Bài 1) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = 5 – cos 4 x + cos 2 x – sin 2 x + sin 4 x Bài 2) Biết x là góc nhọn và tanx – cotx = m Tính giá trị của biểu thức A = tanx + cotx theo m Bài 3) Biết sinx + cosx = 1.2. hãy tính giá trị của biểu thức A = sin 4 x + cos 4 x Bài 4) chứng minh rằng nếu cos2a ≠ 0 thì tan2a + 1/cos2a = (1 – 2sin 2 a)/(1 – sin2a) Bài 5) cho phương trình (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos 2 x a. Giải phương trình khi m = 1 b. Tìm m để m có đúng hai nghiệm trong khoảng (0; ∏). Bài 6) cho phương trình 3sin 4 x – 2(m + 2)sin 2 xcos 2 x + (1 – m2)cos 4 x = 0 a. giải phương trình đã cho với m = 0. b. với giá trị nào của m, phương trình đã cho có nhiều họ nghiệm thuộc khoảng (-∏/2; ∏/2) nhất. Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0 a) Giải phương trình trên khi m = 1 *b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn một họ nghiệm? Bài 8) Cho phương trình a. Giải phương trình trên khi m = 3 b. xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm? c. xác định m để phương trình để m có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; ∏)? Bài 9) Cho phương trình (m + 1)sinx + cos2x – m = 0 a. Giải phương trình trên khi m = 2 b. Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Bài 10) Cho phương trình cos2x + (m - 2)sinx – (m + 1) = 0 a. Giải phương trình khi m = 1 b. Xác định m để phương trình có nghiệm? Bài 11) Cho phương trình m(1 + tan2x)sinx – tan2x + 1 = 0 a. Giải phương trình với m = 1 Chỉ ra những khoảng nghiệm nào thoả mãn điều kiện tanx < 0? b. Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 12) Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x = m a. Giải phương trình khi m = 1 b. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm? có nghiệm? Bài 13) Giải phương trình sin 4 U + cos 4 U = 5/8, với U = 2x/3 Bài 14) Giải phương trình cos 2 x + tan 2 x + 2cosx + 1 = 0. Bài 15) Giải phương trình cos 4 x = 2sin 2 2x Bài 16) Cho phương trình cos 2 x – sinxcosx – 2sin 2 x – m = 0 a. Giải phương trình khi m = 1. b. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm Bài 17) Giải phương trình (1 – cos2x)/2sinx = sin2x/(1 + cos2x) Bài 18) Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x = 1 – (1/2)sin2x Bài 19) Giải phương trình sin 3 x + sinxcosx + cos 3 x = 1 Bài 20) Cho phương trình sinx + cosx = m + sin2x a. Giải phương trình khi m = 1 b. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm. Bài 21) Cho phương trình mtan 2 x = (1 + cosx)/(1 - sinx) a. Giải phương trình khi m = 1 b. Xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm? Bài 22) Giải phương trình sin2x = 2cosx + 2√3 cos 2 x Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0 Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1 a. Giải phương trình trên khi m = √3 b. tìm m để phương trình vô nghiệm Bài 25) Chứng minh rằng |sinx + cosx + sinxcosx| ≤ √2 + 1/2 Bài 26) Cho phương trình 1/sinx + 1/cosx = m a. Giải phương trình với m = 0 b. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình trên luôn luôn có nghiệm Bài 27) Cho phương trình sinx + cosx = m sin2x. a. Giải phương trình khi m = 1. b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình luôn luôn có nghiệm Bài 28) Giải phương trình tanx - 2√2 sinx = 1 Bài 29) Chứng minh nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì Cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2) = Cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2) Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2 Bài 31) Tìm giá trị của tham số a sao cho bất phương trình (3a - 1)sinx – 2a < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc [0; ∏/2]. Bài 32) Giải phương trình 2tan3x – 3tan2x = tan 2 2x tan3x Bài 33) Giải và biện luận theo m phương trình (m - 1)sin 2 x – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0 Bài 34) Giải phương trình 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx) Bài 35) Giải phương trình cos4x + 3sin4x – 2sin2x = 0 Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0 (1) *b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn một họ nghiệm? Giải Ta có: (1)  (m + 2)sinx + 1 – 2sin 2 x -1 – m = 0  – 2sin 2 x + (m + 2)sinx – m = 0 Đặt t = sinx, đk |t| ≤ 1, phương trình trở thành -2t 2 – (m + 2) – m = 0 Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 (a + b + c = (-2) + (m + 2) + (-m) = 0) nên phương trình có nghiệm t 1 = 1, t 2 = c/a = -m/(-2) = m/2 + Vì sinx = t 1 = 1 Ta có sinx = 1  sinx = sin(∏/2)  x = ∏/2 + 2k∏, k∈ Z nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m + Để phương trình có đúng một họ nghiệm thì t 1 = t 2 hoặc t 2 không thỏa mãn điều kiện (loại t 2 ) Vậy t2 = t1 = 1  m/2 = 1  m = 2 (1); |t2| >1  |m/2| > 1  m/2 < -1 hoặc m/2 > 1  m < -2 hoặc m > 2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có: Bài 13) Giải phương trình sin 4 U + cos 4 U = 5/8 (1), với U = 2x/3 Giải Ta có: sin 4 U + cos 4 U = sin 4 U + 2sin 2 Ucos 2 U + cos 4 U - 2sin 2 Ucos 2 U = (sin 2 U + cos 2 U) 2 - 2sin 2 Ucos 2 U = 1 - 2sin 2 Ucos 2 U (vì sin 2 α + cos 2 α = 1) Vậy (1)  1 - 2sin 2 Ucos 2 U = 5/8  - 2sin 2 Ucos 2 U = 5/8 – 1  - 2sin 2 Ucos 2 U = - 3/8  - (1/2)sin 2 2U = -3/8  sin 2 2U = 3/4  sin2U = √3 /2 hoặc sin2U = -√3 /2 * sin2U = √3 /2  sin2U = sin(∏/3)  2U = ∏/3 + k2∏ hoặc 2U = ∏ - ∏/3 + k2∏  U = ∏/6 + k∏ hoặc U = ∏/3 + k∏ + Với U = ∏/6 + k∏  2x/3 = ∏/6 + k∏  x = ∏/4 + k3∏/2 + Với U = ∏/3 + k∏  2x/3 = ∏/3 + k∏ x = ∏/2 + k3∏/2 * sin2U = - √3 /2  sin2U = sin(- ∏/3)  2U = - ∏/3 + k2∏ hoặc 2U = ∏ + ∏/3 + k2∏  U = - ∏/6 + k∏ hoặc U = 4∏/3 + k∏ + Với U = - ∏/6 + k∏  2x/3 = - ∏/6 + k∏  x = - ∏/4 + k3∏/2 + Với U = 4∏/3 + k∏  2x/3 = 4∏/3 + k∏ x = 2∏ + k3∏/2 m < -2 hoặc m ≥ 2 Bài 19) Giải phương trình sin 3 x + sinxcosx + cos 3 x = 1 (3) Giải (3)  sin 3 x + cos 3 x = 1 – sinxcosx  (sinx + cosx)(sin 2 x – sinxcosx + cos 2 x) = 1 – sinxcosx (hằng đẳng thức: a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab+b 2 ))  (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) = 1 – sinxcosx (vì sin 2 x + cos 2 x = 1)  (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) – (1 – sinxcosx ) = 0  (1 – sinxcosx)(sinx + cosx - 1) = 0  1 – sinxcosx = 0 hoặc sinx + cosx – 1 = 0 * 1 – sinxcosx = 0  sinxcosx = 1  (1/2)sin2x = 1  sin2x = 2 (vì sin2x = 2sinxcosx) Phương trình này vô nghiệm vì -1 ≤ sin2x ≤ 1 * sinx + cosx - 1 = 0 sinx + cosx = 1  sin(x + ∏/4) = √2 /2  sin(x + ∏/4) = sin(∏/4)  x + ∏/4 = ∏/4 + k2∏ hoặc x + ∏/4 = ∏ - ∏/4 + k2∏  x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏ Vậy phương trình (3) có nghiệm là: x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏ , k ∈ Z Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0 Giải: Ta có: √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0  √3 sin5x + cos5x ≤ 2  (√3/2)sin5x + (1/2)cos5x ≤ 2/2  cos(∏/6)sin5x + sin(∏/6)cos5x ≤ 1  sin(5x + ∏/6) ≤ 1 (áp dụng công thức cộng sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa) Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho ban đầu đúng Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1 a. Giải phương trình trên khi m = √3 b. tìm m để phương trình vô nghiệm Giải Ta có: sinx – mcosx = √(1 + m 2 )[(1/√(1 + m 2 ))sinx – (m/√(1 + m 2 ))cosx] = √(1 + m 2 )(sinαsinx - cosαcosx) = √(1 + m 2 )cos(x + α) Với sinα = 1/√(1 + m 2 ); cosα = m/√(1 + m 2 ); a. Với m = √3 ta có: 1/√(1 + m 2 ) = 1/2 nên sinα = 1/2  sinα = sin(∏/6)  α = ∏/6 Phương trình trở thành: 2cos(x + ∏/6) = 1  cos(x + ∏/6) = 1/2 = cos(∏/3)  x + ∏/6 = ∏/3 + k2∏ hoặc x + ∏/6 = - ∏/3 + k2∏  x = ∏/6 + k2∏ hoặc x = - ∏/2 + k2∏ b. phương trình trở thành √(1 + m 2 )cos(x + α) = 1  cos(x + α) = 1/√(1 + m 2 ) Phương trình vô nghiệm khi 1/√(1 + m 2 ) >1  √(1 + m 2 ) < 1  1 + m 2 <1  m 2 < 0 (không xảy ra). Vậy không có giá trị nào của m làm cho phương trình đã cho vô nghiệm Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2 Giải: Ứng dụng công thức biến đổi tích thành tổng là để tính các biểu thức mà các cung của các giá trị lượng giác liên tục như: 2∏/7; 4∏/7; 6∏/7 ∏/9; 2∏/9; 3∏/9; 5∏/9 Nhân 2 vế của đẳng thức trên với 2sin(∏/7) ta có 2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - (1/2) 2sin(∏/7) 2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - sin(∏/7) (1) Ta có: + 2sin(∏/7) cos(2∏/7) = 2 (1/2)(sin(∏/7+2∏/7) + sin(∏/7- 2∏/7)) = sin(3∏/7) + sin(-∏/7) = sin(3∏/7) - sin(∏/7) (vì sin(-x) = -sinx) Tương tự + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) = sin(5∏/7) - sin(3∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = sin(7∏/7) - sin(5∏/7) Vậy (1)  sin(3∏/7) - sin(∏/7) + sin(5∏/7) - sin(3∏/7) + sin(7∏/7) - sin(5∏/7) = - sin(∏/7)  - sin(∏/7) + sin(7∏/7) = -sin(∏/7)  - sin(∏/7) + sin∏ = -sin(∏/7)  - sin(∏/7) = -sin(∏/7) (vì sin∏ = 0) Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho ban đầu cũng đúng . U = 5/8, với U = 2x/3 Bài 14) Giải phương trình cos 2 x + tan 2 x + 2cosx + 1 = 0. Bài 15) Giải phương trình cos 4 x = 2sin 2 2x Bài 16) Cho phương trình. trình có nghiệm Bài 17) Giải phương trình (1 – cos2x)/2sinx = sin2x/(1 + cos2x) Bài 18) Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x = 1 – (1/2)sin2x Bài 19) Giải