CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) Họ tên: TRẦN HẢI NHÂN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Quảng Bình, tháng 01 năm 2019 Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số dạng mô tả Giới hạn dãy số nội dung quan trọng, làm tảng cho Giới hạn hàm số, đạo hàm ứng dụng Học sinh lần tiếp xúc với khái niệm giải tích, gắn liền với tư tưởng vơ hạn nên chắn gặp nhiều khó khăn Cùng với khả vận dụng kiến thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, tơi thực viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng quát hóa vấn đề trừu tượng Giải tích gặp phải trình dạy học phần Giới hạn nêu 1.2 Điểm đề tài Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên học sinh tìm hiểu qua sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số cách tổng quát Trên sở đó, định hướng học sinh làm tập phần sử dụng đến giới hạn đặc biệt dãy số, định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vơ cực dãy số hồn chứng minh khơng hồn tồn thừa nhận cách bị động Trong đề tài, phần phân dạng tốn có lồng ghép từ ví dụ quen thuộc để mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số sau ví dụ để hiểu chất định nghĩa vận dụng để giải toán, tương đối phù hợp với đối tượng học sinh Đề tài áp dụng giảng dạy nội dung Giới hạn dãy số môn Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn, chương trình nâng cao) Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trung học phổ thông Phần nội dung 2.1 Thực trạng nội dung nghiên cứu Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn) Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa n Xét dãy số  un  với un  Biểu diễn  un  dạng khai triển: u 100 1 u2 u4 u1 a) Nhận xét khoảng cách từ un tới 0, tức un  trở nên nhỏ n trở nên lớn b) Bắt đầu từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un tới nhỏ số sau đây: 0,01 0,001 ? Ta có: un   0, 01  1   n  100 n 100 Vậy từ số hạng thứ 101 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,01 Tương tự: un   0, 001  1   n  1000 n 1000 Vậy từ số hạng thứ 1001 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,001 n Như ta chứng minh un   nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩa un nhỏ miễn chọn n đủ lớn Khi ta nói dãy số  un  với un  có giới hạn n n dần tới dương vô cực Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn n dần tới dương vơ cực un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở un  hay un  n   Kí hiệu: nlim   1 Ví dụ Chứng minh dãy số  un  với un  có giới hạn n n Giải Ta cần chứng minh un nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn: un   1 n n  1  0, 01 hay un   n n 100 với n thỏa mãn n2  100 hay n > 10 Nghĩa kể từ số hạng thứ 11 trở un  0,01 Vậy nlim un   Định nghĩa Dãy số   có giới hạn số a (hay n dần tới a) n   ,   a   nlim   a hay  a n   Kí hiệu nlim  Ví dụ Cho dãy số   với  2n   Chứng minh nlim  n  2n      lim   n  n n     nlim Giải Ta có nlim     lim Vậy nlim  n  2n   n Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy kết quả: n  ; lim a) nlim n    với k nguyên dương; nk q n  q  ; b) nlim  un  c c) Nếu un  c (c số) nlim  un  a , ta viết lim un  a Chú ý: Thay cho nlim  II Định lí giới hạn hữu hạn Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên ta thường dung công thức giới hạn đặc biệt nêu định lí thừa nhận sau Định lí a) Nếu lim un  a lim  b lim  un    a  b ; lim  un    a  b ; lim  un   a.b ; lim un a  (nếu b  0) b b) Nếu un  với n lim un  a a  lim un  a Ví dụ Tính lim 3n3  n  n2 3n  n n Giải Chia tử thức mẫu thức cho n , ta  1 1 n 1 n n 3 Vì lim     lim3  lim  n n   lim   1  lim lim  lim1  0.0   n n n n  1 1 1  lim    3n  n n  n   lim   nên lim 1 1 1 n  lim   1 n n n n  3  4n Ví dụ Tính lim  2n   1 n2    n 4 4  4n n  n n  lim  lim Giải Ta có lim  lim   1 1  2n  2n  1  2 n  2 n n  Trong giải ta ý:  A neáu A  A2  A    A neáu A  