Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối D Môn Toán 2012
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI D NĂM 2012 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com 1 Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 2 đề thi môn toán khối D năm 2012 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7.0 điểm) Câu 1: (2 điểm): Cho hàm số: 3 2 2 2 2 y x mx 2(3m 1) 3 3 = + (1), m là tham số. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị với hoành độ x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1. Câu 2: (1 điểm): Giải phơng trình: sin 3x cos3x sin x cos x 2cos 2x.+ + = Câu 3: (1 điểm): Giải hệ phơng trình: 3 2 2 2 xy x 2 0 , (x, y ). 2x x y x y 2xy y 0 + = + + = Ă Câu 4: (1 điểm): Tính tích phân: /4 0 I x(1 sin 2x)dx. = + Câu 5: (1 điểm): Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác AAC vuông cân, AC = a. Tính thể tích khối tứ diện ABBC và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) theo a. Câu 6: (1 điểm): Cho các số thực x, y thoả mãn (x 4) 2 + (y 4) 2 + 2xy 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 5 + y 5 + 3(xy 1)(x + y 2). Phần riêng (3.0 điểm): Thí sinh đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chơng trình Chuẩn Câu 7.a (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đờng thẳng AC và AD lần lợt có phơng trình x + 3y = 0 và x y + 4 = 0; đ- ờng thẳng BD đi qua điểm 1 M ; 1 . 3 ữ Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 8.a (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y 2z + 10 = 0 và điểm I(2; 1; 3). Viết phơng trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đờng tròn có bán kính bằng 4. Câu 9.a (1 điểm): Cho số phức z thoả mãn 2(1 2i) (2 i)z 7 8i. 1 i + + + = + + Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. 3 B. Theo chơng trình Nâng cao Câu 7.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): 2x y + 3 = 0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc (d), cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2. Câu 8.b (1 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y 1 z (d) : 2 1 1 + = = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 1; 0). Xác định điểm M thuộc (d) sao cho tam giác AMB vuông tại M. Câu 9.b (1 điểm): Giải phơng trình 2 z 3(1 i)z 5i 0+ + + = trên tập hợp số phức. Đánh giá và định hớng thực hiện Câu 1. 1. Tham khảo phơng pháp chuẩn để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc ba. 2. Với dạng toán "Tìm thuộc tính các điểm cực trị của hàm số" ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thực hiện: Miền xác định D = Ă . Tính đạo hàm rồi thiết lập phơng trình y' = 0. (1) Bớc 2: Hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ x 1 , x 2 : (1) có hai nghiệm phân biệt. Bớc 3: Thiết lập hệ thức Viét cho x 1 và x 2 . Sử dụng điều kiện: x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1 Giá trị của tham số. Bớc 4: Kết luận. Câu 2. Với phơng trình lợng giác kiểu này ta định hớng sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và dó đó có hai cách nhóm: Ta có đợc nhân tử chung (2cosx + 1). Cách 1: Với các công thức sina cosa 2 sin a 4 = ữ ta nhóm: ( ) sin 3x cos3x sin x cos x 2cos 2x+ = 2 sin 3x 2 sin x 2cos 2x 4 4 + = ữ ữ sin 3x sin x cos 2x 4 4 + = ữ ữ 4 Tới đây bằng việc sử dụng công thức a b a b sina sinb 2cos .sin 2 2 + = sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung cos2x cho phơng trình, cụ thể: 2cos 2x.sin x cos 2x. 4 + = ữ Cách 2: Với các công thức: a b a b a b a b sina sinb 2cos .sin & cosa cosb 2cos .cos 2 2 2 2 + + = + = ta nhóm: ( ) ( ) sin 3x sin x cos3x cos x 2cos 2x + + = 2cos 2x.sin x 2cos 2x.cos x 2cos 2x + = Với nhân tử chung cos2x phơng trình đợc