + y) + ( x + ) + ( + ) y 2 x y Ta có : P = 3x + 2y + x y y 3x 3x 3 3 x+ y= ( x + y ) ≥ = + x ≥ 2 x = + y ≥ 2 y = 2 Do ; , Suy P ≥ + + = 19  x + y =  x =  3x = ⇔   x y = 2 y 2 = y Dấu xẩy  Vậy P = 19 5) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a b c + + ≥3 b+ c− a a+ c−b a+b−c Chứng minh rằng: ĐÁP ÁN Bài Nội dung Vì a, b, c dộ dài cạnh tam giác nên ta có: b+c- a >0; c+a- b >0; a+b- c > y+ z x+ z x+ y a= ; b= ; c= 2 Đặt b+c-a = x; c+a-b = y; a+b- c= z ⇒ (*) y + z x + z x + y  y x   x z   y z   (0,5đ) A= + + =   + ÷ +  + ÷ +  + ÷ 2x 2y 2z   x y   z x   z y   Thay (*) vào A ta có: ⇒ A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ (đpcm) 6) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện: x−3 + 5− x ĐK 3≤ x≤5 = y2 + 2018 y + 2020 ĐÁP ÁN Ta có: VT = ( x − + − x ) ≤ ( + 1) ( x − + − x ) ⇔ ( x − + − x )2 ≤ ⇔ x−3 + 5− x ≤ (1) TRANG 0,25 Điểm 0,25đ 0,25đ 2018 VP = (y + )2 + Từ (1) (2) => … Vậy ≥2 (2)  x =   y = 2018 (TMĐK)  x =   y = 2018 0,25 -1 x − x + 2019 7) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = ĐÁP ÁN Bài ĐK : 0,5 điểm x≥0 Ta có x - Mà ( ⇒ ( ⇒ ⇒ x x x + 2019 = ( x - 1)2 + 2018 - 1)2 ≥ với x ≥ - 1)2 + 2018 ≥ 2018 với x ≥ 1 ( x − 1) + 2018 ≤ 2018 0,25 -1 ≥ − 2018 ( x − 1)2 + 2018 − ⇒GTNN A = 2018 − Vậy GTNN A = ⇔ 2018 x = ⇔ x = (TMĐK) ⇔x=1 8) Cho x > 0, y > x + y = ≤ Chứng minh : x2y2(x2 +y2) ĐÁP ÁN TRANG 0,25 Vì x > 0;y > mà x + y = nên áp dụng BĐT Cosi với hai số dương x y xy ≤ x + y ⇔ xy ≤ ⇔ xy ≤ ta có: áp dụng BĐT Cosi với hai số dương 2xy x2 + y2 ta được: 2xy + + = (x+y)2 = 2xy ( x2 + y2 ) xy ( x2 + y2 ) x2 y x2 + y ≤ < xy ≤ Mà nên (đpcm) ( 0,25 0,25 ) 9) Cho a + b + c = a, b, c ≠ Chứng minh đẳngthức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c ĐÁP ÁN VT = Bài (0,5điểm) 1 1 1 1   1   + + = + + + 2 + +  − 2 + +  2 a b c a b c  ab bc ca   ab bc ca  2 0,25 a b   1 1  c  1 1  a+b+c   1 1 =  + + ÷ − 2 + + ÷ =  + + ÷ − 2 ÷=  + + ÷ a b c  abc abc bca  a b c  abc  a b c = 1 + + = VP a b c 10) Chứng minh x+ y − z =0 1 + + =0 y+z−x z+x− y x+ y−z ĐÁP ÁN x + y − z = ⇔ ( x + y )2 = z ⇔ x + y + xy = z ⇔ x + y − z = −2 xy x + y − z = ⇔ ( x − z ) = (− y )2 ⇔ x + z − xz = y ⇔ x + z − y = xz x + y − z = ⇔ ( y − z ) = (− x ) Bài (0,5điểm) ; ⇔ y + z − yz = x ⇔ y + z − x = yz 0,25 Thay kết ta được: 1 1 1 + + = + − y + z − x z + x − y x + y − z yz zx xy = y x z + − = xyz zxy xyz x+ y− z xyz TRANG =0 0,25 0,25 HÌNH HỌC 1) Góc nội tiếp chắn cung 120 có số đo : A 1200 B 900 C 300 D 600 2) Góc nội tiếp đường trịn có số đo 600 Khi cung bị chắn có số đo là: A 600 B 1200 C 900 D 300 A D 60o B x C H1 3) Trong hình Biết AC đường kính (O) góc BDC = 600 Số đo góc x bằng: A 400 B 450 C 350 D 300 D H3 C n 60o B A 4) Trong hình vẽ AB đường kính (O), DB tiếp tuyến (O) B Biết BnC bằng: A 400 