PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ MỤC LỤC A MỞ ĐÂU .trang 02 I Lí chọn đề tài trang 02 II Đối tượng nghiên cứu trang 02 III.Phạm vi nghiên cứu trang 03 IV Phương pháp nghiên cứu trang 03 B NỘI DUNG trang 04 I Cơ sở lí luận trang 04 II Cơ sở thực tiễn trang 05 III.Giải vấn đề trang 07 c K Ế T L U Ậ N .trang 26 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ A MỞ ĐẦU I ■ LÍ DO CHON ĐẺ TẢI Trong chương trình Đại sơ" lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chương trình tốn, áp dụng nhiều vào giải tập Phương pháp cơng cụ hữu ích cho học sinh q trình luyện tập : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức khơng vận dụng giải tốn chương trình lớp mà vận dụng giải tập lớp ,10 sau Bản thân giáo viên giảng dạy mơn Tốn, qua sơ" năm dạy tơi thây học sinh sau học cịn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử thường mắc phải sai sót làm tập Để giúp học sinh tự học, học thêm nhà tránh sai sót định hướng sơ" cách giải gặp dạng tốn phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, tơi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ ” “Khó” khó học sinh - em khơng nắm dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử; “dễ” giáo viên đưa phương pháp cụ thể cho học sinh với tốn cụ thể em đưa phương pháp giải cách xác Đó phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tơi tích lũy q trình học dạy tốn, với niềm mong ước giúp em học sinh dễ dàng giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp chương trình lớp thi học sinh giỏi cấp Đề tài gồm phần: Phần I Mở đầu, Phần II Nội dung Phần III Kết quả, học kinh nghiệm Trong phần nội dung đề tài chủ yếu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp có ví dụ cụ thể, tập tự luyện Một sơ" ví dụ nhận định sơ" sai sót làm tập hướng khắc phục cho học sinh II- ĐỔI TƯƠNG NGHIÊN CỨU: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Không gian : Học sinh lớp 8A7 Trường THCS Phan Bội Châu - Thời gian : giai đoạn năm học 2012 - 2013 Giai đoan 1: Từ tháng 10/ 2012 đến thi học kì I Giai đoan 2: Từ tháng 01/ 2013 đến học kì II IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIỀN CỨU: Đoc tài liêu : Tham Khảo tài liệu chun mơn có liên quan + Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách tập + Một sô" vâ"n đề phương pháp dạy học trường phổ thông + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy mơn tốn + Đổi phương pháp dạy học toán + Bài tập nâng cao sơ" chun đề Tốn + Sách bồi duỡng lực tự học toán Điểu tra: a DƯ giờ: - Dự học hỏi kinh nghiệm giáo viên tổ - Rút kinh nghiệm tiết dạy lớp, tiết dự Qua đó, tơi ln ý đến phương pháp giảng dạy cách tổ chức tiết dạy giáo viên, từ giúp tơi tích lũy sơ" kinh nghiệm hiệu việc đổi phương pháp dạy học b Đàm thoai: - Trong trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán cụ thể Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ - Trao đổi với giáo viên tổ chuyên môn nhà trường bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu lớp khác c Thức nghiêm: - Tốn học mơn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành lớp, để thực điều giáo viên phải giúp học sinh cô" kiến thức lớp qua tập ?/SGK nhằm giúp em nắm vững kiến thức cách sâu sắc từ hình thành kĩ giải tốn cho học sinh Đồng thời giáo viên phải trọng bước hướng dẫn học sinh tự học nhà để học sinh củng cô" lại kiến thức học vận dụng giải tập nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngoài học sinh giỏi giáo viến nên có thêm tập đỏi hỏi tính tư cao d Theo dõi kiếm tra: - Khi kiểm tra miệng, 15 phút, tiết phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng Từ giáo viên tìm giải pháp thích hợp cho đôi tượng học sinh B- NỘI DUNG L Cơ SỞ LÍ LN: - trường phổ thơng mơn tốn mơn học chính, mơn học sở, công cụ cho môn học khác giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Các tốn chương trình phổ thơng phương tiện đem lại hiệu cao thay thê" việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ biết ứng dụng toán học vào thực tiễn Vì tổ chức có hiệu việc rèn cho học sinh có kỹ giải tập tốn có vai trị định việc nâng cao châ"t lượng học tập học sinh PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ - Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng không đơn giản học sinh THCS Nội dung đưa vào chương trình tốn 8, thật em đề cập đến từ trước với dạng tốn ngược áp dụng tích chất phân phôi phép nhân phép cộng tập hợp số Với lượng thời gian phân phôi có tiết từ tiết đến tiết 14 song nội dung sở vận dụng cho chương sau lớp sau phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu sô" phân thức, biến đổi biểu thức hữu tỉ, giải phương trình, ” - Vì vâ"n đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh kỹ quan sát, nhận xét, đánh giá toán đặt biệt kỹ giải toán, vận dụng toán Tuỳ theo đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học, đồng thời phải mở rộng thêm cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập môn học sinh II- Cơ SỞ THƯC TIẾN: - Trong trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phơi chương trình có tiết từ tuần tuần nên học dạng toán đa sơ" học sinh cịn râ"t lúng túng việc áp dụng phương pháp, đôi với học sinh giỏi nhiều vân đề chưa đề cập đến Do kết qua kiểm tra học sinh thấp, nhiều học sinh yếu, kém, sô" lượng học sinh giỏi thấp - Qua thực tê" giảng dạy tơi nhận thây tình trạng học sinh giải toán sau: + Khi gặp tốn học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết theo hướng ? Khơng biết liên hệ cho đề với kiến thức học + Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác + Trình bày khơng rõ ràng, thiêu khoa học, lơgic GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu -5- PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ - Tơi tìm hiểu ngun nhân khách quan chủ quan dẫn đến đa sô" học sinh chưa có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử sau : * Đỏi vđi giáo viên : Trong tiết dạy giáo viên thường phôi hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nội dung học nhiều không đảm bảo thời lượng 45 phút nên chưa có phương pháp giải tập cụ thể cho loại đôi tượng học sinh Đỏi vởi phu huynh: Chưa thật quan tâm đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc việc học học sinh Đa sô" phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, khơng kiểm tra việc học nhà việc chuẩn bị trước đến lớp 4- Đô"i vởi hoc sinh : + Học sinh có ý thức học tập khơng đồng đều, tập trung ý học + Đa sơ" học sinh yếu kỹ tính tốn, quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán Nguyên nhân kiến thức lớp cộng thêm việc không chủ động học tập từ đầu năm học dẫn đến chây lười học tập + Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp tốn khó + Khơng có thói quen tự học nhà : khơng làm bài, học , soạn trước đến lớp + Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi - Vì để học sinh u thích mơn tốn, để học sinh có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, để khơng cịn học sinh yếu mơn Để giải vân đề trình giảng dạy đề phương pháp bản, phương pháp nâng cao cho học sinh giỏi thông qua tập cụ thể, tiết dạy bòi dưỡng học sinh giỏi, tiết dạy buổi hai giúp em hiểu rõ vận dụng GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu - - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh ĨĨL GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: PHẨN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI - Sắp xếp toán theo mức độ từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử 1) Đỏi vđi hoc sinh yếu kém: CỦNG CÔ" KIẾN THỨC CƠ BẢN Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức 2) Đỏi vđi hoc sinh trung bình: Vận dụng phát triển kỹ Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp • Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn • Cũng cơ" phép biến đổi hồn thiện kỹ thực hành • Tìm cách giải hay, khai thác tốn 3) Đỏ"i vđi hoc sinh khá, giỏi: PHÁT TRIỂN TƯ DUY Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung đẳng thức Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử Dạng 7: Dạng thêm bớt số mũ chia dư 1, số mũ chia dư Dạng 8: Dạng đối xứng vòng quanh Dạng 9: Dạng Ẩ3 ± B3 Dạng 10: Đặt biến phụ dạng đa thức Dạng 11: Đặt biến phụ dạng (x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) + e ( với a + b = c + d ) Dạng 12: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Dạng 13: Đặt biến phụ dạng hồi quy Dạng 14: Đặt biến phụ dạng (atx + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d,x + d2)(a,b, = c,d, a2b2 = c2d2) Dạng 15: Dạng đoán nghiệm Dạng 16: Đặt biến phụ dạng khác Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt biến phụ dạng hệ số bất định Dạng 18: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng GV: Nguyễn Trọng Phúc Trường THCS Phan Bội Châu PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ P H Ẩ N : CÁC PHƯƠNG PHÁP PHẦN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Dang 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đăt nhân tử chung PHƯƠNG PHÁP: DÙNG KHI CÁC HẠNG TỬ CỦA ĐA THỨC CÓ NHÂN TỬ CHUNG A.B + A.c = A ( B + C) ❖ Tìm nhân tử chung hệ sơ" (ƯCLN hệ số) ❖ Tìm nhân tử chung biến (lấy với sô" mũ nhỏ nhâ"t) ❖ Nhiều để làm xuâ"t nhân tử chung ta cần đổi dâ"u hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 5x2 {x-2y}-\5x{x-2y} GV: Tìm nhân tử chung hệ số? HS: Nhân tử chung hệ số ƯCLN(5;15) = GV: Tìm nhân tử chung biến? HS: x(x-2y) Giải: 5x2 (x-2y)-l5x(x-2y) = 5^(^-2j)(^:-3) 2) GV: Tìm nhân tử chung hệ sô" 10 ? HS: GV: Tìm nhân tử chung x( X - y) y( y - x)? HS: ( X - y) ( y - x) GV: Hãy thực đổi dâu tích 10x( X - y) - 8y( y - x) để có nhân tử chung ( X- y) ( y - x)? HS: Đổi dâu tích 10x( X - y) = - 10x( y - x) Hoặc đổi dâu tích - 8y( y - x) = 8y( X - y) Giải: 10x( X - y) - 8y( y - x) = 10x( X - y) + 8y( X - y) = 2( X - y).5x + 2( X - y).4y = 2( X - y)( 5x + 4y) 2) 9x( X — y) — 10( y — x)2 Cách giải sai: GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu -8- PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ 9x( X — y) — 10( y — x)2 = 9x( X - y) + 10( X - y)2 = ( x - y ) [9x + 10( X - y)] = ( X - y)(19x - lOy) Sai lẩm: - Thực đổi dấu sai: 9x( X - y) - 10( y - x)2 = 9x( X - y) + 10( X - y)2 - Sai lầm đổi dấu ba nhân tử: - 10 ( y - x)2 tích - 10( y - x)2 Vì10( y - x)2 = - 10( y - x)( y -x) Cách giải đứng: 9x( X — y) — 10( y — x)2 = 9x( X - y) - 10( X - y)2 = (x-y) [9x - 10( X- y)] = (x-y)(10y-x) Ị- Qua ví dụ giáo viên củng cô" kiến thức cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử - Quy tắc đổi dâu cách đổi dâu nhân tử tích Bài tâp áp dung: 1) 2axy-4a2xy2+6aĩx2 6) 2á2b(x + y}-4dib{-x-y) 2) -7x2y-14x3y4-21y3 3) 2xyịa-l)-4x2yịl-a) 7) xm+1-xm 8) xM+2-x2 4) 5a2 (x-y) + l0a(x-y) 9) xm+2-xm 5) Zab(x-4) + 9a(4-x)2 10) jc"+1 -jc"+1 Dang 2: Phân tích da thức thành nhân tử phương pháp dùng dẳng thức PHƯƠNG