Do đó, với số nguyên dương n ta có n2  n III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn  un  có cơng bội q, với q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  un  S  u1  u2   un   u1 1 q Ví dụ a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn  un  với un  1 1 b) Tính tổng          2 3n n1  1 1 1 1 Giải a) Vì un  n nên u1  , q  Do S     n    3 3 1 b) Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1, q   1 1 Vậy S           2 n 1     1 1     2 Mặt Trăng IV Giới hạn vơ cực Xét tốn: Có nhiều tờ giấy giống nhau, 384000 km tờ có bề dày 0,1mm Ta xếp chồng liên tiếp, giả sử thực việc cách vô hạn Gọi u1 bề dày tờ giấy, u2 bề dày xếp giấy gồm tờ, u3 bề dày xếp giấy gồm tờ, … Trái Đất un bề dày chồng giấy gồm n tờ Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày số chồng giấy … … u1 0,1 u1000 100 … … u1000000 100000 … … u1000000000 100000000 … … un n 10 … … a) Quan sát bảng trên, nhận xét: giá trị un tăng lên vô hạn n tăng lên vô hạn b) Để chồng giấy có bề dày lớn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng (khoảng cách thời điểm xác định 384.103 km  384.109 mm ) phải n  384.109 hay n  384.1010 có un  384.10 hay 10 Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn + n  +, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un   hay un   n   Dãy số  un  có giới hạn  n  +, lim(un )   Kí hiệu: lim un   hay un   n   Nhận xét: lim un    lim  un    Ví dụ Cho dãy số  un  với un  n2 Biểu diễn số hạng  un  trục số u1 u2 n2 un Ta thấy, n tăng lên vô hạn un  n2 trở nên lớn Ta chứng minh lim un   , nghĩa un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn, un  10000 , hay n2  10000 n  100 tức kể từ số hạng thứ 101 trở ta có un  10000 Tương tự, un  1020 kể từ số hạng thứ 1010  Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim nk   với k nguyên dương b) lim qn   q > Định lí Ta thừa nhận định lí Định lí a) Nếu lim un  a lim   lim un  b) Nếu lim un  a  0, lim   với n lim un   c) Nếu lim un   lim  a  lim unvn   Ví dụ Tính lim 2n  n.3n Giải 2n  2n   nn Chia tử mẫu , ta n n n.3 n.3 2 2n  5 Vì lim     lim3n   nên lim  lim n n  n n.3 n  2 Ví dụ Tính lim  n2  2n  1 Giải Ta có n2  2n   n2 1     n n  Vì lim n2   lim 1      nên limn2 1      n n n n     Vậy lim  n2  2n 1   2.2 Các giải pháp I Củng cố kiến thức Giới hạn hữu hạn dãy số a) lim un   un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở b) lim  a  lim(vn  a)  Giới hạn vô cực a) lim un    un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở b) lim un    lim  un    Các giới hạn đặc biệt n a) lim  ; lim  ; lim nk   , với k nguyên dương k n b) lim q n  q  ; lim q n   q > c) limc = c (c số) Định lí giới hạn hữu hạn a) Nếu lim un  a lim  b lim  un    a  b ; lim  un    a  b ; lim  un   a.b ; lim un a  (nếu b  0) b b) Nếu un  với n lim un  a a  lim un  a Định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực a) Nếu lim un  a lim   lim un  b) Nếu lim un  a  0, lim   với n lim un   c) Nếu lim un   lim  a  lim unvn   Cấp số nhân lùi vô hạn a) Cấp số nhân vô hạn  un  có cơng bội q, với q  gọi cấp số nhân lùi vô hạn b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  un  S  u1  u2   un   u1 1 q II Phân loại dạng toánvà mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vơ cực dãy số  1 Ví dụ Chứng minh dãy số  un  với un  có giới hạn n n Giải Cách Ta cần chứng minh un nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn: un   1 n n  1  0, 01 hay un   n n 100 với n thỏa mãn n2  100 hay n > 10 Nghĩa kể từ số hạng thứ 11 trở un  0, 01 un  Vậy nlim  Cách Theo cách 1, thay 0,01 > số dương bé tùy ý (cũng lấy   0,01 )   Khi un   1 n n  1   hay un   , với n thỏa mãn n2   hay n n  n  Nghĩa lấy số nguyên dương n0   kể từ số hạng thứ n  n0  un   Vậy lim un  lim (1) n 0 n2 Ví dụ Cho dãy số  un  thỏa mãn un  n2 với n Chứng minh lim un   Giải: Cách Vì