Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH) BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH) BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH) BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH)BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH)BÀI TẬP ÔN TẬP CẤU TRÚC RỜI RẠC TOÁN RỜI RẠC ( ĐẠI HỌC QUỐC GIA HỒ CHÍ MINH)
Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC Bài 1: Trong khẳng định sau, cho biết khẳng định mệnh đề, sao? a/ Trần Hưng Đạo vị tướng tài b/ x y số chia hết cho c/ số chẵn d/ – < e/ Hôm trời đẹp làm sao! f/ Nếu anh đến trễ em xem phim trước Bài 2: Gọi p q mệnh đề: p = “Minh học giỏi Toán” q = “Minh học yếu Tiếng Anh” Hãy viết lại mệnh đề sau dạng hình thức, sử dụng phép hợp nối mệnh đề a/ Minh học giỏi Tốn yếu mơn Tiếng Anh b/ Minh yếu Toán lẫn Tiếng Anh c/ Minh học giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Tiếng Anh, vừa yếu Toán d/ Nếu Minh học giỏi Tốn minh giỏi Tiếng Anh e/ Minh học giỏi Toán Tiếng Anh, hay Minh yếu Toán giỏi Tiếng Anh Bài 3: Gọi p, q, r mệnh đề: p “Bình học Tốn”, q “Bình học Tin học”, r “Bình học Tiếng Anh” Hãy viết lại mệnh đề sau dạng hình thức, có sử dụng phép hợp nối mệnh đề a/ Bình học Tốn Tiếng Anh, khơng học Tin học b/ Bình học Tốn Tin học khơng học lúc Tin học Tiếng Anh c/ Khơng Bình học Tiếng Anh mà khơng học Tốn d/ Khơng Bình học Tiếng Anh hay Tin học mà khơng học Tốn e/ Bình không học Tin học lẫn Tiếng Anh, học Toán Bài 4: Hãy viết dăng phủ định cho mệnh đề sau: a/ Ngày mai trời mưa hay trời lạnh tơi khơng ngồi b/ 15 chia hết cho không chia hết cho c/ Hình tứ giác khơng phải hình chữ nhật mà khơng phải hình thoi d/ Nếu An khơng làm ngày mai bị đuổi việc e/ 14 số lẻ, khơng phải số phương, bội số Bài 5: Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau: a/ tổng góc tam giác 180 b/ 3,1416 kéo theo tổng góc tam giác 170 c/ kéo theo tổng góc tam giác 170 d/ Nếu > nước cất sôi 100 C e/ Nếu < < f/ Nếu < < Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn Bài 6: Ta định nghĩa them phép hợp nối mệnh đề mới, ký hiệu p q để biểu diễn cho mệnh đề: không p mà không q Hãy lập bảng chân trị cho phép hợp nối mệnh đề Bài 7: Giả sử p, q mệnh đề nguyên thủy cho: p q mệnh đề sai Hãy xác định chân trị cho mệnh đề: a/ p q b/ p q c/ q p d/ ( p q ) (q p ) Bài 8: Gọi p, q, r mệnh đề: p “ABC tam giác cân”, q “ABC tam giác đều”, r “Tam giác ABC có góc nhau” Hãy viết lại mệnh đề sau theo ngôn ngữ thong thường: a/ q p b/ p q c/ p q d/ r p Bài 9: Hãy xác định chân trị cho mệnh đề sau: a/ Nếu 12 b/ Nếu c/ Nếu d/ tương đương 12 Bài 10: Có cách đặt dấu ngoặc “( )” khác vào dạng mệnh đề p q r Hãy lập bảng chân trị cho trường hợp Bài 11: Hãy lập bảng chân trị cho mệnh đề sau: a/ p p q c/ [[( p q ) q ] r ] [(p r ) q ] e/ [[( p q) (q p)] r ] ( p q) g/ [[( p q ) (q r )] q ] (r q ) b/ [p (q r )] [r ( p q )] d/ [( p r ) (r q )] [(r q ) p ] f/ [( p q) (p q)] (r q) h/ [(p q ) (r q )] (q r ) Bài 12: Hãy mệnh đề sau: a/ [( p q ) ( p q )] (r q ) b/ [( p q ) ( p q )] [(r p ) r ] c/ [( p q ) (q r )] d/ [ p ( p q)] [(q r ) p] e/ [ p ( p p )] [r (q p )] f/ ( p q ) [(q r ) ( p r )] g/ [q ( p q )] [(q p ) r ] h/ [( p q ) p] (r p ) i/ [( p q ) r ] [ p (q r )] j/ [( p q ) (q r )] [ p (q r )] k/ [ p (q r )] ( p r ) l/ [ p (q r )] ( p q ) m/ [( p q ) r ] [( p r ) (q r )] n/ [ p (q r )] [( p q ) ( p r )] o/ [(p q ) ( p q )] ( p q ) p/ [r ( p q )] [( p q ) r ] q/ [ p ( p q )] ( p q ) r/ ( p q ) [p ( p q )] s/ ( p q ) (p q ) t/ p [( p q ) (p q )] u/ [( p q ) (q r ) (r p )] [( p q ) (q r ) (r p )] v/ [( p q ) (q r ) (r p )] [( p q ) (q r ) (r p )] w/ [( p q ) r ] [r ( p q )] x/ [[( p q ) r ] ( s t )] [[[( p q ) r ] s ] [[( p q ) r ] t ] Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn Bài 13: Giả sử p biến mệnh đề có chân trị 1, xác định tất chân trị biến mệnh đề q, r , s mệnh đề sau có chân trị 1: [ p [(q r ) s ]] [s (r p )] Hãy làm tương tự cho trường hợp p có chân trị Bài 14: Hãy rút gọn mệnh đề sau: [[[( p q ) r ] [( p r ) r ]] q ] s Bài 15: Hãy lấy phủ định đơn giản mệnh đề sau: a/ p (q r ) (p q r ) b/ ( p q ) r c/ p (q r ) d/ p q (p q r ) Bài 16: Hãy cho biết quy luật logic sử dụng bước tương đương sau: 纴涓歔Biểu thức a/ [( p q ) ( p q )] q [ p (q q )] q ( p 0) q pq b/ ( p q ) [(p q ) q ] ( p q ) [q (p q)] ( p q ) [(q p ) (q q )] ( p q ) [(q p ) 1] ( p q) (q p ) ( p q ) ( q p ) [( p q ) (q p )] [(q p ) ( p q )] [q [ p ( p q )]] (q p ) c/ ( p q ) [q (r q )] ( p q ) q ( p q ) q q ( p q ) ( q p ) ( q q ) ( q p ) q p (q p ) Quy luật logic ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… ……………………………………… Bài 17: Hãy điền mệnh đề thích hợp vào chỗ trống suy luận sau theo phương pháp khẳng định phương pháp phủ định đúng: a/ Nếu xe Tồn khơng khởi động phải kiểm tra bugi Mà xe Toàn không khởi động Cho nên ………………………………………………………………………………… Bộ môn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn b/ Nếu Lan làm thi đạt điểm cao Mà Lan lại không đạt điểm cao Suy …………………………………………………………………………………… c/ Nếu cấu trúc vòng lập DO … WHILE … phần thân vịng lặp phải thực lần Mà ……………………………………………………………………………………… Vậy phần thân vịng lặp thực lần d/ Nếu chiều Sơn picnic bạn không xem phim Thế mà …………………………………………………………………………………… Vậy Sơn không picnic chiều Bài 18: a/ Hãy dùng quy tắc suy diễn để kiểm chứng suy luận sau đúng: ( q r ) ( q r ) E [ p (q r )] [ p (q r )] b/ Cho mệnh đề: F [ p (q r )] [ p (q r )] Như khẳng định E F hay sai? Bài 19: Hãy dùng quy luật logic, quy tắc suy diễn, để kiểm chứng mơ hình suy diễn sau: a/ b/ c/ d/ pr q p r p q q r ps pr rs t s t u q (r t ) u pr p q qs r s p e/ f/ g/ tr pu (p q ) r r (s t ) s u u t s t (s t) p p q ( p q ) ( r s ) r t t ( p u) i/ k/ pt pq q r r ( p q ) q r [( p r ) q ] n/ l/ pq p q r q s m/ (q r ) s j/ pq r s pr h/ pq sr r q p o/ p/ Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn pq r q r t q p p r q/ p (q r ) p r/ pq p r r q pq p (q r ) p (r q ) ps r (s t) tq s s t r t s/ t/ pq pr qr p (q r ) r s pt s q q s p ( q s ) q t t u u p s s ( s s ) Bài 20: Hãy kiểm tra xem suy luận sau có hay khơng? a/ Nếu Nam làm việc chăm chỉ, hiệu quả, thăng chức tăng lương Nếu tăng lương Nam mua xe Thế mà Nam không mua xe Như Nam không làm việc chăm chỉ, hiệu hay Nam không thăng chức b/ Nếu có họp sáng Thứ cơng ty Tùng phải thức dậy sớm Nếu Tùng dự tiệc tối Thứ nhà trễ Nếu nhà trễ phải thức dậy sớm Tùng phải họp mà ngủ Nhưng mà Tùng họp công ty ngủ Do Tùng không dự tiệc tối Thứ phải bỏ họp sáng Thứ c/ Nếu Bách làm muộn vợ giận Nếu Toàn thường xuyên vắng nhà vợ giận Nếu vợ Tồn hay vợ Bách giận Hạnh bạn họ nhận lời than phiền Mà Hạnh không nhận lời than phiền Vậy Bách làm sớm Tồn vắng nhà Bài 21: Xét vị từ: p ( x) " x 4" q ( x) " x số chẵn”, x biến nguyên Hãy tìm chân trị cho mệnh đề sau: a/ p (0) b/ q (1) c/ p (3) d/ q (4) e/ p (7) q (6) f/ ( p (1) q (3)) g/ p (0) q (1) h/ p (2) q (8) Bài 22: Với p ( x), q ( x) 21, ta xét thêm vị từ: r ( x) " x 0" Hãy tìm chân trị cho mệnh đề sau: a/ p (2) [q (3) r (1)] b/ p (2) [q (4) r (1)] c/ p (3) [q (6) r (7)] d/ [ p (5) q (4)] r (8) e/ p (6) [q (2) r (2)] f/ [ p (3) q (5)] r (8) Bài 23: Với vị từ p ( x), q ( x), r ( x) 22, Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn a/ Hãy tìm tất x ngun cho p ( x) q( x) r ( x) b/ Hãy tìm giá trị x nhỏ cho p ( x) [q ( x) r ( x)] Bài 24: Xét vị từ p( x) " x 3x 0" Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau: a/ p (0) b/ p (1) c/ p (2) d/ x, p ( x) e/ x, p ( x) f/ x, p ( x) Bài 25: Lớp Phân tích thuật tốn có 120 người đăng ký học, có: - 20 sinh viên CNPM năm - 16 sinh viên HTTT năm - 14 sinh viên KTMT năm - 25 sinh viên MMT&TT năm - 15 sinh viên KHMT năm - 10 học viên Cao học KHMT năm - 09 học viên Cao học KHMT năm - 11 học viên Cao học HTTT năm Xét vị từ: l (x) “người x đăng ký học mơn Phân tích thuật toán” b(x) “ x sinh viên/ học viên năm 2” c(x) “ x sinh viên năm 4” d (x) “ x học viên Cao học” r (x) “ x sinh viên CNPM sinh viên HTTT” s(x) “ x sinh viên KHMT sinh viên KTMT” t (x) “ x sinh viên MMT&TT” Hãy viết lại mệnh đề sau dạng lượng từ hố: a/ Có sinh viên CNPM năm lớp Phân tích thuật tốn b/ Có sinh viên lớp Phân tích thuật tốn sinh viên KHMT c/ Mọi người học lớp Phân tích thuật tốn sinh viên học viên Cao học d/ Khơng có học viên Cao học lớp Phân tích thuật tốn e/ Mọi sinh viên năm lớp Phân tích thuật toán thuộc ngành CNPM, hay HTTT KHMT f/ Có sinh viên lớp Phân tích thuật tốn sinh viên năm năm Bài 26: Xét vị từ: p( x, y ) " x y" , q ( x, y ) " x y" , x, y biến thực Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau: a/ p (4,7) b/ q (1, ) c/ p (5,6) q (2,3) d/ p (8,2) q (1,0) e/ p (5,3) q (0,2) f/ p (3,1) q (7,0) g/ p (4,3) q (0,0) h/ p (1,1) q (9,5) Bài 27: Xét vị từ theo biến thực x : p ( x) " x x 0" q ( x) " x x 0" r ( x) " x 0" Hãy xác định chân trị cho mệnh đề sau: a/ x, p ( x) r ( x) b/ x, q ( x) r ( x ) c/ x, q ( x) r ( x) d/ x, p ( x) r ( x) e/ x, p ( x) q ( x) f/ x, q ( x) r ( x) g/ x, [ p ( x) q ( x)] r ( x) h/ x, r ( x) p ( x) Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn Bài 28: Xét vị từ theo biến nguyên dương: p ( x, y ) “ x ước số y ” Hãy xác định chân trị cho mệnh đề sau: a/ p (2,3) b/ p (2,20) c/ y, p (1, y ) d/ x, p ( x, x ) e/ y, x, p ( x, y ) f/ y, x, p ( x, y ) g/ x, y, [ p ( x, y ) p ( y, x)] ( x y ) h/ x, y, z, [ p ( x, y ) p ( y, z )] p ( x, z ) i/ x, y, z , [ p ( x, y ) p ( x, z )] ( y z ) j/ x, y, z , [ p ( x, y ) p ( x, z )] ( y z ) Bài 29: Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau Sau đó, cho biết dạng phủ định kèm theo có hay không? Nếu không, thay dạng phủ định a/ Với số thực x, y , x y x y Dạng phủ định là: Tồn số thực x, y cho x y x y b/ Với số thực x , x x có nghịch đảo Dạng phủ định là: tồn số thực khác mà nghịch đảo c/ Tồn số nguyên lẻ có tích số lẻ Dạng phủ định là: tích số lẻ số lẻ d/ Bình phương số hữu tỉ số hữu tỉ Dạng phủ định là: tồn số thực x cho x số vơ tỉ x số vô tỉ Bài 30: Hãy viết dạng phủ định cho mệnh đề sau: a/ Với số nguyên n , n không chia hết cho n số