B 500 D 300 N 60° M 40° x Q P 5) Trong hình vẽ, cho điểm MNPQ thuộc (O) Số đo góc x bằng: A 200 B 250 C 300 D 400 TRANG ˆ = 60O B cung A D x B 30o H4 C 6) Trong hình vẽ Biết AC đường kính (O) Góc ACB = 300 Số đo góc x bằng: A 400 B 500 C 600 D 700 B 7) Trong hình Biết MA MB tiếp tuyến (O), đường kính BC Góc BCA = 700 Số đo góc x bằng: A 700 B 600 C 500 D 40 O 70o x M M H6 P K C A 45o O 30o Q N H7 8) Trong hình Biết góc NPQ = 450 vốcgóc MQP = 30O Số đo góc MKP bằng: A 750 B 70 C 65 D 600 A B 9) Trong hình Biết cung AmB = 80 O cung CnB = 30O Số đo góc AED bằng: A 500 B 250 C 300 D 35 m 80° 30° n H8 N 60° M 40° P TRANG 10 E C D 10) Trong hình vẽ sau cho điểm M,N,Q,P thuộc đường trịn Số đo góc x bằng: A 250 B 200 C 300 D 400 11) Cho hình vẽ Biết AB đường kính đường trịn (O), ∠ ∠ CAB = 400; BAD = 200 Khi số đo góc AQC là: x x Q E A F A 200 B 300 C 500 D 1000 D n B A M O B D C 16) Cho hình chữ nhật có chiều dài cm chiều A rộng Dlà cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài ta hình trụ Diện tích C xung quanh hình B trụ là: A 30 π (cm2) B 10 π (cm2) C 15 π (cm2) D π (cm2) 17) Cho tam giác ABC vuông A; AC = cm; AB = cm.E Quay tam giác vịng quanh cạnh AB ta hình nón Diện tích xung quanh hình nón là: A 20 (cm2) B 48 (cm2) C 15 (cm2) D 64 A (cm ) F π π π π 18) Một hình trụ hình nón có chiều cao đáy Tỷ số thể tích hình nón hình trụ là: A B C D 2 3 B 19) Thể tích hình trụ 375cm3, chiều cao hình trụ 15cm Diện tích xung quanh hình trụ : D A.150πcm2 B 70πcm2 C 75πcm2 D 32πcm2 20) Một hình chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng 3cm Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài C diện tích xunh quanh hình trụ thu π A (cm2) π A D B (cm2) π C 18 (cm2) π D 36 (cm2) B C 21) Cho hình nón có bán kính đáy 6cm, chiều cao 8cm diện tích xung quanh hình nón : π π π π A 24 cm2 B 60 cm2 C 48 cm2 D 50 cm2 Một hình nón có bán kính đáy 5cm, chiều cao 12cm Khi diện tích xung quanh : A 60πcm2 B 300πcm2 C 17πcm2 D 65πcm2 TRANG 12 22) Hình nón có chiều cao 12 cm, đường sinh 15 cm tích 36π 81π 162π 324π A (cm3) B (cm3) C (cm3) D (cm3) 23) Một hình chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng 3cm Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài diện tích xunh quanh hình trụ thu π A (cm2) π B (cm2) π C 18 (cm2) π D 36 (cm2) 24) Một hình nón có bán kính đáy 5cm, chiều cao 12cm Khi diện tích xung quanh : A 60πcm2 B 300πcm2 C 17πcm2 D 65πcm2 25) Cho tam giác ABC vuông A; AC = cm; AB = cm Quay tam giác vịng quanh cạnh AC ta hình nón Diện tích xung quanh hình nón là: A 20 π (cm2) B 48 π (cm2) C 15 π (cm2) D 64 π (cm2) Thể tích hình trụ có bán kính đường trịn đáy chiều cao là: A 234 π B.324 π C 108 π D 486 π 26) Hình trụ tích 300 cm , diện tích đáy 15cm , chiều cao hình trụ A 20 cm B 25 