limn2   (theo giới hạn đặc biết) nên n lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với n, nên un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un   Cách Nhìn nhận từ cách Đặt dãy số  un  với  n2 Cho số dương A, n2  A kể từ số hạng n  A trở Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với n, nên un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un   Mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực Định nghĩa mở rộng a) Dãy số  un  có giới hạn viết lim un  hay un  n   , với số dương cho trước  , tồn số nguyên dương n0 cho n  n0  un   b) Dãy số  un  có giới hạn số thực a viết lim un  a hay un  a n   Hay lim un  a lim  un  a   Như vậy: lim un  a  với số dương  cho trước, tồn số nguyên dương n0 cho n > n0  un  a   Hơn nữa: un  a      un  a    a    un  a   Do điểm un 1; un 2 ; thuộc khoảng  a   ; a    0 10 c) Dãy số  un  có giới hạn + viết lim un   hay un   n   với số dương A cho trước, tồn số nguyên dương N cho n > N  un  A Nhận xét Với việc mở rộng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số có giới hạn vơ hạn ta chứng minh giới hạn đặc biệt định lí thừa nhận nêu phần Chẳng hạn: a) lim un   lim un  b) Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n lim  lim un  c) Chứng minh lim q n  q  Giải Nếu q = lim q n  lim 0n  Nếu  q  Khi 1    với    ; q q Với n nguyên dương, theo bất đẳng thức Bec-nu-li: q n  (1   )n   n.  n. 1 với n n  Từ suy q n  1 1 Vì lim  nên theo định lí ta có lim    n n   Vậy lim q n  q  d) Chứng minh lim Giải Đặt un   n n Cho   Ta có un  1    n   n2    n 11 Lấy số nguyên dương n0  Vậy lim un  lim 2 Khi n  n0  un   0 n Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho dãy số  un  có giới hạn Chứng minh, kể từ số hạng trở đi, tất số hạng  un  nằm khoảng a) (0,9; 1,1); b) (0,99; 1,01) Giải lim un   lim un  1  Do đó, un  nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở 1,1  0,9 a) Lấy số dương 0,1 (tức số dương bé tùy ý   0,1 ) , ta có un 1  0,1  0,1  un 1  0,1  0,9  un  1,1 kể từ số hạng trở Vậy tất số hạng  un  nằm khoảng (0,9; 1,1) 1, 01  0,99 b) Lấy số dương 0,01 (tức số dương bé tùy ý   0,01 ) , ta có un   0,01  0,01  un   0,01  0,99  un  1,01 kể từ số hạng trở Vậy tất số hạng  un  nằm khoảng (0,99; 1,01) Ví dụ Biết dãy số  un  thỏa mãn un  n 1 với n n2 Chứng minh lim un  1  n 1 n 1 Giải Đặt  Ta có lim  lim  lim n n  n n Do đó, nhỏ số dương bé túy ý kể từ số hạng trở Mặt khác theo giả thiết ta có un   Suy un nhỏ số dương bé túy ý kể từ số hạng trở Vậy theo định nghĩa, ta có lim un  12 Dạng Tính giới hạn dãy số Phương pháp giải Sử dụng định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực Muốn vậy, ta thường biến đổi biểu thức xác định dãy số cho, tùy trường hợp để vận dụng - Nếu biếu thức có dạng phân thức mà mẫu thức, tử thức chứa lũy thừa n chia tử mẫu cho n k với k số mũ cao - Nếu biểu thức cho có chứa n dấu căn, nhân tử mẫu với biếu thức liên hợp Chẳng hạn: a b ; a b a b a3b a b a  ab  b Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính lim n  4n   3n2 Giải   n2 1    1    n  4n  n n   lim  n n   Ta có lim  lim  2  3n  n2       n  n  4 3n2  4n   n  3n2 Ví dụ Tính lim Giải   1  n     1     1 n n n n n 3n2  4n   n      lim  lim Ta có lim 2 2  3n 3 n2    n2 n   Ví dụ Tính lim  2n2  n2   13 Giải 2  2n3  4n2   n n   Ta có lim  2n2   lim  lim  n2 n2   n n Ví dụ Tính lim  n2  n n  1 Giải Ta có lim  n2  n n  1  lim  n2  1  Ví dụ Tính lim    n     n2   n2  11n  n 10 Giải Ta có lim  n  11n  n 10    lim n2  11n  n2 10 n 11    n2  11n  n2 10 n2  11n  n2 10   10  10 11  11n  10 n  11  n  lim  lim  lim  11 10 11 10 n  11n  n 10 n 1  n 1 1  1 n n n n Dạng Tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi Phương pháp giải Tìm cơng thức cơng thức tổng quát un dãy số  un  cách dự đốn cho phép tính un theo n chứng minh cơng thức quy nạp Sau tìm giới hạn  un  