Một số phương pháp giải toán cực trò đại số PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Mục tiêu môn Toán trường THCS nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức phổ thông thiết thực, hình thành rèn luyện kỹ giải toán ứng dụng vào thực tế , rèn luyện khả suy luận hợp lý,sử dụng ngôn ngữ xác , bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu , phương pháp dạy học giai đoạn tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, rèn luyện khả tự học , tự phát giải vấn đề học sinh nhằm hình thành phát triển học sinh phẩm chất tư cần thiết Toán học môn khoa học đòi hỏi tư cao độ người dạy, người học người nghiên cứu Qua việc dạy học toán, người rèn luyện lực phân tích, tổng hợp, tư linh hoạt khả sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết người lao động thời đại Muốn học giỏi toán , học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức phải học giải toán Học giải toán cách tư sáng tạo toán, đồng thời vấn đề trừu tượng khó học sinh, lại điều cần thiết cho học sinh trình học toán trường THCS.Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy học toán, người thầy giáo cần truyền cho học sinh ham thích giải toán , phương pháp , kỹ ứng dụng dạng loại toán Cơ sở thực tế: - Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung , bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng phát động sôi tất trường , nhằm phát bồi dưỡng học sinh có lực tư linh hoạt sáng tạo , tạo nguồn nhân lực tốt cho công xây dựng đất nước Đây nhiệm vụ quan trọng không phần khó khăn, vì: + Lòng say mê, tìm tòi ý thức nghiên cứu nhiều giáo viên thiếu yếu + Tài liệu giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh THCS thư viện trường tủ sách cá nhân giáo viên + Đối tượng học sinh chọn bồi dưỡng , có trình độ không đồng đều, phần lớn không đáp ứng nội dung chương trình bồi dưỡng NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số -Bài toán “Tìm cực trò biểu thức “ thường có đề thi học sinh giỏi lớp 8,9 thi tuyển vào lớp 10 năm gần Ngòai ra, toán cực trò ứng dụng rộng rãi việc giải số dạng toán khác Nhiều học sinh dự thi học sinh giỏi toán , “rất ngại” phải “chạm trán” với toán cực trò Nguyên nhân chủ quan em không đònh hướng cách giải, nguyên nhân khách quan tính đa dạng toán cực trò Trong kiến thức mà em lónh hội chương trình đại trà lại sơ sài, với bất đẳng thức Côsi , bất đẳng thức chứa dấu giá trò tuyệt đối tập sách tập tóan lớp 7,8,9 - Qua thực tế giảng dạy với cố gắng tìm tòi , tham khảo tài liệu liên quan, nêu “Một số phương pháp giải toán cực trò đại số”, nhằm với bạn đồng nghiệp xây dựng hệ thống phương pháp giải tóan cực trò đại số , loại toán tương đối khó với nhiều học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học II NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Tên đề tài: “ Một số phương pháp giải toán cực trò đại số” Nhiệm vụ: - Đưa số sai lầm học sinh thường gặp giải toán cực trò - Nêu số phương pháp giải toán cực trò đại số (có ví dụ minh họa cho phương pháp), phù hợp với đối tượng học sinh THCS - Một số ứng dụng toán cực trò đại số vào việc giải dạng toán khác III PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Dựa vào: Căn đề thi làm học sinh dự thi học sinh giỏi toán cấp , thi tuyển vào lớp 10 để tìm sai sót học sinh thường mắc phải - Căn vào thực tế giảng dạy giáo viên môn toán bậc THCS đơn vò trường trường bạn Dựa vào giáo trình phương pháp dạy học toán tài liệu bồi dưỡng nâng cao môn toán IV CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH: - Cơ sở : NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số + Những hạn chế học sinh trình giải Toán, thường gặp lớp bồi dưỡng học sinh giỏi + Bài làm học sinh kỳ thi học sinh giỏi , thi tuyển vào lớp 10 + Các tài liệu nâng cao Toán - Đối tượng: Học sinh lớp 8,9 - Thời gian tiến hành: Từ năm 2005 đến 2008 PHẦN II : NỘI DUNG I) MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI: * Khi giảng dạy chuyên đề cực trò, GV thường trang bò cho HS đònh nghóa mở đầu sau : Cho biểu thức f(x,y,…)xác đònh miền D Ta