[Type here] TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TPHCM KHOA TOÁN TIN HỌC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ SƠ CẤP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC NHÓM SINH VIÊN: NGUYỄN THÀNH LONG 1511152 HUỲNH NGỌC GIÀU 1511069 Lớp: 15TTH TPHCM, 5/2018 [Type here] Mục lục Cơ sở lý thuyết Chứng minh tồn cấu hình 2.1 Ví dụ minh họa 2.2 Bài tập đề nghị Tìm cực trị rời rạc 3.1 Ví dụ minh họa 3.2 Bài tập đề nghị 10 Thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng 12 4.1 Ví dụ minh họa 12 4.2 Bài tập đề nghị 15 Cơ sở lý thuyết Nguyên lí cực trị rời rạc phát biểu sau: Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực luôn: (a) tồn số bé số lớn (b) xếp chúng theo trật tự tăng giảm Nguyên lí thật đơn giản vận động thấm sâu vào nhiều chứng minh toán học Chứng minh tồn cấu hình Phương pháp chung:Trong thực tế muốn tách cá thể khỏi đám đông, người ta thường phải đưa tiêu chí đó, làm cho đối tượng cần tách trội theo tiêu chí Khi chứng minh tốn tồn cấu hình nguyên lí cực trị, người ta cần đặt quan hệ thứ tự đó, mà cấu hình tồn đối tượng cực trị 2.1 Ví dụ minh họa Ví dụ Cho 2n điểm phân biệt đường tròn, có n điểm trắng n điểm đen(n ≥ 2) Chứng minh tồn tại: (i) Một cách nối tất điểm trắng với điểm đen n đoạn thẳng cho đoạn thẳng khơng có điểm chung (ii) Một cách nối tất điểm trắng với điểm đen n đoạn thẳng cho đoạn thẳng đôi cắt Chứng minh: Gọi S tập tất cách nối điểm trắng với điểm đen n đoạn thẳng Khi S hữu hạn khác rỗng Theo nguyên lí cực trị tồn tại: cách nối N có tổng độ dài đoạn thẳng nối nhỏ cách nối L có tổng độ dài đoạn nối lớn Ta chứng minh với cách nối N đoạn thẳng khơng có điểm chung Thật giả sử trái lại tồn hai điểm trắng A,B hai điểm đen X,Y mà đoạn AX cắt BY I(Hình 1) Khi đó, BI +IX > BX IY +AI > AY , suy BX +AY < BI +IY +AI +IX =AX + BY Vậy ta thay đoạn BY BX,AX AY với đoạn lại N ta cách nối N có tổng đoạn nối nhỏ tổng đoạn nối N(mâu thuẫn!) Vậy N thỏa mãn(i) Hình 1: Bây ta chưng minh với cách nối L, đoạn thẳng nối đơi cắt Thật vậy, giả sử có hai điểm trắng A, B hai điểm đen X, Y nối hai đoạn AX BY không cắt nhau(Hình 2) Hình 2: Khi ta thay tương ứng hai đoạn AX Và BY AY BX AY cắt BX điểm J Ta có AY + BX = (AJ + JY ) + (BJ + JX) = (AJ + JX) + (BJ + JY ) > AX + BY Như ta tìm cách nối có tổng đoạn nối lớn tổng đoạn nối L(mâu thuẫn!) Vậy L thỏa mãn (ii) Ví dụ Có n đội bóng đấu với theo nguyên lí đấu vòng, tức đội phải đấu với tất đội lai.Biết trận đấu khơng có hòa Chứng minh ln xếp thứ tự tên đội theo cột dọc cho đội đứng trước thắng đội đứng sau Chứng minh Gọi S tập tất cách xếp số đội n đội theo cột dọc cho