biến đổi về dạng tích, cụ thể: 2(sin x cos x) 1 cos2x 0. + = Câu 3. Ta định hớng có thể rút x hoặc y từ phơng trình thứ nhất của hệ, cụ thể với nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình thứ nhất trong hệ nên ta có biến đổi: x(y + 1) = 2 2 y 1 x + = 2 y 1. x = (*) Thay (*) vào phơng trình thứ hai của hệ, ta đợc: 2 3 2 2 2 2 2 2 2x x 1 x 1 2x 1 1 0 x x x x + + = ữ ữ ữ ữ 3 2 2 2 4 4 2 2x 2x x x 1 4 2x 1 0 x x x + + + + + + = 3 2 2 3 2 x x 1 0 x x + + = 5 4 2 x x x 3x 2 0. + + = Nh vậy, nói chung hệ có thể đợc giải bằng phơng pháp thế. Tuy nhiên, với lựa chọn này ta phải giải một phơng trình bậc 5 nên cần có kiến thức về "Phân tích đa thức thành nhân tử". Lựa chọn khác sẽ là chuyển phơng trình thứ hai của hệ về dạng tích và với 6 nhân tử ta có thể chia thành hai nhóm: Với nhóm 3, ta có: x 2 (2x y + 1) + y(y 2x 1) = 0 x 2 (2x y + 1) y(2x y + 1) = 0 (x 2 y)(2x y + 1) = 0 2 y x . y 2x 1 = = + 5 Với nhóm 2, ta có: (2x 3 2xy) (x 2 y y 2 ) + (x 2 y) = 0 2x(x 2 y) y(x 2 y) + (x 2 y) = 0 (x 2 y)(2x y + 1) = 0 2 x y 0 2x y 1 0 = + = 2 y x . y 2x 1 = = + Câu 4. Ta thấy ngay rằng cần sử dụng phơng pháp tích phân từng phần, cụ thể với phép đặt: u x . dv (1 sin2x)dx = = + Câu 5. 1. Tứ diện ABBC đợc coi là hình chóp C.ABB nên ta có ngay: ABB'C ' ABB' 1 V BC.S 3 = 1 BC.AB.BB'. 6 = Trong đó, độ dài các đoạn thẳng BC, AB, BB đợc xác định bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông. 2. Ta nhận thấy: d(A, (BCD)) = d(A, (BCDA)) = d(A, AB) = h. Và h đợc xác định bằng việc sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông. Câu 6. Trớc tiên cần đơn giải biểu thức điều kiện: (x + y) 2 8(x + y) 0 0 x + y 8. Ta thấy ngay, cần biết cách định hớng biến đổi biểu thức A về một hàm số chứa t = x + y, cụ thể: A = (x + y) 3 6xy 3(x + y) + 6. Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của A, thì cần có biến đổi: 6xy g(x + y) và điều này đợc thực hiện bằng việc sử dụng bất đẳng thức: 2 x y xy . 2 + ữ Từ đó, suy ra: 3 2 3 A t t 3t 6 f(t). 2 + = Tới đây, bài toán đợc chuyển về việc tìm gtnn của hàm số f(t) trên tập D = [0; 8]. A. Theo chơng trình Chuẩn Câu 7.a Phác thảo hình vẽ và gọi I là giao điểm của AC với BD. Ta thấy: Toạ độ điểm A đợc xác định thông qua tơng giao của AC và AD. 6 Khai thác giả thiết về điểm M với khẳng định cần có đợc toạ độ của D và của I, từ đó định hớng theo các cách: Cách 1: Ta thấy: - Muốn có D cần có toạ độ trung điểm K của AD. - KI là trung trực của AD, suy ra: KI là trung trực của MN (với N AC sao cho MN // AD) Cần có đợc toạ độ điểm N Cần có đợc phơng trình đờng thẳng (MN). Phơng trình (MN) đợc xác định khá đơn giản bởi nó đi qua M và song song với (AD). Từ đó, thứ tự các bớc thực hiện với cách giải này sẽ là: Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng (MN) với: Qua M (MN) : . MN / /AD Bớc 2: Toạ độ các điểm K, I có đợc khi cho (MN) tơng giao với (AD) và (AC). Bớc 3: Từ K ta nhận đợc toạ độ của D rồi suy ra toạ độ các điểm còn lại là B và C. Cách 2: Với hình chữ nhật ABCD thì IAD cân tại I nên: - Từ điều kiện ã ã IAD IDA= ta xác định đợc vtcp của đờng thẳng (BD). - Lập phơng trình đờng thẳng (BD) biết nó đi qua M. - Với (BD) ta xác định toạ độ của điểm I ((AC) (BD) = {I}), điểm D ((BD) (AD) = {D}) và từ đó sử dụng tính chất trung điểm sẽ nhận đ- ợc toạ độ của C và B. Cách 3: Sử dụng phơng trình tham số của (AC) (tham số a) và (AD) (tham số b) để có đợc toạ độ biểu diễn cho D và I. Từ các điều kiện: IA ID M ID = Giá trị của a, b Toạ độ của D và I. Sử dụng tính chất trung điểm sẽ nhận đợc toạ độ của C và B. Câu 8.a Bài toán thuộc dạng đơn giản khi chỉ cần thực hiện: Với H là hình chiếu vông góc của I trên (P), suy ra: IH = d(I, (P)). Gọi R là bán kính của mặt cầu, suy ra: R 2 = IH 2 + r 2 . Câu 9.a Với bài toán này ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Biến đổi biểu thức điều kiện để tìm đợc z. ở đây cần sử dụng kiến thức về phép chia hai số phức. Bớc 2: Tìm w, rồi suy ra môdun của nó. 7 B. Theo chơng trình Nâng cao Câu 7.b Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng (d) để có đợc toạ độ điểm I(t; 2t + 3). Với điều kiện AB = CD, suy ra: d(I, Ox) = d(I, Oy) Giá trị tham số t Toạ độ tâm I. Bán kính R của đờng tròn đợc cho bởi: 2 2 2 AB R d (I, Ox) . 