nói: a/ M GTLN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…)≤ M , với M số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…)=M b/ m GTNN f(x,y,…) D hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x,y,… thuộc D f(x,y,…)≥ m , với m số - Tồn xo,yo,… thuộc D cho f(xo,yo,…)=m * Tuy vậy, qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh thường không vận dụng đònh nghóa vào việc tìm cực trò biểu thức hay mắc số sai lầm sau: 1/ Với toán tìm cực trò biểu thức có điều kiện ràng buộc biến , học sinh thường kết luận GTLN , GTNN biểu thức mà không để ý đến điều kiện ràng buộc đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 3x + với x ≥ NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số 9 � � 11 HS giaûi: A = x – 3x + = (x – 3x + )+ - = �x  � ≥ 4 � 2� 2 11 11 x = x= không thỏa mãn điều kiện x Vậy A = Phân tích sai lầm: ≥2 � � 11 Lời giải đúng: A = �x  � � 2� � 3� Với x ≥ �x  �� � A ≥ � 2� Vaäy A = x = 2/ Khi tìm cực trò biểu thức f(x,y,…) cách biến đổi f(x,y,…)≥g(x,y,…) ≥m f(x,y,…)≤g(x,y,…)≤M , học sinh thường không quan tâm đến xảy đồng thời dấu có bất đẳng thức: Ví dụ 2: Tìm GTNN f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x HS giaûi: f(x,y) = x2 – 4xy + 4y2 + 2x2 – 4x + + x2 + x – = (x – 2y) + 2(x - 1)2 + x2 + x – ≥ x2 + x – x (1) � 1� Vì g(x) = x + x – = �x  � � (2) x = � 2� Nên f(x,y) có GTNN - x = - vaø x - 2y 2 =  y= - Phân tích sai lầm: Dấu xảy (1) x = 2y x=1 Dấu xảy (2) x = - Hai dấu “=” xảy không đồng thời nên GTNN g(x) GTNN f(x,y) Vậy theo cách không tìm GTNN f(x,y) Lời giải đúng: f(x,y) = 4x2 + 4y2 – 4xy – 3x = 4y2 – 4xy + x2 + 3(x2 - x) = (2y - x) NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang � 1� + �x  � ≥ � 2� - Một số phương pháp giải toán cực trò đại số x ,y= = 2 1 Vậy GTNN f(x,y) - x= , y= 4 Đẳng thức xảy x = 3/ Khi HS chứng minh f(x,y,…)≥g(x,y,…) f(x,y, …)≤g(x,y,…), thấy thuận lợi vội vàng kết luận GTNN,GTLN chưa chứng minh f(x,y,…)≥ m f(x,y,…)≤ M Ví dụ 3: Tìm GTNN A = x2 + y2 bieát x + y = HS giải: Ta có A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ  x2 + y2 = 2xy  x = y = (do x + y = ) Khi A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Kết không sai lập luận mắc sai lầm Hs chứng minh f(x,y)≥g(x,y) chưa CM f(x,y,…)≥ m với m số Lời giải đúng: Ta có x + y =  x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Ta laïi coù (x - y) ≥ x,y  x2 - 2xy + y2≥ (2) Từ (1) (2): 2(x2 + y2) ≥ 16  x2 + y2 ≥ Vaäy A =  x = y = 4/ Khi tìm cực trò phân thức mà tử thức mẫu thức dương HS thường máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên Ví dụ 4: Với giá trò x A = nhỏ HS giải: A nhỏ Đặt t = x   x 1 x  đạt giá trò  x  x đạt giá trò lớn , ta coù : t(1-t) = - t + t = - (t2 – t) = - 1� �2 t  t   �= � 4� � � � � 1� t  � � với t > vaø t  = � � � � 4� � 2 � � � 1� � 1�  t   Ta thấy � t  � nhỏ � � �lớn � � � 4� � � 2� nhất, NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số t= x= hay x = 1  x = ; A = Vaäy A = Phân tích sai lầm: Với x > x  mẫu thức A dương , ta không lý luận “A nhỏ x  x đạt giá trò lớn Lời giải đúng:   A GTNN Thật vậy, A <  x > nên giả sử A có GTNN x = xo xo >1 Khi : xét xo > x1>1 xo  x1  � xo2  x12  xo  x1 �  xo  xo    x1  x1      xo  xo  x1  x1  � � A(x ) > A(x ) o Điều mâu thuẫn với giả thiết A(x o) GTNN A Vậy A GTNN 5/ Thiếu linh hoạt sáng tạo trình biến đổi, áp dụng bất đẳng thức cách cứng nhắc máy móc dẫn đến bế tắc trình tìm cực trò biểu thức , chẳng hạn chứng tỏ f(x,y,…)≤ M f(x,y,…)≥ m (M,m R) song không tồn giá trò (xo,yo,…) cho f(xo,yo,…)=M f(xo,yo,…)=m � 1� � 1� � �  �   y  �  �trong x,y Ví dụ 5: Tìm GTNN B =   x  � y x � � số dương thỏa mãn x + y = (Thi HSG toán lớp 9-tỉnh Bình Đònh – Năm học 20042005 2006-2007) � x�� y�   x  � � 1  y  � HS giaûi: B = � y�� x x� � y � 1�� � �x y� =  �x  � �y  � �  � � x � � y � �y x � x Vì x,y > neân x  �2 , y  x y �2 ,  �2 y y x (Bất đẳng thức tổng hai số nghòch đảo) Suy B≥ 8, dấu “=” xảy x=y=1 Kết hợp với điều kiện x2 + y2 = x,y không tồn Do có hai xu hướng xảy ra: - Bế tắc trình tìm minB NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số - Min B không tồn Phân tích sai lầm:Thiếu linh hoạt trình biến đổi chưa tận dụng giả thiết x2 + y2 = Lời giải đúng: � x�� y�   x  � � 1  y  � B= � y�� x x� � y � �� � �x y � �1 1� = �x  � �y  � �  � �  � � x � � y � �y x � �x y � Vì x,y ≥ nên áp dụng BĐT Côsi ta có: x  y � , 2x x y � ,  �2 2y y x Vaø �1 � �  (Vì x2 + y2 = 1)  B ≥ + �  �� �x y � xy x  y2 Do minB = +  x = y = 2 * Để hạn chế sai lầm , GV cần trang bò cho HS kiến thức GTLN-GTNN biểu thức, phương pháp thường sử dụng để tìm GTLN-GTNN biểu thức II) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1/ LÝ THUYẾT:  Cần củng cố đònh nghóa GTLN,GTNN biểu thức: �f ( x, y , ) �m, (m �R ) ( xo , yo , ) saocho : f ( xo , yo , )  m � a) f(x,y,…) = m  � �f ( x, y , ) �M , ( M �R) ( xo , yo , ) saocho : f ( xo , yo , )  M � b) max f(x,y,…) =M  �  , A=0 Kiến thức bổ trợ: + BĐT bản: A2 ≥ , A  A2 = ,khi A=0 -A ≤ , A  max (-A2) = Suy ra: (A - B)2≥ (1)  A2 + B2 ≥ 2AB (2) (4) ↕ (3) 4AB ≤ (A + B)2 ≤ 2(A2 + B2) ↕  NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số 1  � (5) A B A B 2 (A1+A2+ +An)2 ≤ n  A1  A2   An  , …(6) Với BĐT (1), ,(5): dấu “=” (6):dấu “=” xảy xảy A1=A2= =An + Các BĐT khác: BĐT Côsi: Nếu a1,a2,…,an ≥ thì: a1  a2   an n � a1.a2 an n BĐT A = B (đẳng thức xảy a = a2 =…=an) BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: Cho hai dãy số thực a 1,a2, …,an ; b1,b2,…,bn (a1b1 + a2b2 +… + anbn )2 ≤ a  a22   an2  b  b22   bn2  (đẳng thức xảy khi: a a1 a2    n ) b1 b2 bn BĐT chứa dấu giá trò tuyệt đối: a  b �a  b (đẳng thức xảy ab≥0) a  b �a  b (đẳng thức xảy ab≥0 a �b ) BĐT Trê-bư-sép: Cho hai dãy thứ tự giống nhau: a ≤ a2 ≤…≤an ; b1≤b2≤…≤bn : (a + a2 +…+an)( b1 + b2 +…+ bn)≤ n(a1b1 + a2b2 +… + anbn) đẳng thức xảy a = a2 =…=an, b1 = b2 =…= bn …………………… 2/ PHƯƠNG PHÁP: a) Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  Phương pháp: -Cho A = f(x) có miền xác đònh D Để tìm GTLN GTNN A ta sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh f(x) � M f(x) ≥ m, từ suy GTLN GTNN A - Đây phương pháp thường sử dụng , nhiều bất đẳng thức học sinh học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” ứng dụng rộng rãi nhiều dạng loại toán , đặc biệt dạng toán tìm cực trò Khi sử dụng bất đẳng thức biết ta cần lưu ý điều kiện để bất đẳng thức trở thành đẳng thức NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số *Các bất đẳng thức thường dùng : Bất đẳng thức Cô-si hệ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Bất đẳng thức giá trò tuyệt đối ,  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ : Với a,b,c số dương, tìm GTNN biểu thức: � a � � b � � c � 1 � 1 � 1 � P= � � � � 5b � � 5c � � 5a � (Thi HSG lớp – huyện Phù Mỹ- năm học 20022003) Hướng dẫn: Thực phép nhân biểu thức ta được: �a b c � �a b c � P=  �   � �   � �b c a � 25 �c a b � 125 a b c a b c Ta thấy tổng     có dạng hóan vò b c a c a b vòng quanh tích số hạng ta sử dụng BĐT Cô si để khử biến, đó: 1 216 216  P ≥     P =  a=b=c 25 125 125 125 Ví dụ : Cho 3x – 4y = Tìm GTNN S = 3x2 + 4y2 Hướng dẫn : Khi tìm cực trò biểu thức có điều kiện ràng buộc biến , ta thường sử dụng hợp lý BĐT biết để ghép điều kiện vào biểu thức cần tìm cực trò S = 3.x2 + y2 = ( 3.x)  ( 2 y) 3x – 4y = 3.x  ( 2).2 y Do ta áp dụng BĐT Bu nhi a côpxki cho số : 3, 3.x, (2), y Giải : Theo BĐT Bu-nhi-a-cốpxki , ta coù : 2 � ( 3).( 3.x)  ( 2).(2 y ) � � � �(3  4)(3 x  y )  49 S  S � 3.x y  � 2 � Dấu đẳng thức xảy : � � 3x  y  � �x  � �y  1 Vaäy Min S =  x = , y = -1 Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0, z > vaø x2007 + y2007 + z2007 = Tìm GTLN : E = x2 + y2 + z2 Hướng dẫn : Ta thấy x2 = 2007 x 2007 x 2007 , để sử dụng giả thiết x2007 + y2007 + z2007 = , ta áp dụng BĐT Cô-si để hạ bậc biểu thức điều kiện sử dụng quy tắc cộng BĐT chiều Giải : p dụng BĐT Cô-si cho 2005số hai số x2007 , ta có : NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang Một số phương pháp giải toán cực trò đại số    x 2007  x 2007 2007 2007 2007 2005  x 2007  � x x �x 2007 2007 2007 2007 2005  y 2005  z Tương tự �y ; �z 2007 2007 3.2005  2( x 2007  y 2007  z 2007 ) � E = x + y2 + z � 3 2007 Vaäy Max E =  x = y = z =  Baøi tập tham khảo:  Cho x1,x2 hai nghiệm phương trình : 2x + 2mx + m2 - = Tìm GTLN A = x1.x2  x1  x2  (Thi HSG lớp – TP Hồ Chí Minh – năm học 2003-2004) �a  b  c  x  Cho a , b , c ,x thoaû � 2 2 �a  b  c  x  Tìm GTLN GTNN x ?  