cm C 60 cm D 75 cm BÀI 1: Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M điểm đường trịn (O) (M không trùng với A B) Các tiếp tuyến (O) A M cắt E Vẽ MP vng góc với AB P, MQ vng góc với AE Q a Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc đường tròn b Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng c Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh K trung điểm MP ĐÁP ÁN Vẽ hình cho câu a) 0,5đ a Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp (0.75đ) 0,25đ TRANG 13 · EMO = 900 Có: · EAO = 900 (EM tiếp tuyến (O)) => M thuộc đường trịn đường kính OE => A thuộc đường trịn đường kính OE Do đó: A; E; O; M thuộc đường trịn đường kính OE c Chứng minh K trung điểm MP (0.75đ) EK AP = EB AB Do AE // PK => (1) (định lí Talet) EI AP = EO AB ∆EOA ∆MAB (g.g) => (2) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ s EK EI = EB EO Từ (1); (2) => Do đó: KI // OB (định lí Talet đảo) hay IK // AP Trong ∆AMP có: IK // AP (cmt) I trung điểm AM (cmt) Suy ra: K trung điểm AM 2) Cho điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) cát tuyến MCD không qua O (C nằm M D) với đường tròn (O) ·AMO = BAO · a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp b) Chứng minh: MC.MD = MA2 c) Đường thẳng MO cắt AB H cắt (O) I, K (I nằm M K) Chứng minh: CK tia · DCH phân giác ĐÁP ÁN Câu 3,0 A D M C I O H K B 0,5 Vẽ hình cho câu a) a) (1 điểm) a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp Xét tứ giác MAOB có TRANG 14 ·AMO = BAO · 1,0 0,25 ⇒ c) (0,5 điểm) · · MAO = MBO = 900 (Tính chất tiếp tuyến) · · MAO + MBO = 1800 ⇒ ⇒ Tứ giác MAOB tứ giác nội tiếp (Định lí đảo tứ giác nội tiếp) · · » BMO = BAO BO ⇒ (Góc nội tiếp chắn ) · BMO = ·AMO Mà (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ·AMO = BAO · ⇒ · DCH c) Chứng minh: CK phân giác MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB ⇒ OM đường trung trực AB ⇒ OM ⊥ AB H ∆MAO vuông A có đường cao AH nên MA2 = MH.MO Mà MA2 = MC MD ⇒ MH.MO = MC.MD MC MO = · CMH MH MD ⇒ góc chung ∆ ∆ ⇒ MHC ~ MDO (c.g.c) · · · · · · MCH = MOD MCH HCD MOD HCD ⇒ mà + = 180 nên + = 1800 ⇒Tứ giác CHOD nội tiếp · · DOK = DCH ⇒ 1· · DCK = DOK Mà (góc nội tiếp góc tâm chắn cung) · · DCK = DCH · DCH ⇒ ⇒ CK tia phân giác 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 3) Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AC lấy điểm M Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC E, BM cắt đường tròn (O) điểm D Chứng minh: a) Các tứ giác ABEM ABCD nội tiếp b) DB phân giác góc EDA c) Ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy ĐÁP ÁN Câu 3,0 TRANG 15 B E M A O C D 0,5 K Vẽ hình cho câu a) a) Các tứ giác ABEM ABCD nội tiếp *Xét tứ giác ABEM có: · MEC = 900 ⇒ a) (1 điểm) Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · MEC (Kề