MỤC LỤC MỤC LỤC……………………………………….………………………… …………………….……… 1 MỞ ĐẦU……………………………………….……………………………………….……………… 1.1 Lý chọn đề tài ……………………………………….……………………………….……… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………….………………… …….……… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… …………………………….………………… …….……… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ……………………………………….………………… … … 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………… ……….…… …… 2.1 Cơ sở lý luận ……………………….………………………… ………… ……… …………… 2.2.Thực trạng vấn đề ………………… ………….……………………… ………… …….…… 2.3 Giải pháp tổ chức thực ……………………….…….……………… …… …… 2.3.1 Nội dung …………………………………………………………….…………… ………… … 2.3.2 Một số kiến thức bất đẳng thức……………………………………….… ……… 2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ……………… ………… 2.3.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức …………………………… …… ….… … 14 2.4 Hiệu SKKN ……………………….…….…………………… ……… …… …… 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ………………………………….….……………………… 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… ……… ………… …………………… 19 1 MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn học trung học sở (THCS), bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng Quan hệ lớn nhỏ hai số, hai đại lượng quan hệ số lượng bản, điều nói lên vai trị bất đẳng thức Trong chương trình tốn học THCS, bất đẳng thức kiến thức bản, xuyên suốt tồn chương trình thể chỗ: Ngay bậc tiểu học, học sinh làm quen với bất đẳng thức cách không tường minh Học lên THCS học sinh học thêm kiến thức bất đẳng thức phương pháp chứng minh chúng Tuy nhiên chương trình tốn học THCS bất đẳng thức đưa vào ít, song đề thi học sinh giỏi tốn lớp 8, đề thi mơn tốn vào lớp 10 tốn bất đẳng thức đưa vào thường xuyên (thường câu cuối đề) tốn khó học sinh Có thể nói chứng minh bất đẳng thức phần gây cho học sinh nhiều lúng túng bối rối Bên cạnh đó, phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại đa dạng, phong phú độc đáo, điều tạo cho học sinh hứng thú, tìm tịi sáng tạo Mặt khác, thông qua hệ bất đẳng thức đơn giản mà học sinh pháp nhiều bất đẳng thức hay đẹp Do đó, bất đẳng thức tạo cho học sinh nhiều điều ngạc nhiên thú vị, giúp học sinh đến thích thú tốn bất đẳng thức nói riêng say mê tốn học nói chung Vì việc lun tập chứng minh bất đẳng thức cần thiết học sinh THCS Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn lớp 8, Trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa, thân tơi thấy việc dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức gặp nhiều khó khăn Các em cịn lúng túng, chưa xác định phương hướng để chứng minh bất đẳng thức; chủ yếu dựa vào gợi ý giáo viên cách thụ động Với lý trên, chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa chứng minh bất đẳng thức” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ chủ động, tích cực việc tìm tịi lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức Đồng thời giúp học sinh mở rộng tổng quát hóa bất đẳng thức quen thuộc Qua học sinh dần hình thành khả phân tích, tổng hợp kiến thức, giúp phát triển tư rèn kỹ tự học cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp Trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp xây dựng sở lý thuyết, Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, Phương pháp thu thập thông tin, Phương pháp thống kê xử lí tài liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Tốn học mơn khoa học tự nhiên