Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, các em học sinh được làm quen, cọ sát với phần kiến thức này ngay từ bậc trung học cơ sở. Trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi, ta thường bắt gặp bài toán về hệ phương trình. Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các bài toán Hệ phương trìnhbài toán quen mà vẫn khó. Tại sao nhiều em học sinh vẫn lúng túng khi đứng trước bài toán giải hệ phương trình? Theo tôi,đó là do một số nguyên nhân sau: Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện. Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình. Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài toán tương đối điển hình trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường, nhằm bước đầu tạo cho học sinh những cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng một cách có hiệu quả trong việc giải quyết các bài toàn Hệ phương trình. Đó là sự phân loại có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách nào. Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần dần thích nghi một cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới. Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn. Xin chân thành cảm ơn
Một số phương pháp giải hệ phương trình A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, em học sinh làm quen, cọ sát với phần kiến thức từ bậc trung học sở Trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi, ta thường bắt gặp tốn hệ phương trình Từ thực tế giảng dạy của mình, tơi thấy học sinh rất lúng túng gặp phải tốn Hệ phương trình-bài tốn quen mà khó Tại nhiều em học sinh lúng túng đứng trước toán giải hệ phương trình? Theo tơi,đó số ngun nhân sau: Thứ nhất, hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận nhiều phương diện Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần đơn giản, tài liệu tham khảo đề cập đến phần nhiều song sự phân loại chưa dựa gốc của toán nên học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình chưa có nhìn tổng qt hệ phương trình Thứ ba, đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát tốn tìm tốn x́t phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Trong đề tài, tác giả cố gắng đưa số toán thường gặp, toán tương đối điển hình đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng, đề thi thử THPT Quốc Gia của trường, nhằm bước đầu tạo cho học sinh cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng cách có hiệu việc giải tồn Hệ phương trình Đó sự phân loại có tính chất xun suốt chương trình bám vào kĩ thuật quen thuộc, phù hợp với tư của học sinh Thêm vào đó, với tốn có sự phân tích lơgic, có sự tổng quát điều đặc biệt cho học sinh tìm gốc của tốn, tốn từ đâu mà có, người ta tạo chúng cách Thông qua việc làm thường xuyên này, học sinh thích nghi cách rất tốt, có tư sáng tạo, có lực làm toán tạo toán Học sinh thường hiểu sâu thích nghi học phần Trong trình thực đề tài này, rất cố gắng tránh hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận sự đóng 1/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài tốt hợn Xin chân thành cảm ơn! II ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 1) Đối tượng thực nghiệm: Trong năm học 2014-2015 tác giả chọn học sinh lớp 12A1 12A2 để thực nghiệm, học sinh lớp 12A1 học cách giải Hệ phương trình