b) Phương pháp 2: VÀO TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẦN CÁC BIẾN BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG  Phương pháp: - Sử dụng đẳng thức (a  b)2 ; (a  b  c)2, … phương pháp tách hạng tử , thêm- bớt hạng tử để đưa dần biến vào bình phương tổng, đưa biểu thức cho dạng A2+B2+ + m để suy GTNN -A -B2 - + M để suy GTLN biểu thức - Phương pháp thường sử dụng để tìm cực trò đa thức bậc hai Khi sử dụng phương pháp cần lưu ý điều kiện xảy đồng thời biến để A = 0, B = 0,  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1: Tìm giá trò nhỏ biểu thức A = (x + 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = 2(x – 1)2 + �8 Vaäy Min A = x = Ví dụ2: Tìm giá trò lớn B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – Hướng daãn: B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – = - (x + y – 3)2 – 4(x – 1)2 – (y – 2)2 + 16 �16 Vaäy Max B = 16 x= 1; y = Ví dụ3: Tìm gia trò nhỏ C= x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy Hướng dẫn: C= x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz = (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2 = (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ Vaäy Min C = x = y = z = Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ D = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2008 Hướng dẫn: 4D = 4x2 +4 xy + 4y2 – 12x – 12y + 8032 NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 10 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số +/ Nếu yo =  (1) � x = Vậy yo = thuộc miền giá trò f(x) (2) +/ Nếu yo � (1) có nghiệm  = - yo2 + yo + �0 � ( yo- 5) (yo + 1) �0 � -1 �yo �5 (y �1) Với yo = -1 , từ (1) � x   ; yo  � x  (3) Từ (2) vaø (3) suy ra: Min y = -1 x = - ; Max y = 2 Ví dụ : Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – = (1) Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = -2x + y + (2) Hướng dẫn : Để thành lập phương trình có ẩn x y P tham số ,ta cần rút x y phương trình (2) vào phương trình (1) nhằm khử bớt ẩn , đơn giản ta nên rút y y = 2x + P -  36x2 + 16(2x + P - 5)2 – =  100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – = (3) 15 25 �P � (3) có nghiệm với ẩn x  ’ ≥  576 (P - 5)2 ≤ 900  4 15 Với P= : Từ (3)  x = ; (2)  y =  20 25 P= x= ;y= 20 25 15 Vaäy max P= (x,y) = (; ) , P = (x,y) = ( ; 20  ) 20 1 x  Ví dụ 3: Tìm GTLN GTNN biểu thức : C = x  2 Hướng dẫn : Điều kiện : �x �1 Đặt z = x , y =  x z2 + y2 = (1) Ta cần tìm GTLN , GTNN d = 4z + 3y với 2C = d + Điều kiện : �z, y �1 < d < Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta : 25z2 – 8dz + d2 – = Để phương trình có nghiệm z ’ �0 � d2 �25 � d �5 4d 16  � x  z2  + GTLN d � GTLN C ,khi z = 25 25 (thoaû) + d = 4z + 3y �2 12 yz Đẳng thức xaûy 4z = 3y Thay vào (1) ta z  ; y  � x  (thỏa) 5 25 x NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 12 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số Khi GTNN d 59 24 � GTNN C laø 12  10 5  Bài tập tham khảo: x2  x   Tìm GTLN GTNN biểu thức : P = x  x  10 x  2y 1  Tìm GTLN GTNN biểu thức : Q = x  y2  d) Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP XÉT BIỂU THỨC PHỤ  Phương pháp:: Khi tìm cực trò biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trò điều kiện tương đương biểu thức khác đạt cực trò việc tìm cực trò biểu thức sau đơn giản Để tìm cực trò A , ta xét biểu thức phụ khác :-A; ; A2 ; A biểu thức B sai khác với A số A Ví dụ : -A lớn � A nhỏ lớn � B nhỏ (B > 0) B C lớn � C2 lớn ( C > 0),  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ : Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ biểu thức : A =   x2 Hướng dẫn : - Ta thấy A>0 với x thuộc MXĐ A - Biểu thức A nghòch đảo biểu thức B=   x với