có vai trị quan trọng lĩnh vực khoa học Toán học có nhiều hướng nghiên cứu đa dạng; chương trình tốn học phổ thơng có nhiều nội dung khó, số tốn bất đẳng thức thách thức lớn học sinh Để giải toán bất đẳng thức, ngồi việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng nên cần phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi tốn chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có nhiều phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Bài tốn chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; dạng tốn cực trị đại số hình học Ngoài ra, nội dung quan trọng ôn tập, ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông luyện thi học sinh giỏi lớp 8, 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN: a Thuận lợi - Hiện đời sống kinh tế nâng cao rõ rệt, phần lớn bậc phụ huynh quan tâm đến việc học hành em Đa số bậc phụ huynh nhận thức tầm quan trọng việc học môn Toán - Được quan tâm cấp uỷ Đảng quyền địa phương, đặc biệt Ban giám hiệu nhà trường nên hoạt động dạy học toán nhà trường diễn thuận lợi, đạt kết cao Giáo viên trang bị đầy đủ phương tiện phục vụ dạy học : máy vi tính, máy chiếu đa năng, camera vật thể, - Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa, sách tham khảo Học sinh THCS đa phần sử dụng Internet để khám phá, tìm tịi kiến thức b Khó khăn Qua tìm hiểu, khảo sát tình hình thực tế tơi thấy : - Việc tìm lời giải cho toán chứng minh bất đẳng thức khó khăn cho học sinh, q trình giảng dạy giáo viên cố gắng hướng dẫn phương pháp thông dụng, rèn luyện kỹ cần thiết - Các toán bất đẳng thức cực trị đại số, hình học xuất nhiều thi vào cấp 3, thi học sinh giỏi, thi khảo sát chất lượng học kỳ, đa số học sinh không làm được, gây lúng túng cho giáo viên - Số tiết để dạy bất đẳng thức chương trình hành ít, đủ để giới thiệu bất đẳng thức đơn giản Ngay bất đẳng thức Cô si bất đẳng thức quan trọng giới thiệu phần đọc thêm Sách giáo khoa toán 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.3.1 Nội dung: Khi gặp tốn chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách giải khác Trong đề tài lựa chọn số phương pháp chứng minh bất đẳng thức quan trọng, thường sử dụng là: - Phương pháp dùng định nghĩa biến đổi tương đương - Phương pháp chứng minh phản chứng - Phương pháp làm trội, làm giảm - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ Ngồi cịn có số toán chứng minh bất đẳng thức mà phải kết hợp nhiều phương pháp khác 2.3.2 Một số kiến thức bất đẳng thức a Một số định nghĩa: Định nghĩa 1: - Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b, a - b số dương tức a - b >0 Khi ta ký hiệu bb ⇔ a-b>0 - Nếu a>b a=b Ta viết a ≥ b ta có a ≥ b ⇔ a − b ≥ Định nghĩa 2: Các mệnh đề “a>b”, “ a ≥ b ”,” a < b ”,” a ≤ b ” gọi bất đẳng thức - Trong bất đẳng thức a>b ( Hoặc a ≥ b , a < b , a ≤ b ) a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức - Các bất đẳng thức “a>b”, “c>d” (Hoặc “ad” Nếu ta có “a>b” ⇒ “c>d” ta nói bất đẳng thức “c>d”là hệ bất đẳng thức “a>b”, Nếu “a>b ⇔ c > d " Ta nói hai bất đẳng thức “a>b” “c>d” hai bất đẳng thức tương đương b Các tính chất bất đẳng thức Với ∀a, b, c, d ∈ R Tính chất 1: a>b b>c ⇒ a>c Tính chất 2: a>b ⇔ a+c>b+c Hệ a>b+c ⇔ a − c > b a > b ⇒a+c >b+d Tính chất 3:  c > d Chú ý: Khơng có quy tắc trừ hai vế bất đẳng thức chiều ac > bc c > Tính chất 4: a>b ⇔  ac < bc Khi c < a > b > Tính chất 5:  c > d > ⇒ ac > bd Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều Tính chất 6: a>b>0 ⇒ 1 < a b Tính chất 7: a ≥ 0; a ≥ ∀a ∈ R 2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phép lập luận nhằm chứng tỏ bất đẳng thức gọi phép chứng minh bất đẳng thức Phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa dạng Sau số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức a Phương pháp sử dụng định nghĩa phép biến đổi tương đương Hai bất đẳng thức gọi tương đương bất đẳng thức bất đẳng thức ngược lại Phép biến đổi gọi tương đương biến đổi bất đẳng thức thành bất đẳng thức tương đương với Chứng minh bất đẳng thức định nghĩa là: Nếu chứng minh mệnh đề A>B ta đưa chứng minh mệnh đề A - B>0 Ta cần chứng minh mệnh đề Chứng minh bất đẳng thức phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tương đương mà biết chứng minh đúng, biến đổi bất đẳng thức biết thành bất đẳng thức cần chứng minh Bài toán 1: ∀a, b, c ∈ R , chứng minh rằng: a + b + c ≥ ab + bc + ca Giải : Xét hiệu: a + b + c − ab − bc − ca = ( a + b + c − ab − bc − ca [ ) ] = (a − 2ab + b ) + (b − 2bc + c ) + (c − 2ca + a ) = 2 (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ (luôn với ∀a, b, c ∈ R ) [ ] ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≥ ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca Dấu “=” xảy a = b = c Nhận xét: Từ toán trên, với cách tương tự ta chứng minh được: a + b + c + d ≥ ab + bc + ca + ad ∀a, b, c ∈ R Hay tổng quát: a12 + a22 + + an2 ≥ a1a2 + + a1an , ∀ai > 0, i = 1, n, n ≥ Bài toán 2: Cho a ≥ c ≥ b ≥ c ≥ Chứng minh rằng: c(a − c) + c(b − c) ≤ ab (2) Giải: (2) ⇔ ( ) ( c(a − c) + c(b − c) ≤ ab ) ⇔ ac + bc − 2c + c (a − c)(b − c) ≤ ab ⇔ c − c ( a − c)(b − c) + ab − abc + c ≥ ⇔ c − c ( a − c)(b − c) + (a − c)(b − c) ≥ ⇔ Vì ( ) ( ) c − (a − c)(b − c) ≥ ⇔ c − (a − c)(b − c) ≥ a≥c≥0 ⇒ a−c≥0 b≥c≥0 ⇒ b−c ≥0 (2’) Nhận thấy (2’) ∀ a,b,c thỏa mãn a ≥ c ≥ b ≥ c ≥ Vậy (2) Dấu “=” xảy khi: c = ( a − c)(b − c) ⇔c= ab a+b Bài toán 3: Cho ∀ a,b,c ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ + a + b + ab Giải: (4) ⇔ (4) 2+a+b ≥ (1 + a)(1 + b) + ab ⇔ (2 + a + b)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a )(1 + b) ⇔ + ab + ( a + b) + ab (a + b) ≥ + 2(a + b) + 2ab ⇔ (a + b) − ab(a + b) + 2ab − ab ≤ ⇔ (a + b)(1 − ab) − ab (1 − ab ) ≤ ⇔ (a + b − ab )(1 − ab ) ≤ ⇔ ( a − b ) (1 − ab ) ≤ ( 4’) Vì a,b ≥ ⇔ ab ≥ ⇔ − ab ≤ Suy ra: ( ) a − b ≥ ⇒ ( 4’) lu«n 1 + ≥ ∀ a,b,c ≥ 1 + a + b + ab Dấu “=” xảy a=b • Áp dụng câu a, ta mở rộng sau: 1 + ≥ + a + b + ab 1 + ≥ + c + abc + c3 abc ⇒   1 1   + + + ≥ +  + ab + c abc  + a + b + c + abc   ≥ ⇔ 1 + + ≥ + a + b + c + abc 1+ abc.3 abc = + abc ∀ a,b,c ≥ Dấu “=” xảy a=b=c Chú ý: Từ a, b ta có tốn tổng quát sau: Cho ≥ 1, i = 1, n (n∈ N ) thì: 1 n + + + ≥ + a1 + a2 + an + n a1a2 an Mặt khác, ta cịn có: < a1 ≤ i = 1, n (n∈ N ) thì: 1 n + + + ≤ + a1 + a2 + an + n a1a2 an Ta chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng câu a, cho hai số một, n số; chứng minh phương pháp quy nạp ( đề cập phần sau) sử dụng phương pháp chứng minh dựa vào bất đẳng thức biết Bài tập tương tự: Cho năm số a, b, c, d, e bất kỳ; chứng minh rằng: a + b + c + d + e2 ≥ a(b + c + d + e) Hãy mở rộng với số mũ a, b, c ,d, e 4; 8; 16 1 1 Cho a, b>0 Chứng minh rằng: ( a + b )  +  ≥ a b Hãy tổng quát toán với n số dương b Phương pháp chứng minh phản chứng: Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp mà: Để chứng minh bất đẳng thức A>B, ta giả sử A ≤ B suy điều vơ lý; từ ta có A>B Điều vơ lý điều trái với giả thiết, điều khơng điều vơ lý hai điều trái ngược, mâu thuẫn với Sau số toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp phản chứng Bài toán Cho số a1 , a2 , b1 , b2 thỏa mãn hệ thức: a1 + a = 2b1b2 Chứng minh 2 hai bất đẳng thức sau đúng: b1 ≥ a1 ; b2 ≥ a2 2 Giải: Giả sử hai bất đẳng thức sai, tức là: b1 < a1 b2 < a2 ⇒ b12 + b22 < a1 + a2 Vì a1 + a = 2b1b2 nên b12 + b22 < 2b1b2 ⇔ b12 − 2b1b2 + b22 < ⇔ ( b1 − b2 ) < Điều vô lý với ∀b1 ,b2 Vậy hai bất đẳng thức (đpcm) Nhận xét: Từ tốn ta mở rộng để toán sau: Cho số a1 , a2 , a3 , b1 , b2 ,b3 thỏa mãn a1 + a + a3 = b1b2 + b2b3 + b3b1 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng: 2 b1 ≥ a1 ; b2 ≥ a2 , b3 ≥ a3 ; Tổng quát: Cho số , bi , ( i = 1, n ) n n −1 1 thỏa mãn: ∑ = ∑ b j b j +1 + bnb1 Chứng minh bất đẳng thức sau bi ≥ ( i = 1, n ) Bài toán 5: Cho a; b; c∈ (0,1) , chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a (1 − b) > 1 ; b(1 − c) > ; c(1 − a ) > 4 Giải: Giả sử tất bất đẳng thức tức là: a (1 − b) > ⇒ a ( − b ) b ( − c ) c (1 − a ) > 64 ⇒ a ( − a ) b (1 − b ) c (1 − c ) > 64 Mà ta có: 1 ; b(1 − c) > ; c(1 − a ) > 4 (6’) < a (1 − a) = −a + a ≤ < b(1 − b) = −b + b ≤ < c(1 − c) = −c + c ≤ ⇒ < a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c) ≤ 64 (6’’) Nhận thấy (6’) (6’’) Mâu thuẫn với Vậy có bất đẳng thức sai Chú ý: Bằng cách tương tự ta chứng minh toán: Cho a; b; c∈ (0,2) chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a(1 − b) > ; b(1 − c) > ; c(1 − a) > Có thể mở rộng tốn để toán chứng minh tương tự : a; b; c∈ (0,α ) ( α > 0) Chứng minh có bất đẳng thức sau α2 α2 α2 sai: a(α − b) > ; b(α − c) > ; c(α − a ) > 4 Ngoài ta cịn mở rộng thành tốn sau: (i = 1, n,n ≥ 2),α > Cho ∈ ( 0,α ) có bất đẳng thức sau sai: α2 α2 α2 ; a2 (α − a3 ) > ; .; an (α − a1 ) > a1 (α − a2 ) > 4 Bài toán 6: Nếu ab ≥ 7998 hai phương trình sau có nghiệm: x + ax + 1999 = (1) x + bx + 2000 = (2) Giải: Giả sử hai phương trình vơ nghiệm ta có: Từ (1) ta có: ∆1 = a − 4.1999 = a − 7996 < Từ (2) ta có: ∆ = b − 4.2000 = b − 8000 < ⇒ a + b − 15996 < ⇔ a + b − 2.7998 < Theo giả thiết a.b ≥ 7998 ⇒ −ab ≤ −7998 Nên ta có: a + b − 2ab ≤ a + b − 2.7998 = a + b − 15.996 < ⇔ ( a − b) < (vơ lý) Vậy có hai phương trình có nghiệm Nhận xét: Từ tốn ta có tốn tổng qt sau: Cho a1.a2 ≥ 2(b1 + b2 ) chứng minh hai phương trình sau có nghiệm: x + a1 x +b1 = x + a2 x +b = Bằng cách chứng minh tương tự ta hồn tồn chứng minh toán Bài tập tương tự: Cho ≤ a, b, c ≤ chứng minh có số a(1-b); b(1-c); Cho a,b,c >0 abc =1 Chứng minh: a+b+c ≥ Hãy tổng quát toán toán c Phương pháp làm trội, làm giảm c(1-a) không vượt 10 Phương pháp làm trội, làm giảm ( Hay gọi phương pháp ước lượng đánh giá phần tử đại diện) phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức để đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng tính tổng hữu hạn • Phương pháp tính tổng hữu hạn: Giả sử tính tổng: S n = U1 + + U n Ta biểu diễn số hạng tổng quát U k hiệu hai số hạng liên tiếp U k = aK − aK +1 Khi đó: S = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + + (an − an+1 ) = a1 − an+1 * Phương pháp làm giảm, làm trội: phương pháp để chứng minh: m < X + X + + X n < M Ta sử dụng bất đẳng thức phụ: Ai ≤ X i ≤ Bi ( i = 1, n ) mà m < A1 + + An B1 + + Bn < M sau m < X + X + + X n < M Sau số toán: Bài toán 7: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chứng minh rằng: a < b a b c d + + + 0; d>0 ta ln có: a+b+c+d a+b+c a+b+c+d b+c b+c b+c+a < < b+c+d +a b+c+d b+c+d +a c+d c+d c+d +b < < c+d +a+b c+d +a c+d +a+b 11 a.Với a>0; b>0; c>0; d>0 ta ln có: d +a d +a d +a+c < < d +a+b+c d +a+b d +a+b+c Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: a+b b+c c+d d +a 2< + + + ( i = 1, n ) n ∈ N (n ≥ ) chứng minh rằng: (n − 2) < a1 + a2 + + an−2 a2 + + an−1 a + a + + an−3 + + + n < ( n − 1) a1 + a2 + + an−1 a2 + + an an + a1 + + an−2 Bài toán chứng minh tương tự toán 1 1 + + + < − Bài toán 8: Chứng minh rằng: 2 n n 1 1 < = − Giải: Ta có = ( k ≥ 2) k k k k (k − 1) k − k ( n ∈ N , n ≥ 2) 1 1 1 1 < − < − < − ; ; ; n 1− n n 2 32 1 1 1 1 − ) Từ ta có: + + + < (1 − ) + ( − ) + + ( n 2 n −1 n ⇒ ⇔ 1 1 + + + < − 2 32 n2 n k 1 1 Chú ý: Từ toán suy ra: + + + < + − < ⇔ ∑ < 2 n n n =1 n Từ mở rộng tốn sau đây: Với ∀q, k ∈ Z + chứng minh: q k ∑∑ l n < l =1 n=1 d Phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết * Sử dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) Cho a1 , a2 , , an số không âm Ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1.a2 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an Vận dụng bất đẳng thức Cơsi làm tốn sau: 1 1 Bài toán 9: Chứng minh: a Với a, b>0 ta có: (a + b) +  ≥ a b 1 1 b Với a, b>0 ta có: (a + b + c) + +  ≥ a b c 12 Giải: a ∀a, b > , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a + b ≥ ab 1 1 1 1 ⇒ (a + b) +  ≥ a.b =4 + ≥2 ab a b ab a b Dấu “=” xảy a = b b ∀a, b, c > áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a + b + c ≥ abc 1 1 + + ≥3 a b c abc  1 1 ⇒ (a + b + c) + +  ≥ 33 abc 3 =9 a b c abc   Dấu “=” xảy a = b = c Nhận xét: Bằng cách làm tương tự ta mở rộng thành toán sau: 1 1 ∀ai > ( i = 1, n ) thì:( a1 + a2 + + an ) + + +  ≥ n an   a1 a2 Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an Từ câu a, suy ra: 11 1 1 ≤  +  + ≥ a+b 4a b a b a+b Đó hệ bất đẳng thức Côsi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Bài toán 10: Cho a, b, c>0 Chứng minh rằng: a a b c + + ≥ (BĐT Nesbit cho số) b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c b + + ≥ b+c c+a a+b Giải: a ⇔ a b c  a   b   c  + 1 +  + 1 +  + 1 ≥ + + ≥ ⇔ b+c c+a a+b b+c  c+a  a+b  a+b+c a+b+c a+b+c 1   + + ≥ ⇔ 2(a + b + c) + + ≥9 b+c c+a a+b b + c c + a a + b   Đúng theo 14 Vậy ta có a b c + + ≥ b+c c+a a+b a2 b2 c2 b + + + a + b + c ≥ (a + b + c) b+c c+a a+b 13  a2   b2   c2  + a  +  + b  +  + c  VT =  b+c  c+a  a+b   a   b   c  + 1 + b + 1 + c + 1 = a b+c  c+a  a+b  b c   a + + = ( a + b + c)  ≥ (a + b + c) ( Theo câu a) b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c Vậy: + + ≥ b+c c+a a+b * Sử dụng bất đẳng thức Bunnhiacôpxki Cho 2n số thực (n ≥ 2) a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Ta ln có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) Dấu “=” xảy a1 a2 a b b b = = n = = n b1 b2 bn a1 a2 an (Quy ước: Nếu mẫu tử 0) Bài toán 11: Với ∀ a, b,c>0 chứng minh rằng: a a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 b + + ≥ b+c c+a a+b Giải: a Áp dụng bất đẳng thức b + c , c + a, a + b Bunnhiacôpxki cho số a2 b2 c2 , , ta có: b+c c+a a+b  a2 b2 c2   ≥ ( a + b + c ) + + b+c c+a a+b ( b + c + c + a + a + b )   a2 b2 c2   ≥ ( a + b + c ) ⇔ 2( a + b + c )  + + b+c c+a a+b a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b b Áp dụng bất đẳng thức ⇔ a (b + c) , b(c + a), c( a + b ) ∀ a, b,c>0 Bunnhiacôpxki cho số: a3 b3 c3 , , ta có: b+c c+a a+b 14  a3 b3 c3   ≥ ( a + b + c ) a( b + c) + b(c + a) + c(a + b )  + + b+c c+a a+b ⇔ a3 b3 c3 (a + b + c ) + + ≥ b + c c + a a + b 2(ab + bc + ca) Mặt khác: ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c )( b + c + a ) = ( a + b + c ) ⇔ ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) a3 b3 c3 (a + b + c ) a + b + c ⇒ + + ≥ ≥ b + c c + a a + b 2(a + b + c ) Dấu “=” xảy a = b = c 2.3.4 Một số ứng dụng bất đẳng thức a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Ví dụ 1: Xét số x, y , z thỏa mãn x, y, z ≥ x + y + z = Tìm giá trị nhỏ của: A = x + y + z ; B = x + y + z ; C = x + y + z ; Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunnhiacơpxki ta có: = x + y + z ≤ 3( x + y + z ) = A nên A ≥ Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy minA = 3 1 x = y = z = 3 Tiếp tục ta có: 12 ≤ 3( x + y + z ) ≤ 3( x + y + z ) = 3B ⇒B≥ 1 Dấu “=” xảy x = y = z = 27 Vậy minB = 1 x = y = z = 27 Ta có: C = x + y + z = ( x + y + z )( x + y + z ) ≥ 2 = (x + y + z ) ≥ ( x3 x + y y + z z ) Dấu “=” xảy x = y = z = 15 Vậy minC = 1 x = y = z = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Giải: Tập xác định y= x2 + y= x −x+2 D=R x2 + ⇔ ( y − 1) x − yx + y − = 0(*) x −x+2 Ta coi (*) phương trình ẩn x với tham số y Xét y -1=0 ⇔ y=1 ta có x= -1 Xét y ≠ Vì phương trình (*) có nghiệm x nên ∆ ≥ hay y − 4( y − 1)(2 y − 3) ≥ ⇔ −7 y + 20 y − 12 ≥ ⇔ Kết hợp điều kiện ta có Maxy=2 x = Miny= ≤ y≤2 y =1 2( y − 1) x=3 b) Giải phương trình,bất phương trình hệ phương trình: Ví dụ 3: Giải phương trình: 4+ x + y + z =2 x − + y − + z − Giải: Điều kiện x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x − = 1( x − 2) ≤ + x − = x − Dấu “=” xảy x=3 y − = 4( y − 3) ≤ + y − = y + Dấu “=” xảy y=7 z − = 9( z − 5) ≤ + z − = z + Dấu “=” xảy z=14 Vậy: x − + y − + z − ≤ x + y + z + Dấu “=” xảy x=3, y=7, z=14 ( thỏa mãn) Tức phương trình: x + y + z + = x − + y − + z − có nghiệm x = 3, y = 7, z = 14 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: x3 y =  3 x + y = 16  x0 y0 =  Giải: Giả thiết x0 , y0 nghiệm hệ phương trình  3 x0 + y = (1) (2) Từ (1) (2) ⇒ x0 > 0; y0 > Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: ⇒ x0 + x0 + x0 + y0 ≥ x0 y0 ≥ (vô lý) Vậy giả thiết hệ có nghiệm sai, hệ vơ nghiệm Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x − + x − ≥ 2( x − 3) + x − Giải: Điều kiện x ≥ Theo bất đẳng thức Bunnhiacopxki ta có: [ x − + x − ≤ (12 + 12 ) ( x − 1) + ( x − 3) ]= 2( x − 3) + x − Do bất phương trình : x ≥ ⇔ x=5 ⇔ x −1 = x − ⇔  x − = ( x − )  Vậy nghiệm bất phương trình x=5 2.4 Hiệu SKKN: Qua thực tế hướng dẫn học sinh làm tập cho thấy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đưa vào cuối luyện tập, dạy tự chọn nên nội dung học sinh cịn phức khó hình dung, tổng qt hóa Vì cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ơn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh thông qua kiểm tra ngắn từ 10 đến 15 phúà Sau hướng dẫn nội dung đề tài, cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời tích cực rèn luyện kỹ làm tập phần chứng minh bất đẳng thức cho học sinh Tôi cố gắng đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà kết không mong muốn Sau áp dụng kết vào giảng dạy, tiến hành khảo sát tập hợp kết em trước sau áp dụng đề tài SKKN sau • Kết khảo sát trước áp dụng SKKN: 17 Số lượng HS Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm 30 (0%) (20%) 10 (33,3 %) 14 (46,7%) • Kết khảo sát sau áp dụng SKKN: Số lượng HS Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm 30 (16,7%) (26,6%) 12 (40 %) (16,7%) Nhìn vào bảng ta thấy học sinh có tiến rõ rệt, xác định phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nhiều em học sinh làm tập bất đẳng thức có hứng thú học tốn Qua tạo cho học sinh chủ động, tự tin, say mê, u thích mơn học Các tập bất đẳng thức tương đối khó học sinh, hướng dẫn cho học sinh phương pháp đề tài tơi nhận thấy em khơng cịn e ngại làm bất đẳng thức; số em tỏ hứng thú tìm tỏi mở rộng, phát triển bất đẳng thức biết Qua phần đa học sinh tự tin, chủ động chiếm lĩnh kiến thức toán học 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Trên việc làm năm gần năm học vừa qua thu kết định Để có kết định có hỗ trợ, thống đồng chí nhóm, tổ chun mơn ủng hộ nhiệt thành Ban giám hiệu nhà trường Để vận dụng phương pháp có hiệu quả, vào đầu năm học giáo viên cần lưu ý học sinh phương pháp học tập môn, trọng phương pháp chứng minh bất đẳng thức Và tất nhiên khuôn khổ sáng kiến không tránh khỏi khiếm khuyết, thiếu sót, kính mong đồng chí đồng nghiệp bảo, góp ý, đánh giá để tơi rút kinh nghiệm bổ sung 3.2 Kiến nghị: Đề nghị nhà trường Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức lớp học chuyên đề, buổi hội thảo báo cáo điển hình sáng kiến kinh nghiệm áp dụng hiệu thực tế để giáo viên học tập kinh nghiệm, áp dụng thiết thực vào thực tế giảng dạy Đồng thời, tăng cường hỗ trợ tài liệu, đồ dùng dạy học cho nhà trường đảm bảo giáo viên học sinh tiếp cận tốt với cơng nghệ đại q trình dạy học Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2018 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Hồng 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Toán lớp 6, 7, 8, Tác giả : Phan Đức Chính (tổng chủ biên) Tơn Thân (chủ biên) Vũ Hữu Bình - Trần Phương Dung - Ngô Hữu Dũng Lê Văn Hồng - Nguyễn Hữu Thảo [2] Sách giáo viên Toán 6, 7, 8, Tác giả : Phan Đức Chính (tổng chủ biên) Tơn Thân (chủ biên) [3] Sách tập Toán lớp 6, 7, 8, Tác giả : Tôn Thân (chủ biên) Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Trần Kiều [4] Dạy - học toán THCS theo hướng đổi [5] Tài liệu bồi dưỡng thương xuyên cho giáo viên trung học sở chu kỳ III(2004 - 2007) mơn Tốn [6] Tài liệu dạy học theo chủ đề tự chọn trường THCS [7] Luật giáo dục năm 2005 20 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên: Lê Thị Hồng Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Quang TT Tên đề tài SKKN Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học lớp Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức chương trình đại số lớp Cấp đành giá xếp loại ( Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A,B C) Năm học đánh giá xếp loại PGD&ĐT C 2015-2016 PGD&ĐT A 2016-2017 21 ... “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Hoằng Quang – Thành phố Thanh Hóa chứng minh bất đẳng thức? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu: Việc hướng dẫn học sinh nghiên cứu phương pháp chứng. .. ∀a ∈ R 2.3.3 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phép lập luận nhằm chứng tỏ bất đẳng thức gọi phép chứng minh bất đẳng thức Phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa dạng Sau số phương pháp... bất đẳng thức phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tương đương mà biết chứng minh đúng, biến đổi bất đẳng thức biết thành bất đẳng thức cần chứng minh