theo hướng của đề tài học sinh lớp 12A2 chọn làm đối chứng, kết cuối năm học 2014-2015 có 80 - 90% học sinh lớp 12A1 giải tốt tốn Giải hệ phương trình, có khoảng 50% học sinh lớp 12A2 làm tốt việc Trong năm học vừa qua, tác giả bổ xung trao đổi đề tài với đồng nghiệp tổ chuyên môn để áp dụng vào giảng dạy ôn luyện cho lớp khối 12 kết đạt rất tốt đề tài đánh giá cao 2) Phương pháp nghiên cứu đề tài: Tác giả lựa chọn phương pháp như: +) Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết +) Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm +) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa Các phương pháp đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhằm mục đích giúp tác giả hệ thống hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến dạng tập B PHẦN NỘI DUNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để giải tốt tốn Hệ phương trình u cầu trước tiên học sinh phải nắm vững dạng phương pháp giải hệ phương trình Ngồi học sinh cần nắm biết vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo số tốn điển hình I.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn a Định nghĩa Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hệ phương trình có dạng ax by c � � a'x b' y c' � với a, b, c, a ', b ', c ' số thực cho thỏa mãn a b2 �0, a '2 b '2 �0 b Cách giải - Phương pháp cộng đại số 2/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình - Phương pháp - Ngồi ta có thêm phương pháp sau: + Bước Tính định thức a b c b a c D ab ' a ' b, D x cb ' c ' b, D y ac ' a ' c a' b' c' b' a' c' + Bước * Nếu D �0 hệ có nghiệm nhất x D Dx , y y D D 2 * Nếu D D x D y �0 hệ vơ nghiệm * Nếu D D x D y hệ có vơ số nghiệm I.2 Hệ phương trình đối xứng loại I �f ( x; y ) a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại I hệ có dạng � �g ( x; y ) Trong f ( x; y ) g ( x; y ) đa thức chứa hai biến x, y thỏa mãn f ( x; y ) f ( y; x), g ( x; y ) g ( y; x), x, y �� b Cách giải phổ biến - Bước Biểu diễn phương trình theo tổng x y tích xy �x y S - Bước Đặt � ( S �4P ) �xy P - Bước Giải hệ theo S P - Bước x y hai nghiệm của phương trình X SX P I.3 Hệ phương trình đối xứng loại II a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng loại II hệ phương trình có dạng �f ( x; y ) , f ( x; y ) biểu thức chứa hai biến x y � �f ( y; x ) b Cách giải - Bước Trừ vế hai pt ta f ( x; y ) f ( y; x) (*) - Bước Đưa phương trình (*) dạng tích ( x y ) g ( x; y ) - Bước Xét hai trường hợp TH Với x = y vào hai phương trình của hệ giải tiếp TH Với g ( x; y ) kết hợp với f ( x; y ) f ( y; x) ta hệ đối 3/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình �f ( x; y ) f ( y; x ) xứng loại I � �g ( x; y ) * Chú ý Nếu g ( x; y ) phức tạp ta tìm cách chứng minh vơ nghiệm I.4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai a Định nghĩa Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai hệ có dạng � ax bxy cy d � � a ' x b ' xy c ' y d ' � b Cách giải � ad ' x bd ' xy cd ' y dd ' � - Bước Cân hệ số tự ta � da ' x db ' xy dc ' y dd ' � - Bước Trừ vế hai phương trình ta Ax Bxy Cy (*) - Bước Giải phương trình (*) ta biểu diễn x theo y - Bước Thế vào hai phương trình của hệ giải tiếp * Chú ý - Cách giải áp dụng cho phương trình có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn toàn giải cách đặt