Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §1 Tính đơn điệu của hàm số Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn HOẠT ĐỘNG 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Đọc lần 2 toàn bộ: Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí Định hướng thực hiện các hoạt động Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí Chép lại các chú ý, nhận xét Thực hiện các hoạt động vào vở 4 Thực hiện bài tập lần 1 5 Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1 Đọc lần 1 chậm và kĩ Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4 Thực hiện bài tập lần 2 5 Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: nhomcumon86@gmail.com để nhận Nôi dung chưa hiểu Hoạt động chưa làm được Bài tập lần 1 chưa làm được Bài tập lần 2 chưa làm được Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ được giải đáp 2 ch¬ng I øng dông cña ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè Trong ch¬ng nµy, chóng ta øng dông ®¹o hµm vµ giíi h¹n ®Ó xÐt mét sè tÝnh chÊt quan träng cña hµm sè vµ ®å thÞ nh: TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè Cùc trÞ cña hµm sè Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè C¸c ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ Tõ ®ã, kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè: C¸c em häc sinh cÇn cã kÜ n¨ng thµnh th¹o khi xÐt c¸c tÝnh chÊt ®· nªu cña hµm sè cho tríc còng nh kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm sè ®¬n gi¶n Ch¬ng I gåm c¸c bµi häc: §1 TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè §2 Cùc trÞ cña hµm sè §3 Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè §4 §å thÞ cña hµm sè vµ phÐp tÞnh tiÕn hÖ to¹ ®é §5 §êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè §6 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ®a thøc §7 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña mét sè hµm ph©n thøc h÷u tØ §8 Mét sè bµi to¸n thêng gÆp vÒ ®å thÞ 3 §1 tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè bµi gi¶ng theo ch¬ng tr×nh chuÈn Gi¶ sö K lµ mét kho¶ng, mét ®o¹n hoÆc mét nöa kho¶ng vµ y = f(x) lµ hµm sè x¸c ®Þnh trªn I §Ó xÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè y = f(x) trªn K ta ®i xÐt dÊu biÓu thøc: T f (a) f (b) , víi a, b I vµ a b (1) a b NhËn xÐt: b thay ®æi trªn I, kÝ hiÖu lµ x a tiÕn dÇn tíi b, kÝ hiÖu lµ x + x víi x 0 khi ®ã (1) ®îc viÕt l¹i díi d¹ng: T f(x x) f(x) , víi mäi x 0 vµ x+x I x T lim f(x x) f(x) T f '(x) x 0 x Tõ ®ã, ta cã kÕt qu¶: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I a NÕu hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I th× f '(x) 0, x I b NÕu hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I th× f '(x) 0, x I §¶o l¹i, ta cã ®Þnh lÝ: §Þnh lÝ 1: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I a NÕu f '(x) > 0, x I th× f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I b NÕu f '(x) < 0, x I th× f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I c NÕu f '(x) = 0, x I th× f(x) kh«ng ®æi trªn kho¶ng I Chó ý: Kho¶ng I trong ®Þnh lÝ trªn cã thÓ ®îc thay bëi mét ®o¹n hoÆc mét nöa kho¶ng Khi ®ã, ph¶i bæ sung gi¶ thiÕt "Hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n hoÆc nöa kho¶ng ®ã" Ngêi ta thêng tãm t¾t ®Þnh lÝ 1 trong c¸c b¶ng biÕn thiªn sau: x a b + y' + y f(a) f(b) x a b + y' y f(a) f(b) ThÝ dô 1: XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè y 1 x3 Gi¶i §iÒu kiÖn: 4 1 x3 0 x3 1 x 1 TËp x¸c ®Þnh D = (; 1] §¹o hµm: y ' 3x2 2 1 x3 y’ = 0 víi x = 0 vµ y’ < 0 víi xD\{0} B¶ng biÕn thiªn: x 0 1 y' 0 y 0 0 Ho¹t ®éng XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè y 4 x2 NhËn xÐt: Qua thÝ dô trªn, ta thÊy cã thÓ më réng ®Þnh lÝ 1 nh sau: §Þnh lÝ 2: Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng I a NÕu f '(x) 0, x I, vµ ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn kho¶ng I, th× f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng I b NÕu f '(x) 0, x I, vµ ®¼ng thøc chØ x¶y ra t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm trªn kho¶ng I, th× f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng I ThÝ dô 2: XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè y x 1 x Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D \ 0 §¹o hµm: 1 x2 1 y' = 0 x2 1 = 0 x = 1 y' = 1 y ' 1 2 2 , xx B¶ng biÕn thiªn: x 0 1 + y' 0 0 y + KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (; 1) vµ (1; +) Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (1; 0) vµ (0; 1) NhËn xÐt: Nh vËy, trong b¶ng biÕn thiªn cÇn ph¶i ghi ®Çy ®ñ c¸c ®iÓm tíi h¹n cña y’ Ho¹t ®éng XÐt sù biÕn thiªn cña c¸c hµm sè y x 1 vµ y x 4 x 1 x 5 Chó ý: §Ó chøng minh hµm sè ®ång biÕn (hoÆc nghÞch biÕn) trªn I ta ®i chøng minh y’ 0, xI (hoÆc y’ 0, xI) ThÝ dô 3: Chøng minh r»ng hµm sè y = cos2x 2x + 3 nghÞch biÕn trªn Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D §¹o hµm: y' = 2sin2x 2 = 2(sin2x + 1) 0 x Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn Ho¹t ®éng Chøng minh r»ng hµm sè y = x5 + x + sinx + 3 ®ång biÕn trªn Chó ý: ThÝ dô tiÕp theo minh ho¹ viÖc thùc hiÖn d¹ng to¸n "T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hµm sè ®ång biÕn (hoÆc nghÞch biÕn) trªn I" ThÝ dô 4: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó hµm sè: Gi¶i y = 1 x3 ax2 + 4x + 3 ®ång biÕn trªn 3 MiÒn x¸c ®Þnh D §¹o hµm: y' = x2 + 2ax + 4 §Ó hµm sè ®ång biÕn trªn ®iÒu kiÖn lµ: y' 0 x f(x) = x2 + 2ax + 4 0 x 'f 0 a2 4 0 a 2 VËy, víi a 2 tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi Chó ý: Tõ ý c) cña ®Þnh lÝ 1 gîi ý cho ta thùc hiÖn d¹ng to¸n "Chøng minh r»ng biÓu thøc A = f(x) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x vµ tÝnh gi¸ trÞ cña A" ThÝ dô 5: Cho hµm sè: f(x) = 2 – sin2x – sin2(a + x) – 2cosa.cosx.cos(a + x) a T×m ®¹o hµm cña hµm sè f b Tõ a) suy ra r»ng hµm sè f lÊy gi¸ trÞ kh«ng ®æi trªn vµ tÝnh f(x) Gi¶i a Ta cã: f’(x) = 2sinx.cosx – 2sin(a + x).cos(a + x) – 2cosa[sinx.cos(a + x) cosx.sin(a + x)] = sin2x sin2(a + x) + 2cosa.sin(2x + a) = 2sin(2x + a).cosa + 2cosa.sin(2x + a) = 0 b Tõ a) suy ra r»ng hµm sè f lÊy gi¸ trÞ kh«ng ®æi trªn vµ do ®ã: f(x) = f(0) = 2 – sin20 – sin2a – 2cosa.cos0.cosa = 1 – sin2a – 2cos2a = cos2a Ho¹t ®éng Cho hµm sè: f(x) = sin2(x 2 ) + sin2x + sin2(x+ 2 ) 3 3 6 a T×m ®¹o hµm cña hµm sè f b Tõ a) suy ra r»ng hµm sè f lÊy gi¸ trÞ kh«ng ®æi trªn vµ tÝnh f(x) Chó ý: Ta biÕt r»ng: NÕu hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (a; b) (hoÆc ®o¹n [a; b]) th× f(a) < f(x) < f(b) (hoÆc f(a) f(x) f(b)) víi mäi x thuéc (a; b) (hoÆc ®o¹n [a; b]) NÕu hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (a; b) (hoÆc ®o¹n [a; b]) th× f(b) < f(x) < f(a) (hoÆc f(b) f(x) f(a)) víi mäi x thuéc (a; b) (hoÆc ®o¹n [a; b]) §iÒu ®ã gîi ý cho ta thùc hiÖn d¹ng to¸n "Chøng minh bÊt ®¼ng thøc" ThÝ dô 6: Chøng minh r»ng: b sinx > x víi mäi x < 0 a sinx < x víi mäi x > 0 Gi¶i a XÐt hµm sè f(x) = sinxx víi 0 < x < 2 §¹o hµm: f '(x) = cosx1 < 0 víi 0 < x < hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn 0; 2 2 Do ®ã: f(x) < f(0) víi 0 < x < sinxx < 0 víi 0 < x < 2 2 sinx < x víi 0 < x < 2 b Sö dông kÕt qu¶ trªn víi lËp luËn: x < 0 x > 0 sin(x) < x sinx < x sinx > x, ®pcm Ho¹t ®éng Chøng