bù với ) · MEB = 900 · BAM = 900 1,0 0,25 0,25 (gt) · · MEB + BAM = 1800 ⇒ ⇒ Tứ giác ABEM nội tiếp (Định lí đảo tứ giác nội tiếp) *Xét tứ giác ABCD có: · · BDC = BAC = 900 0,25 (gt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ A D nhìn BC cặp góc ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp (Bài tốn quỹ tích cung chứa góc) b) DB phõn giỏc ca gúc EDA =D ả C Xét đường trịn (O) có: b) (0,5 điểm) c) (0,5 điểm) (Góc nội tiếp chắn cung ME) µ =D ¶ ⇒C Mà tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) (Góc nội tiếp chắn cung AB) ¶ =D ¶ ⇒ ⇒D DB tia phân giác góc EDA c) Ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Giả sử AB cắt CD K BD ⊥ CK ; CK ⊥ BK Xét tam giác KBC, ta có: (gt) ⇒M trực tâm tam giác KBC (Tính chất đường cao) ⇒ KM ⊥ BC Mặt khác · MEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) TRANG 16 0,25 0,25 ⇒ ME ⊥ BC ⇒ Đường thẳng KM ME trùng Do đường thẳng AB, EM, CD đồng quy K 4) Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn (O) A lấy điểm M (M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp b) c) Điểm N trung điểm đọan thẳng CH ĐÁP ÁN DAPAN Đáp án Bài - Vẽ hình cho câu a) O H a) (1 điểm) Xét (O) có AB đường kính ta có: = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · AKB CH ⊥ AB (gt) · ⇒ AHN Xét tứ giác AKNH có : Điểm 0,5 = 900 0,25 0,25 · · AKN + AHN = 900 + 900 = 1800 Suy tứ giác AKNH nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) b) (1,0 điểm) Có MA MC hai tiếp tuyến cắt M đường tròn (O) (gt) ⇒ MA = MC (T/c tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực đoạn thẳng) (1) TRANG 17 0,25 0,25 Bài Đáp án Có OA = OC (Bán kính đường trịn (O)) ⇒ O thuộc đường trung trực đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực đoạn thẳng) (2) Từ (1) (2) ⇒OM đường trung trực đoạn thẳng AC ⇒ OM AC Có (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ BC AC OM//BC (T/c từ vng góc đến song song) ⇒ ⇒ Điểm 0,25 0,25 0,25 = (2 góc so le trong) (3) Xét (O) có : = (2 góc nội tiếp chắn cung KC) (4) Từ (3) (4) suy c) (0,5 điểm) Gọi giao điểm BC với AM I Có BC//OM (cmt) Xét tg ABI có: O trung điểm AB OM//BI ( OM//BC ) ⇒ M trung điểm AI (T/c đường trung bình tam giác) MA = MI 0,25 ⇒ Có AM ⊥ AB (Vì AM tiếp tuyến đường tròn (O)) CH ⊥ AB (gt) ⇒ CH //AM (T/c từ vng góc đến song song) ⇒ CH //AI Xét ABM có HN//MA ( Vì CH //AI, N ∈ CH, M ∈ AI) 0,25 ∆ (Hệ định lí Ta lét) (5) Xét MBI có : CN//IM ( Vì CH //AI, N ∈∈ CH, M ∈ AI) ∆ (Hệ định lí Ta lét) (6) Từ (5) (6) mà MA = MI ( cmt) nên NH = NC 0,25 ⇒N trung điểm CH 5) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn (P Q tiếp điểm) cát tuyến MAB (A nằm M B) Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh điểm M, P, O, I, Q thuộc đường tròn b) PQ cắt AB E Chứng minh MP2 = ME MI c) Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB H, K Chứng minh KB = HI ĐÁP ÁN Bài Đáp án Điểm (3điểm) Hình vẽ cho câu a) 0,5 TRANG 18 a (1 điểm) Xét (O) có AB dây không qua O I trung điểm AB(gt) ⇒ OI I ⇒ (q.hệ vuông góc đ.kính dây) ⊥ AB · MIO = 900 Ta có: · MPO = 900 · MQO = 900 0,25 ( Vì MP tiếp tuyến P (O) ) ( Vì MQ tiếp tuyến Q (O) ) 0,25 0,25 0,25 ⇒ I, P, Q thuộc đường trịn đ.kính MO (quỹ tích cung chứa góc) ⇒M, P, I, O, Q thuộc đường trịn đường kính MO C) Vì AH // MP(gt) ⇒ (2 góc đồng vị) Ta có: MPIQ nội tiếp đường trịn(c/m trên) ⇒ (2 góc nội tiêp chắn cung MQ) ⇒ hay Xét tứ giác AHIQ có mà I H thuộc nửa mặt phẳng bờ AQ nên tứ giác AHIQ nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc) ⇒ ( góc nội tiếp chắn cung AH) Xét (O) có ( góc nội tiếp chắn cung AP) ⇒ mà góc đồng vị ⇒HI // BP Xét ΔABK có: HI // BK ( c/m trên) I trung điểm AB(gt) ⇒ HI đường trung bình ΔABK ⇒ BK = 2HI ( tính chất đường trung bình tam giác) 6) Cho đường trịn tâm O đường kính BC Lấy điểm A tùy ý đường tròn (A ≠ 0,25 0,25 B, A ≠ C) Dựng hình bình hành ABCD Từ A kẻ AI vng góc với đường thẳng BD I, Từ C kẻ CK vng góc với BD K a) Chứng minh điểm A; D; C; I nằm đường tròn b) Chứng minh BA.AK = CK AD c) Khi BC cố định tìm vị trí điểm A đường tròn cho CK BD lớn TRANG 19 ĐÁP ÁN (3 điểm) Hình vẽ cho câu a, 0,5 Chứng minh: · · ABD = ACK · · BAD = AKC Suy Suy ra: (3điểm) ∆ (Góc nội tiếp chắn (cùng bù với góc · ABC » AK ) 0,25 ) ABD : KCA (g.g) ∆ BA AD = CK AK 0,25 0,25 Kết luận: BA.AK = CK AD Câu c: 0,5 điểm Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC 1  SDBC = SABC =  SABCD ÷ ⇒ CK.BD = AH.BC 2  0,25 0,25 Chứng minh A thay đổi đường trịn tâm O đường kính BC AH ≤ AO (Dấu ''='' xảy H trùng với O) ⇔ A điểm Từ suy CK BD lớn A điểm » BC » BC 0,25 (Có hai vị trí điểm A) 7) Cho tam giác ABC; H chân đường cao kẻ từ A Đường trịn đường kính HB cắt AB điểm thứ hai D Đường tròn đường kính HC cắt AC điểm thứ hai E a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn b/ Gọi F giao điểm AH DE Chứng minh FA.FH = FD.FE c/ Chứng minh · · EBH = EDC ĐÁP ÁN TRANG 20 Bài (3đ): + Vẽ hình đúng: 0.5 a.Chứng minh điểm A, D, H, E nằm đường tròn Chứng minh · · CEH = 900 ⇒ HEA = 900 Chứng minh · BDH = 900 ⇒ ·ADH = 900 Từ kết luận A, D, H, E nằm đường tròn đường kính AH b) Gọi F giao điểm AH DE Chứng minh FA.FH = FD.FE Xét AFD EFH có ∆ ∆ · EFH = ·AFD · · DAH = DEH 0.25 0.25 0.25 0,25 (đđ); (cùng chắn cung DH (ADHE)) ⇒ ∆AFD : ∆EFH c) Chứng minh (g.g) ⇒ FA FE = ⇒ FA.FH = FE.FD FD FH · · EBH = EDC Chứng minh Chứng minh 0,25 · · DHA = DEA 0,25 · DHA = ·ABH ⇒ ·ABH = DEA · · · DEA + CED = 1800 0,25 0,25 0,25 (kề bù) Vậy tứ giác DECB nt 0,25 ⇒ ·ABH + CED · = 1800 ⇒ EBH · · = EDC (cùng chắn cung EC đt (DECB)) Mà TRANG 21 D thuộc (O) ⇒FD tiếp tuyến đường tròn (O) 8) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Kẻ EF vng góc với AD F Chứng minh rằng: a) Tứ giác DCEF nội tiếp · · b) CDE = CFE · c) Tia CA tia phân giác BCF ĐÁP ÁN Bài 3: Nội dung Điểm C 0,5 đ B E a A b c F D Vẽ hình làm câu a Vì tứ giác DCEF tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) ¼ · · CDE = CFE CE => ( góc nội tiếp chắn ) ( đpcm ) Vì tứ giác DCEF tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) => ( góc nội tiếp chắn ) (4) ¶C = D ¶ »EF 1 Xét đường trịn đường kính AD, ta có: ( góc nội tiếp chắn ) ¶ =D ẳ ả AB C T (4) v (5) => 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (5) ¶ =C ¶ C hay CA tia phân giác · BCF ( đpcm ) 9) Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường trịn (O), tia phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn E a) Chứng minh OE vng góc với BC b) Gọi S giao điểm BC với tiếp tuyến đtròn A Cm tam giác SAD cân c) Chứng minh SB.SC = SD2 ĐÁP ÁN Bài Câu Nội dung Điểm TRANG 22 0,5 A O S B D C E 3,0đ a Chứng minh BE = CE => E thuộc trung trực BC OE = OC => O thuộc trung trực BC b => OE đường trung trực BC => OE vuông góc BC Cm ; 1 · ¼ = Sd AB » + BE » SAD = SdABE 2 ( ( · » + SdCE » SDA = SdAB c · · SAD = SDA 0,25 0,25 0,25 ) Có AD phân giác góc BAC nên Suy ) 0,25 0,25 0,25 0,25 » = CE » BE => tam giác SAD cân S Cm tam giác SAB đồng dạng với tam giác SCA => SA2 =SB.SC 0,25 0,25 0,25 Mà SA = SD => SB.SC = SD2 10) Cho điểm M nằm (O) Kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn (A B tiếp điểm) Đường thẳng MO cắt (O) hai điểm N Q (N nằm M Q) Gọi H giao điểm AB MO, K giao điểm BN AM; I hình chiếu A BM a) Chứng minh tứ giác AOBM nội tiếp Xác định tâm đường tròn qua đỉnh A,0,B,M b) Chứng minh MA2 = MN MQ c) Khi K trung điểm AM, chứng minh ba điểm A, N, I thẳng hàng ĐÁP ÁN Câu Vẽ hình để làm câu a 0,5 TRANG 23 điểm a (1 điểm) · OAM · OBM MA MB hai tiếp tuyến (O) => = = 90 ·OAM OBM · => + = 1800 => Tứ giác AOBM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 1800) Vì tam giác AMO BMO tam giác vuông nên tâm đường tròn qua đỉnh A,0,,B,M trung điểm AO b (1 điểm) ·AMN xét ∆AMN ∆QMA có: chung ·AQN · MAN = ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AN) => ∆AMN ~ ∆QMA(g - g) MA MQ = MN MA => => MA2 = MN MQ c (0,5 điểm) Có :OA=OB (= bán kính); MA=MB (vì hai tiếp tuyến cắt nhau) => OM đường trung trực AB,mà N thuộc OM nên NA=NB · ·ABN BAN => ∆ABN cân N => = Lại có · · BAN MBN = (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BN) ·ABM = => BN đường phân giác ·ABM Hay BK đường phân giác Mà K trung điểm AM => BK đường trung tuyến ∆AMB Do ∆AMB cân B nên BA=BM Lại có: MA = MB(cmt) nên MA=MB =AB.Vậy ∆AMB => AN đường phân giác đồng thời đường cao Mà I hình chiếu A BM nên ba điểm A, N, I thẳng hàng TRANG 24 