2 = + ữ Từ đó, nhận đợc phơng trình chính tắc của đờng tròn (C) cần tìm. Chú ý: Cũng có thể sử dụng tính chất hai cát tuyến bằng nhau của đờng tròn để khẳng định: AB = CD d(I, Ox) = d(I, Oy) I(a; a) . I(a; a) Giá trị của a đợc xác định khi sử dụng điều kiện I (d). Câu 8.b Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng (d) để có đợc toạ độ điểm I(1 + 2t; 1 t; t). Với điều kiện AMB vuông tại M, suy ra: AM BM uuuur uuur AM.BM 0 = uuuur uuur Giá trị tham số t Toạ độ M. Câu 9.b Sử dụng "Phơng pháp giải phơng trình bậc hai với hệ số phức" bằng phép tính và tính căn bậc hai của số phức. Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối D năm 2012 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7.0 điểm) Câu 1. a. Với m = 1, hàm số có dạng: 3 2 2 2 y x x 4x . 3 3 = + Ta lần lợt có: 1. Hàm số xác định trên D = Ă . 2. Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn của hàm số tại vô cực: x lim y 3 2 3 x 2 1 4 2 lim x 3 x x 3x = + ữ khi x . khi x + + = 8 Bảng biến thiên: y' = 2x 2 2x 4, y' = 0 2x 2 2x 4 = 0 x 1 . x 2 = = x 1 2 + y' + 0 0 + y CĐ 3 6 CT + Điểm uốn: y'' = 4x 2, y'' = 0 4x 2 = 0 1 x . 2 = Vì y" đổi dấu khi x qua điểm 1 2 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là 1 3 U ; . 2 2 ữ 3. Đồ thị của hàm số Bạn đọc tự vẽ hình. b. Miền xác định D = Ă . Đạo hàm: y' = 2x 2 2mx 2(3m 2 1), y' = 0 2x 2 2mx 2(3m 2 1) = 0. (1) Hàm số có hai điểm cực trị khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: > 0 13m 2 4 > 0 2 m . 13 > Khi đó, hoành độ hai điểm cực trị x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức Viet: ( ) 1 2 2 1 2 x x m . x x 3m 1 + = = Ta có x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1 tơng đơng với: (3m 2 1) + 2m = 1 3m 3 2m = 0 2 m 3 m 0 (loai) = = Vậy, với 2 m 3 = thoả mãn điều kiện đầu bài. Câu 2. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình về dạng: ( ) sin 3x cos3x sin x cos x 2cos 2x+ = 9 2 sin 3x 2 sin x 2cos 2x 4 4 + = ữ ữ sin 3x sin x cos 2x 4 4 + = ữ ữ 2cos 2x.sin x cos 2x 4 + = ữ 2sin x 1 cos 2x 0 4 + = ữ 1 sin x 4 2 cos2x 0 + = ữ = x k2 4 6 5 x k2 4 6 2x k 2 + = + + = + = + x k2 12 7 x k2 , k . 12 x k 4 2 = + = + = + Â Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm. Cách 2: Biến đổi phơng trình về dạng: ( ) ( ) sin 3x sin x cos3x cos x 2cos 2x + + = 2cos 2x.sin x 2cos 2x.cos x 2cos 2x + = 2(sin x cos x)cos 2x 2cos 2x + = 2 2 sin x .cos2x 2cos 2x 4 + = ữ 2sin x 1 cos 2x 0 4 + = ữ 1 sin x 4 2 cos2x 0 + = ữ = x k2 4 6 5 x k2 4 6 2x k 2 + = + + = + = + x k2 12 7 x k2 , k . 12 x k 4 2 = + = + = + Â Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm. Câu 3. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi phơng trình thứ hai của hệ về dạng: x 2 (2x y + 1) + y(y 2x 1) = 0 x 2 (2x y + 1) y(2x y + 1) = 0 (x 2 y)(2x y + 1) = 0 2 x y 0 2x y 1 0 = + = 2 y x . y 2x 1 = = + 10 . kí Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI D NĂM 2012 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh). nhomcumon68@gmail.com 1 Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 2 đề thi môn toán khối D năm 2012 Phần chung cho tất cả các thí sinh (7.0 điểm) Câu 1: (2 điểm):
