Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §2 Cực trị hàm số Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho liên hệ 0936546689 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn Đọc lần chậm kĩ bỏ nội dung HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Đọc lần tồn bộ: • Ghi nhớ bước đầu định nghĩa, định lí • Định hướng thực hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ định nghĩa, định lí • Chép lại ý, nhận xét • Thực hoạt động vào Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao Đọc lần chậm kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu Lấy ghi tên học thực ví dụ Đọc lại suy ngẫm tất với câu hỏi “Vì họ lại nghĩ cách giải vậy” Thực tập lần Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau giảng em viết u cầu theo mẫu: • Nơi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Bài tập lần chưa làm • Thảo luận xây dựng giảng gửi Nhóm Cự Mơn theo địa nhomcumon86@gmail.com để nhn c gii ỏp Đ2 cực trị hàm số giảng theo chơng trình chuẩn khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập hợp D (D ¡ ) vµ x0 ∈ D a x0 gäi lµ điểm cực đại hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) < f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0} Khi ®ã f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) b x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chøa ®iĨm x0 cho (a; b) ∈ D vµ: f(x) > f(x0) , víi mäi x ∈ (a; b)\{x0} Khi f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu đợc gọi chung cực trị điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a, b) x0 (a, b) Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm x0 f '(x0) = điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0) (x0; b) Khi ®ã: a NÕu f '(x) < víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) > với x (x0; b) hàm số f(x) ®¹t cùc tiĨu t¹i ®iĨm x0 b NÕu f '(x) > víi mäi x ∈ (a; x0) vµ f '(x) < víi mäi x ∈ (x0; b) th× hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị Ta tóm tắt định lí bảng biÕn thiªn sau: x a x0 b −∞ +∞ y' + − CT y f(x0) x −∞ a x0 b +∞ y' y + f(x0) C§ Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thực theo bớc: Bớc 1: Tính f(x) Bớc 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) đạo hàm hàm số hàm số liên tục nhng đạo hàm Bớc 3: Xét dÊu f'(x) NÕu f'(x) ®ỉi dÊu x qua ®iĨm xi hàm số đạt cực trị xi Thí dụ 1: Tìm cực trị hàm số y = x + x Giải Miền xác định D = Ă \{0} Đạo hàm: 1 y' = − , y' = ⇔ − = ⇔ x2 − = ⇔ x = ±1 x x Giíi h¹n: lim lim lim lim x →−∞ y = x → y = −∞ , x →+∞ y = x → y = + Bảng biến thiên: x 1 +∞ y' + 0 + − − C§ +∞ +∞ y −∞ CT −2 −∞ − + KÕt luận: Hàm số có điểm cực đại (1; 2) Hàm số có điểm cực tiểu (1; 2) NhËn xÐt: Nh vËy, qua thÝ dơ trªn c¸c em häc sinh cã thĨ thÊy sù kh¸c biƯt giá trị cực đại, cực tiểu với giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Hoạt động Thí dụ 2: Tìm cực trị hàm số y = x + 2x2 + 3x − Tìm cực trị hàm số y = |x|(x + 2) Giải Viết lại hàm số dới dạng: − x(x + 2) víi x ≤ −2x − víi x < y= ⇒ y' = x(x + 2) víi x > 2x + víi x > MiỊn xác định D = Ă Giới hạn xlim y = xlim y = +∞ →−∞ →+∞ B¶ng biÕn thiên: x y' + CĐ 0 CT +∞ + −∞ y KÕt luËn: Hàm số có điểm cực đại (1; 1) Hàm số có điểm cực tiểu (0; 0) +∞ NhËn xÐt: Nh vËy, cho dï hµm sè đạo hàm x = nhng đạt cực tiểu Và, để tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt ®èi ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Tìm miền xác định hàm số Bớc 2: Biến đổi hàm số dạng: f1 (x) với x D1 y = f (x) víi x D k k Bớc 3: Đạo hàm: f '1 (x) víi x ∈ D1 \ {x | f1 (x) = 0} y’ = , f ' (x) víi x ∈ D \ {x | f (x) = 0} k k k Bíc 4: Ho¹t ®éng y’ = ⇒ nghiƯm (nÕu cã) B¶ng biÕn thiên, từ đa lời kết luận Tìm cực trị hàm số y = xx Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f '(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a Nếu f''(x0) < hàm số đạt cực đại điểm x0 b Nếu f''(x0) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f(x) Bớc 2: Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) phơng trình f'(x) = Bớc 3: Với i ta tính f"(xi), dó: Nếu f''(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f''(xi) > hàm số ®¹t cùc tiĨu t¹i ®iĨm xi ThÝ dơ 3: Tìm cực trị hàm số y = x sin2x + Giải Miền xác định D = Ă Đạo hàm: y' = 2cos2x, y' = ⇔ − 2cos2x = ⇔ cos2x = π ⇔ x = ± + kπ , k∈ ¢ y'' = 4sin2x Ta cã: π Víi x = − + kπ ta nhận đợc: y'' − + kπ ÷ = 4sin − + 2kπ ÷ = − < hàm số đạt cực đại điểm x = + k , k∈ ¢ π Víi x = + k ta nhận đợc: y'' + kπ ÷ = 4sin + 2kπ ÷ = > 6 3 π hàm số đạt cực tiểu điểm x = + kπ , k∈ ¢ NhËn xÐt: Nh vËy, bëi viƯc xÐt dÊu cđa y' gỈp khó khăn nên việc lựa chọn quy tắc để tìm cực trị hàm số đà đợc lựa chọn Quy tắc tỏ hiệu với toán chứa tham số Hoạt động Tìm cực trị hàm số y = 2cosx cos2x Tìm hệ số a, b, c, d hµm sè: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cho hàm số đạt cực tiểu điểm x = 0, f(0) = đạt cực đại điểm x = 1, f(1) = Thí dụ 4: Giải Đạo hàm: f'(x) = 3ax2 + 2bx + c, f"(x) = 6ax + 2b Để hàm số ®¹t cùc tiĨu t¹i ®iĨm x = 0, f(0) = đạt cực đại điểm x = 1, f(1) = điều kiện là: d = a + b + c + d = f(0) = vµ f(1)=1 ⇔ f '(0) = vµ f'(1)=0 ⇔ c = 3a + 2b + c = f "(0) > vµ f"(1) vµ 6a+2b 2m > S > m > ⇔ ⇔ ⇔ m > P>0 m >1 m − > f (m) ≠ −1 ≠ Vậy, với m > thoả mÃn điều kiện đầu c Hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ x1 = m + nên điều kiƯn lµ: < m + < ⇔ −1 < m < VËy, víi −1 < m < thoả mÃn điều kiện đầu Từ kết câu 1) hàm số có cực đại, cùc tiĨu lµ A(xA; yA), B(xB; yB) víi: x A + x B = 2m vµ yA = 2xA − m(m + 1), yB = 2xB − m(m + 1) x A x B = m a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía trục Oy điều kiện là: xA.xB < ⇔ m2 − < ⇔ m < Vậy, với m < thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía trục Oy điều kiện (1) có hai nghiệm trái dấu phân biệt khác m, tức: m2 − < P < ⇔ ⇔ m < f (m) ≠ −1 ≠ Vậy, với m < thoả mÃn điều kiện đầu b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía trục Ox điều kiện là: yA.yB < ⇔ (−m2 + m − 2)(−m2 + m + 2) < ⇔ (m2 − m + 2)(m2 − m − 2) < ⇔ (m + 1)(m − 2) < ⇔ −1 < m < VËy, víi < m < thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía trục Ox điều kiện là: yA.yB < [2xA − m(m + 1)][2xB − m(m + 1)] < ⇔ 4xAxB − 2m(m + 1)(xA + xB) + m2(m + 1)2 < ⇔ 4(m2 − 1) − 4m2(m + 1) + m2(m + 1)2 < 28 ⇔ (m + 1)[4(m − 1) − 4m2 + m2(m + 