minh r»ng 2sinx + tanx > 3x víi mäi x 0; 2 Chó ý: ViÖc kÕt hîp kÕt qu¶ cña ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung gian cña hµm sè liªn tôc víi tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè cho phÐp chóng ta gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh vµ chøng minh tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña ph- ¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh ThÝ dô 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x5 + 3x3 56 = 0 b x (1 x)3 1 Gi¶i a XÐt hµm sè f(x) = x5 + 3x3 56 trªn §¹o hµm: f '(x) = 5x4 + 9x2 0, x Hµm sè ®ång biÕn trªn Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt Ta thÊy: 7 f(2) = 32 + 24 56 = 0 nªn x = 2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh b §iÒu kiÖn x 0 Ta lÇn lît: XÐt hµm sè f (x) x trªn D = [0; +), ta cã: f '(x) 1 0, x D Hµm sè f(x) ®ång biÕn trªn D 2x XÐt hµm sè g(x) = (1 x)3 + 1 trªn D = [0; +), ta cã: g’(x) = 3(1 x)2 0, xD Hµm sè g(x) nghÞch biÕn trªn D Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt Víi x = 1, ta thÊy: 1 = (1 1)3 + 1 1 = 1, ®óng nªn x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh Chó ý: §Ó tr¸nh viÖc ph¶i xÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hai hµm sè ë c©u b) chóng ta thùc hiÖn nh sau: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x (1 x)3 1 0 XÐt hµm sè f (x) x (1 x)3 1 trªn D = [0; +), ta cã: §¹o hµm: f '(x) 1 3(1 x)2 0, x D Hµm sè ®ång biÕn trªn D 2x Do ®ã, nÕu ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm th× nghiÖm ®ã lµ duy nhÊt Ta thÊy: f(1) = 1 (1 1)3 1 = 0 nªn x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh Ho¹t ®éng Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a x7 + 3x3 4 = 0 b x 1 9 x3 ThÝ dô 8: Cho hµm sè f(x) 2x2 x 2 a Chøng minh r»ng hµm sè f ®ång biÕn trªn nöa kho¶ng [2; +) b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh 2x2 x 2 11 cã nghiÖm duy nhÊt Gi¶i a Ta cã: f '(x) 4x x 2 x2 0, x (2; ) x 2 Do ®ã, hµm sè ®ång biÕn trªn nöa kho¶ng [2; +) b Tõ b¶ng biÕn thiªn: x + y' + y + 8 suy ra ®êng th¼ng y = 11 lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè y = f(x) t¹i mét ®iÓm dy nhÊt, tøc ph¬ng tr×nh 2x2 x 2 11 cã nghiÖm duy nhÊt Ho¹t ®éng Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x x 1 6 cã nghiÖm duy nhÊt 9 Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.200.000đ 1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2 Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ 3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY Bµi tËp 1: bµi tËp lÇn 1 Bµi tËp 2: Bµi tËp 3: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: Bµi tËp 4: y = x33x29x + 5 Bµi tËp 5: Bµi tËp 6: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = x33x2 + 3x + 7 Bµi tËp 7: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: Bµi tËp 8: y = x42x21 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: (C): y = x42x3 + 2x + 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = x 1 x 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = x2 2x 2 x 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = x2 x 1 x2 x 1 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y = x2 2x 3 10 y' 0 + 0 0 + y + + 6 6 KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (1; 0) vµ (1; +) Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (; 1) vµ (0; 1) NhËn xÐt: Hµm ®a thøc bËc bèn d¹ng trïng ph¬ng cã ph¬ng tr×nh: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a 0 Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0 2x(2ax2 + b) = 0 Do ®ã, ph¬ng tr×nh y' = 0 hoÆc cã mét nghiÖm (a.b 