lẻ b/ Nếu bình phương số nguyên số lẻ số nguyên số lẻ c/ Nếu k , m, n số nguyên cho k m m n số lẻ k n số chẵn d/ Nếu x số thực thỏa x x 3 hay x e/ Với số thực x , | x | x f/ Tồn số thực x , tồn số thực y , x y x y hay x y Bài 31: Gọi p (x) q (x ) hai vị từ theo biến thực x Hãy lấy phủ định rút gọn cho mệnh đề sau: a/ x, p ( x) q ( x) b/ x, p ( x) q ( x) c/ x, p ( x) q ( x) d/ x, [ p ( x) q ( x)] p ( x) f/ x, p ( x) q ( x) g/ x, q ( x) p ( x) h/ x, p ( x) q ( x) i/ x, [ p ( x) q ( x)] q( x) Bài 32: Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau, sau viết dạng phủ định cho chúng Trong đó, x, y biến thực a/ x, y, xy b/ x, y, ( x y 1) ( xy 4) c/ x, y, ( xy 1) [( x 1) ( y / x)] d/ x, y, sin x cos x sin y cos y e/ x, y, (2 x y 7) (5 y x 4) f/ x, y, (7 x y 6) (2 x y 11) g/ x : x 12 h/ x : ( x 7) (2 x 4) i/ x, y, ( xy 4) ( x y 9) j/ x, y, (2 x y 9) ( x y 1) k/ x, y, ( x y 6) (5 x y 8) Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn l/ x, y , ( x y 10) (2 y x 14) m/ x, y, ( x y ) [( x y ) ( x y )] n/ x, y, ( x y ) [( x y ) ( x y )] o/ x, y, ( x y ) ( x y ) p/ x, y, ( x y ) [( x y ) ( x y )] Bài 33: a/ Sự tồn phần tử trường số thực R xác định sau: a, x, x a x Hãy viết mệnh đề tồn phần tử đơn vị R b/ x' gọi phần tử đối x x x' Hãy viết mệnh đề cho biết tồn phần tử đối c/ x' gọi phần tử nghịch đảo x xx' Hãy viết mệnh đề cho biết số thực khác có giá trị nghịch đảo d/ Nếu chuyển từ tập hợp số thực R sang tập hợp số nguyên Z mệnh đề b/ c/ phải điều chỉnh để Bài 34: Giả sử p (x) vị từ theo biến x X Khi ấy, mệnh đề lượng từ hóa ! x, p ( x) định nghĩa sau: [x, p ( x)] [x, y, [ p ( x) p ( y )] ( x y )] Hay nói cách khác tồn phần tử a cho p (a ) đúng, a phần tử X làm cho p (a ) Hãy viết lại mệnh đề sau dạng hình thức, có sử dụng lượng từ ! a/ Mọi số thực khác có nghịch đảo b/ Với x, y R , tổng x y c/ Với x , tồn y cho y x Bài 35: Giả sử p ( x, y ) vị từ " y 2 x" , x, y biến có giá trị nguyên Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau: a/ [x, ! y, p ( x, y )] [! y, x, p ( x, y )] b/ [! y, x, p ( x, y )] [x, ! y, p ( x, y )] Bài 36: Với vị từ p( x, y ) " x y số chẵn” mệnh đề 35 có khơng? Vì sao? Tương tự, với p ( x, y ) " x y số nguyên tố” Bài 37: Hãy điền vào chỗ trống suy luận sau đúng: a/ Mọi số nguyên số hữu tỉ Số thực số hữu tỉ …………………………………………………………………………………………… b/ Mọi sinh viên nhóm ngành CNTT học môn Cấu trúc rời rạc …………………………………………………………………………………………… Nam học môn Cấu trúc rời rạc c/ …………………………………………………………………………………………… Sơn Giám đốc điều hành ……Sơn biết cách giao nhiệm vụ phân quyền cho cấp d/ Mọi hình chữ nhật có góc …………………………………………………………………………………………… Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn ……Tứ giác ABCD khơng phải hình chữ nhật e/ Mọi người quan tâm đến sức khỏe hạn chế ăn thức ăn có nhiều Cholesterol Mai người quan tâm đến sức khỏe …………………………………………………………………………………………… Bài 38: Gọi p ( x), q ( x) hai vị từ theo biến x Hãy chứng minh khẳng định sau: a/ [x, p ( x) q ( x)] [[x, p ( x)] [x, q ( x)]] b/ [x, p ( x) q ( x)] [[x, p ( x)] [x, q ( x)]] c/ [[x, p ( x)] [x, q ( x)]] [x, p ( x) q ( x )] d/ Hãy tìm phản ví dụ cho phần đảo c/ Bài 39: a/ Xét suy luận sau: x, p ( x) [q ( x) r ( x)] x, p ( x) s( x) x, r ( x) s ( x) Hãy cho biết quy tắc suy diễn áp dụng bước sau: Biểu thức Quy tắc suy diễn Ta có: …………………………………………… x, p ( x) s( x) nên …………………………………………… p ( a ) s ( a) suy (1) …………………………………………… p (a) s (a ) (3) …………………………………………… Mặt khác x, p ( x) [q ( x) r ( x)] …………………………………………… Nghĩa …………………………………………… p (a ) [q (a ) r (a )] (2) Từ (1),(2) …………………………………………… [ q (a ) r (a )] Vậy (4) …………………………………………… r (a ) r (a ) s ( a ) Từ (3),(4) …………………………………………… Như thế: x, r ( x) s ( x) …………………………………………… b/ Xét suy luận sau: x, p ( x) q ( x) x, p ( x) x, q ( x) r ( x) x, s( x) r ( x) x, s( x) Hãy cho biết quy tắc suy diễn áp dụng bước sau: Biểu thức Quy tắc suy diễn x, p ( x) Ta có: …………………………………………… nên (1) …………………………………………… p (a ) Ngoài x, p ( x ) q ( x) …………………………………………… nên …………………………………………… p(a) q(a) hay (2) …………………………………………… p ( a ) q ( a ) q (a ) Từ (1),(2) (3) …………………………………………… Mặt khác x, q ( x) r ( x) …………………………………………… Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc Nghĩa q ( a ) r ( a ) hay q(a) r (a) Từ (3),(4) r (a ) Mà x, s( x) r ( x) s ( a ) r ( a ) nên Từ (5),(6) s (a ) Nghĩa x, s ( x) ThS Lê Hoàng Tuấn (4) (5) (6) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Bài 40: Hãy chứng minh công thức sau phương pháp quy nạp: n(n 1)(2n 1) n (n 1) b/ 13 n n(n 1) c/ n n( n 1)(n 2)(n 3) d/ 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) e/ 1.1!2.2! n.n! (n 1)!1 n f/ 1 2! 3! (n 1)! (n 1)! 