Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Tỉ số hai đoạn thẳng  Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo  Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB CD có tỉ lệ thức: AB A� B�  CD C�� D hay AB CD  A�� B C�� D Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B�� C P BC � AB� AC�AB� AC�AB AC  ;  ;  AB AC B� B C� C B� B C� C Định lí Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác AB� AC�  � B�� C P BC B� B C� C Hệ Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho B�� C P BC � AB� AC� B�� C   AB AC BC www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại A C’ B’ B C Tính chất đường phân giác tam giác Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn DB AB EB   � AD, AE phân giác góc BAC  DC AC EC Nhắc lại số tính chất tỉ lệ thức � ad  bc �a b � a c �c d  � �a �b c �d  b d � b d �a c a  c a  c �   �b d b  d b  d VẤN ĐỀ I Tính độ dài đoạn thẳng Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB, BC D E Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD  EC  16cm chu vi tam giác ABC 75cm HD: Vẽ DN // BC  DNCE hbh  DE = NC DE = 18 cm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N cho MD = 3MA NB a) Tính tỉ số NC www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm Tính MN NB  HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN P  ABNP, PNCQ hbh  NC b) Vẽ PE // AD  MPED hbh  MN = 11 cm Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C AB� AC�  cho AB AC Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC C a) So sánh độ dài đoạn thẳng AC AC b) Chứng minh BC // BC HD: a) AC = ACb) C trùng với C  BC // BC Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng a song song với BC cắt cạnh AB, AC đường cao AH B, C, H AH � B�� C  a) Chứng minh AH BC AH �  b) Cho ABC HD: b) AH diện tích tam giác ABC 67,5cm Tính diện tích tam giác SAB�� C  S  7,5cm2 ABC Bài Cho tam giác ABC Gọi D điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 13,5cm, DB = 4,5cm Tính tỉ số khoảng cách từ điểm D B đến cạnh AC DN  0,75 HD: Vẽ BM  AC, DN  AC  BM Bài Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm I, K cho AK = KI = IH Qua I K vẽ đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M  AB; F, N  AC) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC 270cm HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm SMNFE  SABC  90cm2 b) www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh AB, BC tia DA, DC theo thứ tự điểm M, N, P, Q IM IB IM IB OD   a) Chứng minh: OA OB IP ID OB IM IN  b) Chứng minh: IP IQ HD: Sử dụng định lí Ta-lét Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn HD: Gọi M, N giao điểm DE BF với AC Chứng minh: AM = MN = NC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, DM CN m   cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC N Biết MA NB n Chứng minh rằng: mAB  nCD MN  m n HD: Gọi E giao điểm MN với AC Tính Bài 10 EN  m n AB, ME  CD m n m n Cho tứ giác ABCD có góc B D góc vuông Từ điểm M MN MP  1 đường chéo AC, vẽ MN  BC, MP  AD Chứng minh: AB CD MN MP ; HD: Tính riêng tỉ số AB CD , cộng lại Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC I cắt cạnh BC N, cắt đường thẳng AB M a) Chứng minh tích AM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến qua D b) Chứng minh hệ thức: ID  IM.IN Bài 12 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm B, C Chứng minh: SABC AB AC  SAB�� AB�AC� C AC CH  H HD: Vẽ đường cao CH CH  AC� C�� www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng Bài 13 www.thuvienhoclieu.com Hình học Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm D, E, F cho AD  1 AB BE  BC CF  CA 4 , , Tính diện tích tam giác DEF, biết 2 diện tích tam giác ABC a (cm ) HD: SBED  SCEF  SADF  SABC SDEF  a2(cm2) 16 16  AK  Bài 14 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK Trên CL  cạnh BC lấy điểm L cho BL Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BQC a2(cm2) SBLQ HD: Vẽ LM // CK SBLA  SCLQ SCLA   SABC  7 SBQC  a2(cm2) 4 Bài 15 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF    AB BC CA Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD Qua SCMA  D vẽ DD// AE 2 SCAD  SABC  S 7 SMPT  SABC  (SCMA  SAPB  SBTC )  Bài 16 a) Tính DD� CM  �  ME CD S Cho VẤN ĐỀ II Chứng minh hai đường thẳng song song www.thuvienhoclieu.com Trang  Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy AE AH CF CG    điểm E, F, G, H cho AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi khơng đổi HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF  PEFGH  2(AI  IJ  J C)  2AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF MI MK  � IK P AB HD: a) Chứng minh IA KB Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH AE AF  HD: a) Chứng minh AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH Bài a) www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học VẤN ĐỀ III Tính chất đường phân giác tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH AK  K, AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD HD: SABD m  SACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? HD: a) SADM  n m S 2(m n) ABC b) SADM  20%SABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học b) Chứng minh OG // AC HD: a) AD  2,5cm b) OG // DM  OG // AC � Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt AB � D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC DA EA  � DE P BC HD: DB EC Bài Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG BG BE.CD.BA CD.AB   1 HD: CF BD.CE.AC BD.AC Bài Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP c) Tính tỉ số OC MB NC PA 1 d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1      e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB OP  c) OC HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm e) Vẽ BD // AM  BD < 2AB  AM  1 �1 � 2AC.AB  �  � AC  AB  AM �AB AC � 1 �1 � 1 �1 �  �   �  � � Tương tự: BN �AB BC �, CP �AC BC � đpcm Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN  AI? AM AN  HD: a) Chứng minh BM CN Bài 10 � Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D  60 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số 11 cắt đáy AB M Tính cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm MB  HD: Chứng minh DC = AB + AD  DC = AB + AM  MA  DC = 66cm, AB = 42cm Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F AB AD AC   cắt đường chéo AC G Chứng minh hệ thức: AE AF AG HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui HD: Bài 13 a) HD: www.thuvienhoclieu.com Trang Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: A� B� B�� C C� A� � A�  �A, � B�  �B, � C� � C;   AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự ��� C   ABC cặp đỉnh tương ứng:  AB b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại A M B N C Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với A� B� B�� C C� A�   AB BC CA  ABC  ABC Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với A� B� A�� C � �  , A� A AB AC  ABC  ABC www.thuvienhoclieu.com Trang 10 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với � A�  �A, � B�  �B  ABC  ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 2: Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì:  Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng  Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng  Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng  Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng  Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn Bài Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho giác k hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam www.thuvienhoclieu.com Trang 11 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com P� k HD: a) P Hình học b) P� 60(dm), P  100(dm) k Bài Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác ABC 27cm HD: P  20,25(cm) Tính chu Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh ABC �� B�  15cm, B�� C  25cm, AC  35cm HD: A� Bài Cho tam giác ABC đường cao BH, CK � � b) Cho ACB  40 Tính AKH a) Chứng minh ABH  ACK � � HD: b) AKH  ACB  40 Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP BH CH  b) Chứng minh: BQ CD a) Chứng minh BHP  CHB � c) Chứng minh CHD  BHQ Từ suy DHQ  90 � � � � � � HD: c) Chứng minh DHQ  CHD  CHQ  BHQ  CHQ  BHC  90 � � � � Bài Hai tam giác ABC DEF có A  D , B  E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm Tính diện tích tam giác DEF HD: a) ABC  DEF  EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm SDEF  22,33(cm2) b) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC a) Chứng minh AKI  ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI HD: b) SABC  39cm2 c) SAKHI  216 cm 13 www.thuvienhoclieu.com Trang 12 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học � � Bài Cho tam giác ABC, có A  90  B , đường cao CH Chứng minh: � � a) CBA  ACH b) CH  BH AH Bài Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S HD: SGMN  S 12 Bài 10 Cho hình vng ABCD, cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA a) Chứng minh EMC  ECB b) Chứng minh EB.MC = 2a c) Tính diện tích tam giác EMC theo a HD: c) Bài 11 SEMC  a Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho 2AM  3MB Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC D a) Chứng minh AMN   NDC b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích tam giác AMN, ABC NDC 200 32 SAMN  24cm2 SABC  cm SNDC  cm HD: b) , , VẤN ĐỀ II Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC Gọi A, B, C trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ABC  CAB b) Tính chu vi ABC, biết chu vi ABC 54cm HD: b) P� 27(cm) Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EFH ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EFH HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song www.thuvienhoclieu.com Trang 13 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học với BO cắt CO, OA E F a) Chứng minh: FCM  OMB PAE  PBO MB NC PA 1 b) Chứng minh: MC NA PB HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm a) Chứng minh AED  ABC b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm � c) Tính góc ADE, biết C  20 � c) ADE  20 HD: b) PADE  24(cm) � � Bài Cho góc xOy(xOy �180 ) Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh: OCB  OAD � � b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh BAI  DCI HD: Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD BM a) Tính tỉ số CN AM DM  b) Chứng minh AN DN BM  HD: a) Chứng minh BDM  CDN  CN b) Chứng minh ABM  CAN Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE  AB CF  AD, BH  AC a) Chứng minh ABH  ACE b) Chứng minh: AB.AE  AD.AF  AC HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH  đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh OA.OD = OB.OC www.thuvienhoclieu.com Trang 14 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học b) Đường thẳng qua O, vng góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh OH AB  OK CD HD: a) Chứng minh OAB  OCD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI  OCB c) Chứng minh BOH  BCK d) Chứng minh BO.BK  CO.CI  BC HD: Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh EMB  CAB c) Tính EB EM d) Chứng minh BH vng góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE HD: a) BC  9(cm) c) EM  6(cm), EB  7,5(cm) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm Bài 12 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, a) Tính độ dài AH HD: a) AH = 4cm AC  20 cm � b) Chứng minh ABH  CAH Từ tính BAC � b) BAC  90 � Cho tứ giác ABCD, có DBC  90 , AD  20cm, AB  4cm, DB  6cm, DC  9cm Bài 13 www.thuvienhoclieu.com Trang 15 Trần Sĩ Tùng � a) Tính góc BAD www.thuvienhoclieu.com Hình học b) Chứng minh BAD  DBCc) Chứng minh DC // AB � HD: a) BAD  90 Bài 14 a) HD: BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D DB a) Tính DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh EDC  ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC DB  HD: a) DC c) DE  60 2400 (cm) SEDC  (cm2) 49 , Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK a2 KH  a  a HC  2b , 2b2 HD: c) Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH  BI Chứng minh: a) KBI  ICH b) KIH  KBI � c) KI phân giác góc BKH d) IH KB  HC.IK  HK BI HD: d) Chứng minh IH KB  HC.IK  BI (KI  IH )  HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM www.thuvienhoclieu.com Trang 16 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học a) Chứng minh HD  DM  HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh AFE  ABC d) Gọi O trực tâm ABC Chứng minh BO.BF  CO.CE  BC �A � CAH   D nằm H M  đpcm HD: a) AB < AC  DC > MC, b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD AE  AB AC Đường trung tuyến AI (I  BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE DH HE  HD: BI IC  đpcm � Bài Cho tam giác ABC vuông A, C  30 đường phân giác BD (D  AC) DA a) Tính tỉ số CD b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC DA  HD: a) DC b) BC = 25cm, AC = 21,65cm Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy � điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DME  60 a) Chứng minh BD.CE  a2 b) Chứng minh MBD  EMD ECM  EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE HD: c) Vẽ MH  DE, MK  EC  MH = MK; MK  MC  CK  a � Bài Cho tam giác ABC cân A, A  20 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy � điểm D cho DBC  20 a) Chứng minh BDC  ABC www.thuvienhoclieu.com Trang 17 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học b) Vẽ AE vng góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE 3 c) Chứng minh a  b  3ab HD: b) đpcm AE  b a2 b DE   a AD  b  , b , c) AD2  DE  AE2  Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ABC S tính diện tích tam giác ANK c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AB AC  6 AI AJ HD: a) SANK  SAMP S SAMP  SAMC ; SAMC  SABC SANK  30 b)  c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H  AM)  EBM = HCM  EM = MH; AB AE AC AH  ,  AI AK AJ AK  đpcm Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh OMN  HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh HAG  OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM � � � � � � d) HGO  HGM  MGO  HGM  AGH  MGA  180  đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ABG  FEH  đpcm www.thuvienhoclieu.com Trang 18 Trần Sĩ Tùng Bài 12 www.thuvienhoclieu.com Hình học � � Cho hình thang vuông ABCD (AB // DC, A  D  90 ) Đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Chứng minh BD  AB.DC HD: Chứng minh ABD  BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho OB2 CE  BD Chứng minh: a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác � � c) DO phân giác góc BDE , EO phân giác góc CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI  DE, OH  AC  OI = OH � � Bài 14 Cho tam giác ABC, B,C góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với � A2  3A� B.AC cạnh đáy BC Chứng minh: A� HD: a) Chứng minh BAH  BBC, CAA  CBB A� H b) GH // BC  A� A Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: 1   EF KN LM EF EF , HD: Tính tỉ số LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN   1 AB BC CA www.thuvienhoclieu.com Trang 19 Trần Sĩ Tùng www.thuvienhoclieu.com Hình học AF KC CN KE  ,  HD: Chứng minh AB BC CA BC  đpcm Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB A, B, C Chứng minh: OA� OB� OC�   1 AA� BB� CC� SBOC OA� OA� OI SBOC  OI   SABC AH SABC AA� � AA AH HD: Vẽ AH  BC, OI  BC  ;  Tương tự: SCOA OB�SAOB OC�  ,  SABC BB�SABC CC�  đpcm Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PB QC RA 1 PC QA RB (định lí Ceva) HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP PB OB RA AD QC EC  ,  ,  E cắt đường thẳng CR D Chứng minh PC EC RB OB QA AD  đpcm Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh PB QC RA 1 ba điểm P, Q, R thẳng hàng PC QA RB (định lí Menelaus) HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p PB n QC p RA m  ,  ,  PC p QA m RB n  đpcm Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 20 ... góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với � A�  �A, � B�  �B  ABC  ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác. .. cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì:  Tỉ số hai... đồng dạng VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính tốn Bài Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho giác k hiệu chu vi hai tam giác