0) hoÆc cã ba nghiÖm ph©n biÖt, do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau Giíi h¹n: xlim y = xlim ax4(1 + 2 b + 4 c ) = khi a 0 ax ax khi a 0 B¶ng biÕn thiªn: DÊu cña y' phô thuéc vµo dÊu cña a (a > 0 hay a < 0) vµ dÊu cña a.b, do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau VÝ dô 3: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y x 2 x 2 Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = \{2} §¹o hµm: y ' 2 4 0, x D Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn D (x 2) B¶ng biÕn thiªn: x - 2 + y' y + 1 1 NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc nhÊt trªn bËc nhÊt cã d¹ng: (H): y = ax b , víi c 0, D = adbc 0 cx d Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D \ d / c §¹o hµm y' = ad bc , cx d - NÕu D = adbc > 0 Hµm sè ®ång biÕn trªn D 15 - NÕu D = adbc < 0 Hµm sè nghÞch biÕn trªn D Giíi h¹n: lim y = a vµ lim d y = x c x c B¶ng biÕn thiªn: Trêng hîp D < 0 Trêng hîp D > 0 x d/c + x d/c + y' + + y' ya + a y a + a c c c c VÝ dô 4: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y x2 2x 3 x 1 Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = \{1} §¹o hµm: x2 2x 3 y' 2 , y’ = 0 x 2x + 3 = 0, v« nghiÖm2 (x 1) y’ < 0 xD Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn D NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc nhÊt cã d¹ng: (H): y = ax2 bx c , víi ad 0, tö, mÉu kh«ng cã nghiÖm chung dx e Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: ViÕt l¹i hµm sè díi d¹ng: y = f(x) = x + + dx e MiÒn x¸c ®Þnh D = \{ e } d §¹o hµm: y' = d 2= (dx e)2 d 2, (dx e) (dx e) DÊu cña ®¹o hµm lµ dÊu cña tam thøc g(x) = (dx + e)2d Giíi h¹n: lim y = vµ lim y = x x e/ d B¶ng biÕn thiªn: Trêng hîp > 0 Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2 x x1 e/d x2 + 16 y' +0 0+ y C§ + CT + Ph¬ng tr×nh y' = 0 v« nghiÖm x e/d + y' + + y + + Trêng hîp < 0 Ph¬ng tr×nh y' = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2 x x1 e/d x2 + y' 0 + +0 y CT + C§ Ph¬ng tr×nh y' = 0 v« nghiÖm x e/d + y' y + + VÝ dô 5: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y 1 1 x x 2 Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D \ 0, 2 §¹o hµm: 1 1 4x 4 y ' 2 2 2 2 , y’ = 0 4x 4 = 0 x = 1 x (x 2) x (x 2) B¶ng biÕn thiªn: x 0 1 2 + y' 0 + y 0 + 2 + 0 KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (1; 2) vµ (2; +) Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (; 0) vµ (0; 1) NhËn xÐt: Hµm ph©n thøc bËc hai trªn bËc hai cã d¹ng: 17 ax2 bx c , víi a, a1 0, tö, mÉu kh«ng cã nghiÖm chung (H): y = 2 a1x b1x c1 Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = \{x | a1x2 + b1x + c1 = 0} §¹o hµm: y' = (ab1 a1b)x2 2(ac1 a1c)x bc1 c1b 22 , (a1x b1x c1 ) Giíi h¹n: lim y = a ; lim 0 y = , víi x0 lµ nghiÖm cña ®a thøc ë mÉu sè x a1 x x B¶ng biÕn thiªn: cã 18 trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn VÝ dô 6: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña c¸c hµm sè sau: a y 4 x2 b y x2 2x 3 Gi¶i a Ta cã ®iÒu kiÖn: 4 x2 0 x 2 D = [2; 2] §¹o hµm: 2x x y' = 2 4 x2 = 4 x2 , y' = 0 x = 0 B¶ng biÕn thiªn: x 2 0 2 + y' 0 2 y 0 0 KÕt luËn: Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (2; 0) Hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2) b Ta cã ®iÒu kiÖn: x22x + 3 0 lu«n ®óng D = §¹o hµm: 2x 2 x 1 y' = 0 x1 = 0 x = 1 y' = 2 x2 2x 3 = x2 2x 3 , B¶ng biÕn thiªn: x 1 + y' + + + y 2 KÕt luËn: Hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (; 1) Hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng (1; +) 18 NhËn xÐt: Hµm v« tØ d¹ng: (H): y = ax2 bx c , víi a 0 Khi ®ã, nÕu sö dông ®¹o hµm ®Ó kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè, ta cã: MiÒn x¸c ®Þnh D = {xR | ax2 + bx + c 0} §¹o hµm: 2ax b y' = 2 ax2 bx c , B¶ng biÕn thiªn: cã 4 trêng hîp kh¸c nhau vÒ chiÒu biÕn thiªn VÝ dô 7: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña c¸c hµm sè sau: a y = x3 + x cosx 4 b y = cos2x x Gi¶i a MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 3x2 + 1 + sinx = 3x2 + 1sinx 0 x 0 Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn b MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = 2sinx.cosx 1 = sin2x 1 0 x 0 Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn VÝ dô 8: Tuú theo m, kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè y x 2 x 2m Híng dÉn: THam kh¶o nhËn xÐt sau vÝ dô 3 Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = \{2m} §¹o hµm: y ' 2 2m 2 (x 2m) Ta ®i xÐt ba trêng hîp: Trêng hîp 1: NÕu 2m 2 = 0 tøc m = 1 th×: y' = 0, x D Hµm sè lµ hµm h»ng (cã d¹ng y = 1) Trêng hîp 2: NÕu 2m 2 < 0 tøc m > 1 th×: y' < 0, x D Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn D Trêng hîp 3: NÕu 2m 2 > 0 m < 1 th×: y' > 0, x D Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn D Bµi to¸n 2: Sù biÕn thiªn cña hµm sè trªn mét miÒn Ph¬ng ph¸p ¸p dông C©u hái thêng ®îc ®Æt ra " T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó hµm sè ®¬n ®iÖu trªn tËp I " Khi ®ã, ta thùc hiÖn theo c¸c bíc: Bíc 1: T×m miÒn x¸c ®Þnh D vµ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn I D Bíc 2: §¹o hµm y' Bíc 3: Hµm sè ®¬n ®iÖu trªn tËp I (gi¶ sö ®ång biÕn trªn I) khi: y’ 0, xI 19 Bíc 4: Bµi to¸n ®îc chuyÓn vÒ dÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt hoÆc tam thøc bËc hai hoÆc sö dông ph¬ng ph¸p hµm sè KÕt luËn VÝ dô 1: Cho hµm sè: y 1 x3 2x2 (2m 1)x 3m 2 3 Víi gi¸ trÞ nµo cña m: a Hµm sè nghÞch biÕn trªn ? b Hµm sè ®ång biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 2? Híng dÉn: Sö dông kiÕn thøc trong phÇn ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y' = x2 + 4x + 2m + 1, y' = 0 f(x) = x2 + 4x + 2m + 1 = 0 (1) a Hµm sè nghÞch biÕn trªn khi: y' 0, x f(x) 0, x ’f 0 4 + 2m + 1 0 m 5 2 VËy, víi m 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 2 b Hµm sè ®ång biÕn trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 2 khi: y' 0 trªn ®o¹n cã ®é dµi b»ng 2 (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n x1x2 = 2 ' 0 ' 0 ' 1 2m + 5 = 1 m = 2 x1 x2 2 2 ' 2 VËy, víi m = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi Chó ý Ta nhí l¹i r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) nÕu cã hai nghiÖm x1, x2 th×: x1 x2 b b hoÆc x1 x2 2 ' 2a 2a a a VÝ dô 2: T×m m ®Ó hµm sè y = x48mx2 + 9m ®ång biÕn trªn (2; +) Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = §¹o hµm: y’ = 4x316mx = 4x(x24m) Hµm sè ®ång biÕn trªn (2; +) khi: y' 0, x(2; +) 4x(x24m) 0, x(2; +) f(x) = x24m 0, x(2; +) f(2) 0 44m 0 m 1 VËy, víi m 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi VÝ dô 3: Cho hµm sè: 20 ... øng dơng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trong chơng này, ứng dụng đạo hàm giới hạn để xét số tính chất quan trọng hàm số đồ thị nh: Tính đơn điệu hàm số Cực trị hàm số Giá... hàm số Đ6 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức Đ7 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm phân thức hữu tỉ Đ8 Một số toán thờng gặp đồ thị Đ1 tính đơn điệu. .. hàm số Các đờng tiệm cận đồ thị Từ đó, khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Các em học sinh cần có kĩ thành thạo xét tính chất đà nêu hàm số cho trớc nh khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số