1 n(n 3) g/ 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) n h/ Nếu n n! i/ Nếu n n n j/ Nếu n n n n(n 1) k/ 12 2 (1) n 1 n (1) n 1 1.3.5 (2n 1) l/ , với n 1,2, 2n 2.4.6 (2n) 1.3.5 (2n 1) m/ , với n 1,2, 2.4.6 (2n) n 1 n/ 2n n , với n 3,4, o/ n chia hết cho 6, , với n 0,1,2, p/ n n chia hết cho 8, , với n 0,1,2, q/ n 2n chia hết cho 1 2n r/ n 1 1 s/ n n a/ 12 2 n Bài 41: Xét vị từ p (n) " n vật đồng với nhau”, với n biến nguyên dương, n Khẳng định: n 1, p (n) Chứng minh: Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 10 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn p (1) : hiển nhiên Giả sử p (n 1) Tiếp theo, ta xét n vật x1 , x , , x n Do p (n 1) nên x1 , x ,, x n 1 đồng nhất, đồng thời x , x3 , , x n đồng Suy ra, x1 , x , , x n đồng nhất, nghĩa p (n) Do đó, theo nguyên lý quy nạp n 1, p (n) mệnh đề Suy luận sai đâu? Bài 42: Đặt số 1,2, ,25 vòng tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh ln có số liên tiếp cho tổng số 39 1 n 2 Bài 43: Xét vị từ S (n) : n Hãy chứng minh S (k ) S (k 1) đúng, với k Từ có suy S (n) đúng, với n khơng? Vì sao? Bài 44: Xét phương trình: 11 1 27 10 11 12 13 14 15 16 27 64 Từ đó, suy cơng thức tổng qt dạng vị từ theo biến nguyên dương, chứng minh cơng thức Bài 45: Phép tốn “khơng và”, ký hiệu “|”, định nghĩa sau: p | q ( p q ) a/ Hãy lập bảng chân trị cho p | q b/ Hãy chứng tỏ p | q tương đương logic với p c/ Hãy tìm cơng thức cho p q sử dụng phép toán “|” d/ Hãy tìm cơng thức cho p q sử dụng phép toán “|” Bài 46: Hãy viết phát biểu sau theo cách khác nhau: a/ Nếu 12 ước số n ước số n b/ x điều kiện đủ cho xy c/ Nếu n chia hết cho x y n chia hết cho x hay n chia hết cho y d/ x y không chia hết cho x không chia hết cho y không chia hết cho Bài 47: Hãy sử dụng luật logic (hay bảng chân trị) để chứng minh biểu thức sau đúng: a/ ( p q ) ( p q) b/ [ p (q r )] [( p q ) ( p r )] c/ [( p q ) p ] q d/ [( p q ) p ] ( p q ) Bộ môn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang 11 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn e/ [( p q ) p ] q f/ [( p q ) q ] p g/ [( p q ) q ] p h/ [q (q q )] i/ [( p r ) (q p ) r ] q j/ [( p q ) (q r )] ( p r ) k/ [ p ( p q ) (q r )] r l/ [( p r ) (q r )] [( p q ) r ] m/ ( p q ) (q p ) n/ [ p (q r )] ( p q ) o/ [ p ( p q )] ( p q ) p/ ( p q ) [p ( p q )] q/ p [( p q ) (p q )] r/ [( p q ) r ] [r ( p q )] s/ [[( p q ) r ] ( s t )] [[[( p q ) r ] s ] [[( p q ) r ] t ]] Bài 48: Xét vị từ theo biến n nguyên: p (n) “ | n | n ” Hãy cho biết chân trị mệnh đề sau: a/ p(20) b/ p(12) c/ n : p(n) d/ n : p(n) Bài 49: Hãy dùng ký hiệu toán học ký hiệu logic để viết lại mệnh đề: “Với số thực dương x , ln có số tự nhiên n cho x n x [2 n ,2 n1 ] ” Hãy cho biết mệnh đề hay sai? Vì sao? Rồi viết dạng phủ định cho mệnh đề Bài 50: Hãy lập bảng chân trị cho mệnh đề sau: a/ ( p q ) ( p q ) b/ [[( p q ) r ] [(q p ) (q r )]] [( p r )] (r q )] c/ [[(r q ) ( p q )] [(r q ) p ]] [[( p r ) (q r )] [( p q ) r ]] d/ [[( p q ) (r p )] [(r p ) q ]] [[( p q ) (r q )] [(q r ) p ]] Bài 51: Hãy chứng minh biểu thức sau: a/ [( p r ) (q r )] [( p q ) r ] b/ [( p q ) r ] [(p r ) (q r )] c/ [ p q (p q ) r ] [ p q r ] d/ [(p q ) ( p q r )] ( p q ) Bài 52: Hãy viết cấu trúc logic cho mệnh đề sau Sau đó, viết dạng phủ định cho chúng, phát biểu mệnh đề phủ định vừa lập lời a/ Với số ngun x , có số nguyên y cho x y 10 b/ Với số tự nhiên n , n có số nguyên tố p cho n p c/ Cho hai số thực a b , với b , có số tự nhiên n cho nb a Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 12 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn d/ Với dương, tồn dương cho với x thỏa mãn: trị tuyệt đối độ lệch x x0 nhỏ ta có trị tuyệt đối độ lệch f (x) L nhỏ (Trong x0 L số thực cho trước) Bài 53: Có người lữ khách lạc vào đất nước mà dân chúng nơi hợp thành hai lạc Tất thành viên lạc chuyên nói thật tất thành viên lạc cịn lại ln nói dối Lữ khách gặp người thổ dân “Anh ln nói thật à?” – ông ta hỏi người thổ dân cao Người trả lời tiếng địa phương: “Tarabara” “Hắn ta bảo “đúng” – người thổ dân thấp biết tiếng Anh giải thích – ta người nói dối kinh khủng” Thế người thổ dân thuộc lạc nào? Bài 54: Tất đàn ông quê phải cạo râu, mà làng có người thợ cạo Ơng ta cạo râu cho người không tự cạo không cạo cho người tự cạo Vậy cạo râu cho ông ta? Bài 55: Nhà vua gọi người tử tù đến nói: “Đằng nhà phải chết, ta cho nói câu cuối Nếu câu bị treo cổ, cịn sai bị chém đầu Và có hai cách chết cho thơi” Hỏi người tử tù nói câu để chết hay không? CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM Bài 1: Bốn người uống café hết 25000 đồng Ba người bỏ 30000 đồng để trả tiền (mỗi người góp 10000 đồng) Ơng chủ qn trả lại 5000 đồng Người thứ giữ 2000 đồng đưa cho người 1000 đồng Tính ra, người người bỏ 9000 đồng Như vậy, 3*9000 đồng = 27000 đồng , cộng với 2000 đồng người thứ giữ 29000 đồng Vậy 1000 đồng đâu? Bài 2: Cho n số nguyên dương lớn Gọi p ước số nguyên dương lớn 1, nhỏ n CMR p số nguyên tố Bài 3: Cho a, b, c số nguyên, nghĩa a, b, c Z CMR ƯSCLN a b 1, ký hiệu (a, b) , đồng thời (a, c) , ta có (a, bc) Nói cách khác, a nguyên tố với b với c , a nguyên tố với tích bc Bài 4: Từ tập hợp X { A, B, C , K , H ,0,1,3,7,9} , ta chọn phần tử để lập thành mã hàng hóa Như vậy, cơng ty có 100.000 sản phẩm cần bán thị trường với cách đặt mã hàng hóa (mỗi sản phẩm mã hàng