B dương, ta thay việc tìm cực trò A thành tìm cực trò B đơn giản Giải : Điều kiện : x � Ta có : A > Xét biểu thức : B = =   x Ta coù : �  x � A � �5   x �5  Min B = �  x  � x  � Khi Max A = Max B = 5+2 �   x � x   52 Khi Min A = 5 NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 13 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ biểu thức : C  x2  3x4 = (1  x ) Hướng dẫn: Biểu thức C xác đònh với giá trò x , ngòai việc tìm cực trò phương pháp miền giá trò hàm số , ta tách biểu thức C để xét biểu thức phụ: x2 C= 3- = - D x  2x2  Khi , D ≥ x neân ta co:ù maxC = – minD, C = – maxD + D ≥  minD =  max C = x=0 x2 + x4 + ≥ 2x2  x4 + 2x2 + ≥ 4x2  D ≤    maxD = 2 4x minC = x=1 a b c   Ví dụ 3: Tìm giá trò nhỏ biểu thức Trong b c a số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ (Thi HSG lớp – huyện Phù Mỹ – năm học 2004-2005) a b c   Hướng dẫn: Đặt A = , suy ra: b c a A2 = A a2 b2 c2 a b c a b c   2 2 2 , tieáp tục áp dụng BĐT Cô si b c a c b a a2 a b a b , , , c để hạ bậc số mũ loại bỏ b c c thức, tương tự cho hai số lại Cộng theo vế ba BĐT chiều ta A2 ≥  A ≥  minA = a=b=c=1 Ví dụ : Tìm giá trò lớn : A =  x  x  12   x  x  Hướng dẫn : Ta thấy A>0 với x thuộc TXĐ A, ta thay việc tìm cực trò A việc tìm cực trò A để làm bớt dấu Giải : Điều kiện : (1) � �  x     x  �0  x  x  12 �0 � � �� � 1 �x �3 �  x  x  �0  x  1   x  �0 � � cho số dương Xét hiệu : ( x  x  12)  ( x  x  2)  x  Do (1) neân 2x + > � A > x [-1;3] Xeùt A2 =  ( x  2)(6  x)  ( x  1)(3  x)  Hiển nhiên A2 �0, dấu “=” không xảy A > A2  ( x  2)(6  x)  ( x  1)(3  x)  ( x  2)(6  x)( x  1)(3  x) =  ( x  1)(6  x)  (6  x)  ( x  2)(3  x)  (3  x)  ( x  1)(6  x)( x  2)(3  x) NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 14 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số    ( x  1)(6  x)  ( x  2)(3  x)  A2  3 3.DoA neân A  khi(x+1)(6-x) = (x+2)(3-x) � x  x =  Với < x < 1 x x Phân tích:- Với < x < C > Nếu quy đồng mẫu chuyễn thành phân thức, có điều kiện < x < nên việc tìm cực trò khó khăn - Ta cần tìm biểu thức D sai khác với C số D sử dụng BĐT để khử biến 2x 1 x  Giải : Xét biểu thức : D  1 x x 2x 1 x p dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương : 1 x x 2x 1 x D �2 2 1 x x �2 x  x  (1) � D2 �� 1 x x �  x  1(2) � Ví dụ : Tìm giá trò nhỏ cuûa C  (1) � x  (1  x ) � x   x � x   x � x   Như D  2 � x   1 � �2 x  x �  x   x �2  � �   3 Ta coù : C  D  � � 1 x x � � 1 x x � 1 x x � Do : C  2  � x    Bài tập tham khảo:   Tìm GTNN,GTLN biểu thức y  x2  x  x2  Tìm GTNN,GTLN biểu thức A = 2x + 3y bieát 2x + 3y2 ≤ e) Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ  Phương pháp:: - Để đơn giản hoá biểu thức xét để khai thác hết giả thiết ta đổi biến số tìm cực trò biến Cần lưu ý biến số có điều kiện giới hạn ta phải kiểm soát điều kiện - Phương pháp thường sử dụng với biểu thức có chứa biểu thức giống biến, đặt biến số biểu thưcù giống NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 15 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số - Phương pháp thường ứng dụng việc tìm cực trò biểu thức nhiều biến kèm theo điều kiện Nếu khéo léo đổi biến , ta làm giảm số biến đưa việc xét biểu thức phức tạp biểu thức quen thuộc, đơn giản hơn, phù hợp với kiến thức bậc trung học sở  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1:Tìm GTNN biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: Ta thấy x – chênh lệch so với x-1 x-3 đơn vò , ta đặt biến số y = x -2 Khi A = 2y2 + �2 Vaäy Min A = < = > y = x=2 Ví dụ 2: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức B = a4 + b4 Hướng dẫn: Lưu ý rằng: Một biểu thức nhiều biến thường đạt GTNN (hoặc GTLN) số biến số có giá trò tất biến có giá trò Điều gợi ý cho ta cách đổi biến sau: Do a + b = nên ta a  2m � đặt � , với m tùy ý Khi B = 2m + 48m2 + 32 ≥ 32 b   m � m  minB = 32  m =  a = b = Ví dụ 3: Cho a,b,c > abc = Tìm GTNN bc ac ab P   2 a b  a c b a  b c c a  c 2b Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức cho dạng : 1 2 P a  b  c Đặt 1 1 1    c b c a b a x , y , z  1 � x  ;y  ;z  �� a