1)] < ⇔ (m + 1)(m3 − 3m2 + 4m − 4) < ⇔ (m + 1)(m − 2)(m2 − m + 2) < ⇔ −1 < m < VËy, víi −1 < m < thoả mÃn điều kiện đầu Cách 3: Để A, B n»m vÕ hai phÝa cđa trơc Ox ®iỊu kiện đồ thị hàm số không cắt trục Ox, tức phơng trình: y = vô nghiệm x2 m(m + 1)x + m3 + = v« nghiÖm ⇔ ∆ < ⇔ m2(m + 1)2 − 4(m3 + 1) < ⇔ (m + 1)[m2(m + 1) − 4(m2 − m + 1)] < ⇔ (m + 1)(m3 − 3m2 + 4m − 4) < ⇔ (m + 1)(m − 2)(m2 − m + 2) < ⇔ −1 < m < VËy, với < m < thoả mÃn điều kiện đầu c Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Để A, B nằm vế hai phía đờng thẳng (d) điều kiện là: tA.tB < ⇔ (xA − yA)(xB − yB) < ⇔ (m − + m2 − m + 2)(m + + m2 − m − 2) < ⇔ (m2 + 1)(m2 − 1) < ⇔ m2 − < ⇔ m < VËy, víi m < thoả mÃn điều kiện đầu Cách 2: Để A, B nằm vế hai phía đờng thẳng (d) điều kiện là: tA.tB < (xA yA)(xB − yB) < ⇔ [m(m + 1) − xA][m(m + 1) − xB] < ⇔ xAxB − m(m + 1)(xA + xB) + m2(m + 1)2 < ⇔ m2 − − 2m2(m + 1) + m2(m + 1)2 < ⇔ (m + 1)[(m − 1) − 2m2 + m2(m + 1)] < ⇔ (m + 1)(m3 − m2 + m − 1) < ⇔ (m + 1)(m − 1)(m2 + 1) < ⇔ m < VËy, víi m < thoả mÃn điều kiện đầu d Để đồ thị hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (I) điểm cực trị thuộc góc phÇn t thø (III) (víi nhËn xÐt yA < 0) ta ph¶i cã: m < m − < vµ − m + m − < A ∈ P(III) ⇔ ⇔ m > −1 m + > vµ − m + m + > B ∈ P(I) −1 < m < ⇔ m < VËy, víi m < thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: 29 Các em học sinh cần nhớ tính chÊt ®èi xøng cđa hai ®iĨm B, C qua Oy (A Oy) để khẳng định đợc ABC cân A Từ đó, thực thêm yêu cầu: Xác định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu: a Lập thành tam giác vuông b Lập thành tam giác có diện tích b»ng 16 VÝ dơ tiÕp theo chóng ta sÏ quan tâm tới cực trị hàm số dạng: y = ax + bx + c Cho hµm sè y = mx − 4x + Xác định m để: a Hàm số cực trị b Hàm số có cực đại Ví dụ 6: Giải Điều kiện mx2 4x + Đạo hàm: mx y = , y = ⇔ mx − = mx 4x + a Hàm số cực trị (1) vô nghiệm nghiệm (1) không tho ¶ m·n (*) (*) m = m = m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m < m − 2 m ÷ − + < 1, phơng trình nghiệm thuộc (2; 2) Với − m = ⇔ m = 1, ph¬ng tr×nh cã nghiƯm thc (−2; 2) Víi < − m < ⇔ < m < 1, phơng trình có nghiệm thuộc (2; 2) Víi − m = ⇔ m = 0, phơng trình có nghiệm thuộc (2; 2) Víi < − m < ⇔ − < m < 0, phơng trình có nghiệm thuéc (−2; 2) Víi − m ≥ m 8, phơng trình nghiệm thuộc (2; 2) Bài tập 3: a Ta lần lợt có: Miền xác định D = Ă \{1} Đạo hàm: x = 2x x y' = , y' = ⇔ 2x − x2 = ⇔ (1 − x) x = Giíi h¹n: lim y = +∞ , lim y = −∞ lim y = +∞ , lim y = ; + x Bảng biến thiên: x −∞ x →+∞ x →1 x →1 +∞ 41 ... đại cực tiểu đồ thị hàm số Bài tập 12: Cho hµm sè: y = msinx − x a Với m = 2, tìm cực trị hàm số b Với giá trị tham số m, tìm cực trị đồ thị hàm số Bài tập 13: Tìm hệ số a, b, c, d hàm sè: f(x)... định m để: a Hàm số có cực đại, cực tiểu với tổng bình phơng hoành độ 27 b Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm c Hàm số có cực tiểu cực đại Bài tập 18: Xác định m để đồ thị hàm số: ... để hàm số có cực đại giá trị cực đại yCĐ < 13 Bài tËp 22: Cho hµm sè: y = mx − 4x + Xác định m để: a Hàm số cực trị b Hàm số có cực đại Bài tập 23: Cho hàm số: y = 2x + + m x − 4x + Tìm m để
