268 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MAI TRỌNG MẬU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh V7 số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 < (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a > 0, b > Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : ——b > Vâb b) c) Cho a, b, c > Chứng minh : — + — + —b > a + b + c abc Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc > ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : |a + b| > |a - b| a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 > 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) > 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 < 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x - | = | - x | b) x2 - 4x < c) 2x(2x - 1) < 2x - 2 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 - 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 - 2a + 8y - 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x2 - 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) V7 + VĨ5 c) 23 b) Vn+V5+1 VĨ5 d) 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn V2 nhỏ V3 19 Giải phương trình : V3x2 + 6x + + V 5x2 + 10x + 21 = - 2x - x2 21 Cho S = V1.1998 + V 2.1997 + + 1 Vk(1998 - k +1) 1998 -1 1998 Hãy so sánh S 1999 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương Vã số vô tỉ Cho số x y dấu Chứng minh : a) x + y > yx b) 2 ,y +2 èy x2 x — \ ( x— , y >0 + x èy 2 X X+y x+y - + -Y + 4^ 2^ 2 èyx y x x èy x 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : c) > a) Vl + V2 b) m+ _ với m, n số hữu tỉ, n Ỷ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 2 xy 26 Cho số x y khác Chứng minh : 2+2 +4>3 2 y x x y z 2+2+2> 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : y 2 z 2 x yx0 x y z + + y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 < 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2) c) (ai + a2 + + an)2 < n(ai2 + a2 + + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b < 31 Chứng minh : [ x ] + [ y] yzx 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z > ; 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : 33 Tìm giá trị nhỏ : , ,a a) ab b) a + b b x + y + z = số vô tỉ a số hữu tỉ (a + b Ỷ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b Ỷ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc > ab(a + b + c) - —I—b + -1—d > b+cc+dd+aa+b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] +1 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : A=Vx2 - B = 1 C= x + 4x - D= E = x + - w-2x 1-x -3 x ^/2X-r x G = V3x -1 - V5x - + Vx2 + x +1 42 a) Chứng minh : | A + B | < | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = Vx + 4x + + Vx2 - 6x + c) Giải phương trình : V4x2 + 20x + 25 + vx2 -8x +16 = Vx2 + 18x + 81 A = V x2 + x + E = B= 45 Giải phương trình : D= Vx2 - 5x + H = Vx2 -2x-3 + y f ĩ G = ^ + vx-2 V2x +1 +1 + C = 2-V - 9x2 V1 - 3x x4 -x x2 - 3x Vx - = 43 Giải phương trình : 2x2 - 8x - 3>/x2 - 4x - = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = Vx + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = V3 - x + x 48 V3 -1 So sánh : a) a = V2 + y Ị b= b) ^ -yfl3 + V27 - c) Vn + - Vn +1 Vn+1 - x/n (n số nguyên dương) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = - V - 6x + 9x + (3x -1)2 50 Tính : a) V4 -2 / V2 d) A = Vm2 + 8m +16 + Vm2 -8m +16 > 1) , 51 Rút gọn biểu thức : M = b) V1 + 6^2 e) B = + 2x/n-1 + Vn-2x/n-1 (n W4Ĩ 45 + W41 + 45 - W41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x - y) + (y - 2)2 + y j (x + y + z)2 = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = V25x - 20x + + V25x2 - 30x + 54 Giải phương trình sau : a) Vx2 - x - - Vx - = d) x -Vx4 - 2x2 +1 = b) Vx2 -1 +1 = x2 c) Vx2 - x + vx2 + x - = e) Vx2 + 4x + + |x - 4| = h) Vx2 - 2x +1 wx2 - 6x + = k) Vx + 3- Wx-1 + Vx + 8-6x/x-1 = g) Vx - + Vx - =-5 i) Vx + + V2 - x = x2 - 25 l) A/8X +1 + V3x-5 = V7x + + V2x-2 c) , r 2+ y 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: — — > V2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) '^13—3 ^ / — y f 9—W2 b) Vm—2 y j m -1 — y j m - 24 m -1 cW2WĨẬ — ' Ặ + y j 2— V2W3' Ặ ->/2— V2W3 62 Chứng minh 57 —3 =— d) V2 -3 ^ / — V 123—2 V2 58 Rút gọn biểu thức : 6—2 (Vó W3 W2)-^ - (Vó -V3 —V2) a) C = V9-6/2 -V6 59 So sánh : ■ a) VVó W20 vWĨW6 b) VV1 —1 / vàV2 — c) VV2 -16V? vàV3 - b) D = 111 2 a b c ——— 60 Cho biểu thức : A = Vx - x - 4x — a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) V 11 - 2VĨ c) 43 11 — -> 42 !6 — b) V9 - V1 /5 —2 7— 2410 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ì Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : Vx2 - 16x — 60 < x - 64 Tìm x cho : Vx2 - — < x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = ’ (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x-V 2x -1 b) B — — 1ỏ - x — Vx2 - 8x—8 2x — x wx2 - 2x x - Vx2 - 2x 67 Cho biểu thức : A = x - x2 - 2x x — x2 - 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : -y/0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - V2 | + | y - | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : — Vn — 2Vn+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 111 —— abc 72 Cho biểu thức A = V7 + 4\/3 + V7 — 4\/3 Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (V2 + V3 + V5)(V2 + V3 — V5)(V2 — V3 + V5)(—V2 + V3 + V5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : V 45 ; A/3 — V2 3+ ;2 V + 75 Hãy so sánh hai số : a =: V2 V3 — b=2V2 — ; V2 76 So sánh V4 + V7 — ^ [ à — J — V2 số + V5 2+-\/3+46+V8+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = - +3 + 44 ' 78 Cho P = V14 + 440 + + V140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : X^/Ĩ — y2 + y VT — X2 = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = V1 — X + V + X 81 Tìm giá trị lớn : M = (va + - I b )2 với a, b > a + b < 82 CMR số 2b + c — 2Vâd ; 2c + d — 2Vâb ; 2d + a — Vbc ; 2a + b — 2Vcd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = V 446 + V3 + V2 +18 84 Cho X + y + z = VXỹ + vyz + Vzx, x, y, z > Chứng minh x = y = 85 Cho a15 a2, , an > a1a2^an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2) (1 + z an)> 2n 86 Chứng minh : (Vã + Vb) > 2^2(a + b)Vâb (a, b > 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài va, Vb, Vẽ lập thành tam giác Vâb — Vb2 a 88 Rút gọn : a) A = b) B = b b V(X + 2)2 — 8X +2r — VX a2 + 89 Chứng minh với số thực a, ta có : —-2 X > Khi có đẳng thức ? Va2 +1 90 Tính : A = V3 + V5 + v3 — V5 hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P = 347 + 542 6,9 s + N/3 + V3 42 + v 43 2— + 43 b) V1 — V1 47— 43 46 — V 243 Giải phương trình : V —x + + 3/2X — + 4X — — V2X — = ,i, ^ 1.3.5 (2n — 1) 94 Chứng