y tx, x �0 đặt x ty , y �0 - Ta cân số hạng chứa x (hoặc chứa y ) rồi trừ vế dùng phép I.5 Một số bất đẳng thức thường dùng a Bất đẳng thức Côsi Cho n số không âm a1 , a2 , , an Ta có a1 a a n n n a1 a a n Đẳng thức xảy a1 a2 an b Bất đẳng thức Bunhia-copxki Cho a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn số thực Khi ta có ( a12 a 22 a n2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a b2 a n bn ) 4/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình Đẳng thức xảy a a1 a n (Quy ước phân thức b1 b2 bn này,nếu mẫu thức tử thức 0) II MỢT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂN HÌNH II.1 Phương pháp a Cơ sở phương pháp Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại b Nhận dạng Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc nhất ẩn đó,hay tình biểu thức,một số lặp lại 2x y (1) � Ví dụ Giải hệ phương trình � 3x y y (2) � Lời giải 3y �5 y � Từ (1) ta có x vào (2) ta � � y y � � y 1 � � � 3(25 30 y y ) y y 16 � 23 y 82 y 59 � 59 � y � 23 2 � � � 31 59 � ; � � � 23 23 � 1;1 ; � Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y)= � � �x xy 12 y (1) � Ví dụ Giải hệ phương trình � 2 y x 12 (2) � Phân tích: Ta thấy vế trái của (2) biểu thức đẳng cấp bậc của x y, Hằng số 12 lặp lại hai phương trình của hệ Nếu ta số 12 phương trình của hệ y x thu phương trình đẳng cấp bậc ba Lời giải: Thay (2) vào (1) x xy (8 y x ) y 0 x y 0 ( x y ) xy (2 y x) 0 ( x y )( x xy y ) 0 2 x xy y 0 y 1 x 2 Với x+2y = x y , vào (2) 12 y 12 y x Với x xy y 0 ( x y ) y 0 x y 0 (không thỏa mãn hệ) 5/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình Kết luận: Hệ có nghiệm (x; y) (-2; 1),(2; -1) Nhận xét: Với cách làm ta giải tốn liên quan đến phương trình đẳng cấp như: 2 � �x xy y 3 (1) Ví dụ Giải hệ phương trình � x y ( x y )(2 xy 3) (2) � Lời giải: Thế x xy y vào phương trình (2) của hệ ta x y ( x y )( x xy y ) x y x y x 8 y x 2 y y 1 x 2 Thế x = 2y vào (1) ta y 3 y x Vậy hệ có nghiệm (x; y) (2; 1); (-2; -1) x y y 16 x Ví dụ Giải hệ phương trình: 1 y 5(1 x ) Lời giải: Hệ phương trình tương đương với 3 � � �x 16 x y ( y 4) �x 16 x y.5 x (1) � �2 �2 2 �y x �y x (2) x0 � Ta có (1) � x( x 16 xy ) � �2 x 16 xy (3) � Với x = thay vào (2) y = y = -2 x 16 Với x 0 (3) y thay vào (2) 5x x 1 y 124 x 132 x 256 0 x 1 x y 3 Kết luận: Hệ có nghiệm(x; y) (0; 2), (0; -2), (1; -3), (-1; 3) Ví dụ ( Đại học Khối B - 2008 ) �x x y x y x (1) � Giải hệ phương trình �2 (2) �x xy x Phân tích Phương trình (2) bậc nhất y nên ta dùng phép Lời giải Với x = không thỏa mãn (2) 6/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình x x2 Với x �0, (2) � y vào (1) ta 2x �6 x x � �6 x x � x 2x � � x � � x � 2x � � 2x � x0 � (6 x x ) � x x (6 x x ) x � x( x 4)3 � � x 4 � 2 � 17 � Do x �0 nên hệ phương trình có nghiệm nhất �4; � � � Chú ý + Hệ phương trình theo phương pháp sau: � �x x � � x xy x � � � x � � � � �� Hệ � � x2 6x 2 �x xy �2 x 6x x xy � � � + Phương pháp thường công đoạn cuối ta sử dụng phương pháp khác � � x y x y (1) Ví dụ : Giải hệ phương trình � 2 2 � � x y x y (2) Phân tích: Nếu bình phương hai vế của phương trình thứ nhất hệ xuất x y , ta vào phương trình thứ hai Lời giải Điều kiện : x y 0; x y 0 x y x y Ta có (1) x x y 4 Thế y 0 x y x 2(3) x y x vào phương trình (2) ta x y x 4 x 6 x y 6 x 2 