SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY NĂM HỌC 2015 – 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: A  x   x  x x 1 x  x Tính giá trị biểu thức: B  85  62  85  62 Câu (2,0 điểm) �x  y  2m  1 Tìm tất giá trị tham số m cho hệ phương trình � x  y  5m  � 2 Tìm tất giá trị tham số m cho parabol (P): y = x cắt đường thẳng d: y = mx – điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2) thỏa mãn y1  y2  2( x1  x2 )  Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x   x  16  �x  y  y  16 x � Giải hệ phương trình �  y  5(1  x ) � Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh AB,AC,BC Đường thẳng BO cắt đường thẳng EF DF I K Tính số đo góc BIF Giả sử M điểm di chuyển đoạn CE a Khi AM = AB, gọi H giao điểm BM EF Chứng minh ba điểm A,O,H thẳng hàng, từ suy tứ giác ABHI nội tiếp b Gọi N giao điểm đường thẳng BM với cung nhỏ EF (O), P, Q hình chiếu N đường thẳng DE DF Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ max Câu (1,0 điểm) 1 Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện   �3 Chứng minh rằng: a b c a b c    (ab  bc  ca) �3 2 1 b 1 c 1 a ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY – NINH BÌNH Câu 1 Ta có: A x   x  x x 1 x  x  x   x ( x  1) ( x  1)( x  1) x ( x  1)   ( x  1)  x x  ( x  1) x ( x  1)( x  1) 2 x  x x ( x  1)( x  1) 2 x ( x  1) x ( x  1)( x  1) 2  x 1 2 Vậy A= x 1  B  85  62  85  62 Đặt a  85  62 ; b  85  62  a  b  B Mặt khác: a  b3  (85  62 7)  (85  62 7)  170 ab  85  62 85  62  852  (62 7)  19683  27 Ta có: B  ( a  b)3  a  b3  3ab( a  b)  170  3.27.B  B  81B  170   (B 2)(B  22B4 85)  14 0  B  Vậy B=2 Câu �x  y  2m  1 � (I) x  y  5m  � � x  y 1 m � x  y  3x  y  � ( I )  �   x  y  � m �  5( x  y  1)  2(4 x  y 1)  x  y   Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm ngun (x0; y0) x0  y0    y0   3x0 M3  M3 (vơ lí) Vậy hệ phương trình khơng có nghiệm ngun ∀ m Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d: x  mx   (1) (P) cắt d hai điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m2 – 4.2 > ⇔ m2 > ⇔ m > 2 mBIF=45o a Hình chữ nhật ADOE có OD = OE = r nên hình vng ⇒ AO trung trực DE (1) Vì AB = AM nên tam giác ABM vuông cân A, suy ABM  45 =>DBH=DFH=45o ⇒ BDHF tứ giác nội tiếp (2) Vì BDO+BFO=90o+90o=180o nên BDOF tứ giác nội tiếp (3) Từ (2) (3) ⇒ điểm B, D, O, H, F nằm đường tròn =>BHO=BFO=90o ⇒ OH ⊥ BM Mặt khác ADE=ABM=45o=>DE//BM⇒ OH ⊥ DE Mà OD = OE nên OH trung trực đoạn OE (4) Từ (1) (4) ⇒ A, O, H thẳng hàng b Vì DPN+DQN=90o+90o=180o nên DPNQ tứ giác nội tiếp =>QPN=QDN (hai góc nội tiếp chắn cung QN) (5) Mặt khác DENF tứ giác nội tiếp nên QDN=FEN (6) Từ (5) (6) ta có FEN=QPN (7) Tương tự ta có: EFN=PQN (8) PQ NQ  Từ (7) (8) suy NPQ ~ NEF ( g g )  EF NF Theo quan hệ đường vng góc – đường xiên, ta có PQ NQ NQ �NF   �1  PQ �EF EF NF Dấu xảy Q ≡ F ⇔ NF ⊥ DF ⇔ D, O, N thẳng hàng Do PQ max M giao điểm AC BN, với N điểm đối xứng với D qua O Câu Ta chứng minh BĐT 1 (a  b  c)(   ) �9(*) a b c a b b c c a (*)   (  )  (  )  (  ) �9 b a c b a c Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có: a b  �2 b a b c  �2 c b c a  �2 a c =>(*) 1  �   �3  a  b  c �3 abc a b c Trở lại toán: Áp dụng BĐT Cơ si cho hai số dương ta có  b �2b Ta có: a ab ab ab  a  � a   a  (1) 2 1 b 1 b 2b Tương tự ta có: b bc �b  (2) 1 c c ca �c  (3) 1 a Cộng vế (1), (2) (3) ta có: a b c   �a  b  c  (ab  bc  ca ) 2 1 b 1 c 1 a a b c     ( ab  bc  ca ) �a  b  c �3 2 1 b 1 c 1 a =>đpcm Dấu xảy a = b = c =  ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY – NINH BÌNH Câu 1 Ta có: A x   x  x x 1 x  x  x   x ( x  1) ( x  1)( x  1) x... (3) Từ (2) (3) ⇒ điểm B, D, O, H, F nằm đường tròn =>BHO=BFO=90o ⇒ OH ⊥ BM Mặt khác ADE=ABM=45o= >DE/ /BM⇒ OH ⊥ DE Mà OD = OE nên OH trung trực đoạn OE (4) Từ (1) (4) ⇒ A, O, H thẳng hàng b Vì DPN+DQN=90o+90o=180o... ⇒ ∆ KIF vuông cân K =>BIF=45o a Hình chữ nhật ADOE có OD = OE = r nên hình vng ⇒ AO trung trực DE (1) Vì AB = AM nên tam giác ABM vuông cân A, suy ABM  45 =>DBH=DFH=45o ⇒ BDHF tứ giác nội tiếp