minh ta ln có : P = < ; "n e Z+ n 2.4.6 2n 2n +1 93 > Vã + Vb £ — + — 95 Chứng minh a, b > Vã + Vb £ Vx-V 4(x-1) + v x + V4ÕX -1) 96 Rút gọn biểu thức : ba x2 - 4(x -1) A= '1 -1' x-1 Wb 97 Chứng minh đăng thức sau : a) b) b) ịVĨ4-V7 è1- 42 + : Vãb VĨ5-V5'ì 1-V5 J :V7 -V5 _2 _ c) va - Vb = a - b (a, b > ; a Ỷ b) , ị a+ vaỴ è1 + va+1 A1 a-Va va -1 _1-a 0) Tính : a) ^ - y Ị Ĩ - ỹ l 29 - W2Õ ; b) ^ / + v5 -y/13 + V48 98 c) ịjv7w4f -V V2 - 16VĨ1 Vv7w48 è So sánh : a ) 99 45 45 V15 + b)V 25+ V Vb5 d) -16 5và 2V1 + V7 c) VÌ8 + V1 100 Cho đăng thức : a + Va2 - b a - a2 - b , , Va ± Vb _ Áp dụng kết để rút gọn : a) , 2^yj + V5 42 +v +V5 ^yj 2- ; V + 245 - - Ế - 2'Ỉ2 - V v3 17 + V 17 2 V112 V+V50 -242-46 c) b) „,2, (a, b > a2 - b > 0) 12V 2 V 2450 - 242 -1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : _ xy -Vx2 - Wy2 -1 ới _ f _ 2 với x _ xy + x2 -1 y -1 a) A) A b) B _ a + bx + V a - bx , a + bx - a - bx a+ với x _ \ è a - ,0 b ( + m2) 2am >y_ b+è b (a > ; b > 1) m| < , 2x - x -1 102 Cho biểu thức P(x) _ 3x2 - 4x +1 a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A _ x+2-4x-2+x+2+4x-2 Ễ-ri (a > 104 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) V9 - x2 b) Vx - x (x > 0) e) - V - 3x 105 g) V2x2 - 2x + c) + V2 - x d) Vx - - h) - V-x2 + 2x + i) 2x - x + Rút gọn biểu thức : A = V x + V 2x -1 - V x - V 2x -1, ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) ^ / + ^ / - V7 + b) V4 +V1 + /?+ v4-VĨÕ+2/? 107 c) V9 -4 / ^ / + ^ Chứng minh đẳng thức với b > ; a > >/b a) Va + Vb ± ^ | ã — J b = ^2 (a ±va2 - b) b) Va ± Vb a - Va2 - b a + va — b 108 Rút gọn biểu thức : A = Vx + 2>/2x - + V x - 2V2x - 109 Tìm x y cho : V x + y - = vx + VỸ -V2 110 Chứng minh bất đẳng a+b+c c > ■ -+ b + c +c + a a +- b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : ■ a) Va +1 + Vb +1 + Vc +1 < 3,5 b) Va + b + Vb + c + Vc + a £ V6 111 Cho a, b, c > Chứng minh : 113 CM : 114 115 116 117 a b2 a2 + c2)(b2 + c2) + y j (a2 + d2)(b2 + d2) >(a + b)(c + d) với a, b, c, d > thức : Va + b + Vc + d > a + c)2 +(b + dV Tìm giá trị nhỏ : A = x + vx (x + a)(x + b) Tìm giá trị nhỏ : A = x Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 < Tìm giá trị lớn A = x + V2 - x 118 Giải phương trình : Vx -1 - V 5x -1 = V3x - 119 Giải phương trình : Vx + Vx -1 + V x - 2Vx -1 = 120 Giải phương trình : 3x2 + 21x +18 + 2Vx2 + 7x + = 121 Giải phương trình : V3x2 + 6x + + V 5x2 + 10x +14 = - 2x - x2 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : V3 - V2 ; 123 Chứng minh x - + V4 - x £ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : Va2 + b2 Vb2 + c2 > b(a + c) với a, b, c > V2 + > / 125 Chứng minh V(a + b)(c + d) > vac + Vbd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài Vã, Vb, vc lập thành tam giác 127 Chứng minh —+b) + a + b > a Vb + bVã với a, b > 128 Chứng minh a b b+ca+ca+b c > với a, b, c > 129 Cho X^1 — y2 + yV1 — x2 = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = V X — 2Vx — + V X + 2Vx — 131 Tìm GTNN, GTLN A = V1 — X +v + X 132 Tìm giá trị nhỏ A = VX2 +1 + V X2 — 2X + 133 Tìm giá trị nhỏ A = V—X2 + 4x +12 — V—X2 + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + v5 — X2 b) A = X (99 + v 101 — X ) 135 ab Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn + = (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = „ xy yz zx 137 Tìm GTNN A = + + với x, y, z > , x + y + z = zXy 2 _ _ _ 138 Tìm GTNN A = — + — + —z biết x, y, z > , VXỹ + vyz + vzx = X+yy+zz+X 139 Tìm giá trị lớn : a) A = (Va + Vb )2 với a, b > , a + b < b) B=(vaWb)4+(,£wc)4+(aWd)4+ ( S wc)4+ ( S Wd)4+ ( - T c Wd)4 với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3X + 3y với x + y = bc 141 Tìm GTNN A = c+da+b 142 Giải phương trình sau : a) X2 — 5x — 2V3X +12 = b) X2 — 4x = 8Vx — + với b + c > a + d ; b, c > ; a, d > c) V4xTĨ — V3x + = d) Vx — — VX +1 = e) V x — 2Vx — — VX — = g) V x + V2x — + vX — V2x — = V2" h)Vx + — 4Vx — + VX + — 6Vx — = k) V1 — VX2 — X = Vx — m) Vx2 + = X — 2Vx2 — i) Vx + VX + Vl — X = l) V2 X2 + 8x + + VX2 — = 2x + n) Vx +1 + VX +10 = VX + + VX + o) Vx — + VX + + 2^(X —1)(X2 — 3x + ) = — 2x 364 365 366 367 368 369 370 371 372 192.373Dùng bất đẳng thức Cauchy > 374 (a, b > ; a Ỷ 0) ab a + b 193 Đặt x - y = a , Vx + y ị ỹ = b (1) a, b e Q 375 a) Nếu b = 0thì x = y = 0, -s/x , yfỹ e 376 377 b Ỷ b) Nếu 378 Từ (1) 379 (2) : 380 Q ——_ — ^ -v/x - y = — x+yb 1( a > x = |b + e Q ; y = b - e Q 2è b0 x e b 1( Q (2) 2è b0 a > 199.381 Nhận xét : (vx2 + a2 + x) (vx2 + a2 - x) = a2 Do : 382 383 x ( 5a2 5(Vx2 + a2 + x)(vx2 + a2 -x) (1) x a2 + a )< ,;“+ » ( wX + )< -— + 2 384 x+a 385 x+a "x Do a386 Ỷ nên : Vx2 + a2 + x > Vx2 + x = |x| + x > Suy : Vx2 + a2 + x > , 387 Vì : (1) 388 "x0 25x2 < 9x2 + 9a2 389 390 x/8 406 407 a3 _ ( > / -1)3 _ V2 - + -1 _ V2 - _V5Õ -V4 b) T408h e o k h a i t r i ể n N e w t o n : (1 - V2 )n = A - B V2 ; (1 + V2 )n = A + B V2 với 2 n n A, B e N: ASuy - : : A - 2B = (A + BV2)(A - BV2) = [(1 + V2)(1 - V2)] = (- 1) o 2 _o ' ~ í o Nếu409 n chẵn A - 2b = (1) Nếu n lẻ A - 2B = - (2) 410 * * 211 412 Bây ta xét an Có hai trường hợp : N ế u n c h ẵ n t h ì : an = ( V2 - 1)n = (1 - V2 )n = A - B V2 = VA2 — V2B2 Điều kiện A2 - 2B2 = thỏa mãn (1) N ế u n l ẻ t h ì : an = (V2 - 1)n = - (1 - V2 )n = B V2 - A = y j B Điều kiện 2B2 - A2 = thỏa mãn (2) — VA2 Thay a = V2 vào phương trình cho : V2 + 2a + b V2 + c = 411 -w- V2 (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 - 2x - 2a = 413 x(x2 - 2) + a(x2 - 2) = (x2 - 2) (x + a) = 414 Các nghiệm phương trình cho là: ± V2 - a 11 212 Đăt A — + + + n a) C h ứ n g m i n h A > 2^/n — : Làm giảm 415 số hạng A : 2K/kn — Vk) — 2 -v/k k + * J k 416 k +1 + * J k Do A > 2é(—V2 + V3) + (—s/ Wĩ) + + (Wn Wn+Ĩ)" 417 418 419 — 2^n+i — y Ị Ĩ ) — Vùn — Vĩ > Vùn — > 2>/n — b) C h ứ n g m i n h A < y f ã — : Làm trội số hạng A : — < kk+kk+k—1 420 421 — 2(Vk —VÉ—!) Do : A < 2pVn — Vn—1)+ + )] — 2>/n — 422 ( > / — V2) + (V2 — 213 Kí hiệu a — ^ + ^ + + ' s Ị + có n dấu Ta có : a1 — Vó < ; a2 — V6 + & < V6 + — ; a3 — V6 + & < V6 + — 423 .a1 0 — V6 + &99 < V6 + — 424 Hiển nhiên a100 > -s/ó > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) C c h (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 425 )2 = + > / Ta có W3 — V48 nên < W3 < ^ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] 13 < x < 14 = 13 426 C c h (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + V3 )2 x = + V3 427 Xét biểu thức y = (2 - V3 )2 y = - V3 Suy x + y = 14 428 430 Dễ thấy < - V3 < nên < (2- V3 )2 < 1, tức < y < Do 429 Vậy [ x ] = 13 tức [ a ] = 13 b) Đáp số : [ a ] = 51 215 Đặt x - y = a ; Vx + VỸ—b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b Ỷ x — — — a ^ Vx — y f ỹ — — số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) 431 ta có : 432 x+yb b a ^ ta giải 216 Ta có ,, 1_vn 1 11 21è(,b a ^ vVn Vn +10 21è(,b 0Từ 725 111 (1) Ta lại có :tốn + 11 tỉ ;—y = b£- tỉ.