khác nhau), có sản phẩm lựa chọn mã hàng hóa từ mã hàng? Bài 5: Cho a b hai số nguyên tố nhau, nghĩa (a, b) CMR a ước số n , ký hiệu a | n , b | n , ta có (ab) | n , với n số nguyên dương cho trước Bài 6: Có số nguyên dương gồm ký số (theo hệ thập phân), cho: a/ Chia hết cho 7? b/ Chia hết cho hay chia hết cho c/ Chia hết cho chia hết cho Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 13 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn d/ Chia hết cho không chia hết cho e/ Chia hết cho chia hết cho f/ Không chia hết cho 4? g/ Có ký số giống h/ Có ký số khác i/ Chia hết cho j/ Chia hết cho không chia hết cho Bài 7: Giả sử A, B, C tập hợp hữu hạn phần tử Gọi | A |, | B |, | C | số lượng phần tử A, B, C CMR: | A B C || A | | B | | C | (| A B | | A C | | B C |) | A B C | Bài 8: Ta lập ánh xạ khác từ tập hợp X {0,1,2, , n} vào tập hợp Y {0,1} ? Bài 9: Có tập hợp có nhiều phần tử tập hợp n phần tử? Bài 10: Cho tập hợp X {1,3,7,9,11,13,24} Hỏi có tập hợp X có tính chất: a/ Tổng phần tử tập hợp không vượt 32 b/ Tổng phần tử tập hợp bội số Bài 11: Cho n số nguyên dương, ta ký hiệu n Z CMR nhóm gồm n số ngun có số có số dư chia cho n Bài 12: Cho n Z CMR tập hợp gồm n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n Bài 13: CMR n số thực có số trung bình cộng n số Bài 14: Xếp 15 tập giống vào kệ sách có ngăn khác có ngăn chứa tập? Bài 15: Từ 52 lá, ta chọn ngẫu nhiên lúc Hỏi có cách chọn cho lấy ra: a/ Có ách, có già b/ Có ách, già tối thiểu đầm c/ Có nhiều ách, tối đa già có khơng q đầm d/ Khơng có ách phải có Tây (là bồi, đầm, già) e/ Có Tây có khơng q ách f/ Có g/ Có cơ, tối thiểu rô h/ Chỉ có rơ i/ Khơng có chuồn khơng có bích j/ Có loại k/ Có khơng q loại l/ Có màu đỏ m/ Có loại (cùng cơ, rơ, chuồn, bích) n/ Lá rơ khơng xuất Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 14 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn o/ Lá chuồn bích phải xuất p/ Có chuồn có từ trở lên q/ Nếu số rô gấp đơi số chuồn khơng có bích r/ Số số rô số chuồn số bích s/ Số + số rô số chuồn t/ Số chuồn số phương số lũy thừa (ngun, khơng âm) u/ Có đủ mặt loại số chuồn không nhiều số bích v/ Số lũy thừa số bích w/ Khơng có chuồn khơng có bích có rơ x/ Có liên tiếp loại, khơng có Tây y/ Số chuồn số chẵn khơng có rơ z/ Số bích số rơ – số + Bài 16: Từ hộp bi có: 12 bi đỏ + bi xanh 16 bi vàng 14 bi đen, ta chọn ngẫu nhiên lúc bi Tính số trường hợp xảy cho bi lấy ra: a/ Có bi đỏ, tối thiểu bi đen khơng có bi xanh b/ Có tối đa bi vàng, bi đen có khơng q bi đỏ c/ Có bi đỏ khơng có bi đen d/ Có số bi đỏ số phương số bi vàng số chẵn e/ Có màu bi f/ Có màu bi g/ Có bi màu h/ Có bi màu i/ Phải có bi đỏ có tối thiểu bi xanh có khơng bi vàng j/ Màu đỏ đen khơng xuất k/ Có số bi đỏ lũy thừa (nguyên, không âm) l/ Nếu có bi xanh khơng có bi vàng m/ Nếu có bi đen khơng có bi đỏ khơng có bi xanh n/ Số bi đỏ số bi xanh số bi vàng số bi đen o/ Số bi đỏ + số bi xanh số bi vàng p/ Số bi đỏ lũy thừa số bi xanh q/ Số bi đỏ khơng nhiều số bi đen có khơng q bi xanh r/ Khơng có bi đỏ khơng có bi đen số bi vàng lũy thừa số bi xanh s/ Trị tuyệt đối độ lệch số bi đỏ số bi đen số bi vàng + t/ Số bi xanh gấp số bi vàng khơng có bi đen u/ Số bi đỏ ước số số bi xanh số bi vàng ước số 12 v/ Số bi đỏ bội số số bi xanh w/ Số bi vàng số bi đen ước số 480 x/ Số bi vàng + số bi đỏ – số bi đen y/ Nếu bi đỏ xanh xuất phải có bi vàng z/ Có đủ màu bi số bi đỏ bội số số bi đen Bài 17: Trong tập hợp sau, tập hợp nhau: a/ {a, b, c} b/ {a, b, c, a, b} c/ {a, c, b, a} e/ {a, b, c, c, b, a} f/ {a, b, c, d } g/ {a, b, d , c, a} d/ {a, b, b, c} h/ {a, d , c, b, c} Bài 18: Giả sử X {1,{1}, {2}} Hãy khẳng định số khẳng định sau: a/ X b/ {1} X c/ {1} X d/ {{1}} X Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 15 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc e/ {{2}} X ThS Lê Hoàng Tuấn f/ {2} X g/ {{1}, {2}} X Bài 19: Trong số khẳng định sau, khẳng định đúng: a/ b/ c/ {} e/ {} {} f/ {} {} g/ {} {} h/ {1,{1}} X d/ {} h/ {} {} Bài 20: Hãy liệt kê phần tử số tập hợp sau: a/ {1 (1) n | n N } n b/ 1 n {1,2,3,5,7} c/ n N , n số lẻ n n n d/ n {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} n! n 11 Bài 21: Cho tập hợp Z : A {2m | m Z } B {2n | n Z } C {2 p | p Z } D {3r | r Z } E {3s | s Z } F {3t | t Z } Hãy khẳng định số khẳng định sau: a/ A B b/ A C c/ B C d/ D E e/ D F f/ E F g/ A E h/ A C Bài 22: Cho tập hợp X {0,1,2,3,4,5,6,7} Hãy liệt kê ra: a/ Các tập hợp X b/ Các tập hợp khác rỗng X c/ Các tập hợp X chứa phần tử d/ Các tập hợp X chứa phần tử: 1, e/ Các tập hợp X chứa phần tử, có phần tử: 0, 1, f/ Các tập hợp X gồm số chẵn phần tử g/ Các tập hợp X gồm số lẻ phần tử h/ Các tập hợp X không chứa phần tử không chứa phần tử Bài 23: Trong tập hợp sau đây, tập hợp khác rỗng? a/ {x N | x 3} b/ {x Z | x 10} c/ {x Q | x 6} d/ {x R | x 6} e/ {x R | x 4} f/ {x R | x 3x 0} Bài 24: Cho tập hợp vũ trụ {1,2,3, ,10} Từ tập hợp ta xét tập hợp con: A {1,2,3,4,5} B {1,2,4,8} C {1,2,3,5,7} D {2,4,6,8} Hãy