x y 36 12 x x x 6 Thế y 12 x 36 vào (3) ta y 12 x 36 x 2 x 12 x 36 x x 12 x 36 x x 7/38 x 2 16 x 40 Một số phương pháp giải hệ phương trình x 2 x Khi y= x thỏa mãn điều kiện � � Vậy hệ có nghiệm nhất (x; y) � ; � � � II.2 Phương pháp cộng đại số a Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau b Nhận dạng: Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k số hệ khác � y2 3y � x2 � Ví dụ Giải hệ phương trình � x2 � 3x � y2 � Lời giải Điều kiện: xy �0 � 3x y y � Hệ � � y x x2 � (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x y xy y x � 3xy ( x y ) ( x y )( x y ) � ( x y )(3 xy x y ) x2 y2 � x � xy x y Từ y � y , 3x y2 x2 Do x y � y x vào (1) ta x3 x � x Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất (1; 1) � x xy y 38 Ví dụ Giải hệ phương trình � x xy y 15 � Phân tích Đây hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta cân số hạng tự thực phép trừ vế Lời giải 45 x 75 xy 60 y 570 � � 145 x 417 xy 54 y Hệ � � 2 190 x 342 xy 114 y 570 � 8/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình 145 x vào hai phương Giải phương trình ta y x, y 18 trình của hệ ta thu kết * Chú ý - Cách giải áp dụng cho phương trình có vế trái đẳng cấp bậc cao - Cách giải chứng tỏ hệ phương trình hồn tồn giải cách đặt y tx, x �0 đặt x ty, y �0 x y 65 Ví dụ Giải hệ x y xy 20 Phân tích: Hệ hệ đối xứng loai 1,ta giải cách đặc trưng đặt S = x+y, P = xy.Tuy nhiên, từ số hạng x y x y xy ta tạo đẳng thức ( x y ) 125 Lời giải: Hệ x y xy 20 x y 5 xy ( x y ) 20 x y 5 xy x 1, y 4 x 4, y 1 Nhận xét: Từ hệ phương trình ví dụ 10, ta tạo số hệ phương trình sau: x y 35 - Thay số cho vế phải,ta hệ ; x y xy 30 - Thay ẩn x thành x , y thành x y 7 xy( x y ) x x y y 35 y , ta hệ x y y x 30 x y 35 - Thay ẩn x thành 2x, giữ nguyên ẩn y ta hệ x y xy 15 ( x y )( x y ) 3 Ví dụ 10 Giải hệ ( x y )( x y ) 15 Phân tích: Hệ hệ đối xứng loại 1,có thể giải cách đặc trưng của hệ đối xứng loại Tuy nhiên,nhân vế trái của hệ ta thấy hệ trở nên đơn giản nhiều nhờ phép cộng đại số ví dụ 10 x y ( x y xy ) 3 Lời giải: Hệ x y ( x y xy ) 15 9/38 x y 9 x y xy 6 Một số phương pháp giải hệ phương trình ( x y ) 27 xy( x y ) 6 x y 3 xy 2 x 1, y 2 x 2, y 1 3x xy y x y � Ví dụ 11 Giải hệ phương trình � x xy y x y � Phân tích Nếu để nguyên trừ (cộng) vế với vế của phương trình phương trình chưa tách Lời giải Nhân vế của (1) với rồi trừ vế với vế với (2) ta y 2x � x xy y x y � (2 x y 1)(2 x y 2) � � y 2x � x � y 1 � Với y x , thay vào (1) ta có x x � � 3 � x �y � x 1� y � Với y x , thay vào (1) ta có x 11x � � � x �y � � 3x xy y 11 Ví dụ 12 Tìm giá trị m để hệ � có nghiệm �x xy y 17 m Phân tích Để có kết nhanh ta đặt y tx, x �0 Lời giải �y 11 � y 11 � � � � m 17 TH x � � y m 17 � �y � m 17 11 � m 16 Vậy hệ có nghiệm x � � 3x 2tx t x 11 � y tx TH x �0 , Đặt Hệ � � 2 2 �x 2tx 3t x 17 m 11 �2 x 2 � 2t t � (3 2t t ) x 11 � �� �� 11 (1 2t 3t ) x 17 m � � (1 2t 3t ) 17 m 2t t � 10/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình � � x2 x � ln � 0, x �� x x x 1 � � Suy g ( x) đồng biến R Bởi g ( x) g (0) � x Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất x = y = 3x x �1 y �x e 2007 � y2 1 � Ví dụ 34 Chứng minh hệ � có đúng nghiệm x 0, y x � e y 2007 � x 1 � �x �x �(�; 1) �(1; �) �x �x �� Lời giải Điều kiện: � Do � nên � �y �y �y �y �(�; 1) �(1; �) x y x y x y x y e e � e e Trừ vế hai pt ta x2 y2 1 x2 y2 1 t Hay f ( x) f ( y ) với f (t ) e f '(t ) et t 1 t t t 1 , t �(1; �) 0, t �(1; �) � f (t ) đồng biến (1; �) Bởi f ( x ) f ( y ) � x y vào pt thứ nhất ta x x e x 2007 � ex 2007 � g ( x) x 1 x 1 x x 2007, x �(1; �) Ta có Với g ( x) e x2 1 3x( x 1) x x g '( x ) e ; g ''( x ) e 0, x �(1; �) ( x 1) x ( x 1)3 x Suy g '( x ) đồng biến (1; �) g '( x) liên tục (1; �) có lim g '( x ) �, xlim g '( x) � nên g '( x) có nghiệm nhất x0 �(1; �) � � x �1 g '( x) � g '( x) g '( x0 ) � x x0 g '( x) � x x0 Từ BBT của g ( x) ta suy pt g ( x) có đúng nghiệm x �(1; �) Vậy hệ phương trình cho có đúng nghiệm dương ln(1 x) ln(1 y ) x y (1) � Ví dụ 35 Giải hệ phương trình � 2 (2) �x 12 xy 20 y Lời giải Điều kiện: x 1, y 1 25/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình (1) � ln(1 x) x ln(1 y ) y � f ( x) f ( y ) với f (t ) ln(1 t ) t , t �(1; �) t f '(t ) 1 � t �( 1; �) � f (t ) đồng biến (1;0) 1 t 1 t nghịch biến khoảng (0; �) TH x, y �(1;0) x, y �(0; �) f ( x ) f ( y ) � x y Thế vào pt (2) ta x y (không thỏa mãn) 2 TH x �(1;0), y �(0; �) ngược lại xy � x 12 xy 20 y TH xy hệ có nghiệm x y Vậy hệ có nghiệm nhất x y II.6 Phương pháp nhân liên hợp *Cơ sở phương pháp: ` - Với hệ phương trình có phương trình có dạng f ( x; y) � g ( x; y ) h( x; y ) mà f ( x; y ) g ( x; y ) m.h( x; y ) ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp để xuất nhân tử chung giải toán � � x xy y 21 (1) Ví dụ 36 Giải hệ phương trình � 2 x x ( x y ) y x y ( 2) � � Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (2) có 2x x y mà biểu thức x y ( x y ) tách thành nhân tử x y , ta thể nghĩ tới việc nhân liên hợp để làm xuất nhân tử chung Lời giải Điều kiện: x �1; x y �0 (*) (2) � x xy y x x y � ( x y)(2 x y ) � x y � ( x y) � 2x y � 2x x y 2x x y � � 0 � � � Do (*) nên x y x x y suy x=y Thay vào (1) ta có x x x 21 � x x x 21 � � x2 � x 2 � x2 � x 21 � � x 1 1 Ta có x � � x 2 � 1 � suy x=2 x 21 � x 21 � x2 �x �y Vậy hệ có nghiệm � 26/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình 2 � � y y x x xy y (1) Ví dụ 37 Giải hệ phương trình � 2 � � x y y 3x (2) Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (1) có y y x xy y tách thành nhân tử x mà biểu thức y x 1 , ta thể nghĩ tới việc nhân liên hợp để làm xuất nhân tử chung Lời giải Điều kiện: y �1; x �0, y �3x (*) y x không thỏa mãn hệ Từ (2)ta thấy y x y 1 x y ( y x 1) y x �0 , Ta có (1) � Với � � � ( y x 1) � y x 1� � y x ( điều kiện (*)) � y 1 x � � � Thế vào (2) ta có x x x x (3) Xét f ( x) x x x x � f '( x ) Xét g (t ) 2x 1 x x 1 t t2 � g '(t ) x 1 x x 1 t 3 0 2x 1 (2 x 1) x 1 (2 x 1) với t �R suy g(t) đồng biến R Do x x � f '( x) g (2 x 1) g (2 x 1) suy f(x) đồng biến R nên 3 � �x f ( x ) f ( 2) � x suy y=3 Vậy hệ có nghiệm � �y � x xy x y y (1) � Ví dụ 38 Giải hệ phương trình � � x y x y x y (2) Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (2) có x y x y mà biểu thức 9( x y ) tách thành nhân tử x y , ta thể nghĩ tới việc nhân liên hợp để làm xuất nhân tử chung Lời giải Điều kiện: x �y �0 (*) Nếu x=y (2) vơ nghiệm nên x> y Ta có (2) � x y x y x y � 6x y x y 3x y x y 7x y 27/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình � � � 3x y � x y � � x y 7x y � � � Do x y �0 nên x y x y 3x y