b c �xyz  x2 y2 z2   Khi P  yz zx x y p dụng BĐT Bunhiacôpxki ta dược: � x2 y2 z2 � x y z  �  ( x y z )2 P  y z   z x  x y � � �� � � �y  z z  x x  y � x y z 3 � xyz  p dụng BĐT Côsi ta có: 2 3 Do P � � P  � x  y  z  � a  b  c  2  Bài tập tham khảo:  Cho x + y + z = Tìm GTNN x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx  Tìm GTLN, GTNN A = (x4 + 1)(y4 + 1) Biết x,y  x  y  10 NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 16 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số (HD: Đặt xy = t) f) Phương pháp 6: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG ĐỂ TÌM CỰC TRỊ  Phương pháp: - Để tìm cực trò biểu thức, ta chia tập xác đònh khoảng Sau ta tiến hành tìm cực trò biểu thức khoảng biến, so sánh cực trò để tìm giá trò cực trò (GTNN; GTLN) toàn tập xác đònh biểu thức - Phương pháp thường sử dụng biểu thức có dạng tích mà dấu biểu thức phụ thuộc vào dấu vài nhân tử Đồng thời, tính biến thiên biểu thức không thay đổi khoảng chia - Phương pháp áp dụng với biểu thức chứa giá trò tuyệt đối - Phương pháp giúp cho ta giới hạn khoảng giá trò biến để biểu thức đạt giá trò cực trò cần tìm Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản  Các ví dụ minh hoạ:  Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ (GTNN) biểu thức: A  x   x  với x   Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: x 0 với x   , nên dấu A phụ thuộc vào dấu   x  * Với x   A 0 * Với  x   A 0 Do để tìm GTNN ta xét giá trò A với x   2;4  GIẢI: * Với x  A 0(1) * Với  x   A 0 Khi đó: Xét biểu thức:  A  x  x   p dụng bất đẳng thức Cô – si x x ; ;  x  2 cho số không âm: 2 �x x � �2   x  � �2 x  � A x x  � x  2 � A 32 A 32(2) Ta coù:  ��� � � � 2 3 � � � � � � (2) Từ (1) (2)  A   32 với x    Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn (GTLN) giá trò nhỏ (GTNN) biểu thức: B  x  x  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy:  x �0 với x thỏa mãn   x 1 , nên dấu B phụ thuộc vào dấu x NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 17 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số * Với  x 1  B 0 * Với   x 0  B 0 Do để tìm GTLN ta xét giá trò B với x   0;1 ; GTNN ta xét giá trò B với x    1;0  GIẢI: * Điều kiện xác đònh củaB là: x 1    x 1 * Với  x 1  B 0 �x   x 2 �x Ta coù: B  x  x  (BĐT Cô – si) � max B  � � 2 �x �1 � * Với   x 0  B 0 Ta coù:  B  x  x  (BĐT Cô – si) �x   x 1 �� B  � B x � 2 1 �x  � y  Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn (GTLN) biểu thức: C    x  y với x; y    Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: y   , nên dấu C phụ thuộc vào dấu    x  y  * Với  x  y   C 0 * Với x  y 6  C 0 Do để tìm GTLN C ta xét giá trò x,y thoả:  x  y 4  GIẢI: * Điều kiện xác đònh C là:   x  y    x  y 5 Vì x; y   ; nên: * Với  x  y    y  Do ta xét trường hợp sau: + Nếu y= C = (a)  y  + Nếu C �3 (b) y   x  + Nếu C  (c) x  y   C  * Với (d) - Từ (a); (b); (c) (d) suy ra: max C   x 0; y   Bài tập tham khảo:  Tìm GTNN cuûa M  x  2004  x  2005  HD: Xét M khoảng: x  2004;2004  x  2005;2005  x      Tìm GTNN N  x  1  x   2 1  HD: Xét N khoảng: x  ; x  2 NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 18 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số g) Phương pháp 7: PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ  Phương pháp: - Nếu việc thứ tự lại số; biến số không làm tính tổng quát toán nên thực chúng cho thêm giả thiết để tìm GTLN GTNN - Khi thứ tự lại số biến ta nên ý đến phần tử Min Max chúng - Phương pháp thường sử dụng biểu thức đối xứng, hóan vò vòng quanh số biểu thức có điều kiện ràng buộc biến - Phương pháp giúp cho ta giảm số lượng biến Do đó, sử dụng phương pháp cho phép ta giải toán đơn giản  Các ví dụ minh hoạ:  Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn (GTLN) biểu thức: S  x y  y z  z x Với x, y, z  0; x  y  z 1  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: Biểu thức S có dạng hoán vò vòng quanh x→y→z→x , ta giả sử x số lớn để có thêm giả thiết so sánh S với biểu thức trung gian  GIẢI: * Giả sử: x  Max x, y, z Ta coù:   