xác định tập hợp sau: a/ ( A B) C b/ A ( B C ) c/ C D d/ C D e/ ( A B) C f/ A ( B C ) g/ ( B C ) D h/ B C D i/ ( A B) C D j/ A ( B C ) k/ ( A B) C l/ ( A D ) C Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 16 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn Bài 25: Cho tập hợp Z : A {2n | n Z } D {6n | n Z } B {3n | n Z } E {8n | n Z } C {4n | n Z } Hãy khẳng định số khẳng định sau: a/ E C A b/ A C E c/ D B d/ D A e/ B D f/ D A g/ C E h/ D B Bài 26: Với tập hợp A, B, C , D, E 25, xác định tập hợp sau: a/ C E b/ B D c/ A B d/ B D e/ A f/ A E g/ B C h/ A B Bài 27: Cho A, B, C , D tập hợp tùy ý tập hợp vũ trụ Hãy chứng minh khẳng định sau: a/ Nếu A C B C ( A B ) C ( A B) C b/ Nếu A B C D ( A C ) ( B D) ( A C ) ( B D) c/ A B A B d/ A B A B Bài 28: Cho tập hợp X {1,2, ,10} Có tập hợp A X thỏa: a/ Số lượng phần tử tập hợp = 5, ta ký hiệu | A | b/ | A | phần tử bé A c/ | A | phần tử bé A bé hay d/ | A | phần tử bé A lớn hay Bài 29: Có bao nhiệu tập hợp tập hợp X {1,2, ,15} chứa số chẵn? Và Có bao nhiệu tập hợp tập hợp Y {1,2, ,16} chứa số lẻ? Bài 30: Giả sử có phần tư số tập hợp chứa phần tử tập hợp X {1,2, , n} chứa số Hãy tìm n Bài 31: Hãy chứng minh rằng: C nr C nr 2C nr 1 C nr , với r n Bài 32: Hãy nêu thuật toán để liệt kê tất tập hợp phần tử chọn từ tập hợp X {1,2, ,50} Bài 33: Giả sử A, B, C tập hợp có hữu hạn phần tử Hãy chứng minh | A B C || A | | B | | C | | A B | | B C | | A C | | A B C | Bài 34: Để chọn máy tính trang bị cho phòng thực hành trường Đại học, phòng Quản trị thiết bị xem xét 15 nhãn hiệu máy tính khác dựa tiêu chí: có CPU xử lý tốc độ cao có ổ đĩa cứng bền dung lượng lớn có hình với độ phân giải cao, sắc nét Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 17 Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn Gọi A, B, C tập hợp nhãn hiệu máy tính thỏa tiêu chí 1, 2, Giả sử | A || B || C | , | A B || B C | , | A C | , | A B C | a/ Có nhãn hiệu máy tính thỏa tính năng? b/ Có nhãn hiệu máy tính khơng thỏa tiêu chí cả? Bài 35: Một nhóm có sinh viên Có cách chia họ thành đội? Nếu đội có người có cách chia? Sau đó, mở rộng toán cho trường hợp tổng quát số lượng sinh viên ban đầu n , với n Z , n Bài 36: Gọi n1 , n2 ,, nm số nguyên dương, có tổng n Hỏi có cách chia n sinh viên thành k nhóm với số sinh viên nhóm n1 , n2 ,, nm Bài 37: Cho tập hợp X {1,2, ,40} a/ Có tập hợp X chứa số lẻ b/ Có tập hợp X chứa số lẻ c/ Có tập hợp 12 phần tử X chứa số lẻ d/ Hãy trình bày thuật tốn (bằng ngơn ngữ lập trình nào) để liệt kê tất tập hợp 12 phần tử X chứa số lẻ Bài 38: Cho hình chữ nhật hình thành từ m vng theo chiều dài n ô vuông theo chiều rộng, sau: A n B m Một kiến di chuyển từ A đến B dọc theo cạnh hình vng nhỏ có hình chữ nhật, theo ngun tắc: theo chiều ngang kiến từ trái qua phải; cịn theo chiều dọc kiến từ xuống Như vậy, có cách khác để kiến di chuyển từ A đến B Bài 39: Một biển số xe ô tơ gồm có ký tự ký số sau: NN – X NNN.NN Trong đó, N ký số, nhận giá trị từ đến 9, ký số mã tỉnh/ thành phố; X ký tự nhận giá trị từ A đến Z (có 26 ký tự) Như vậy, tỉnh/ thành phố, cần đăng ký biển số xe cho 1,5 triệu xe tơ cần loại ký tự X? Bài 40: Có hộp chứa loại bi kích cỡ: bi xanh, bi đỏ, bi vàng, bi đen Trong đó, hộp chứa bi màu, chứa 15 viên bi Như vậy, có cách chọn 12 viên bi từ hộp này, cho: a/ Các viên bi chọn tùy ý b/ Có đủ màu bi Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 18 Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn Bài 41: Hãy tìm số cách chia 10 viên bi giống cho đứa trẻ, cho: a/ Các viên bi chia tùy ý b/ Đứa trẻ lớn nhất viện bi c/ Mỗi đứa trẻ viên bi d/ Đứa trẻ lớn nhiều viên bi Bài 42: Hãy tìm số cách xếp 12 sách Tốn Rời Rạc vào kệ sách có ngăn kệ khác cho khơng có ngăn kệ trống (ngăn kệ có sách) Bài 43: Hãy tìm số nghiệm nguyên phương trình: x1 x x3 x 32 trường hợp sau: a/ x1 4; x 5; x3 7; x x1 , x , x3 0 x 25 b/ xi , với i c/ d/ x1 x ; x3 3x e/ x1 x ; x3 8; x 10 f/ x x x1 ; x3 Bài 44: Hãy tìm hệ số xy z 3t phép khai triển ( x y z 5t ) Sau cho biết có số hạng khác phép khai triển Bài 45: Một tiểu ban hậu cần Đại hội gồm 12 người chọn từ 10 đại biểu nữ 10 đại biểu nam Hỏi có cách chọn tiểu ban này, biết rằng: a/ Các đại biểu chọn tùy ý b/ Có số nam khơng vượt số nữ c/ Số nữ số chẵn d/ Số nam số phương e/ Có nữ f/ Có số nam từ đến người Bài 46: Hỏi có byte khác nhau: a/ Chứa bit b/ Chứa bit c/ Chứa tối đa bit d/ Chứa từ đến bit Bài 47: Có thể chia 18 sách giống cho đứa trẻ theo cách, biết rằng: a/ Mỗi đứa trẻ có sách b/ Mỗi đứa trẻ sách c/ Hai đứa trẻ lớn đứa, đứa bé đứa d/ Hai đứa trẻ lớn tối đa đứa Bài 48: Cho trước 20 điểm mặt phẳng cho điểm không thẳng hang Như vậy, có đường thẳng qua điểm số điểm này? Bài 49: Cho trước 40 điểm khác hệ trục Oxyz cho điểm số không nằm mặt phẳng Như vậy, lập tam giác nối Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 19 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn điểm số điểm này? Từ suy có mặt phẳng hình thành từ tam giác này? Đồng thời xác định xem có tứ diện nối điểm số điểm cho trước Bài 50: Hãy tìm hệ số x12 y khai triển của: a/ ( x y )16 b/ ( x y )16 c/ (7 y x)16 Bài 51: Hãy tìm hệ số của: a/ xyz khai triển b/ xyz khai triển c/ xyz khai triển d/ xyz khai triển d/ (4 x y )16 ( x y z) (x y z t) (5 x y z ) (5 y x z ) Bài 52: Cho n số nguyên dương x số thực Hãy tính tổng sau: a/ C n0 2C n1 m C nm n C nn b/ (1 x) n C n1 x(1 x) n 1 C n2 x (1 x ) n (1) n C nn x n n c/ i!