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 11) Cho tam giác ABD vuông B Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A lấy điểm C ∈ cho góc ACD = 900 E giao điểm AC BD Kẻ EF vng góc với AD (F AD) a) Chứng minh: điểm A, B, C, D thuộc đường tròn xác định tâm O đường trịn b) Chứng minh: Tia CA tia phân giác góc BCF c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh: CM.DB = DF.DO ĐÁP ÁN Câu Vẽ hình để làm câu a B điểm C 0,5 E M A O F D a (1 điểm) Xét tứ giác ABCD có = 900 ( tam giác ABD vuông B) = 900 (gt) Suy ra: = = 900 Do tứ giác ABCD nội tiếp ( Vì có đỉnh B C kề nhìn cạnh đối diện AD góc khơng đổi) Vì tam giác ABD ACD tam giác vuông nên tâm(O) đường tròn qua đỉnh A,B,C,D trung điểm AD 0,25 0,25 0,25 0,25 b (1 điểm) Ta có tứ giác DCFE nội tiếp ( Vì có + = 1800 ) ⇒ = ( hai góc nội tiếp chắn cung EF ) Hay = (1) Mặt khác (O) ta có = (hai góc nội tiếp chắn cung AB )(2) Từ (1) (2) suy ra: = Vậy tia CA tia phân giác góc BCF c (0,5 điểm) TRANG 25 0,25 O,25 0,25 0,25 Vì ECD EFD hai tam giác vuông M trung điểm cạnh huyền ED nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE MC = MD = MF ( bán kính (M) ) ⇒ MFD cân M ⇒ = (3) Lại có OBD cân O ( OB = OD = bán kính (O) Từ (3) (4) suy : = Xét MDF ODB có : chung = (cmt) ⇒ ∆CDA ⇒ 0,25 = (4) 0,25 DF DM = ⇔ DM.DB = DF.DO ⇒ DB DO ∆CAE (g-g) Mà MC = MD (cmt) nên từ (5) ⇒ (5) MC.DB = DE.DO 12) Cho đường trịn tâm O đường kính AB, dây CD vng góc với AB H Trên tia đối tia CD, lấy điểm M ngồi đường trịn (O) Kẻ MB cắt đường tròn điểm E, AE cắt CD điểm F a) Chứng minh tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn b) Gọi K giao điểm BF với đường tròn (O) Chứng minh EA tia phân giác · HEK c) Chứng minh rằng: MD.FC = MC.FD ĐÁP ÁN Bài (3,0điểm) Hình vẽ: 0,5 điểm B E O C M F K H D A a) 1,0 điểm · AEB = 900 Xét (O) có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay · AB ⊥ CD BHF = 900 Mặt khác: (gt) nên Xét tứ giác BEFH có: · · FEB + BHF = 900 + 900 = 1800 · · FEB, BHF Mà hai góc vị trí đối diện => Tứ giác BEFH nội tiếp đường trịn đường kính BF (đpcm) b) 1,0 điểm Vì tứ giác BEFH nội tiếp đường tròn (cm trên) TRANG 26 · FEB = 900 0,25 0,25 0,25 0,25 ... ⇒ ( ⇒ ⇒ x x x + 20 19 = ( x - 1 )2 + 20 18 - 1 )2 ≥ với x ≥ - 1 )2 + 20 18 ≥ 20 18 với x ≥ 1 ( x − 1) + 20 18 ≤ 20 18 0 ,25 -1 ≥ − 20 18 ( x − 1 )2 + 20 18 − ⇒GTNN A = 20 18 − Vậy GTNN A = ⇔ 20 18 x = ⇔ x =... I thẳng hàng TRANG 24 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 11) Cho tam giác ABD vuông B Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A lấy điểm C ∈ cho góc ACD = 90 0 E giao điểm AC... ≤ ⇔ x−3 + 5− x ≤ (1) TRANG 0 ,25 Điểm 0 ,25 đ 0 ,25 đ 20 18 VP = (y + )2 + Từ (1) (2) => … Vậy ? ?2 (2)  x =   y = 20 18 (TMĐK)  x =   y = 20 18 0 ,25 -1 x − x + 20 19 7) Tìm giá trị nhỏ biểu thức