z2x x2 z z x zx S x y xyz S xy  x z   x z 2 2 x �x z � � z� � z � �x  y  z � (BĐT Cô – si )  � S x  x z  �y � S � � �y � 4� � �2 � � 2� � 2� � � 27 x x z z S      y   z 0; x  ; y  27 2 2 3 �2 �� ��1 �  x, y, z   � ; ;0 � ,� 0; ; �� , ;0; � Vaäy MaxS  27 �3 �� 3 ��3 �  Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn (GTLN) biểu thức:  x  y  x3  y x6  y P Với x, y  x10  y10  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: P biểu thức đối xứng có dạng phân thức tử mẫu bậc, nên không tính tổng quát ta thứ tự biến để có thêm giả thiết so sánh P với biểu thức trung gian số  GIẢI: * Giả sử: x  y  x  y ; x  y , x  y Khi đó: p dụng bất đẳng thức Trê – bư – sep ta có:  x  y  x3  y �2 x  y (1)  S x y y2 z z2 x x2 y y2 z z2 x       NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 19  Một số phương pháp giải toán cực trò đại số x  * Từ (1) (2)   x  y  x  y4 x    y �2 x10  y10 (2) 3      y x  y  x10  y10  P  Vaäy MaxP = x= y  Bài tập tham khaûo: a b c   b c c a a b a  b  c 1 Tìm  Cho ba số a, b, c  Tìm GTNN A  a, b, c   Cho ba số 3 a b c B   b c c a a b (HD: p dụng kết a b c B a  b2  c2  MinB  khia  b  c  ) bc ca a b GTNN với  III) ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ: 1 Giải phương trình giải hệ phương trình: Như ta biết: �A( x, y , ) �n, n �R MaxA x , y ,   n � � ( x0 , y0 , ) : A( x0 , y0 , )  n � �A( x, y, ) �m, m �R MinA x , y ,   m � � ( x0 , y0 , ) : A( x0 , y0 , )  m � Điều chứng tỏ giá trò (x0,y0,…) nghiệm phương trình: A x0 , y ,   m vaø A x0 , y ,   n Từ cho phép ta sử dụng cực trò việc giải số phương trình hệ phương trình dạng đặc biệt  Các ví dụ minh hoạ:  Ví dụ 1: Giải phương trình: x    x  x  x   0(*) HD Giải: Ta có: + (*)  x    x  x  x  + p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Ta có: 2 x    x  12  12  x    x    x    x  Dấu “=” xảy x=2 (1) + Mặt khác: x  x   x  2   Dấu “=” xảy x=2 (2) * Từ (1) (2) suy ra: Phương trình cho có nghiệm x=2  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � 2008 (1) �  x1   x2    x2007  2007 2007 � � 2006 �  x   x    x (2) 2007  2007 � 2007 � NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 20       Một số phương pháp giải toán cực trò đại số HD Giải: ĐK:   xi 1 Với : i 1;2007 + p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Từ (1), ta có: 2008 2007   x1   x2    x2007 �2007  2007  x1  x2   x2007  2007 � x1  x2   x2007 �1� Tương tự từ (2) ta coù: �� x1  x2   x2007  x1  x2   x2007 �1 � Lúc hệ phương trình cho tương đương với hệ: 1  x1 1  x2  1  x2007  1  x1 1  x2  1  x2007  x1  x2  x2007  2007  x  x   x 2007 1  1    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:  x1  x2   x2007  2007    Bài tập tham khảo:  Giải phương trình sau: a) x  y  z  32 xyz (Với x,y,z>0) b) x  x   x  x  x  x  c) x  y  x  xy   Với y nhỏ  Giải hệ phương trình:  697  x y  81   x  y  xy  x  y  0  2 Giải toán cực trò hình học: Ta giả sử A x0 , y ,  biểu thức xác đònh yếu tố hình học Chẳng hạn: Tổng độ dài đoạn thẳng, chu vi diện tích hình hình học, ….Dựa vào toán tìm cực trò: A =m; maxA =n (x,y,…)= ( x0 , y0 , ) Ta xác đònh giá trò lớn nhất, nhỏ yếu tố Trong trình giảng dạy nghiên cứu xin dề xuất số dạng toán sau:  Về tìm giá trò nhỏ nhất:  + Dạng 1:  x  y   xy hoaëc x  y  xy    x  y 2 4  + Daïng 2: xy   + Dạng 3: Nếu x y số tổng x  y nhỏ x  y  Về tìm giá trò lớn nhất:  + Daïng 1: xy  x  y  hoaëc xy  x  y  xy    + Daïng 2:  x  y   + Daïng 3: Nếu x  y số tích x y lớn x  y  Các ví dụ minh hoạ:          NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 21 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số  Ví dụ 1: Cho ABC Qua điểmM thuộc cạnh AC kẻ đường song song với hai cạnh lại; chúng tạo với hai cạnh hình bình hành Tìm vò trí củaM để hình bình hành có diện tích lớn HD Giải: Gọi S diện tích BEMF ; S diện tích củaABC K Kẻ AH  BC , AH cắt EM tạiK Ta có :  S   EM KH S EM KH     S BC AH S  BC AH  - Đặt: MA=x,MC=y Ta có: EM x   BC x  y  S xy   KH y  S  x  y 2  AH x  y  S' xy 1 � � MaxS '  S x=y; tức Theo bất đẳng thức Cô – si thì: S  2  x  y laøM laø trung