suy x y � y x � 1� � 1� Từ (1) ta có x x �x � 5x �x � x � 3� � 3� � 2x 9x x x 1 � � � 9x 4 � 2x � x x> � 9 x 1� � �4 � Vậy hệ có nghiệm � ; � �9 � II.7 Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức *Cơ sở phương pháp: ` - Có phương trình trường hợp đặc biệt dấu xảy của bất đẳng thức Cauchy, Bunhia- Coposxki hay bất đẳng thức -Nhiều hệ phương trình đối xứng loại I giải theo phương pháp ngắn gọn - Yêu cầu học sinh sử dụng BĐT Bunhia-copxki có chứng minh xy 4 Ví dụ 39 Giải hệ phương trình 4 x y 32 Phân tích: Ta nhận thấy x= y= x= y= nghiệm của phương trình cho Hơn ta dựa vào bất đẳng thức để so sánh x y x y Lời giải Ta có x y 2 x y với x, y suy 32 � x2 y x y2 �x y � �� Vậy xy � � x y 2 � �xy xy 8 Ví dụ 40 Giải hệ phương trình x y 6 Lời giải 28/38 xy Một số phương pháp giải hệ phương trình ( x y 1) 4 x y 36� x2 y x2 y 64 xy xy (1) x y 2 xy ( x y 1) 4 x y Mà xy=8 suy x y 2 xy 8 x 0; y � � x y 4 (1) Ví dụ 41 Giải hệ phương trình � 2 � � x y xy (2) Lời giải 2 2 2 Ta có 2( x y ) ( x y ) ( x y ) ( x y ) 2 1 ( x y ) xy ( x y xy ) ( x y )2 2 x y 0 x y 4 Vậy hệ có nghiệm x= y = Từ (1) suy x y 4 � �x y 8 (1) 2 � x y 10 (2) Ví dụ 42 Giải hệ phương trình � Lời giải Điều kiện: x � ; y �1 Theo bất đẳng thức Bunhia- copoxki ta có (16 9)( x 9) (4 x 9) ; (16 9)( y 9) (4 y 9) Suy 25( x 9) 25( y 9) x y 4 x y Kết hợp với (2) suy 50 4 x y x y 8 (3) x y x 4 Dấu xảy y Vậy hệ có nghiệm (4; 4) 4 x y 8 Ví dụ 43 ( Đại học năm 2006 – Khối A) 29/38 x y 4 Một số phương pháp giải hệ phương trình � �x y xy 3 (1) Giải hệ phương trình � � x y 4 (2) Lời giải Điều kiện: x 1; y 1; xy 0 Từ (1) suy x y 3 xy xy x > 0; y > x y 0 Dễ Thấy x=0 y=0 không thỏa mãn hệ suy Từ (1) suy x y 3 xy 3 x y x y 3 x y 6 (3) 2 Từ (2) suy 16 ( x y 1) 2( x y 1) x y 6 (4) Từ (3) (4) suy x y 6 x y 3 Vậy hệ có nghiệm (3; 3) � x y 4xy(x y) 8xy x y (1) � Ví dụ 44 Giải hệ phương trình � � � 2x y 3x y 8 (2) Lời giải Điều kiện: x � ; y �1 3 2( x y ) ( x y ) � Ta có (1) � x y xy ( x y ) xy � � � � ( x y )( x y) xy � 2( x y ) ( x y ) � � � � ( x y )( x y ) xy ( x y )2 2( x y ) ( x y ) 2 do (*) nên 2( x y ) ( x y ) � ( x y)2 � ( x y) ( x y ) 2( x y ) xy � 0 (3) � � Ta lại có 2( x y ) �( x y ) � ( x y ) 2( x y ) �( x y ) � ( x y ) ( x y ) 2( x y ) xy �2( x y ) �0 Khi (3) x=y Thay vào (2) ta có: 2x x 1 2x � x4 � � 2( x 4) � ( x 4) � � 2x x 1 � 2x x 1 � ��2 x Do x � nên x � x 2x x 1 �x �y Khi (4) � x � x � y Vậy hệ có nghiệm � 30/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình �x 97y y 97x 97 x y (1) � Ví dụ 45 Giải hệ phương trình � � 27 x y 97 (2) � Lời giải Điều kiện: �x, y � 97 97 không thỏa mãn hệ 97 � �x �x � �x � �x � ;� 97 ; � ;� Dễ thấy � �y �y �y 97 � � �y � � suy x, y Ta có (1) � x 97 97x 97y y 97y 97x � x y � 97x 97y 1 � � 97x 97y 97y 97x � � � � x y � 97 � Theo bất đẳng thức BCS ta có 97 27 x y 9.3 x 4.2 y Đẳng thức xảy x y x y �97 9x 4y �97 97(x y ) =97 97 � 4x y � �x 97 � � Do (2) � � 2 � � Vậy hệ có nghiệm x y � � y 97 � � 97 � x � � 97 � �y � 97 �x y 1 (1) � Ví dụ 46 Giải hệ phương trình � 6 �x y 1 (2) Lời giải Từ (1) suy x 1; y 1 x 1; y 1 Từ (2) x y x x y y x y x y x6 x Dấu xảy y y x y 1 x 0; y 1 x 0; y x 1' y 0 x 1; y 0 Vậy hệ có nghiệm (x;y) (1;0); (0;1); (-1;0); (0;-1) II.8 Phương pháp dùng đồ thị 31/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình Cơ sở phương pháp: Tọa độ giao điểm hai đường f ( x, y ) g ( x, y ) �f ( x, y ) nghiệm của hệ � f ( x, y ) g ( x, y ) phương trình của �g ( x, y ) đường thẳng, đường tròn, đường Elip,… �x y x (1) Ví dụ 44 Cho hệ phương trình � Tìm a để �x ay a (2) 1/ Hệ có nghiệm nhất 2/ Hệ có hai nghiệm phân biệt 3/ Hệ có hai nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) cho ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) lớn nhất Phân tích : Hệ gờm 1phương trình bậc nhất phương trình bậc hai giải phương pháp Bên cạnh ta thấy hệ gờm phương trình đường thẳng phương trình đường tròn nên ta coi hệ phương trình hệ tương giao đườn thẳng đường tròn Lời giải �1 � � � Phương trình (1) phương trình đường tròn (C) có tâm I � ;0 �và bán kính R 2 Phương trình (2) phương trình đường thẳng d 1/ Hệ có nghiệm nhất d tiếp xúc với (C) d(I,d) = R a a 0 a 1 a 2/ Hệ có hai nghiệm phân biệt d cắt (C) hai điểm phân biệt d(I,d) < R a 0a 1 a2 hệ có hai nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) *Gọi M ( x1 ; y1 ), N ( x2 ; y2 ) giao điểm của d (C) 3/ * Khi a Để ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 lớn nhất � MN lớn nhất � MN qua tâm I của (C) 1 a 0 a 2 32/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình III MỘT SỐ BÀI TẬP KIẾN NGHỊ Giải hệ phương trình sau: � �x y (x y ) x y3 280 � � �x x y y � �x ( x y 1) y ( y 1) �x y 3 � 2 3 �x 2y x y �2xy x 14y � 2 �4x y 2xy 52y � (6 x)(x y ) 6x 8y � � (3 y)(x y ) 8x 6y � � 2y x xy 2y 2x � 3 �x 8y x y � � 7x y 2x y � 2x y 5x � 2 � �x 2y x y 2xy � 2 x 2y y3 14 x � �x x y 3x � � 2 �y x y y �x y � 10 �2 x5 �x y xy 1 � (x y)(x 2y) 3x 2y � � 11 � x y � 2x 2y � � x 3y y x � 12 � � y 1 x x 33/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình 2 � �x x y y 13 � x 1 1 x y x y � � 2 � �x 2y x y 2xy 14 � 2 x 2y y3 14 x � � (53 5x) 10 x (5y 48) y � 15 � � 2x y x 2x y 11 2x 66 2 � �x x 2x 3y y 16 � 2 �x y 3x 3y �x xy x � 17 � (x 1)2 3(y 1) xy x y 2y � � 10 � �x y y x x 18 � x x 3x y � � y x y x y xy � 19 � 2 � � y x y x y � x2 x y2 y � 20 � �x y x � � x 3y y x � 21 � � y 1 x x � �xy y y x y 3x 22 � (1 y ) x y x 1 (2 x y 1) y � �x y y x y y � 23 � � � y xy x x 3 � �y y x y x x 24 � 2 2 � �9 y 11x x 10 x y x 11x � 8x 18y 36xy 5(2x 3y) 6xy � 25 � 2x 3y 30 � 34/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình �x 6x y 9xy 4y � 26 � �xy xy 2 � (x y)(x xy y 3) 3(x y ) � 27 � � x 2 y x 6x 11 �x xy x � 28 � (x 1) 3(y 1) xy x y 2y � � � �x xy x 29 � �y(x 3) x x y 2y C KẾT QUẢ VÀ KHUYẾN NGHỊ Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm ” Một số phương pháp giải hệ phương trình” tác giả rút số ý kiến sau: Những vấn đề quan trọng sáng kiến kinh nghiệm đề cập: - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống hệ phương trình đại số, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề học sinh khơng cảm giác e sợ gặp tốn hệ phương trình - Tạo cho học sinh có thói quen tổng qt tốn tìm toán xuất phát, biết toán đề thi đâu mà có người ta tạo chúng cách - Thông qua việc tìm tốn gốc, việc tổng qt tốn, việc tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp của Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, hứng thú học 35/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình tập mơn Kết thu Trong q trình thực đề