PHÁP: BIẾN ĐỐI ĐẾ XUẤT HIỆN MỘT TRONG HẰNG ĐẮNG THỨC ĐÁNG NHỚ 1) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3) A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4) ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ 6) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ( a - b Ý - ( a + b Ý GV: Đa thức có dạng đẳng thức nào? HS: Có dạng A2 - B2 Cách giải sai: ( a - b ) - ( a + b ) = ( a - b + a + b ) - ( a - b - a + b ) = 2a.O = Sai lẩm: Thực thiếu dấu ngoặc Cách giải đứng: (x-y)2 - (x + y)2 = [(x-y) + (x + y )].[(x-y)-(x + y)] = (x-y + x + y).(x-y-x-y) = 2x.(-2y) = -4xy Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi giáo viên cho tập dạng phức tạp 2) lOx-25-x 3) 8x3 4) 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 5) -x2-64y2 25 Giải: 2) lOx-25-x2 = -(x2-lOx + 25) = -(x-5)2 ( IV n =2x - — 4jc2 +jc + — K 2Ẵ J 2 4) 8x + \2x y + 6xy + y = {2xỴ + 3.ị2xỴ ,y + 3.2x.y +y = (2x + yỴ 3) 25 8jc3 - g= (2jc)3-[2 (I o; — -(8v)2 = ị^x+*y x-8v GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu - 10- PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ Dang 16: Đăt biển phu dang khác Phương pháp: Đối với dạng cần biến đổi thêm số bước để đưa dạng Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) (2JC + 1)(JC + 1)2(2JC + 3)-18 2) (4* + 1)(12JC-1)(3JC + 2)(;C + 1)-4 Giải: 1) = (2JC + 1)(^C + 1)2(2JC + 3)-18 = (2JC + 1)(2JC + 3)(^C + 1)2-18 = (4^c2 + 8JC + 3)(JC2 + 2JC +1)-18 Đặt X + x + l = t ^4 = (4r-l)r-18 = 4/12-r-18 = (r+ 2)(4/‘-9) = (JC2 +2JC + + 2)[4(^C2 +2JC + I)-9~ = (x2 +2x + ì)[4x +8X + 4-9) = (X2 +2x + Ì)[4x2 +8X-5) 2) = (4* + 1)(12JC-1)(3JC + 2)(;C + 1)-4 = (4JC + 1)(3JC + 2) (12;C-1)(JC + 1)-4 = ịỉ2x +1 bc + 2)(l2x +1 bc -1) - Đặt 12x2+lbc + = f A = t{t-í)-4 = t2 -lt-4 = {t + í){t-4) = [\2x2 +Ux + + l)[\2x2 + I Ì X + 2-À) = (l2x2 +1 1JC + 3)(12JC2 +1 1JC - 2) Bài tâp áp dung: 1) (6X + 5)2(3X + 2)(X + 1)-35 2) (2* + 1)(JC-1)(JC-3)(2JC-3) + Dang 17: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đăt biển phu dang số bất đinh Phương pháp: Nếu tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) ln có giá trị hệ số hạng tử bậc f(x) = a xn + a + + axx + ct0 g ( x ) = b x n + b xn'A + + h x + bn oV/ n n-\ f ( x ) = g( x ) = > a n = b n ; a n _ l = b n _ l ; ; a l = b l ; a = b Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) f(x) = X2 + 3x + 2) g(x) = x3- 19x - 30 3) h(x) = X4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 4) f(x) = X4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Giải: 1) f(x) = X2 + 3x + PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ Vì hệ số hạng tử có bậc cao (x2) nên f(x) phân tích thành hai nhân tử X + a, X + b, ta có: X + 3x + = (x + a)(x + b) X + 3x + = X + (a + b)x + ab 2 ịa + b = \ab = Từa + b = => a = - b Đem vào ab = 2, ta được: ab = => b(3 - b) = o-b + b - = « -b2 + b + 2b -2 = « -b(b -1) + 2(b -1) = Cb - l)Cb - 2) = "¿» = b=2 Cho b = =>a = b = -> a - Trong hai trường hợp ta kết quả: f(x) = X + 3x + = (x + l)(x + 2) Vậy f(x) = (x +l)(x + 2) CHÚ ý: Có thể phân tích đa thức thành nhân tử cách tách nhóm hạng tử: X + 3x + = X + x+ 2x + = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + l)(x + 2) 2g(x) ) = X - 19x - 30 Kết phải tìm có dạng: (x + a)(x2 + bx + c = X + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: 2 3 X3 - 19x - 30 = X + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có: A + B = AB + C = 19 AC = -30 Vì a,c thuộc số ngun tích ac = -30, a, c ước -30 hay a, c ={ ± 1, ±2, + 3, +5, +6, + 10, + 15, + 30 } a = 2, c = 15 b = -2 thoả mãn hệ Vậy g(x) = X - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15) 3) h(x) = X + 6x3 + 7x2 + 6x + PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ Dễ thấy ± khơng phải nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỷ Như đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = X + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng hệ số đa thức với đa thức cho, ta có: X4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd A + C = AC + B + D = < ad + bc = bd = V Từ hệ phương trình ta tìm được: a = b = d = l , c = Vậy h(x) = X + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + X + l)(x2 + X + 5) 4) f(x) = X - 6x3 + 12x2 - 14x + NHẬN XÉT: Các số ±1; ±3 nghiện đa thức f(x) nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( X + cx + d), với a, b, c, d £ z Khai triển dạng ta đa thức: X + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a + c = -6 4 ac + b + d = 12 ad + bc = -14 bd = Xét bd = 3, với b, d £ z, b £ {±1; ±3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = -6 ị ac = a + 3c = -14 Từ ta tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( X - 4x + 1) Ta trình bày lời giải sau: f(x) = X - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + X ) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + l)(x2 - 2x +3) Bài tâp áp dung: 1) f(x) = X - x + x - 24 2) g(x) = X - x + x - l A x + 3) h(x) = X - 8* + 63 Dang 18: Phân tích da thức thành nhân tử phương pháp xét giá tri riêng PHƯƠNG PHÁP: ÁP DỤNG LINH HOẠT CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu -27- PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) p = x2(y - z) + Y2(Z - x) + z2(x - y) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Giải: 1) p = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) NHẬN XÉT: Neu thay X y p = 0, nên p chia hết cho X - y Hơn thay X y, y z, z X p khơng thay đổi (Ta nới đa thức p hốn vị vịng quanh) Do đó: p chia hết cho X - y p chia hết cho y - z z - X TỪ ĐÓ: p = a(x - y)(y - z)(z - x); a số, khơng chứa biến p có bậc tập hợp biến Ta có: p = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) với X, y, z £ R nên ta chọn giá trị riêng cho X, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị X, y, z ta chọ tùy ý, cần chúng đôi khác để tránh p = Chẳng hạn: Chọn X = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm đuợc a = - Vậy: p = x 2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) NHẬN XÉT: với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = đuợc k = Vậy Q = 4abc KÉT QUẢ - Tôi dùng phuơng pháp thực lớp 8A7 Đuợc huớng dẫn em hứng thú học tập tiếp thu tốt Những em học sinh khá, giỏi hứng thú biết thêm kiến thức Bảng thống kẽ Lớp Chất luợng HS chua sử dụng phuơng pháp Chất luợng HS sử dụng phuơng pháp 8A7 Giỏi 5%; Khá 10%; Trung bình Gioi 1%; Khá 4%; 75%, Yếu - Kém 10% Trung bình 60%, Yếu - Kém 35% c- KẾT LUÂN l)Bài học kinh nghiệm: - Đơi với học sinh yếu, kém: Là q trình liên tục củng cô" rèn luyện kỹ để vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn Giáo viên cần cho PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ học sinh thực hành theo tập mẫu với tương tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm tập khác với nội dung SGK - Đối với học sinh trung bình: cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kỹ biến đổi vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể từ rèn luyện khả tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức - Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác thông qua tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, linh hoạt lựa chọn phương pháp Qua kích thích óc tìm