điểmAC  Ví dụ 2: Hai đường chéo tứ giác lồi ABCD cắt O Biết S AOB  4; S COD 9 Tìm giá trò nhỏ diện tích tứ giác ABCD? HD Giải: Ta coù: S AOB AO S AOD   (hai tam giác có chiều cao) S BOC CO S COD � S BOC SAOD  S AOB SCOD  4.9  36 Maø  S BOC  S AOD   4.S BOC S AOD 144  S BOC  S AOD 12  S ABCD  25 - Dấu “=” xảy S BOC  S AOD hay AB//CD Vaäy MinS ABCD  25 AB//CS hayABCD hình thang  Bài tập tham khảo:  Cho ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a Các điểm D;E theo thứ tự thuộc cạnh AB,AC Vẽ DH  BC ; EK  BC ,  H , K  BC  Tính diện tích lớn tứ giác DEHK khiD;E thay đổi vò trí cạnh AB,AC  Cho đoạn thẳngAB đường thẳng d song song với Từ điểmM(Mvàd khác phía AB) cho tia MA,MB tạo với d tam giác có diện tích nhỏ NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 22 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số PHẦN III- KẾT LUẬN Bồi dưỡng HS giỏi nhiệm vụ có tầm quan trọng nghiệp trồng người Để thực tốt nhiệm vụ này, đòi hỏi GV cần nỗ lực cao công tác nghiên cứu nội dung chương trình, soạn thảo nội dung giảng dạy truyền thụ kiến thức cho HS Sáng kiến kinh nghiệm đưa số phương pháp giải toán cực trò số ứng dụng cực trò vào việc giải dạng toán khác Chúng không mục đích trao đổi với đồng nghiệp để tìm phương án tối ưu cho việc giảng dạy toán cực trò , qua nâng cao chất lượng đào tạo học sinh giỏi toán NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 23 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số * Kết quả: - Bước đầu học sinh thấy sai sót tiếp cận với phương pháp giải toán cực trò, vận dụng vào việc giải tập áp dụng - Học sinh hình thành số kỹ đáng kể việc phân tích đề, tìm cách giải trình bày giải.Những học sinh đội tuyển học sinh giỏi ngày yêu thích môn , việc dạy học ngày thuận lợi có hiệu quả, trường có học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện môn Toán - Giáo viên môn Toán có thêm tài liệu phương pháp để nâng cao chất lượng dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng * Đề xuất – kiến nghò: - Triển khai sáng kiến kinh nghiệm đến lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tổ chức ngoại khóa chuyên đề - Kiểm tra đánh giá khả tiếp thu HS theo phương pháp giải, rút kinh nghiệm bổ sung cho phù hợp với đối tượng HS  Môn Toán môn học có tính trừu tượng cao Việc giảng dạy HS đại trà khó , dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lại khó nhiều GV Trong thực tế nay, động học tập nhiều HS bò chi phối lớn bới tác động xã hội Trên đường học toán – giải toán , phần lớn HS chưa xác đònh đường cách đi, người GV người dẫn dắt em Mong sáng kiến kinh nghiệm bổ sung thêm tài liệu tham khảo cho công tác dạy bồi dưỡng GV dạy toán.Chúng mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện, thực tài liệu bổ ích cho GV MỤC LỤC - Phần mở đầu ……………………………………………………………………………………… ……………… Trang NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 24 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số - Nội dung ……………………………………………………………………………………… ……………………… Trang Mô tả tình trạng việc tại………………………………………………………………… Trang Các phương pháp tìm cực trò biểu thức ………………………………… Trang Phương pháp sử dụng bất đẳng thức …………………………………… Trang Phương pháp đưa dần biến vào bình phương của…… Trang Phương pháp miền giá trò hàm số ………………………………………………………………… Trang Phương pháp xét biểu thức phụ…………………………………………………………………… Trang 11 Phương pháp đổi biến số………………………………………………………………………………… Trang 13 Phương pháp chia khoảng để tìm cực trò……………………………………………………… Trang 14 Phương pháp thứ tự………………………………………………………………………………… …… Trang 16 ng dụng toán tìm cực trò………………………………………………………………… Trang 17 Kết luận……………………………………………………………………………… ………………………………… Trang 21 NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 25 Một số phương pháp giải toán cực trò đại số NHÓM TOÁN – TRƯỜNG THCS MỸ LỘC Trang 26 ... nâng cao chất lượng dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng * Đề xuất – kiến nghò: - Tri n khai sáng kiến kinh nghiệm đến lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tổ chức ngoại khóa chuyên