(n i)! i 0 (1) i i i!(n i )! n d/ Bài 53: Cần phải tung cục xí ngầu (xúc xắc) lần để có mặt xuất là: a/ lần b/ lần c/ Từ đến lần d/ n lần, với n Bài 54: CMR 27 phần tử khác tùy ý tập hợp X {1,2, ,51} ln có phần tử có tổng 52 Bài 55: CMR số 10 điểm khác tùy ý bên hình tam giác có cạnh có điểm mà khoảng cách bé CHƯƠNG 3: QUAN HỆ Bài 1: Hãy tìm mệnh đề phủ định mệnh đề dùng để định nghĩa tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng tính bắc cầu (tính truyền) Bài 2: Chứng minh tập hợp thứ tự, tập hợp có khơng q phần tử bé phần tử lớn Bài 3: Chứng minh tập hợp hữu hạn thứ tự toàn phần thứ tự tốt Bài 4: Chứng minh tập khác rỗng, hữu hạn tập hợp thứ tự toàn phần có phần tử bé phần tử lớn Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 20 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn Bài 5: Hãy chứng minh tập hợp có tính thứ tự, phần tử lớn (nhỏ nhất) phần tử tối đại (tối tiểu), ngược lại khơng Bài 6: Trên tập hợp số nguyên Z , cho quan hệ R sau: xRy ( x y ) 5 Hãy chứng minh R quan hệ tương đương Bài 7: Trên tập hợp số nguyên Z , cho quan hệ R sau: xRy | x || y | Hãy chứng minh R quan hệ tương đương Bài 8: Trên tập hợp số nguyên Z , cho quan hệ R sau: xRy x, y dấu Hãy chứng minh R quan hệ tương đương Bài 9: Cho tập hợp X {0,1,2,3,4} Trên X cho quan hệ R sau: x, y X : xRy [( x y ) ( x y 4)] Hỏi R có tính chất phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, tính chất bắc cầu hay khơng? Bài 10: Chứng minh quan hệ “chia hết” tập hợp số tự nhiên N quan hệ thứ tự, nghĩa là: x y c cho x yc Sau tìm phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, phần tử tối đại, phần tử tối tiểu, sup, inf tập hợp {2,3,4,5,6,8,12,24} Bài 11: Trên tập hợp số nguyên Z , cho quan hệ R sau: xRy z : x yz a/ Hỏi R có phải quan hệ thứ tự hay khơng? Vì sao? b/ R có tính chất đối xứng hay khơng? Suy R có phải quan hệ tương đương hay không? Bài 12: Xét quan hệ R tập hợp số thực sau: xRy x y Hỏi R có tính chất đây: phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, bắc cầu? Bài 13: Cho ánh xạ f : X Y , tập hợp R {( x, y) X X | f ( x) f ( y)} CMR R quan hệ tương đương X Bài 14: Cho ánh xạ f : X N , với N tập hợp số tự nhiên Trên X ta định nghĩa quan hệ R sau: xRy f ( x) f ( y ) CMR R quan hệ thứ tự toàn phần X Bài 15: Cho tập hợp X {1,2,3} quan hệ R {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (3,2)} CMR R quan hệ thứ tự X Bài 16: Cho E tập hợp, đặt X P(E ) Mỗi phần tử thuộc X tập hợp E Trên E ta định nghĩa quan hệ sau: R1 quan hệ bao hàm, nghĩa xR1 y x y , với x, y X Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 21 Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn R2 quan hệ chứa, nghĩa xR2 y x y , với x, y X R3 quan hệ nhau, nghĩa xR3 y x y , với x, y X CMR R1 , R2 quan hệ thứ tự, R3 quan hệ tương đương Bài 17: Hãy vẽ biểu đồ Hasse cho quan hệ thứ tự “chia hết”, ký hiệu “|”, tập hợp X {1,2,3,4,6,8,12,18,24} Bài 18: Hãy vẽ biểu đồ Hasse cho quan hệ thứ tự “bao hàm”, ký hiệu “ ”, tập hợp P(E ) , với E {a, b, c, d } Bài 19: Cho tập hợp X {1,2,3,4} Hãy lập ma trận biểu diễn cho quan hệ sau: a/ R {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (4,3)} b/ R {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,1), (4,4)} Bài 20: Hãy liệt kê quan hệ R tập hợp X {1,2,3,4} biết ma trận biểu diễn cho R sau: 1 0 a/ 1 1 0 1 1 0 0 0 0 b/ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 c/ 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 d/ 1 1 0 1 1 1 1 1 Bài 21: Cho quan hệ R tập hợp X có ma trận biểu diễn M R Hãy tìm điều kiện cần đủ cho phần tử M R cho quan hệ R có tính chất: a/ Phản xạ b/ Đối xứng c/ Phản đối xứng d/ Bắc cầu (truyền) Bài 22: Cho R quan hệ tập hợp hữu hạn phần tử X Hãy trình bày thuật toán thực yêu cầu sau: a/ Xác định xem quan hệ R có phải quan hệ tương đương hay không? b/ Xác định xem quan hệ R có phải quan hệ thứ tự hay không? Bài 23: Sau ma trận thể cho quan hệ R tập hợp X có hữu hạn phần tử Hãy xác định xem quan hệ quan hệ tương đương 1 1 a/ 1 1 1 1 1 e/ 0 0 1 0 1 1 0 b/ 0 0 1 f/ 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 c/ 0 0 1 g/ 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 d/ 1 0 1 h/ 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 Bài 24: Cho tập hợp X có thứ tự R1 , tập hợp Y có thứ tự R2 Trên tập hợp X Y ta định nghĩa quan hệ hai R sau: (a, b) R (c, d ) ( aR1c) (bR2 d ) Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 22 Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn CMR R quan hệ thứ tự X Y Bài 25: Cho tập hợp X có thứ tự R1 , tập hợp Y