tịi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán nhằm phát triển tư cách toàn diện cho học sinh - Đối với giáo viên: Phải định hướng vạch dạng tốn giúp học sinh tìm phương pháp giải hợp lý từ nắm vững dạng tốn, rèn kỹ phân tích dạng tập Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại sô" đề cập Đồng thời giáo viên phải tạo khơng khí tích cực giải tập đôi với đôi tượng học sinh Muôn giáo viên cần tác động đến đôi tượng cho phù hợp Chẳng hạn đôi với học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét hướng học sinh theo đường cần đến Nên học sinh tích cực tìm tịi sáng tạo phát triển tư trí tuệ cho học sinh 2)Hưđng phổ biến, áp dung nghiên cứu tiếp đề tài: - Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng phương pháp rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử chương trình đại sơ" Tôi nhận thây kết bước đầu học sinh tiến đáng kể, giúp học sinh tự tin giải tốn khó tốn sách giáo khoa PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ - Đề tài áp dụng thực tổ chun mơn, khôi đồng thời làm tài liệu tham khảo khôi khác năm học tới - Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần xun si chương trình đại sơ" 8, áp dụng để nâng cao châl lượng học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi Vì việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức theo u cầu chương trình, có kỹ giải tốn thành thạo quan trọng Việc áp dụng đề tài cần phải có thời gian, phải tiến hành cách hệ thơng Do hình thức tổ chức buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng tập trình bày theo hệ thcíng kiến thức - Để áp dụng đề tài đạt hiệu cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh trình dạy phải khắc sâu kiến thức cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học tự học Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tịi tập liên quan, cách giải hay độc đáo phân loại dạng tập chương trình sách giáo khoa THCS - Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm thân tôi, thông qua thực trạng học sinh lớp 8A7 năm học 2012 - 2013 mà xây dựng tiết học đạt hiệu Song cịn sơ" thiếu sót, hạn chê" râ"t mong góp ý bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện - Với đề tài này, tơi áp dụng nghiên cứu tiếp năm học sau tự tìm tịi rút kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao châ"t lượng dạy học Bù Đăng, ngày 10 tháng 03 năm 2013 Người thực Nguyễn Trọng Phúc PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại sô" - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Sách giáo viên đại sô" - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Vỡ tập đại sô" - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Thực hành dạy toán THCS - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Các phương pháp đổi dạy học toán - NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Tổng hợp kiến thức Toán THCS - Phạm Phu - Nhà xuất đại học s phạm Xuất năm 2005 Bài tập nâng cao sơ" chun đề Tốn - Bùi Văn Tuyên - Nhà xuất giáo dục - Xuất năm 2004 Sách bồi dưỡng lực tự học toán - NHÀ XUẤT BẢN DDHQG TP HCM GV: Nguyễn Trọng Phúc - Trường THCS Phan Bội Châu -31 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ Ý KIẾN NHẮN XÉT VẰ ĐẨNH GIẨ CỦA HỐI ĐỎNG KHOA HOC CẤP TRƯỜNG: Nhân xét: loai: xếp PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHÓ ĐẾN DỄ Ý KIẾN NHẮN XÉT VẰ ĐẨNH GIẨ CỦA HỐI ĐỎNG KHOA HOC CẤP PHÒNG: Nhânxét: loai: xếp ... dung: A PHƯƠNG X dạng phụ + 7đặt x biến + 14x + dạng \ x đẳng cấp Qua ví dụ 1) XA + PHÁP x3 -4x :Mục + Xđích + phương pháp đưa5) cụ2)thể thấy X Acác + em 6x3 + lx + 6x +1phương pháp dạng + Ví3)dụXA14: