ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20 – 20 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu a Chứng minh rằng: 1 1 1 < + + + + < 65 40 2004 b Cho A = 2009 Chøng minh r»ng ba sè : 2A - ; 2A ; 2A + số phơng Câu Cho f(x) hàm số xác định với x ≠ thỏa mãn: a f (1)= 1; x b f ( ) = f(x) với x ≠ 0; x2 c f (x1+x2) = f(x1) + f(x2) với x1, x2 ≠ x1 + x2 ≠ 5 Chứng minh : f   = 7 Câu a Cho Chøng minh r»ng: ( abc ≠ mẫu số khác không) b Tỡm mt s có ba chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ vi 1:2:3 Cõu Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia ®èi tia MA lÊy ®iĨm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chøng minh: AE = BC Câu Cho tam giác ABC, I giao điểm tia phân giác góc B góc C, M trung điểm BC Biết góc BIM = 90 BI = IM a Tính góc BAC; b Vẽ IH ⊥ AC Chứng minh BA = IH Lưu ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ! HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MƠN : TỐN A Hướng dẫn chung - Hướng dẫn chấm trình bày tóm tắt lời giải theo cách, thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo thống biểu điểm hướng dẫn điểm - Với ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, cần thiết giám khảo thống để chia nhỏ thang điểm - Thí sinh làm đến đâu, giám khảo vận dụng cho điểm đến - Điểm toàn tổng điểm thành phần, khơng làm tròn B Đáp án biểu điểm Bài Hướng dẫn giải 1a Thang điểm 0.5 Đặt Xét tương tự ta có Tính VT BDT, ta có: Ta có: Phần lớn hơn, làm tương tự Xét 1b Ta cã 2A chia hÕt cho nhng 2A không chia hết 2A không sè chÝnh ph¬ng 2A - = ( 2A - 3) + ⇒ 2A - chia cho d 2A - không số phơng Giả sử 2A + = k2 , k số nguyên lẻ 2A = k2 - = (k 1)(k + 1) 4 (V× k - k + hai số chẵn liên tiếp nªn (k - 1)(k + 1) chia hÕt cho 4) Vô lý Vậy 2A + không số ph¬ng VËy sè 2A - 1, 2A, 2A + không số phơng Theo a); c) : f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = Theo b) cách phân tích f(7) ta có : f( ) = 1 f(7) = = 7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ áp dụng c) ta được: 1 1 1 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = + 7 7 2 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = 7 7 3 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = 7 7 3a = 7 + = 7 + = 7 0.5 0.5 0.5 Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 0.5 = (1) 0.5 (2) = = Tõ (1), (2), (3) suy ra: 9a 9b 9c = = ⇒ x + y + z 2x + y − z 4x − y + z a b c = = ⇒ x + y + z 2x + y − z 4x − y + z 3b 4x − y + z 9c (3) 2x + y − z 4x − y + z = 9b 9c 0.5 0.5 Số x cần tìm chia hết cho 18= 2; mà (9;2) = nên x chia hết cho 0.5 x chia hết cho Gọi chữ số x a; b; c a b c a+b+c 0.5 Theo giả thiết: = = = (1) Vì x chia hết a+b+c 9 , mà ≤ a+b+c ≤ 27, a+b+c nhận ba giá trị : 9; 18 ; 27 Kết hợp với (1) ta có a+b+c = 18 0.5 Do a= 3; b= 2.3 = 6, c= 3.3 = 0.5 Vì x phải chia hết x = 396 936 E F I A B H C M D Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID ⊥ AC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) Tõ (1) vµ (2) => ∆ CAI = ∆ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (2) (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phơ ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆ AFE = ∆ CAB =>AE = BC A H k B K I l j M a C Theo ra: BI= IM, lấy K trung điểm BI Ta có ∆ KIM 1.5 vng cân, IMK = 450, KM đường TB ∆ BIC, KM// IC CIM = IMK = 450 Suy BIC = 1350, B1+C1= 450, B+ C = 900 b Vậy BAC =900 Gọi E giao điểm BI AC Ta có BIC = 1350 nên CIE = 450 Do ∆ CIE = ∆ CIM (g.c.g) nên IE = IM Do BK = KI= IE Từ dễ dàng chứng minh BA = IH 1.5 Tổng điểm 20 PHỊNG GD&ĐT o0o -ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20-20 Mơn: Tốn (Thời gian: 120phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài 1(4 điểm) a/ Tính: 3 − + 11 13 A= 5 − + 11 13 + 1 − + 5 − + b/ Cho số x,y,z số khác thỏa mãn điều kiện: y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z Hãy tính giá trị biểu thức:  x  y  z  B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y  z  x   Bài (4điểm) + y+ + x + xz = b/ CMR: Với n nguyên dương 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 a/ Tìm x,y,z biết: x− Bài (4 điểm) Một thảo sách dày 555 trang giao cho người đánh máy Để đánh máy trang người thứ cần phút, người thứ cần phút, người thứ cần phút Hỏi người đánh máy trang thảo, biết người làm từ đầu đến đánh máy xong Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME=MA Chứng minh rằng: a/ AC=EB AC // BE b/ Gọi I điểm AC, K điểm EB cho : AI=EK Chứng minh: I, M, K thẳng hàng c/ Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC) Biết góc HBE 500; góc MEB 250, tính góc HEM BME ? Bài 5(2điểm): Tìm x, y ∈ N biết: 36 − y = ( x − 2010 ) Híng dÉn chÊm Bµi ý a ®iĨm b Nội dung 3 1 3 − +  1 x135   − + − + − +  11 13  + 4 11 13 + 4 x11x13 + = + 5 5 5 x129 1 1  51 1 − + − + 5 − +   − +  11 13  11 13    x11x13 x135 x11x13 189 189 x5 + 172 x 1289 x + = = + = = x11x13 x129 172 172 x5 860 y+ z−x z+x− y x+ y−z y+z z+x x+ y = = ⇒ −1 = −1 = −1 Ta có: x y z x y z y + z z + x x + y 2( x + y + z) ⇒ = = = =2 x y z x+ y+z x+ y y+z z+x  x  y  z  ⇒ B =  + ÷1 + ÷ + ÷ = y z x y  z  x   x+ y z+x y+z = = 2.2.2 = z y x Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy B=8 a 2 + y+ + x + xz = Áp dụng tính chất A ≥ x−   x− =0 x − =    2  ⇒ y + = ⇒ y + = 3    x + xz = x ( x + z ) =     điểm b  x =   ⇒ y = −   z = −x = −  Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 Ta có: 3n + − 2n+ + 3n − 2n = (3n+ + 3n ) − (2n+ + 2n ) = 3n ( 32 + 1) − 2n ( 2 + 1) = 3n 10 − 2n = 10.(3n – 2n-1) Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với n nguyên dương Suy điều phải chứng minh 4điểm 0,25 1,5 0,25 0,75 0,5 0,5 0,25 Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ đánh máy 0,5 theo thứ tự x,y,z Trong thời gian, số trang sách người đánh tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong trang; tức số trang 1,0 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 1 Do ta có: x : y : z = : : = 12 :15 :10 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+ y+z 555 = = = = = 15 12 15 10 12 + 15 + 10 37 0,75 0,75 ⇒ x = 180; y = 225; z = 150 0,75 A Vậy số trang sách người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh là: 180, 225, 150 I a (2 điểm) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) · góc ·AMC góc EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) M B C H K E 0,75 0,25 ⇒ AC = EB Vì ∆AMC = ∆EMB b điểm c 0,5 => Góc MAC góc MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 (2 điểm) Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) · · = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) MAI AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · Suy ·AMI = EMK · Mà ·AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng (1,5 điểm ) µ = 90o ) có HBE · Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o ⇒ HBE (1.0đ) · · · = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o ⇒ HEM · góc ngồi đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) Ta có: 36 − y = ( x − 2010 ) ⇒ y + ( x − 2010 ) = 36 0,25 Vì y ≥ ⇒ ( x − 2010 ) ≤ 36 ⇒ ( x − 2010) ≤ 36 Vì ≤ ( x − 2010)2 x ∈ N , ( x − 2010 ) số phương nên ⇒ ( x − 2010) = ( x − 2010)2 = ( x − 2010) = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2 điểm  x = 2012 + Với ( x − 2010) = ⇒ x − 2010 = ⇒   x = 2008 0,5 y = ⇒ y2 = ⇒   y = −2 (loai ) + Với ( x − 2010)2 = ⇒ y = 36 − = 28 (loại) 0,25 0,25 y = + Với ( x − 2010)2 = ⇒ x = 2010 y = 36 ⇔   y = −6 (loai) Vậy ( x, y) = (2012; 2); (2008; 2); (2010; 6) Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN THI: TỐN NĂM HỌC 20-2 Thời gian làm bài:150 phút Câu 1: ( điểm) Tính: 5.415.99 − 4.320.89 a) A = ; 5.210.619 − 7.2 29.27   −1    b) B = ( 0,1)  +  ÷  ( 22 ) : 25       49 Câu 2: ( điểm) a) Tìm số a, b, c biết: 2a = 3b, 5b = 7c 3a - 7b + 5c = -30 b) Cho tỉ lệ thức a c 5a + 3b 5c + 3d = Chứng minh : = b d 5a − 3b 5c − 3d Câu 3: ( điểm) Tìm số x thỏa mãn: a) x − 2012 + x − 2013 = 2014 x−3 2 b) + = 24 − 4 − (2 − 1)  Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng · · c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Biết HBE = 50o ; MEB =25o · · Tính HEM BME Câu 5: (2,0 điểm) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = .Hết Câu Đáp án a) A 5.4 − 4.3 − 10 19 29 = 5.2 − 7.2 27 5.210.219.319 − 7.2 29.33.6 29.318 5.2 − 32 = 29 18 ( − ) 10 − = = 15 − 15 20 2.15 ( (4đ) b) B = + 49 20 3.9 ) ( 26 : 25 ) 49 = + = a b a b = (1) 21 14 b c b c 5b = 7c ⇒ = ⇒ = (2) 14 10 a) Vì 2a = 3b ⇒ = ⇒ Điểm 0,5 0,5 1 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy ra: a b c 3a 7b 5c 3a − 7b + 5c = = = = = = 21 14 10 63 98 50 63 − 98 + 50 a b c −30 ⇒ = = = = −2 21 14 10 15 (4đ) ⇒ a = −42, b = −28, c = −20 a c b) Đặt = = k ⇒ a = kb, c = kd b d 5a + 3b b(5k + 3) 5k + Suy : 5a − 3b = b(5k − 3) = 5k − 5c + 3d d (5k + 3) 5k + = = 5c − 3d d (5k − 3) 5k − 5a + 3b 5c + 3d = Vậy 5a − 3b 5c − 3d a) Nếu x ≤ 2012 từ (1) suy : 2012 – x + 2013 – x = 2014 ⇒ x = (4đ) 2011 ( thỏa mãn điều kiện) Nếu 2012 ≤ x < 2013 từ (1) suy : x – 2012 + 2013 – x = 2014 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 hay = 2014 (loại) Nếu x ≥ 2013 từ (1) suy : x – 2012 + x – 2013 = 2014 ⇒ x = 6039 ( thỏa mãn điều kiện) 0,5 2011 6039 2 x-3 x-3 b)3 + = 24 - [16 - (4 - 1)] ⇔ + = 24 - [16 - ] ⇔ + 2x-3 = 24 - 13 ⇔ + 2x-3 = 11 ⇔ 2x-3 = = 23 ⇔ x - = ⇔ x = Vậy x = 0,5 Vậy giá trị x : 0,5 0,5 0,5 0,5 Vẽ hình A I M B C H K E a) Xét ∆AMC ∆EMB có : AM = EM (gt ) ·AMC = EMB · (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c ) · · = MEB ⇒ MAC Suy AC // BE (có góc có vị trí so le nhau) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 b)Xét ∆AMI ∆EMK có : AM = EM (gt ) (6đ) MAI · · = MEK ( ∆AMC = ∆EMB ) AI = EK (gt ) Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) · · Suy ·AMI = EMK Mà ·AMI + IME = 180o ( hai góc kề bù ) · · ⇒ EMK + IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 µ = 90o ) có HBE · c) Trong tam giác vng BHE ( H = 50o · · = 90o - HBE = 90o - 50o =40o ⇒ HEB · · · = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o ⇒ HEM · góc ngồi đỉnh M ∆HEM BME · · · Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) x( y + 3) – ( y +3) = (2đ) (x -1)( y + 3) =  x − = ±1  x − = ±3 ;   y + = ±3  y + = ±1 Các cặp ( x;y) là: ( 2;0), ( 0;-6), ( 4;-2), (-2;-4) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ... f( + ) = f( )+f( ) = + 7 7 2 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = 7 7 3 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = 7 7 3a = 7 + = 7 + = 7 0.5 0.5 0.5 Tõ gi¶ thi t suy ra: 0.5 = (1) 0.5 (2) = = Tõ (1), (2), (3) suy ra:... (2010; 6) Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp 77 tài nguyên giáo dục 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN THI: TỐN NĂM HỌC 20-2 Thời... f (7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = Theo b) cách phân tích f (7) ta có : f( ) = 1 f (7) = = 7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ áp dụng c) ta được: 1 1 1 f( ) = f( + ) = f( )+f( ) = + 7 7