đội đứng trước thắng đội đứng sau Do S hữu hạn khác rỗng nên tồn cách xếp có tên nhiều đội Ta chứng minh cách xếp phải có đủ tên n đội Thật vậy,giả sử cách xếp có t < n đội, D1,D2,··· ,Dt Khi phải có đội D nằm ngồi danh sách D khơng thể thắng D1, thắng có danh sách khác dài D,D1,D2,··· ,Dt Do D phải thua D1, D khơng thể thắng D2 ta lại có cách xếp dài hơn:D1,D,D2,··· ,Dt.Tiếp tục lập luận ta có D thua Dt, ta lại có danh sách dài hơn:D1,D2,··· ,Dt,D(mâu thuẫn giả thiết!) Vậy t = n Ví dụ (Bài tốn Sylvester,1814-1897) Trên mặt phẳng cho n − điểm Biết đường thẳng qua điểm qua điểm thứ ba Chứng minh n điểm cho thẳng hàng Chứng minh Giả sử n điểm cho không thẳng hàng Suy với điểm A n điểm,ln tồn đường thẳng qua hai điểm trơng số điểm lại không qua A Xét tập tất khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng qua điểm số điểm lại khơng qua A Vì số khoảng cách hữu hạn nên tồn khoảng cách ngắn Gỉa sử khoảng cách ngắn khoảng cách từ A tới đường thẳng BC Hạ AH ⊥ BC Gọi S tập n điểm cho Nếu H ∈ S Ta có AH = d(A,BC) > d(H,AC)(mâu thuẫn!) Hình 3: Do H 6∈ S Từ gỉa thiết đường thẳng qua điểm S qua điểm thứ ba thuộc S nên ∃D ∈ S nằm BC Gỉa sử C,D nằm phía H Ta có d(A,BC) = AH > d(H,AD) > d(C,AD) (mâu thuẫn!) Vậy n điểm cho thẳng hàng Chú ý:Bài tốn Sylvester mở rộng khơng gian Điểm giữ nguyên coi siêu phẳng mặt phẳng Như ta có hai tốn tương tự không gian: Trong không gian cho n − điểm Biết mặt phẳng qua điểm qua điểm thứ tư Chứng minh tất điểm cho đồng phẳng Trong không gian cho n−3 đường thẳng Biết mặt phẳng chứa đường thẳng chứa đường thẳng thứ ba Chứng minh tất đường thẳng cho đồng phẳng Một cách mở rộng khác toán Sylvester là: Cho n hình lồi (n > 2) cho hình lồi có có giao khác rỗng Chứng minh n hình lồi cho có giao khác rỗng Đó nội dung định lí Helly! Ví dụ (Bài toán đối ngẫu toán Sylvester) Trong mặt phẳng cho n đường thẳng(n ≥ 3), hai đường thẳng cắt qua giao điểm có khơng ba đường thẳng qua Chứng minh tất đường thẳng qua điểm Chứng minh Giả sử n đường thẳng cho không đồng quy Xét tập tất giao điểm đến đường thẳng cho Gọi S tập khoảng cách khác không từ giao điểm đến đường thẳng cho Do S hữu hạn khác rỗng nên tồn khoảng cách ngắn Giả sử d(A,∆) bé nhất(A 6∈ ∆) Theo giả thiết có đường thẳng ∆1,∆2,∆3 qua A Hình 4: Gọi B,C,D giao điểm ∆1,∆2,∆3 với ∆ Lại theo giả thiết qua C có đường thẳng ∆4 qua ∆4 cắt hai đoạn thẳng AB CD Giả sử ∆4 cắt đoạn AB E⇒d(E,∆)\ AMB\ (mâu thuẫn) Vậy tồn hình tròn qua điểm mà khơng chứa điểm lại bên Ví dụ Chứng minh với số nguyên n > 1, 2n −1 không chia hết cho n Chứng minh Giả sử tồn số nguyên n > ước 2n − Khi n số lẻ ta gọi p ước nguyên tố