tài, năm học 2014 – 2015 tác giả vận dụng vào tiết tự chọn nâng cao của lớp 12A1 học sinh lớp 12A2 làm đối chứng thấy có sự khác rõ rệt Học sinh học theo hướng của đề tài, em nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào tốn cụ thể mà rất hứng thú học tập Khi học lớp qua lần thi thử đại học, thi THPT Quốc gia có từ 80 đến 90% học sinh làm tốt tốn giải hệ phương trình, có 30 đến 40% học sinh lớp 12A2 giải toán Kiến nghị Mỗi tốn thường có gốc của nó, việc giúp học sinh phát toán gốc thấy tốn học rất thực tế, tự nhiên khơng khó em nghĩ đồng thời tạo niềm tin hứng thú học tập với em Nên tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với toán hay khó với nhiều hướng giải nhằm phát huy hết lực sáng tạo của học sinh giải toán Với tinh thần theo hướng thày giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, toán tích phân, tốn tổ hợp – xác suất, toán phương pháp tọa độ mặt phẳng, không gian Cuối xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ góp ý kiến cho tơi hồn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan là SKKN của viết, khơng chép nội dung của người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI 36/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình D: TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số phương pháp chọn lọc giải tốn sơ cấp- Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn- Nhà xuất Giáo dục Ba thập kỉ đề thi toán vào trường Đại học Việt Nam – Trần Phương- Nhà xuất Đaị học Quốc gia Thành phố Hờ Chí Minh Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp- Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí – Nguyễn Thị Trang- Nhà xuất Giáo dục Tuyển chọn giải hệ phương trình, phương trình khơng mẫu mực - Hà Văn Chương- Nhà xuất ĐHQG Tuyển tập 39 đề thi thử vào trường Đại học – Cao đẳng- tác giả Vũ TríTrần Hà, NXB Hà Nội Báo Tốn học tuổi trẻ, đề thi thử THPT Quốc gia 37/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình 38/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình MỤC LỤC A Phần mở đầu I Lý mục đích chọn đề tài II Đối tượng thực nghiệm phương pháp nghiên cứu của đề tài Đối tượng thực nghiệm của đề tài Phương pháp nghiên cứu của đề tài B Phần nội dung I Những kiến thức chuẩn bị II Một số phương pháp điển hình Phương pháp Phương pháp cộng đại số……………………………………… Phương pháp đặt ẩn phụ………………………………………… Phương pháp đưavề dạng tích………………………………… Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số……………… Phương pháp nhân liên hợp…………………………………… Phương pháp sử dụng bất đẳng thức…………………………… Phương pháp đồ thị…………………………………………… III Một số tập kiến nghị C: Kết và khuyến nghị D: Tài liệu tham khảo 39/38 Trang 1 2 2 5 12 17 19 25 27 31 32 35 37 ... 12/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình n �a m � bx px qy � Tổng quát ta có hệ sau: � n �c m � px qy � dy II.3 Phương pháp đặt ẩn phụ �x y xy 1 Ví dụ 15 Giải hệ phương trình. .. 15/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình �x( x y 1) � Giải hệ phương trình sau: � ( x y)2 � x � Lời giải Điều kiện: x �0 � x y 0 � x � Hệ � � Đặt x y a, b ta hệ. .. y Ví dụ 23 Giải hệ phương trình � x � y x3 (2) � Phân tích Từ cấu trúc của phương trình (1) ta thấy đưa (1) dạng tích 18/38 Một số phương pháp giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện: