UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = 2x2 – 3x + với x  2 b) Tìm x, biết: x  x   x  Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức P = 3a  b  c a  3b  c a  b  3c   a b c ab bc c a   c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với x Chứng minh f(x) có bốn nghiệm Câu 3: (2,0 im) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) tháa m·n x - 3y +2xy = b) Chøng minh không tồn số tự nhiên n để n + 2018 số phơng Cõu 4: (3,0 điểm) 1) Cho  ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ tam giác ABC tam giác vuông cân A  ABM  ACN a) Chứng minh rằng: MC = BN BN  CM; b) Kẻ AH  BC (H � BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN 2) Cho tam giác ABC vuông cân B Điểm M nằm bên tam giác cho MA: MB: MC = 1: 2: Tính số đo � AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , , a2016 thỏa mãn : 1 1      300 a1 a2 a3 a2016 Chứng minh tồn số 2016 số cho Hết Họ tên thí sinh: SBD: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MƠN : TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm gồm: câu, 04 trang) Câu Đáp án a (1,0đ) 1 Vì x  nên x = x = 2 1 * Với x = A = 2.( )2 – + = 2 1 *Với x = - A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy A = với x = A = với x = - (2,0đ) 2 x  x   b (1,0đ) nên ta có: x  x   x  => x  x   x  => x   => x + = x + = - * Trường hợp 1: x + = => x = * Trường hợp 2: x + = - 5=> x = - Vậy x = - x = a (1,0đ) (2,0đ) Theo ra: 3a  b  c a  3b  c a  b  3c   (1) víi a, b, c kh¸c ta cã a b c 3a  b  c a  3b  c a  b  3c 2  2 2 => a b c 3a  b  c  2a a  3b  c  2b a  b  3c  2c   => a b c abc abc abc   => (2) a b c + NÕu a+ b + c � th× tõ (2) ta cã a = b = c ab bc ca 2c a 2b      222  Khi ®ã P = = c a b c a b + NÕu a + b + c = th× =-b Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a + b = - c; b + c = - a; c + a ab bc ca c a b      1    3 Khi ®ã P = = c a b c a b b (1,0đ) Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) với x nên *) Với x = ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9)  f(1) = f(9)  f( 9) = Suy x = nghiệm đa thức f(x) 0,25 0,25 *) Với x = - ta có : -5 f(-4) = f(4)  f(-4) = Suy x = - nghiệm đa thức f(x) *) Với x = ta có: f(9) = 13 f(17)  f(17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f(17) = 21 f(25)  f(25) = (vì f(17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17; 25 a (1,0đ) Ta có: x - 3y + 2xy = => 2x+ 4xy - 6y = => 2x + 2x.2y - 3.2y - = - => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = => (2x - 3)(1 + 2y) = V× x, y � Z nªn 2x - ; + 2y �Z nªn 2x - ; + 2y Ư(5) Ta có bảng sau 2x -1 -5 + 2y -5 -1 x -1 y -3 -1 V× x, y nguyªn nªn cặp số nguyên thỏa mãn là: (x; y) � (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0)  (2,0đ) b (1,0đ) Giả sử n2 + 2018 số phương với n số tự nhiên Khi ta có n2 + 2018 = m2 (m �N * ) Từ suy : m2 - n2 = 2018  m2 – mn + mn - n2 = 2018  m(m - n) + n(m – n) = 2018  (m + n) (m – n) = 2018 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n) (m – n)  2018 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 + 2018 số phương Vẽ hình phần a 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3,0đ) F a) Xét  AMC  ABN, có: AM = AB (  AMB vng cân) �  BAN � (= 900 + BAC � ) MAC AC = AN (  ACN vuông cân) Suy  AMC =  ABN (c.g.c) => MC = BN ( cạnh t ứng) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Vì  AMC =  ABN (c.g.c) � � � ANI  KCI N D M E A I K B H � (đối đỉnh) mà � AIN  KIC �  KIC � � �  900 � KCI ANI  AIN đó: MC  BN C 0,25 0,25 0,25 b) Kẻ ME  AH E, NF  AH F Gọi D giao điểm MN AH � � = 900 (vì MAB � = 900) (1) - Ta có: BAH  MAE � Lại có MAE (2) � AME = 90 � Từ (1) (2) � � AME  BAH Xét  MAE  ABH, vuông E H, có: � � (chứng minh trên) AME  BAH MA = AB(  AMB vuông cân) Suy  MAE =  ABH (cạnh huyền - góc nhọn) � ME = AH - Chứng minh tương tự ta có  AFN =  CHA (cạnh huyền - góc nhọn) � FN = AH � � (hai góc so le trong) Ta có ME// NF (cùng vng góc với AH)=> EMD  FND Xét  MED  NFD, vng E F, có: ME = NF (= AH) 0,25 0,25 � � EMD  FND �  MED =  NFD( g.c.g) � MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D trung điểm MN 0,25 Vậy AH qua trung điểm MN Theo ra: MA: MB: MC = 1: 2: � Đặt 0,25 MA MB MC   MA MB MC   = a ( a > 0) => MA = a; MB = 2a; MC = 3a Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) => BK= BM = 2a 0,25 Xét  ABK  CBM có: AB = BC (  ABC vuông cân B) � � MBC ABK ( phụ với góc ABM) BM = BK 0,25 Do ABK  CBM  c.g c  suy CM = KA = 3a Xét tam giác vng MBK vng B ta có MK  MB  MK   2a    2a   8a 2 Xét tam giác AMK có AM  MK  a  8a  9a   3a   