nhỏ n p lẻ Theo định lí Ferma nhỏ ta có 2p−1 − chia hết cho p Gọi k số nguyên dương nhỏ cho 2k − chia hết cho p, suy k ≤ p − < p Ta chứng minh n Thật vậy, n = kq + r, với < r < k 2n − = (2k)q.2r − = (mp + 1)q.2r − = (m0p + 1).2r − 1;với m,m’ ∈ Z Mà 2n − p =⇒ 2r − p(mâu thuẫn với việc chọn k) Do n k, k < p nên n có ước nguyên tố nhỏ p (mâu thuẫn!) Vậy với số nguyên n > 1, 2n − khơng chia hết cho n Ví dụ Chứng minh có vơ số số nguyên tố có dạng 6n + Chứng minh Gọi A tập tất số nguyên tố có dạng 6n + Nếu A hữu hạn A khác rỗng (vì ∈ A) nên tồn số lớn p thuộc A Ta xét số r=6p!-1 phần tử A khơng ước r Mặt khác r có dạng 6n+5 nên r phải có ước ngun tố dạng 6n+5 Gọi ước ngun tố m m 6∈ A m>p(mâu thuẫn!) Vậy có vơ hạn số ngun tố dạng 6n+5 Ví dụ Có 64 người hội thảo, biết người quen với người khác Chứng minh tồn 12 người để xếp họ quanh bàn tròn, cho người ngồi người quen Chứng minh Nhận xét:Bài tốn khơng xác ta có phản ví dụ sau: Chia 64 người thành nhóm, nhóm người cho nhóm tất biết Giữa hai nhóm khơng quen Khi khơng có cách xếp 12 người người ngồi người quen Ví dụ Có n điểm mặt phẳng cho diện tích tam giác tạo điểm chúng lớn Chứng minh n điểm nằm tam giác có diện tích lớn Chứng minh Vì số điểm cho hữu hạn nên số tam giác tạo thành từ n điểm cho hữu hạn khác rỗng Theo nguyên lí cực trị tồn tam giác có diện tích lớn nhất, ta gọi tam giác 4ABC Qua đỉnh 4ABC ta kẻ đường song song với cạnh cảu tam giác, tam giác tạo giao điểm 4A0B0C0 tam giác cần tìm Hình 6: Thật vậy, 4ABC có diện tích khơng lớn 1,mà 4A0B0C0 có diện tích lần diện tích 4ABC nên diện tích 4A0B0C0 khơng vượt q Bây ta chứng minh khơng có điểm n điểm không thuộc miền 4A0B0C0 Phản chứng, giả sử điểm D nằm miền 4A0B0C0 Khi tồn đỉnh 4A0B0C0 nằm khác phía với D Khơng tính tổng qt giả thiết D,B0 nằm khác phía A0C0 Khi ta có d(D,AC) > d(B,AC) ⇒ S(4DAC) > S(4ABC)(mâu thuẫn!) 2.2 Bài tập đề nghị Bài Sau trận đấu vòng bóng bàn, đấu thủ gọi tên người thua mình, người thua người thua CMR tồn đấu thủ gọi tên tất người lại Bài Một quốc gia có 2010 thành phố Giữa thành phố có đường nối với Độ dài đương có đơi khác Từ thành phố A ta đến thành phố B khác theo đường ngắn Từ B ta đến thành phố C khác theo đường ngắn khác với đường vừa Cứ qui tắc Hỏi đường có thành phố qua hai lần không? Bài Chứng ngũ giác lồi tồn ba đường chéo, mà chúng dựng tam giác Bài Trong bàn cờ n x n đặt quân xe thỏa mãn điều kiện có dó khơng có qn xe tơng qn xe đứng hàng cột với khơng nhỏ n Chứng minh bàn cờ có khơng quân xe Bài Một nước có 80 sân bay mà khoảng cách cặp sân bay khác khơng có sân bay thẳng hàng Cùng thời điểm từ sân bay có máy bay cất cánh bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay khơng có máy bay bay đến Bài Trên mặt phẳng có 2010 điểm, khoảng cách điểm đôi khác Nối điểm số 2010 điểm với điểm gần Vói cách nối có nhận đường gấp khúc khép kín khơng? Bài Trong hội nghị tốn học có nhiều nhà toán học đến dự Người ta nhận thấy người họ mà quen hai người khơng quen với người thứ ba Còn hai người họ mà khơng quen họ quen với hai người khác Chứng minh hội nghị này, tất nhà tốn học có số người quen Tìm cực trị rời rạc 3.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 10 Cho m d số nguyên với m ≥ d ≥ 2.Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1 + x2 + ··· + xd = m Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: Chứng minh Gọi G tập tất giá trị S Ta có G khác rỗng hữu hạn nên theo ngun lí cực trị rời rạc tồn N số nhỏ G L số lớn G Giả sử (a1,a2, ,ad) làm cho S nhận giá trị N Ta chứng minh số a1,a2, ,ad tối đa Thật vậy, giả sử a2 − a1 = a > 1.Khi lấy b = a1 − 1;c = a2 + 1,thì a1 + a2 = b + c Như ta tìm số nguyên b,c,a3, ,ad thỏa mãn b + c + a3 + ··· + ad = m làm cho giá trị S nhỏ N(mâu thuẫn!).Vậy số a1,a2, ,ad tối đa Bây giả sử a1 ≤ a2 ≤ ··· ≤ ad m=dn+k(0 ≤ k < d) Do đặc điểm dãy a1 ≤ a2 ≤ ··· ≤ ad ta có a1 = a2 = ··· = ad−k = n;ad−k+1 = ad−k+2 = ··· = ad = n+1 Vậy giá trị nhỏ N=(d − k)n2 + k(n + 1)2 Giả sử (b1,b2, ,bd) làm cho S nhận giá trị lớn L Ta chứng minh b1 = b2 = ··· = bd−1 = 1;bd = m + − d Thât vậy, giả sử tồn i < d cho bi > Đặt ci = bi − 1;cd = bd + 1, ta có b2i + b2d Như ta tìm số nguyên b1, ,bi−1,ci,bi+1, ,bd−1,cd thỏa mãn b1+···+bi−1+ci +bi+1+···+cd = m làm cho giá trị S lớn L(mâu thuẫn!) Vậy giá tị lớn L=(d − 1) + (m − d + 1)2 Tổng quát:Cho m d số nguyên với m ≥ d ≥ 2.Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1 + x2 + ··· + xd = m Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: Ví dụ 11 Cho m > d số nguyên dương Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1x2 xd = m Tìm giá trị lớn Chứng minh Gọi A tập tất giá trị S Ta có A hữu hạn khác rỗng Theo nguyên lí cực trị rời rạc, tồn U số lớn A Gỉa sử (a1,a2, ,ad) làm cho S nhận giá trị U Ta chứng minh số a1,a2, ,ad có số m, tất số khác Khơng tính tổng quát ta giả sử a1 ≥ a2 ≥ ··· ≥ ad Ta cần chứng minh a1 = m,a2 = a3 = ··· = ad = Thật vậy, a1 < m a2 > Đặt b = a1a2,c = 1, ta có Như ta tìm số nguyên dương b,c,a3, ,ad thỏa mãn bca3 ad = m làm cho giá trị S lớn U(mâu thuẫn) Vậy a1 = m,a2 = = ad = U=m3 + (d − 1) Ví dụ 12 Cho m d số nguyên với m ≥ d ≥ Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1 +x2 +···+xd = m Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn d S = P kxk k=1 Chứng minh Gọi A tập tất giá trị S Ta có A hữu hạn khác rỗng nên theo nguyên lí cực trị rời rạc tồn phần tử lớn L phần tử nhỏ N A • Giả sử (a1,a2, ,ad) làm cho S nhận giá trị L Ta chứng minh a1 = a2 = ··· = ad−1 = 1;ad = m − d + Thật giả sử ad < m + − d, phải tồn > 1,i 6= d Đặt bd = ad + 1;bi = − a1 + ··· + ai−1 + bi + ai+1 + ··· + bd = m ibi + dbd = i(ai − 1) + d(ad + 1) = iai + dad + d − > iai + dad Như ta tìm số nguyên dương a1, ,ai−1,bi,ai+1, ,bd thỏa mãn a1 + ··· + ai−1 + bi + ai+1 + ··· + bd = m làm cho giá trị S lớn L(mâu thuẫn!) Vậy a1 = a2 = ··· = ad−1 = 1;ad = m − d + L= • Giả sử (b1,b2, ,bd) làm cho S nhận giá trị N Ta chứng minh b1 = m + − d;b2 = b3 = ··· = bd = Thật giả sử b1 < m + − d, phải tồn bi > 1,i 6= Đặt c1 = b1 + 1;ci = bi − c1 + b2 + ··· + bi−1 + ci + bi+1 + ··· + bd = m c1 + ici = (b1 + 1) + i(bi − 1) = (b1 + ibi) − (i − 1) < b1 + ibi Như ta tìm số nguyên dương c1,b2, ,bi−1,ci,bi+1, ,bd thỏa mãn c1 + b2 + ··· + bi−1 + ci + bi+1 + ··· + bd = m làm cho giá trị S nhỏ N(mâu thuẫn!) Vây Ví dụ 13 Cho a1,a2, ,ad,a,b1,b2, ,bd số thưc dương, x1,x2, ,xd d biến không âm cho P akxk = a Hãy tìm giá trị nhỏ lớn k=1 d biểu thức: S = P bkxk k=1 Chứng minh Khơng giảm tính tổng qt ta giả sử Theo d giả thiết ta có Do Vậy S đạt giá trị lớn S đạt giá trị nhỏ Ví dụ 14 Giả sử x1,x2, ,xd biến ngun dương có tích d! Tìm giá trị nhỏ Chứng minh Gọi A tập giá trị S Dễ thấy A khác rỗng hữu hạn Do theo nguyên lí cực trị rời rạc A ln có phần tử lớn L Giả sử số nguyên (a1,a2 ,ad)làm cho S nhận giá trị L Khơng làm tính tổng quát ta giả sử a1 ≥ a2 ≥ ··· ≥ ad Ta cần chứng minh a1 = d!,ai = với i ∈ {2,3, ,d} Thật vậy, giả sử a1 < d! a2 > 1, đặt b=1 c = a1a2 Ta có bca3 ad = d!, (mâu thuẫn với tính lớn L) Vậy L = (d − 1) + (d!)5 a1 = d!,ai = 1,∀i = 2,d Ví dụ 15 Cho số dương a1,a2,a3,a4,a5 thỏa mãn điều kiện: (i) 2ai số nguyên dương với i = 1,5 (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99 Tìm giá trị lớn P = a1a2a3a4a5 Chứng minh Gọi G tập tất giá trị P Dễ thấy G hữu hạn khác rỗng Do theo ngun lí cực trị rời rạc ln tồn N số bé G Ta chứng minh số x1,x2,x3,x4,x5 tối đa 0.5 Thật vậy, Giả sử chẳng hạn x1−x2 = x > 0.5 KHi lấy b = 0,5 c = x2+0.5 2b,2c số nguyên x1+x2 = b+c bc = (x1−0.5)(x2+0.5) = x1x2+0.5x−0.25 > x1x2 (do x1 −x2 = x > 0.5) Vậy ta tìm số (b,c,x3,x4,x5) thỏa mãn (i) (ii) làm cho giá trị P bé N (Mâu thuẫn!) Vậy số x1,x2,x3,x4,x5 tối đa 0.5 Bây giả sử x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤ x5 mà a1+a2+a3+a4+a5 = 99 ta suy a1 = a2 = 19.5 a3 = a4 = a5 = 20.Vậy giá trị lớn cần tìm là:N = 19.52203 3.2 Bài tập đề nghị Bài Cho m d số nguyên với m ≥ d ≥ 2.Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1 + x2 + ··· + xd = m Tìm giá trị lớn biểu thức: S = X xixj 1≤i b) Nếu x > y tồn số nguyên p cho 3y + = px Mặt khác ta có 3x > 3y ⇒ 3x ≥ 3y + = px Dấu khơng xảy 3y + khơng chia hết cho 3, nên ta có 3x > px Vậy p=1, p=2 – Nếu p = 3y + = x ⇒ (3(3y + 1) + 1) y, y, suy y = y = Tương ứng x = x = 13 – Nếu p = 2x = 3y + ⇒ (9y + 5) y, y Suy y = x = Ví dụ 17 Tìm tất số nguyên tố a,b,c cho abc < ab + bc + ca Chứng minh Do vai trò bình đẳng a,b,c nên ta giả sử a ≤ b ≤ c Khi ta có ab + bc + ca ≤ 3bc Nếu a ≥ ⇒ 3bc ≤ abc ⇒ ab + bc + ca ≤ abc(mâu thuẫn), a = (vì a số ngun tố) Do • Nếu b = ⇒ c số ngun tố • Nếu b = ⇒ c = c = Ví dụ 18 Chứng minh đoạn thẳng, đoạn có độ dài l nguyên tùy ý, với ≥ l ≥ 13, chọn đoạn để làm cạnh tam giác Chứng tỏ tốn khơng dùng đoạn thẳng Chứng minh 12 Nhận xét:Nếu số dương a,b,c thỏa mãn a ≥ b ≥ c chúng độ dài ba cạnh tam giác a < b + c Giả sử đoạn cho có độ dài tương ứng l1,l2, ,l7 Khơng tính tổng qt ta giả sử ≥ l1 ≥ ··· ≥ l7 Nếu không chọn đoạn làm cạnh tam giác ta có l3 ≥ l1 + l2 ≥ + = l4 ≥ l2 + l3 ≥ + = l5 ≥ l3 + l4 ≥ + = l6 ≥ l4 + l5 ≥ + = l7 ≥ l5 + l6 ≥ + = 13 Điều mâu thuẫn với giả thiết l7 < 13 Vậy chọn đoạn để làm cạnh tam giác Nếu dùng đoạn tốn khơng đúng, ví dụ lấy đoạn có độ dài tương ứng l1 = l2 = 1,l3 = 2,l4 = 3,l5 = 5,l6 = Ví dụ 19 Tìm 12 số ngun dương, cho tổng chúng tích chúng Chứng minh Gọi 12 số nguyên dương cần tìm x1,x2, ,x11,x12 khơng tính tổng qt ta giả sử x1 ≥ x2 ≥ ··· ≥ x11 ≥ x12(1) 12 Theo giả thiết ta có P xi = Q 12 12 xi(2) Mà theo (1) ta có P xi ≤ 12x1, suy i i=1 i=1 , hay Vì = 16 nên 11 số x2,x3, ,x12 có số lớn Vậy 12 số phải tìm khơng thể có số lớn Do xảy trường hợp sau: Cả 12 số 1(không thỏa mãn!) x1 > x2 = x3 = ··· = x12 = Từ (2) suy x1 = 11 + x1 (không thỏa mãn) x1 ≥ x2 > x3 = ··· = x12 = Từ (2) suy x1+x2+10 = x1x2 ⇒ x1 = 12;x2 = x1 ≥ x2 ≥ x3 > x4 = ··· = x12 = Từ (2) suy x1 +x2 +x3 +9 = x1x2x3(Giải tương tự ví dụ trên) x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ x4 > x5 = ··· = x12 = Từ (2) suy x1 + x2 + x3 + x4 + = x1x2x3x4(3) Đặt yi = x1 − 2,∀i = 1,4 ⇒ yi ≥ 0,∀i = 1,4 Thay vào (3) ta được: (3)↔ 16 + y1 + y2 + y3 + y4 = (y1 + 2)(y2 + 2)(y3 + 2)(y4 + 2) 13 ↔ = 7(y1+···+y4)+2y1y2(y3+y4)+2y3y4(y1+y2)+4(y1y2+y3y4)+y1y2y3y4 Do y1 = y2 = y3 = y4 = 0, suy x1 = x2 = x3 = x4 = Ví dụ 20 (Bất đẳng thức Schur) Cho a,b,c số nguyên dương r số thực bất kì, r ≥ Chứng minh rằng: ar(a − b)(a − c) + br(b − c)(b − a) + cr(c − a)(c − b) ≥ Chứng minh Do vai trò bình đẳng a,b,c nên ta giả sử a ≥ b ≥ c.Ta viết lại bất đẳng thức cho thành: ar(a − b)(a − c) − br(b − c)(a − b) + cr(a − c)(b − c) ≥ ⇐⇒ (a − b)[(ar(a − c) − br(b − c)] + cr(a − c)(b − c) ≥ Vì a ≥ b ≥ c nên bất đẳng thức ln đúng! Ví dụ 21 a) Cho a1,a2, ,an > 0.Chứng minh rằng: b) Cho x,y,z ≥ x+y +z = Chứng minh Chứng minh a)Do vai trò bình đẳng a1,a2, ,an nên ta giả sử a1 ≥ a2 ≥ ··· ≥ an Ta có Mặt khác, ta có Do Bất đẳng thức ln ≥ aj,∀i < j b)Do vai trò bình đẳng x,y,z nên ta giả sử + yz + zx − 3xyz ≥ yz + zx ≥ xy ⇒ xy Đặt z − k,0 ≤ k ≤ = 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Mà xy + yz + zx − 3xyz = xy(1 − 3z) + z(x + y) 14 ⇒ 3xyz ≤ k 4.2 Bài tập đề nghị Bài 12 a) Tìm số nguyên dương x,y,z cho x + y + z = xyz b) Tìm số nguyên dương x,y,z,t cho x + y + z + t = xyzt Bài 13 Biết Chứng minh ,giá trị nhỏ (ai − aj)2,(1 ≤ i 6= j ≤ 5) vượt Bài 14 Cho số thực khác a,b,c,d Biểu thức f(x,y,z,t) = (x − y)2 + (y − z)2 + (z − t)2 + (t − x)2 nhận giá trị khác nhau, biến x,y,z,t biến thiên hoán vị số a,b,c,d Bài 15 Chứng minh rằng, từ 25 số nguyên dương khác chọn hai số, cho số lại tổng hiệu hai số vưà chọn Bài 16 Chứng minh tam giác ABC ta ln có: a2b(a − b) + b2c(b − c) + c2a(c − a) ≥ Với a,b,c độ dài cạnh tam giác Bài 17 Cho a,b,c ∈ [0,1].Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: Bài 18 Giải hệ phương trình sau:(a > 0) Một số tốn TST VMO: Bài 1: Cho đa giác 2007 đỉnh Tìm số ngun k nhỏ thoả mãn tính chất: Trong cách chọn k đỉnh đa giác tồn đỉnh tạo thành tứ giác lồi mà số cạnh cạnh đa giác cho (VMO 2007) 15 Bài 2: Cho T tập n số nguyên dương Một tập K tập khuyết T, tồn 𝑛 số nguyên dương c bé cho với x y K |x−y|≠c Tìm |K| lớn theo n (TST 2008) Bài 3: Gọi hình chữ nhật có kích thước 1×2 hình chữ nhật đơn vị hình chữ nhật có kích thước 2×3 , bỏ góc chéo ( tức có vng nhỏ) hình chữ nhật kép Người ta gép khít hình chữ nhật đơn vị hình chữ nhật kép lại với bảng hình chữ nhật có kích thước 2008×2010 Tìm số bé hình chữ nhật đơn dùng ghép (TST 2010) Tài liệu tham khảo: Diễn đàn http://mathscope.org Chuyên đề đại số sơ cấp khoa Toán tin Đại học sư phạm HN (2008) 16 ... d! Tìm giá trị nhỏ Chứng minh Gọi A tập giá trị S Dễ thấy A khác rỗng hữu hạn Do theo ngun lí cực trị rời rạc A ln có phần tử lớn L Giả sử số nguyên (a1,a2 ,ad)làm cho S nhận giá trị L Khơng... học có số người quen Tìm cực trị rời rạc 3.1 Ví dụ minh họa Ví dụ 10 Cho m d số nguyên với m ≥ d ≥ 2.Giả sử x1,x2, ,xd biến nguyên dương cho x1 + x2 + ··· + xd = m Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức:... trị lớn Chứng minh Gọi A tập tất giá trị S Ta có A hữu hạn khác rỗng Theo nguyên lí cực trị rời rạc, tồn U số lớn A Gỉa sử (a1,a2, ,ad) làm cho S nhận giá trị U Ta chứng minh số a1,a2, ,ad có