+ n+ + : x =+b + 1số+ hữu số+hữu — a25 > 25 Thế + — , a2 > , +72 < a2 < < a25 Suy24+724 (11 \ r( 1 11 11 -1 k -I -= k = =nI (n +1) n n(n +1) è < nY1 433 + 1> + — (725 —724+724 —723 + +72—71) + — + + 434 435 ^a 436 437 s/ (2 - b72 + a72 - ab) ^ (a2 + b2 - + ab) - ab(a - b) = 2(a - b) ^ (2 + ab) = (a - b)(2 + ab) (chú ý : a + b2 = 4) 438 439 440 ^ a - b = (do ab + Ỷ 0) Bình phương : a2 + b2 - 2ab = ^ 2ab = ^ ab = ^ -\/4 — x = Tìm x =3 a—1 a +1 218 Điều kiện : < x < , a > Bình phương hai vế thu gọn : 71 441 442 a +1 , 2ylã Với a > 1, bình phương hai vế, cuối : x = 443 Điều kiện x < thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) 2Vã Kết luận : Nghiệm x = Với a > a +1 446 219 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz Ỷ 0, hiển nhiên x, y, z > 447 2y 2y Từ hệ phương trình cho ta có :x — £ —y 448 4491 +y2 y 444 445 , 1z Tương tự y j ỹ < vz ; vz < 7v/x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x > V7 Ta có + V7 > 10 suy < 107 (8 + 3-J7) 1 (8 - ^7Ĩ< lò A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Do < B < Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + V7 )7 = a + b V7 với a, b e N B = (8 - 450 V7 )7 = a - b V7 Suy A + B = 2a số tự nhiên C h ú ý : 10- = 0,0000001 451 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương Vn số tự nhiên, n khác số phương Vn số vơ tỉ, 452 nên -s/n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n e N* có số nguyên a n gần -s/n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a n 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta chứng minh a n 453 nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 454 - < vx < +— có hai nghiệm tự nhiên 455 k2 - k + ; k2 - k + ; ; k2 + k Do : 33 34 51 52 40 56 55 58 57 92 91 74 175 94 93 41 42 59 76 95 43 77 60 96 44 \ 45 46 62 61 78 97 79 98 47 64 63 80 81 100 99 82 48 49 65 66 83 101 102 50 \ 67 = 2.44 = 88 11, '2 44 44 44 110 113 114 118 119 120 105 106 107 108 109 111 112 115 116117 è so24 127 số 8Í132 so 133 0134 Giải 124 122 123 126 128 129 130131 125 223 tương tự 137 [ an ] 143 144 b) 147 148 149 136 140 141 142 146 150 151 145 2 a)152 c) Ta thấy :Vậy = < an < Vậy [ an ] 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 45 , 46 = 2116 a1 = V1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n > 45 < an < 46 153 154 Như với n = [ an ] = 44, với n > [ an ] = 45 104 121 135 = 'I 138 A 1 71 72 87 39 38 f \ 173 a 86 + 70 a 37 53 54 88 68 69 36 89 85 35 155 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B < A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp 456 Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ^ 4n + < Vl6n2 + 8n + < 4n + 457 ^ 4n2 + 4n + < 4n2 + V16n2 + 8n + < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + ^ (2n + 1)2 < 4n2 + Vl6n2 + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 459 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) 458 225 460 461 Ta có S0 = (5 + Vỏ )0 + (5 - 2^6 )0 = + = ; S1 = (5 + vỏ ) + (5 - 2^6 ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S , S3 , , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , , S100 có tận 2, tức 463 tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 462 226 Biến đổi (V3 + V2 ) = (5 + vỏ ) Phần nguyên có chữ số tận 227 Ta có : (Giải tương tự 36) 464 A = ([VĨ ]+ +[V3 ])+([V4 ]+ +[Vs ])+([V9 ]+ +[VÌ5 ])+([VÌ6 ]+ +[V24 ]) 465 Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 467 xx , 468 228 a) Xét < x < Viết A dạng : A = 466 469 — — (3 - x) Áp dụng bất đẳng thức 470 471 xx xx Cauchy cho số không âm -, -, (3 - x) ta : - - (3 - x) < 472 473 474 Do A < (1) b) Xét x > 3, A < (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận : (x x + —22 = 475 476 477 x 478 max A = Û í =3-x 479 Û x = 480 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức 229 x >(a0+ b) = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x +1 + - x + 3.-ự(x +1)(7 - x) = ^ (x +1)(7 - x) = x = - ; x = (thỏa) 481 482 b) Điều kiện : x > - (1) Đặt Vx — = y ; Vx +1 = z Khi x - = y ; x + = z2 483 n 'I - _ - - - - - ' nên z - y = Phương trình cho đưa hệ : 484 y + z = (2) 485 z2 - y3 = (3) z z 486 > (4) Rút 487 zz từ Rút từ (2) (2) :: zz == 33 y.y.Thay Thayvào vào(3) (3): :y y 3- -Suy y2 +ra6y - = Û (y - 1)(y2 + 6) = Û y = Suy z = 2, zthỏa = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, th mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 488 230.489 a) Có, chẳng hạn : + = V2 490 491 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà Vã + Vb = V2 Bình phương hai vế : 492 a + b + 2Vab = V2 2Vab = V2 — (a + b) 493 Bình phương + (a + b) - 2(a + b) V2 ^ 2(a + b) V2 = + (a + b)2 - 4ab vế phải 494 số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ì 0), mâu thuẩn , , , 231.495 a) Giả sử V5 số hữu tỉ — (phân số tối giản) Suy = — - Hãy chứng minh n n 496 m m497 lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối giản n 498 b) Giả sử V2 + Vĩ số hữu tỉ m (phân số tối giản) Suy : 499 n 500 m = (V2 + Vĩ)3 = + 3.V8.m = + — ^ m3 = 6n3 + 6mn2 (1) ^ m3 : ^ m : n n n Thay502m = 2k (k G Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ^ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ^ n3 chia hết cho 503 ^ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả m thiết — phân số tối giản n 504 a+b+c 501 505 506 232.507 C c h : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh 508 > Vabc _3 x+y+z 3 tương đương với > xyz hay x + y + z - 3xyz > Ta có đẳng thức : 510 x3 y3 z3 - 3xyz + + =2(x+y+z)[(x - y)2+(y - z)2+(z - x)2] (bàl tập sbt) 511 3 a+b+c3 512 Do a, b, c > nên x, y, z > 0, x + y + z - 3xyz > Như : > abc 509 513 Xảy dấu đẳng thức a = b = c C 514 c h : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : 515 a+b+c+d1 a+bc+d 2 516 517 a+b+c+ _ 518 519 è a + b + cY 2'' 157 a+b+c+d Y Trong bất đẳng thức > ^/ãb + Vẽd )> ab.Vcd = -ựabcd 156 > abcd , đặt d = a+b+c ta : , a + b + c œ a + b + c > abc Y a+b+c ^ > abc 3 520 521 522 523 a+b+c a+b+c Y > abc Û chứng minh) : a + b + c > Vabc Chia hai vế cho số dương 524 a, b, c 0, toán (trường hợp số a+b+c 525 -Xảy đăng thức : a = b = c = Û a = b = c = 526 527 528 > 3.3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d +1) (a + 1)(c + 1)(d +1) 222x y 531 z Gọi A = + T + Ap dụng bất đăng thức Bunhiacôpxki : 529 530 233 2 yzx abc b3 - a3 = 4(x3 + y3) - (x3 + y3) - 3xy(x > 3.3 + y) = 3(x3 + y3) - 3xy(x + y) = +1 = 3(x + (a + 1)(b = 3(x + y)(x2 - xy + y2 -dxy) y)(x - y)2+>1)(c (vì+1) x > y > 0) 3 Vậy b > a , b > a Nhân từ bốn bất đăng thức : > 81abcd ^ abcd < 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n > 2, theo khai triển Newton, ta có : 81 1V , n(n -1) n(n - 1)(n - 2) n(n -1) 2.1 1+ = + n + + + + 2! n2 n n 3! 