qua cơng thức tổng quát un Các ví dụ minh họa u  Ví dụ Cho dãy số  un  xác định  un 1   un với n  Biết  un  có giới hạn hữu hạn n  + Tính lim un 14 Giải Đặt lim un  a Ta có un1   un  lim un1  lim  un  a   a  a2  a    a  1 a  Vì un  nên lim un  a  Vậy lim un  Ví dụ Cho dãy số  un  xác định công thức truy hồi  u1   un 1   un  với n  Dãy số  un  có giới hạn hay khơng n  + Nếu có, tính lim un Giải n Ta có u1  ; u2  ; u3  ; u4  Dự đoán un  (1) n 1 Chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp: - Với n = 1, ta có u1  1  (đúng) 11 - Giả sử đẳng thức (1) với n = k (k  1), nghĩa uk  Khi ta có uk 1  k k 1 1 k 1   ,  uk  k k 2 k 1 nghĩa đẳng thức (1) với n = k + - Vậy un  n , n  N * n 1 Từ ta có lim un  lim n  lim  1 n 1 1 n 15 Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Phương pháp giải Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Các tốn có u cầu tìm cấp số nhân lùi vơ hạn biết số điều kiện: Ta dung công thức để tìm số hạng đầu cơng bội Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính tổng Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tổng S     Giải Dãy số vô hạn 2; 2;1; Vì q   1   2 1 ; ; cấp số nhân có cơng bội q   2 1   nên dãy cấp số nhân lùi vô hạn 2 Do đó: S     1 2     2  1 Ví dụ Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vơ hạn   , biết tổng 32 v2  v1  32 Mặt khác, v2  v1q   v1  Thế vào đẳng q 1 q  32  4q  4q    q  thức ta có q 1  q  Giải Từ giả thiết suy Từ đó:  v2 q n2  1  n 5 n2 2 Vậy dạng khai triển   là: 16; 8; 4; 2; 1; 1 ; n5 ; 2 16 Ví dụ Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số hữu tỉ a  2;131313 (chu kì 13) Giải 13 a  2;131313   = 2 (Vì 13 211 99 13 ;  99 13 100 10000 13 13 13       100 100 10000 100n 1 100 , với n nguyên dương ; ; 13 100 n ; số hạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q  100 ) 17 III Bài tập củng cố Bài Nếu dãy số  un  có giới hạn Khi dãy số un có giới hạn hay khơng ? Ngược lại có khơng ? Bài Chứng minh dãy số  un  với un   1 khơng có giới hạn Từ chứng n  minh giới hạn lim    không tồn  2 n Bài Cho dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, dãy số   khơng có giới hạn hữu hạn Dãy số  un   có giới hạn hữu hạn không ? Bài Cho hai dãy số dương  un    có giới hạn Chứng minh lim un2  vn2 0 un  Bài Chứng minh lim q n   q > Bài Cho q  dãy số  un  xác định un  q  2q2   nqn a) Chứng minh lim  nq n   b) Tính lim un Bài Tính giới hạn 3n  2n3  a) lim ; n n  n  1  n   c) lim 3n2  5n  b) lim ; 2n  n3  4n  Bài Tính giới hạn n   3n  a) lim     n  ;       b) lim  2n   11  ; n  c) lim 3n n n  2n  Bài Tính giới hạn n  n   4n  a) lim ; n3 b) limn   n2   n2  Bài 10 Tính giới hạn a) lim  n2  3n  5 ; c) lim  3n  2n  27  ;   b) lim 4n   2 ; d) n  3 lim  2.5n  5n n 18 Bài 11 Tính giới hạn a) lim 1.2  2.3   (2n 1)2n  ; n3 b) lim     n n2  n  Bài 12 Cho dãy số xác định công thức truy hồi u1    un  un 1  với n  Dãy số  un  có giới hạn hay khơng n  + Nếu có, tính lim un Bài 13 Cho dãy số xác định công thức truy hồi u1  1, un1  2un  un  với n  Dãy số  un  có giới hạn hay khơng n  + Nếu có, tính lim un Bài 14 Tính giới hạn dãy số  un  xác định công thức truy hồi u1   n un 1  u n  a với < a < Bài 15 Tính giới hạn dãy số  un  xác định công thức truy hồi 1 4 u1  ; un1   un   2 un  n1 1  1 Bài 16 Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn 1;  ; ;  ; ;    ;  2 Bài 17 Tính tổng S  1 0,9   0,9    0,9  n 1 Bài 18 Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng cơng bội q  Bài 19 Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  sin   sin    sin n  với     k Tính lim un Bài 20 Cho số thập phân vô hạn tuần hồn x  34,121212 (chu kì 12) Viết lại x dạng số hữu tỉ 19 IV Phần hướng đáp số, hướng dẫn giải Bài Vì  un  có giới hạn nên un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, un  un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Hay