UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn lớp Năm học: 2015 – 2016 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (2,5 điểm) 1) Tìm x, y biết: x+4 = x + y = 11 7+ y 2) Tính giá trị biểu thức: a3(a + b)(a5 – b5)(a2 – b) a = 5, b = 25 3) Tính A = 212.35 − 46.92 ( 22.3) + 84.35 − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 Câu (1,5 điểm) 1) Tìm nghiệm đa thức f(x) = x2 - 2) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c víi a, b, c số nguyờn, v a khỏc Bit với giá trị nguyên x f(x) chia hết cho Chứng minh a, b, c chia hết cho Câu (2,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên a,b cho: 2a + 37 = | b – 45 | + b - 45 a b c = = 2) Cho a, b, c thoả mãn: Chứng tỏ: 4(a - b)(b - c) = (c – a)2 2014 2015 2016 Câu (3,0 điểm) µ = 2C µ Kẻ AH vng góc với BC( H µ < 900 B 1)Cho tam giác ABC có B thuộc BC) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D a) Chứng minh DH = DC = DA b) Chứng minh AE = HC 2) Cho tam ABC cân A có góc A 1000 Lấy điểm M thuộc miền tam giác ABC cho góc MCB 200, góc MBC 100 Tính số đo góc AMB Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 2336 , với x < y < z Hết HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm trang) Bài Câu Đáp án x+4 x y = ⇒ 7(x + 4) = 4(7 + y) ⇒ 7x = 4y ⇒ = 7+ y 7 x y x + y 11 = = = =1 11 11 ⇒ x = y =7 Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được: Từ 1 = 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25) ( 3) + − 1,0 0,5 0,25 0,75 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).0 = A= Tổng điểm 0,5 0,25 = 53(5 + 25)(55 – 255).(25 – 25) 212.35 − 46.9 Điểm thành phần 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 10 212.35 − 212.34 510.73 − = 12 12 − 9 3 + + 212.34 ( − 1) 510.73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59.73 ( + 23 ) 10 212.34.2 ( −6 ) −10 = 12 − = − = 59.73.9 2 0,25 0,75 0,25 0,25 x2 – = ⇒ x2 = ⇒ x = ±3 0,25 Vậy đa thức có hai nghiệm 3; - f(0) = c M7 ⇒ c M7 0,25 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25 ⇒ 2( a + c ) M7; cM7 ⇒ aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7 ⇒ b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số chẵn với số tự nhiên b ⇒ 2a + 37 số chẵn ⇒ 2a số lẻ ⇒ a = Với a = ta tìm b = 64 a −b b −c c − a a b c = = = = Từ = −1 −1 2014 2015 2016 0,25 ⇒ (a - b)(b – c) = ( c − a) 2 1,0 0,25 1,0 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 1,0 ⇔ (a – b) (b - c) = (c - a)2 0,25 Hình vẽ: A D B H C B’ E µ =H µ (1) ∆ BEH cân B nên E µ = 2C µ = 2E µ ⇒E µ =C µ Ta có B (2) µ 1=H µ (đối đỉnh) Mà H (3) µ =C µ ⇒ ∆ HDC cân D ⇒ DH = Từ (1), (2), (3) suy H DC (4) · · µ2 Khẳng định HAD phụ H = DHA ⇒ ∆ HDA cân D ⇒ DH = DA (5) Từ (4) (5) ⇒ DH = DA = DC Lấy B’thuộc BC cho H trung điểm BB’ µ ∆ABB ' cân A ⇒ ·ABB ' = ·AB ' B = 2C µ ⇒ ∆AB 'C cân B’ µ Vậy µA = C Mà ·AB ' B = µA1 + C ⇒ AB = B C ’ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ’ AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H ⇒ AE = HC 0,25 Vẽ tam giác BEM 0,25 +) Chứng minh: ∆MCB = ∆MCE (c-g-c) ⇒ Góc MCA = Góc MCE = 200 ⇒ C,A,E thẳng hàng 0,25 ⇒ Góc AEM = Góc AME = góc MBC = 100 0,25 ⇒ Góc AMB = 700 x + y + z = 2336 ⇒ x ( + y − x + z − x ) = 25.73 0,25 x Vì + y − x + z − x số lẻ nên = ⇒ x = + y − x + z − x = 73 ⇒ y − x + z − x = 72 y − x ( + z − y ) = 23.9 Suy 1+ z− y y−x = ⇒ y − x =3⇒ y = x+3=5+3=8 =9 ⇒ z− y 0,25 0,25 0,25 = ⇒ z − y = ⇒ z = y + = + = 11 x = ; y = ; z = 11 (TMĐK) 0,25 UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = 2x2 – 3x + với x = 2 b) Tìm x, biết: x + x + = x + Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: Tính giá trị biểu thức P = 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c = = a b c a+b b+c c+a + + c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với x Chứng minh f(x) có bốn nghiệm Cõu 3: (2,0 im) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) tháa m·n x - 3y +2xy = b) Chứng minh không tồn số tự nhiên n để n + 2018 số phơng Câu 4: (3,0 điểm) 1) Cho ∆ ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ tam giác ABC tam giác vuông cân A ∆ ABM ∆ ACN a) Chứng minh rằng: MC = BN BN ⊥ CM; b) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN 2) Cho tam giác ABC vuông cân B Điểm M nằm bên tam giác cho MA: MB: MC = 1: 2: Tính số đo ·AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , , a2016 thỏa mãn : 1 1 + + + + = 300 a1 a2 a3 a2016 Chứng minh tồn số 2016 số cho Hết Họ tên thí sinh: SBD: Giám thị 1: Giám thị 2: UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MƠN : TỐN - LỚP (Hướng dẫn chấm gồm: câu, 04 trang) Câu Đáp án a (1,0đ) 1 Vì x = nên x = x = 2 1 * Với x = A = 2.( )2 – + = 2 1 *Với x = - A = 2.(- )2 – 3.(- ) + = 2 1 Vậy A = với x = A = với x = - (2,0đ) 2 b (1,0đ) x + x + > nên ta có: x + x + = x + => x + x + = x + => x + = => x + = x + = - * Trường hợp 1: x + = => x = * Trường hợp 2: x + = - 5=> x = - Vậy x = - x = a (1,0đ) (2,0đ) Theo ra: 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c = = (1) víi a, b, c kh¸c ta cã a b c 3a + b + c a + 3b + c a + b + 3c −2= −2 = −2 => a b c 3a + b + c − 2a a + 3b + c − 2b a + b + 3c − 2c = = => a b c a+b+c a+b+c a+b+c = = => (2) a b c + NÕu a+ b + c ≠ th× tõ (2) ta cã a = b = c a+b b+c c+a 2c 2a 2b + + + + = 2+2+2 = Khi ®ã P = = c a b c a b + NÕu a + b + c = th× =-b Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a + b = - c; b + c = - a; c + a a+b b+c c+a −c −a −b + + + + = −1 − − = −3 Khi ®ã P = = c a b c a b b (1,0đ) Vì đa thức (x - 1) f (x) = (x +4) f(x +8) với x nên *) Với x = ta có: (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(9) ⇒ f(1) = f(9) ⇒ f( 9) = Suy x = nghiệm đa thức f(x) 0,25 0,25 *) Với x = - ta có : -5 f(-4) = f(4) ⇒ f(-4) = Suy x = - nghiệm đa thức f(x) *) Với x = ta có: f(9) = 13 f(17) ⇒ f(17) = (vì f(9) = 0) Suy x = 17 nghiệm đa thức f(x) *) Với x = 17 ta có: 16 f(17) = 21 f(25) ⇒ f(25) = (vì f(17) = 0) Suy x = 25 nghiệm đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có nghiệm ; - 4; 17; 25 a (1,0đ) Ta có: x - 3y + 2xy = => 2x+ 4xy - 6y = => 2x + 2x.2y - 3.2y - = - => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = => (2x - 3)(1 + 2y) = V× x, y ∈ Z nªn 2x - ; + 2y ∈ Z nªn 2x - ; + 2y Ư(5) Ta có bảng sau 2x -1 -5 + 2y -5 -1 x -1 y -3 -1 Vì x, y nguyên nên cỏc cp s nguyờn thỏa mãn là: (x; y) ∈ { (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0) } (2,0đ) b (1,0đ) Giả sử n2 + 2018 số phương với n số tự nhiên Khi ta có n2 + 2018 = m2 (m ∈ N * ) Từ suy : m2 - n2 = 2018 ⇔ m2 – mn + mn - n2 = 2018 ⇔ m(m - n) + n(m – n) = 2018 ⇔ (m + n) (m – n) = 2018 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n) (m – n)  2018 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để n2 + 2018 số phương Vẽ hình phần a a) Xét ∆ AMC ∆ ABN, có: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3,0đ) F N D M E A I K B H C AM = AB ( ∆ AMB vuông cân) · · · (= 900 + BAC ) MAC = BAN AC = AN ( ∆ ACN vuông cân) Suy ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) => MC = BN ( cạnh t ứng) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Vì ∆ AMC = ∆ ABN (c.g.c) · ⇒ ·ANI = KCI · mà ·AIN = KIC (đối đỉnh) · · · ⇒ KCI + KIC = ·ANI + AIN = 900 đó: MC ⊥ BN 0,25 0,25 0,25 b) Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥ AH F Gọi D giao điểm MN AH · · · - Ta có: BAH = 900 (vì MAB = 900) (1) + MAE · Lại có MAE (2) + ·AME = 90 · Từ (1) (2) ⇒ ·AME = BAH Xét ∆ MAE ∆ ABH, vuông E H, có: ·AME = BAH · (chứng minh trên) MA = AB( ∆ AMB vuông cân) Suy ∆ MAE = ∆ ABH (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ ME = AH - Chứng minh tương tự ta có ∆ AFN = ∆ CHA (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ FN = AH · · Ta có ME// NF (cùng vng góc với AH)=> EMD (hai góc so le trong) = FND Xét ∆ MED ∆ NFD, vng E F, có: ME = NF (= AH) 0,25 0,25 · · EMD = FND ⇒ ∆ MED = ∆ NFD( g.c.g) ⇒ MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D trung điểm MN 0,25 Vậy AH qua trung điểm MN Theo ra: MA: MB: MC = 1: 2: ⇒ Đặt 0,25 MA MB MC = = MA MB MC = = = a ( a > 0) => MA = a; MB = 2a; MC = 3a Vẽ tam giác MBK vuông cân B ( K A nằm phía BM) => BK= BM = 2a Xét ∆ ABK ∆ CBM có: 0,25 0,25 AB = BC ( ∆ ABC vuông cân B) · MBC = ·ABK ( phụ với góc ABM) BM = BK Do ∆ABK = ∆CBM ( c.g c ) suy CM = KA = 3a Xét tam giác vng MBK vng B ta có MK = MB + MK = ( 2a ) + ( 2a ) = 8a 2 Xét tam giác AMK có AM + MK = a + 8a = 9a = ( 3a ) = AK 2 Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông M ⇒ ·AMK = 900 · => ·AMB = ·AMK + KMB = 900 + 450 = 1350 Vậy ·AMB = 1350 0,25 0,25 Giả sử 2016 số cho khơng có số nhau, khơng tính tổng quát ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016 Vì a1 , a2, a3 , , a2016 số nguyên dương 0,25 nên: a1 ≥ 1; a2 ≥ 2; a3 ≥ 3; , a2016 ≥ 2016 1 1 1 Suy ra: a + a + a + + a < + + + 2016 2016 (1,0đ) 0,25 1  1 1 1 1 1  = +  + ÷+  + + + ÷+ +  + + + + ÷ 2016   3  7  1024 1025 1026 1 1 < + + + + + 512 + 993 512 1024 1 1 < + + 22 + 23 + + 10 210 = 11 < 300 2 2 Mâu thuẫn với giả thiết Do điều giả sử sai Vậy 2016 số cho phải có số Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Hết 10 0,25 0,25 ... M7 ⇒ c M7 0,25 0,25 f(1) = a + b + c M7 ; f(-1) = a – b +c M7 0,25 ⇒ 2( a + c ) M7; cM7 ⇒ aM7 0,25 a + b + c M7, c M7, aM7 ⇒ b M7 Có | b – 45 | + ( b – 45 ) số chẵn với số tự nhiên b ⇒ 2a + 37. .. 510 .73 − 255.492 ( 125 .7 ) + 59.143 10 212.35 − 212.34 510 .73 − = 12 12 − 9 3 + + 212.34 ( − 1) 510 .73 ( − ) = 12 − ( + 1) 59 .73 ( + 23 ) 10 212.34.2 ( −6 ) −10 = 12 − = − = 59 .73 .9 2 0,25 0 ,75 ... = ⇒ 7( x + 4) = 4 (7 + y) ⇒ 7x = 4y ⇒ = 7+ y 7 x y x + y 11 = = = =1 11 11 ⇒ x = y =7 Thay a = 5, b = 25 vào biểu thức ta được: Từ 1 = 53(5 + 25)(55 – 255)(52 – 25) ( 3) + − 1,0 0,5 0,25 0 ,75 0,25