532n! í < +1 + 532 11 2! 3! + + , + < I 11 11 — + + = 23 n -1 n 535 11 536 + + + ■ 2! 534 33 3! 537 1> 3.3 (n - 1)n n! 1.2 11 533 Do (1 + n —)n < 3n 538 b) Với n = 2, ta chứng minh ^3 > y Ị Ĩ (1) Thật vậy, (1) ( 3 ) > Ụ Ĩ ) «■ 32 > 22 Với n > 3, ta chứng minh Vn > n+yn +1 539 (2) Thật : 540 nn nn n +/n+ỵ) A = với x = 546 238 Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A > 2-ự(x2 + x + 1)(x2 - x +1) = 2^x4 + x2 +1 > 547 A = với x = Với x < A > (1) Với < x < 4, xét - A = x2(x - 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba A xx = (x -2) < 22 ^x X o3 —I + x — 22 2x -2 3 - 32 A = - 32 với x = x = 4.27 23 ' 13 Thể tích v3 lớn hình hộp dm x x 242 4V c) e) =a) gọn phương số:trái :ế=hai 24 trái - 0;;2x) vế -được 11 x3 y Ị y f = 6x Suy x3 - 6x > - V2 A = - V2 với x = V2 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 - 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : Do a33 + 3b3 = nên ——b = -^3 —^3 ^ (a - b)(a3 + b3) = (a + b)(a - b ) a + ba3 + b3 Do a + b Ỷ nên : (a - b)(a2 - ab + b2 = (a - b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt Vx+ỵ = a ; Vx — = b Ta có : a2 + b2 + ab = 554 (1) ; a3 - b3 = (2) Từ (1) (2) : a - b = Thay b = a - vào (1) ta a = Đáp số : x = i) C c h : x = - nghiệm phương trình Với x + Ỷ 0, chia hai vế cho Vx + x +1 x+3 , ,3 ,3 , , 556 Đặt _a; = b Giải hệ a + b = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+2 x+2 558 C c h : Đặt vx + = y Chuyển vế : -^y3 — + -^y3 +1 = —y Lập phương hai vế ta : 555 557 559 y3 - + y3 + + 3.^y6 — 1.(- y) = - y3 y3 = y ^y6 — 560 Với y = 0, có nghiệm x = - Với y Ỷ 0, có y = ^y6 — Lập phương : y6 = y6 - Vô n0 C c h : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : 561 158 x x-x 163 168 159 164 169 Vx + -1 160 Vx + 0 165 170 161 166 171 Vx + 162 1 trái 167 172 Vế 0 173 562 563 k) Đặt + x = a , - x = b Ta có : a + b = (1), Vãb + Vã + Vb = (2) Theo bất đẳng thức Cauchy Vmn < m + n , ta có : 564 3_Vỹãỹb +VŨĨ+VTÃ+i±2/ặ+ì ± A _ 565 567 _VĨ W b + < V ã + i + b + ! _ ã U b + _ 566 , , 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt Va — x = m > ; Vb — x = n > m4 + n4 = a + b - 2x Phương trình cho trở thành : m + n = Vm + n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > 569 Do x = a , x = b Ta phải có x < a , x < b để thức có nghĩa 570 Giả sử a < b nghiệm phương trình cho x = a 571 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 Ỷ (a b không đồng thời 0) 572 4,2 2,4 2,4 22 573 „3 574 x + xy + y x + 2xy + y — 2xy y Đặt Va = x ; Vb = y, ta có : A = — _ 575 = x2 + xy + y x2 + xy + y 576 568 (x2 + y ) — (xy)2 _ ( x + y2 + xy)(x2 + y2 — xy) _ x2 2, ,2 _ , , xy + y _x+y y2 ' x y x + y + xy Vậy : A _ Vã2 + Vb2 — Vãb (với a2 + b2 Ỷ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A _ Vx2 — x +1 + Vx2 + x + + Vx2 + x +1 > 2^Vx2 — x + 1.Vx2 + x +1 _ 2-^(x2 — x + 1)(x2 + x +1) = 577 2-Vx4 + x2 + > Đẳng 22x+x+1_x—x+ thức xảy : x4 + x2 + _ 579 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ^ x = 245 Vì + V3 nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + V3 )3 + a(1 + V3 )2 + b(1 + V3) + 12 = 581 Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn : 582 (4a + b + 42) + (2a + b + 18) V3 = 583 Vì a, b e Z nên p = 4a + b + 42 e Z q = 2a + b + 18 e Z Ta phải tìm số nguyên a, b 584 cho p + q V3 = Nếu q Ỷ V3 = - p, vơ lí Do q = từ p + q V3 = ta suy p = q 586 585 Vậy + V3 nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 587 588 589 590 Í4a + b + 42 = [2a + b +18 = Suy a = - 12 ; b = Giả sử 33 số hữu tỉ p (p phân số tối giản ) Suy : = ^3 Hãy chứng minh p qqq 591 246 q chia hết cho 3, trái với giả thiết p phân số tối giản q 593 592 247 a) Ta có : 3Ĩ +V2 = 6(1+ V2) = 6Ĩ + 2/2 + = V3 + 2/2 Do : Vĩ + V2.V3 - 2/2 = V3 + 2/2.V3 - 2/2 = ^32 -(2/2 ) = b) V9 + 594 4/5.V2—ỹ? = -1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a3 = 20 +12/2 + 20 -12/2 + 3^(20 +12/2)(20 -12/2).a oa3 = 40 + 3^202 - (12/2)2.a 595 249 250 251 252 253 598 599 a3 - 6a - 40 = (a - 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ^ a = Giải tương tự 21 A = + V3 -V2 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = V3 + V9 Suy x3 = 12 + 597 3.3x x3 - 9x - 12 = 3 Sử dụng đẳng thức (A - B) = A - B - 3AB(A - B) Tính x3 Kết M = a) x1 = - ; x2 = 25 596 íu = v3 + b) Đặt u = Vx- , v = x- , ta : c) Đặt : Vx2 + 32 = y > Kết x = {v = u + x3 +1 +1 254 Đưa biểu thức dạng : A = ± 600 + x3 +1 -1 A = u = v = - ^ x = Áp dụng | A | + | B | > | A + B | -1 < x < 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt Vx = y Vx2 = y2 ^ P = 2-Vx + 258 Ta có : P = s j ( x - a )2 +^( x - b ỹ = | x - a | + | x - b | > | x - a + b - x | = b - a (a < b) Dấu đẳngthức xảy (x - a)(x - b) > Ûa < x < b Vậy P = b - a Û a < x < b 259 Vì a + b> c ; b+ c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương 601 (a + b - c)(b + c - a) £ (a + b-c) +(b + c-a) = b 603 V(b + c - a)(c + a - b) £ (b + c - a) +(c + a - b) = c 604 Ậ c + a - b)(a + b - c) £ (c + a - b) +(a + b - c) = a 602 Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b - c = b + c - a = c + a - b Û a = b = c (tam giác đều) 606 605 260 |x - y = y j (x - y)2 = y Ị (x + y)2 - 4xy = V4 + = V2 261 2A = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 607 608 262 Ta có : c - a = - (a - c) = - [(a - b) + (b - c)] = - ( V2 + + V2 - 1) = - V2 Do : 2A = (V2 + 1)2 + (V2 - 1)2 + (-W2 ) = 14 Suy A = Đưa pt dạng : (v x - -1 ) + ụ y - - ) + (v z - - ) = 263 Nếu < x < y = 264 Đặt : Vx -1 = y > M = Vx -1 (vx -1 + 2)(3 - Vx -1 ) 265 609 266 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 > 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 V2 )2 = 128, nên xy < 64 Do : max xy = 64 Û x = y = Với a, b ta ln có : a2 + b2 > 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 > 2ab Û 2c2 > a2 +b2 + 2ab Û 2c2 > (a + b)2 Û c ^ p ĩ > a + b Û c > 610 611 Dấu đẳng thức xảy a = b 612 267 Biến đổi ta : ( v a ' b ^/âb") + ( y j a'c —s/ãc') + ( y j b'c - Vbõ') = 613 268 - < x < - ; < x < Hết a+b ... Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : X^/Ĩ — y2 + y VT — X2 = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = V1 — X + V + X 81 Tìm giá trị lớn : M = (va + - I b )2 v i a,... Chứng minh v i số nguyên dương n, số an viết dạng 201 Cho biết x = nghiệm phương trình x3 + ax2 + bx + c = v i hệ số hữu tỉ Tìm nghiệm l i 42 202 Chứng minh VŨ -3