có thứ tự R2 Trên tập hợp X Y cịn có quan hệ thứ tự tự điển Quan hệ hai R định nghĩa sau: (a, b) R (c, d ) ((aR1b) (a b)) hay ((a b) cR2 d )) CMR R quan hệ thứ tự tập hợp X Y Bài 26: Cho R quan hệ thứ tự tập hợp X có hữu hạn phần tử Hãy trình bày thuật tốn (bằng ngơn ngữ lập trình nào) để xác định biểu đồ Hasse cho cấu trúc có thứ tự Bài 27: Cho ( X , R) cấu trúc có thứ tự, gồm hữu hạn phần tử Hãy trình bày thuật tốn (bằng ngơn ngữ lập trình nào) để thực chức năng: a/ Tìm phần tử tối đại (nếu có) X b/ Tìm phần tử tối tiểu (nếu có) X c/ Tìm phần tử nhỏ (nếu có) X d/ Tìm phần tử lớn (nếu có) X Bài 28: Cho R quan hệ thứ tự tập hợp X có hữu hạn phần tử Ta gọi “dây chuyền” X tập hợp A X cho quan hệ thứ tự R xét thu hẹp A thứ tự toàn phần a/ CMR phần tử x X nằm dây chuyền b/ Hãy trình bày thuật tốn (bằng ngơn ngữ lập trình nào) để tìm dây chuyền chứa phần tử x cho trước Bài 29: Hãy tìm cấu trúc có thứ tự gồm phần tử, có phần tử tối đại phần tử tối tiểu Từ suy có “quan hệ thứ tự” tập hợp có phần tử thỏa điều kiện nêu trên? Bài 30: Trên tập hợp số tự nhiên N , ta xét quan hệ R sau: xRy điều kiện sau đúng: (1) ( x N ) ( y N ) ( x y ) (2) ( x N ) ( y N ) ( x y ) (3) ( x N ) ( y N ) Trong đó, N tập hợp tất bội số (hay gọi tập hợp số chẵn) CMR R quan hệ thứ tự N Bài 31: Cho tập hợp X {1,2,3,4,5} Trên X , cho R1 R2 hai quan hệ (hai ngơi) có ma trận biểu diễn 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 A M R1 1 1 , B M R2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 CMR R1 R2 quan hệ thứ tự X Sau ( X , R1 ) ( X , R2 ) 0 0 0 0 1 đó, vẽ biểu đồ Hasse cho Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 23 Bài tập mơn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hồng Tuấn Bài 32: Cho X tập hợp hữu hạn (gồm n phần tử), có thứ tự, với biểu đồ Hasse tương ứng (cho trước) Gọi x, y phần tử thuộc X Hãy tìm thuật tốn xác định xem x y có quan hệ với theo thứ tự xét hay không? Bài 33: Hãy tìm thuật tốn để xác định xem quan hệ R (trên tập hợp X có hữu hạn phần tử) thơng qua biểu đồ Hasse cho trước, có phải quan hệ thứ tự hay không? Bài 34: Cho X tập hợp khác rỗng, có hữu hạn phần tử, có thứ tự R Hãy trình bày thuật tốn tìm sup X , inf X , max X , X , phần tử tối đại phần tử tối tiểu cho X Sau cho ví dụ cụ thể X , quan hệ R , viết bước thực cho ví dụ Bài 35: Cho tập hợp X {1,2,3} Y {2,4,5} a/ Hãy tính | X Y | b/ Tìm số quan hệ X Y c/ Tìm số quan hệ ngơi X d/ Tìm số quan hệ X Y chứa (1,2), (1,5) e/ Tìm số quan hệ X Y chứa cặp có thứ tự f/ Tìm số quan hệ ngơi X chứa cặp (vector) có thứ tự Bài 36: Cho tập hợp X {1,2,3,4} Hãy tìm quan hệ ngơi R X cho quan hệ có tính chất: a/ Phản xạ đối xứng b/ Phản xạ đối xứng không bắc cầu c/ Phản xạ bắc cầu không đối xứng d/ Đối xứng bắc cầu không phản xạ Bài 37: Trong quan hệ sau, cho biết quan hệ có tính chất: phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu: a/ Cho C tập hợp cố định E , R quan hệ P (E ) : ARB A C B C b/ Trên tập hợp số nguyên Z : xRy x y số chẵn c/ Trên tập hợp số nguyên Z : xRy x y số lẻ d/ Trên tập hợp Z Z : ( x, y ) R( z , t ) x z e/ Trên tập hợp số nguyên Z : xRy x y số chẵn f/ Trên tập hợp số thực IR : xRy | x || y | g/ Trên tập hợp số thực IR : xRy sin x cos y h/ Trên tập hợp số thực IR : xRy x, y dấu Bài 38: Cho tập hợp X {1,2,3,4} Hãy xác định số lượng quan hệ X có tính chất: a/ Phản xạ b/ Đối xứng c/ Phản xạ đối xứng d/ Phản xứng e/ Đối xứng bắc cầu f/ Phản xạ, đối xứng bắc cầu Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang 24 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn Bài 39: Cho tập hợp X {1,2,3,4,5,6} quan hệ R {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} a/ CMR R quan hệ tương đương b/ Hãy tìm lớp tương đương , , ; sau suy tập hợp thương cho X Bài 40: Cho tập hợp X IR , quan hệ ngôi: ( x, y ) R( z, t ) x z a/ CMR R quan hệ tương đương b/ Hãy lớp tương đương tập hợp thương X Bài 41: Cho tập hợp X {1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5} R quan hệ X sau: ( x, y ) R ( z , t ) x y z t a/ CMR R quan hệ tương đương b/ Hãy lớp tương đương (1,3) , (2,4) , (1,1) tập hợp thương X Bài 42: Cho quan hệ R Z sau: xRy n Z : x y n a/ CMR R quan hệ tương đương b/ Trong lớp tương đương , , , có lớp đơi phân biệt? FILE NÀY VẪN CÒN ĐANG TIẾP TỤC ĐƯỢC CẬP NHẬT, BỔ SUNG CHÚC CÁC BẠN HỌC VÀ LÀM BÀI THẬT TỐT GOOD LUCK TO YOU! Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, ĐHQG.HCM Trang 25 ... p (2 ) [q (3 ) r (? ??1)] b/ p (? ??2) [q (4 ) r (1 )] c/ p (3 ) [q (6 ) r (7 )] d/ [ p (5 ) q (? ??4)] r (? ??8) e/ p (6 ) [q (? ??2) r (2 )] f/ [ p (? ??3) q (? ??5)] r (8 ) Bài 23: Với vị từ p (. .. q ( x) r ( x) …………………………………………… Bộ mơn TỐN – LÝ, Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc Nghĩa q ( a ) r ( a ) hay q(a) r (a) Từ (3 ) ,(4 ) r (a... Trường Đại học Cơng Nghệ Thơng Tin, ĐHQG.HCM Trang 24 Bài tập môn Cấu Trúc Rời Rạc ThS Lê Hoàng Tuấn Bài 39: Cho tập hợp X {1,2,3,4,5,6} quan hệ R {(1 ,1), (1 ,2), (2 ,1), (2 ,2), (2 ,3), (3 ,2), (3 ,3),