AK 2 Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông M �� AMK  900 �  900  450  1350 Vậy � => � AMB  � AMK  KMB AMB  1350 0,25 0,25 Giả sử 2016 số cho khơng có số nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016 Vì a1 , a2, a3 , , a2016 số nguyên dương 0,25 nên: a1 �1; a2 �2; a3 �3; , a2016 �2016 1 1 1 Suy ra: a  a  a   a     2016 2016 (1,0đ) 0,25 1 � �1 � �1 1 � �1   �  � �    �  �     � 1024 1025 1026 2016 � �2 � �4 � � 1 1       512  993 512 1024 1 1    22  23   10 210  11  300 2 2 Mâu thuẫn với giả thiết Do điều giả sử sai Vậy 2016 số cho phải có số Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Hết 0,25 0,25 UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn lớp Năm học: 2015 – 2016 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (2,5 điểm) 1) Tìm x, y biết: x4  x + y = 11 7 y 2) Tính giá trị biểu thức: a3(a + b)(a5 – b5)(a2 – b) a = 5, b = 25 3) Tính A = 212.35  46.92  22.3  84.35  510.73  255.492  125.7   59.143 Câu (1,5 điểm) 1) Tìm nghiệm đa thức f(x) = x2 - 2) Cho đa thức f ( x)  ax  bx  c víi a, b, c số nguyờn, v a khỏc Bit vi giá trị nguyên x f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Câu (2,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên a,b cho: 2a + 37 = | b – 45 | + b - 45 a b c   2) Cho a, b, c thoả mãn: Chứng tỏ: 4(a - b)(b - c) = (c – a)2 2014 2015 2016 Câu (3,0 điểm) �  2C � Kẻ AH vng góc với BC( H � < 900 B 1)Cho tam giác ABC có B thuộc BC) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a) Chứng minh DH = DC = DA b) Chứng minh AE = HC 2) Cho tam ABC cân A có góc A 1000 Lấy điểm M thuộc miền tam giác ABC cho góc MCB 200, góc MBC 100 Tính số đo góc AMB Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x  y  z  2336 , với x < y < z Hết HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm trang) Bài Câu Đáp án Điểm thành phần Tổng điểm x4 x y  � 7(x + 4) = 4(7 + y) � 7x = 4y �  7 y 7 x y x  y 11  =  1 11 11 � x = y =7 Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được: Từ 1 = 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25)  3   0,5 0,25 0,75 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).0 = A 1,0 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).(25 – 25) 212.35  46.92 0,5 510.73  255.492  125.7   59.143 10 212.35  212.34 510.73   12 12  9 3   212.34   1 510.73     12    1 59.73   23  10 212.34.2  6  10  12     59.73.9 2 0,25 0,75 0,25 0,25 x2 – = � x2 = � x  �3 0,25 Vậy đa thức có hai nghiệm 3; - f(0) = c M7  c M7 0,25 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25  2( a + c ) M7; cM7  aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7  b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số chẵn với số tự nhiên b  2a + 37 số chẵn  2a số lẻ  a = Với a = ta tìm b = 64 a b b c c  a a b c     Từ = 1 1 2014 2015 2016  (a - b)(b – c) =  c  a 0,25 1,0 0,25 0,5 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25  (a – b) (b - c) = (c - a)2 0,5 1,0 Hình vẽ: A D B H C B’ E �H �1 (1)  BEH cân B nên E �  2C �  2E ��E � C � Ta có B (2) �1  H � (đối đỉnh) Mà H (3) �2  C � �  HDC cân D � DH = Từ (1), (2), (3) suy H DC (4) �  DHA � �2 Khẳng định HAD phụ H �  HDA cân D � DH = DA (5) Từ (4) (5) � DH = DA = DC Lấy B’thuộc BC cho H trung điểm BB’ � ABB ' cân A � � ABB '  � AB ' B  2C � � AB 'C cân B’ � Vậy � Mà � A1  C AB ' B  � A1  C � AB = B C ’ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ’ AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H � AE = HC 0,25 Vẽ tam giác BEM 0,25 +) Chứng minh: ∆MCB = ∆MCE (c-g-c)  Góc MCA = Góc MCE = 200  C,A,E thẳng hàng 0,25  Góc AEM = Góc AME = góc MBC = 100 0,25  Góc AMB = 700 x  y  z  2336 � x   y  x  z  x   25.73 0,25 x Vì  y  x  z  x số lẻ nên  � x   y  x  z  x  73 � y  x  z  x  72 y  x   z  y   23.9 Suy yx  � y  x 3� y  x3538 0,25 0,25 0,25  z  y  � z  y  23 � z  y  � z  y     11 x = ; y = ; z = 11 (TMĐK) 10 0,25 ... thức có hai nghiệm 3; - f(0) = c M7  c M7 0,25 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25  2( a + c ) M7; cM7  aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7  b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số... y  � 7( x + 4) = 4 (7 + y) � 7x = 4y �  7 y 7 x y x  y 11  =  1 11 11 � x = y =7 Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được: Từ 1 = 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25)  3   0,5 0,25 0 ,75 0,25... 510 .73  255.492  125 .7   59.143 10 212.35  212.34 510 .73   12 12  9 3   212.34   1 510 .73     12    1 59 .73   23  10 212.34.2  6  10  12     59 .73 .9 2 0,25 0 ,75