dãy số  un  với un  un có giới hạn Điều ngược lại cịn Bài Vì un  nên khơng thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Chẳng hạn un nhỏ 0,5 với n  n n  Do lim     lim  1   mà không tồn lim  1  2 2 n n  Vậy lim    không tồn  2 n Bài Sử dụng phương pháp phản chứng Kết dãy  un   khơng có giới hạn hữu hạn dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, dãy số   khơng có giới hạn hữu hạn Bài Ta có  un un2 un  với n nên   un  un với n un  un  un  un2  vn2 0 Suy điều cần chứng minh lim un  Bài Đặt p  Vì q  nên < p < Do lim pn  q Suy lim q n  lim pn   Bài a) Ta có nq n  n q  n n 1 với n, lim n n  n a a Do lim  nq n   b) Từ un  q  2q2   nqn  qun  q2  2q3   nqn1  un  qun  q  2q2   nqn   q2  2q3   nq n1  20  q  q  q3   q n  nq n1  q(1  q n )  nq n1 1 q q(1  q n ) q(1  q n ) q n 1  nq ta có lim un  lim  nq n1  Do đó: un  2 1  q  1  q  1  q  Bài a) 2; b) +; c) 1 Bài a) 0; b) +; c) + Bài a) 1 ; b) Bài 10 a) +; b) +; Bài 11 a) un    n n k k 1  n 3 c) ; d) 2 1 n 1.2  2.3   (2 n  1)2 n   2k  1 2k    n3 n3  k 1 n(n  1)(n  2) n(n  1)  3 n n k  n k 1 2(n  1)(2n  1) n   Vậy lim un  3n n b) Sử dụng câu a) tính tổng n số nguyên dương, ta có lim     n  n2  n  2n 1  Bài 12 Dự đoán công thức un  n1 chứng minh phương pháp quy nạp Đáp số lim un  Bài 13 Chứng minh un1  Đặt lim un  a , suy a  2un   0, n un  2a  a a2 Do lim un  Bài 14 Quy nạp công thức un2  Vậy lim  un2    an , n  với a  nên lim a n  1 a 1  lim  un   1 a 1 a 1 4 Bài 15 Ta có un1   un    theo bất đẳng thức Cơ-si un  0, n  N * u  n  21 Do un  2, n  suy un1  4  1    1, n  hay un1  un un  un  Vậy lim un  a  2, n  a   Qua giới hạn hệ thức truy hồi ta có     a  a   a  a     Vậy lim un  Bài 16 S  Bài 17 S  10 2 Bài 18 un    3 n 1 Bài 19 Dãy sin  ;sin  ; ;sin n  cấp số nhân vô hạn công bội q  sin  Vì sin   nên dãy cấp số nhân lùi vô hạn S Bài 20 x  sin   sin  1126 33 22 Phần kết luận 3.1 Ý nghĩa đề tài Đề tài tóm tắt kiến thức giáo khoa giới hạn dãy số nảy sinh vấn đề hạn chế mặt chất định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số, định nghĩa trình bày mức độ mơ tả nên hạn chế mặt tổng quát Hầu hết định lí cụ thể phép tốn giới hạn giới hạn đặc biệt thừa nhận Do vậy, cách truyền đạt ý tưởng đề tài đến học sinh giúp học sinh hiểu rõ kiến thức, em hiểu, tự chứng minh định lí phép toán giới hạn để sử dụng q trình giải tập khơng cịn bị động Trong trình viết, việc đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số xuất phát từ ví dụ sách giáo khoa ví dụ đơn giản làm sở Mặc dù sử dụng ngôn ngữ “số dương bé tùy ý” “Giải tích đại” song học sinh tiếp thu tảng em tiếp tục học chương trình Toán năm đầu hầu hết trường Đại học, cao đẳng Song song với đó, đề tài dựa vào kiến thức tóm tắt hệ thống dạng tốn phân loại mức độ (dành cho học sinh trung bình) số tập cần phối hợp nhiều kỹ biến đổi (dành cho học sinh khá, giỏi) Cuối cùng, phần tập củng cố chọn lọc xếp theo hệ thống kiến thức đưa có phần giải, hướng dẫn giải 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trên nội dung nói quan trọng chương trình Tốn THPT lần học sinh tiếp cận với giải tích, gắn với tư tưởng vô hạn nên bỡ ngỡ Bản thân đầu tư xếp chọn lọc kiến thức ví dụ tập minh họa cho ý tưởng đề tài giúp cho học sinh nhiều Tuy nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Kính mong góp ý phê bình thầy đọc để thân tiếp tục hồn thiện mở rộng, phát triển bước đề tài 23 ... mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số dạng mô tả Giới hạn dãy. .. thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, tơi thực viết đề tài: ? ?Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số? ?? với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh... nghiên cứu Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn) Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa n Xét dãy số  un  với un  Biểu diễn  un