SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN THI: TỐN CHUN NGÀY THI: 22–6–2014 THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT Câu 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: x x   x  b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz ≠ x2 y2 z2   Tính giá trị biểu thức P  y  z  x2 z  x2  y x  y  z Câu 2: (1,5 điểm) � x y  � y x � Giải hệ phương trình: � �x  y   y � x x2 Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC M điểm cạnh BC Gọi D, E hình chiếu vng góc M AB AC Xác định vị trí M để tam giác MDE chu vi nhỏ Câu 4: (2 điểm) x2 y x y a) Cho x, y số thực khác Chứng minh rằng:  �  y x y x b) Cho a, b hai số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  3ab  b ab (a  b) Câu 5: (2 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Gọi H giao điểm AB vơi OM, I trung điểm MH Đường thẳng AI cắt (O) điểm K (K khác A) a) Chứng minh HK vng góc AI b) Tính số đo góc MKB Câu 6: (1 điểm) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2015( x  y )  2014(2 xy  1)  25 ĐÁP ÁN Câu a ) x x   3x  (ĐKXĐ: x ≥ 3/2)  x (2 x  3)  (3x  4)  x  3x  x  24 x  16  x  12 x  24 x  16   2( x  2)3   x  2(TM ) Vậy S = {2} b)Ta có x yz 0  ( y  z )  ( x )  y  z  x  2 yz Tương tự: z  x  y  2 zx x  y  z  2 yx P x2 y2 z2 x3  y  z    2 yz 2 zx 2 yx 2 xyz Mà x  y  z  ( x  y )3  3x y  3xy  z  ( z )3  3xy ( x  y )  z  xy xyz 3  P   2 xyz Câu ĐKXĐ: x, y ≠ � x  y   (1) � y x � � �x  y   y (2) � x x2 Lấy (1) trừ (2) ta được: 4y    y x x x2 4y     x x y  x  xy  y   ( x  y )( x  y )  x y �  � x  4y � Với x = y, vào (1) có x    x  y  �2 x Với x = 4y, vào (1) có y    y  �  x  �2 4y 1 � � (2; 2);(2; 2);(2; );(2; ) � Vậy S  � 2 � Câu 3: CMDE  MD  ME  DE  ( BM  CM ) sin 60o  DE  BC.sin 60o  DE Mà BC.sin600 không đổi vi tam giác MDE nhỏ ⇔ DE nhỏ Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM  ADM =AEM  90  nên tam giác ADE nội tiếp đường tròn đường kính AM, tâm I trung điểm AM DIE ) Gọi K trung điểm DE, suy IK ⊥ DE EIK  BAC ( Gọi R bán kính đường tròn tâm I đường kính AM KE 0,5DE DE DE sin KIE     IE R R AM  DE  AM sin BAC  AM sin 60o Vì sin60o không đổi nên DE nhỏ ⇔ AM nhỏ ⇔ M ≡ H (H chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, mà tam giác ABC nên H trung điểm BC) Vậy M trung điểm BC chu vi tam giác MDE nhỏ Câu x2 y x y a )  �  ( x �0; y �0) y x y x x2 y x y     �0 y x y x  x  y  x y  xy �0 x2 y  ( x  y )( x  y ) �0 x2 y  ( x  y ) ( x  xy  y ) �0 x2 y 2 � � 1� 2� ( x  y) � �x  � y � � 2� � �  �0 x2 y 2 (ln ∀ x,y ≠ 0) c) Tìm minP (a, b > 0) P a  3ab  b ab ( a  b) ( a  b)  ab ab (a  b) (a  b)  ab  (a  b)2 4 ab (a  b)  1 3 (a  b)  ab ( a  b) ( a  b) ab ab 4 4   �   1  2 ab (a  b) ab ab ( a  b ) ab �1 � (a  b)  ab  a  b Dấu xảy  �4 � ab � Vậy MinP   a  b *Cách khác a  3ab  b (a  b)  ab a  b ab a  b a  b ab     (  ) �   ab a  b 4 ab (a  b) ab (a  b) ab a  b ab Câu P a) Kẻ đường kính AE (O), EH cắt (O) K’, AK’ cắt EB D Dễ thấy H trực tâm tam giác AED nên DH ⊥ AO ⇒ DH // AM (1) Ta có BDH= EAH =HMB nên tứ giác HMDB nội tiếp ⇒ HM ⊥ MD ⇒ DM // AH (2) Từ (1) (2) ⇒ AHDM hình bình hành ⇒ AD qua trung điểm I HM ⇒ K’ giao AI với (O) ⇒ K’ ≡ K ⇒ HK ⊥ AI b) Ta có IAM =ABK (cùng chắn cung AK) AMI= OBA (OAMB nội tiếp) Nên IAM+AMI=ABK+OBA AIH=OBK Mặt khác AIH+KHI=90o OBK+KBM=90o =>KHI=KBM ⇒ Tứ giác HKMB nội tiếp =>BKM=BHM=90o Câu 2015( x  y )  2014(2 xy 1)  25  2014(x  y)  x  y  2039 Đặt t=|x-y| , t �N x, y nguyên Xét trường hợp: TH1: t = 0, tức x = y ⇒ phương trình vơ nghiệm TH2: t = 1, tức x – y = ±1 + Với x – y = hay x = y + 1, phương trình trở thành: ( y  1)2  y  25  y  y  12  y3 �  � y  4 � Với y = x = 4; với y = –4 x = –3 + Với x – y = –1 hay x = y – 1, phương trình trở thành: ( y  1)  y  25  y  y  12  �y  3  � �y  Với y = –3 x = –4; với y = x = TH3: t ≥ 2, VT > VP ⇒ phương trình vơ nghiệm Vậy cặp (x;y) thỏa (4;3), (–3;–4), (–4;–3), (3;4) Cách khác: Sử dụng phương pháp biến đổi phương trình dạng vế trái tổng bình phương Vế phải tổng số phương, cách điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai giải đáp số  ... AIH+KHI=90o OBK+KBM=90o =>KHI=KBM ⇒ Tứ giác HKMB nội tiếp =>BKM=BHM=90o Câu 2015( x  y )  2014( 2 xy 1)  25  2014( x  y)  x  y  2039 Đặt t=|x-y| , t �N x, y nguyên Xét trường hợp: TH1:...  x  xy  y   ( x  y )( x  y )  x y �  � x  4y � Với x = y, vào (1) có x    x  y  �2 x Với x = 4y, vào (1) có y    y  �  x  �2 4y 1 � � (2; 2);(2; 2);(2; );(2;... vế trái tổng bình phương Vế phải tổng số phương, cách điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai giải đáp số