Trờng THPT Hàm Rồng Đề KTCL theo khối thi đại học Năm học 2008-2009 Môn : Toán - Khối D Thời gian làm bài : 180 phút Ngày thi : 14-03- 2009 A. phần chung cho tất cả các thí sinh: Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x = (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm m để đờng thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O. Câu II: (2 điểm) 1. Giải phơng trình: ( ) ( ) x xx xx sin12 cossin 1cos.cos 2 += + 2. Giải hệ phơng trình: =+++ =+ 411 3 22 22 yx xyyx Câu III: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA mf(ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm AD, SC. 1. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mf(BMN). 2. Tính góc giữa hai đờng thẳng MN và BD. Câu IV: (2 điểm) 1. Tính tích phân: ( ) + 2 0 cos 2sin.sin xdxxe x 2. Chứng minh rằng: . 2 2cos 2 Rx x xxe x ++ B. phần tự chọn: (Thí sinh chỉ làm một trong hai câu Va hoặc Vb) Câu Va: (2 điểm) Theo chơng trình cơ bản. 1. Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đờng tròn (C) có phơng trình ( ) ( ) 2512 22 =++ yx theo một dây cung có độ dài bằng 8. 2. Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hãy tính xác suất để lập đợc số tự nhiên chia hết cho 5. Câu Vb: (2 điểm) Theo chơng trình nâng cao. 1. Cho ABC biết: B(2; -1), đờng cao qua A có phơng trình d 1 : 3x - 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có phơng trình d 2 : x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A. 2. Tính tổng: 1004 2009 2 2009 1 2009 0 2009 . CCCCS ++++= Trờng THPT Hàm Rồng Đáp án đề KTCL theo khối thi đại học Năm học 2008-2009 Môn: toán khối D Ngày thi : 14-03- 2009 Câu ý Nội dung Điểm I 2điểm 1. KS HS 2 1 1 x y x = 1. Tập XĐ : D = R\{1} 2. Khảo sát sự biến thiên : a/ Các giới hạn và tiệm cận: + lim 2 x y = => y = 2 là tiệm cận ngang. + 1 1 lim ; lim x x y y + = = + => x = 1 là tiệm cận đứng. b/ Lập bảng biến thiên: ( ) 2 1 ' 0 1 1 y x x = < Bảng biến thiên : x 1 + y - - y 2 + 2 HS nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 và ( ) 1;+ HS không có cực trị. 3. Đồ thị : Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) làm tâm đối xứng 0, 25 0,25 0,5 Hết . 2 Toạ độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ: += = )2( )1( 1 12 mxy x x y Phơng trình hoành độ giao điểm: 1,01)3( 2 =++ xmxmx (*) .052 2 Rmmm >+= , (*) không có nghiệm x= 1. => (*) có 2 nghiệm phân biệt là x A và x B => A(x A ; x A + m), B(x B ; x B + m), Theo định lí viét: = =+ mxx mxx BA BA 1. 3 0,25 0,25 Để OAB vuông tại O thì ( )( ) 00. =+++= mxmxxxOBOA BABA ( ) 202 2 ==+++ mmxxmxx BABA 0,25 0,25 Câu II 2 điểm 1 ( ) ( ) x xx xx sin12 cossin 1cos.cos 2 += + ĐK: kx + 4 Pt ( )( )( ) ( )( ) xxxxxx cossinsin121cossin1sin1 ++=+ ( )( ) += += =++ =+ =+++ =+ 2 2 2 01cossin1 0sin1 01cossincossin 0sin1 kx kx xx x xxxx x 0,25 0,25 0,5 2. =+++ =+ )2(411 )1(3 22 22 yx xyyx (2) <=> ( ) ( ) ( ) 1142141.12 2 2222 =+++=++++ xyxyxyyxyx (3) Đặt xy = p. ( ) = = =+ =++ 3/35 3 0105263 11 11423 2 2 p p pp p ppp (1) <=> ( ) 33 2 +=+ xyyx * p=xy = -35/3 (loại) * p=xy = 3 => 32 =+ yx 1/ Với 3 32 3 == =+ = yx yx xy 2/ Với 3 32 3 == =+ = yx yx xy Vậy hệ có hai nghiệm là: ( ) ( ) 3;3,3;3 . 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III 2 điểm 1. Gắn hệ trục toạ độ nh hình vẽ: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; a), M(0; a/2; 0), N(a/2; a/2; a/2) [ ] = 4 ; 2 ; 4 , 222 aaa BN BM 0,25 A C S D B N M x y z [ ] 24 , 6 1 3 a BDBMBNV BMND == [ ] 24 3 , 2 1 2 a BMBNS BMN == MÆt kh¸c, ( ) )(,. 3 1 BMNDdSV BMNBMND = ( ) 6 6 . 3 )(, a S V BMNDd BMN BMND ==⇒ 0,25 0,25 0,25 2. ( ) ( ) 0 120, 2 1 . . ,cos =⇒−== BDMN BDMN BDMN BDMN ( ) 0 60, =⇒ BDMN 0,5 0,5 IV 2 ®iÓm 1 ( ) ∫∫∫ +=+ 2 0 2 0 cos 2 0 cos 2sin.sin2sin.2sin.sin πππ xdxxxdxexdxxe xx * ∫∫ == 2 0 cos 2 0 cos 1 .cos.sin.2.2sin. ππ dxxxedxxeI xx ∫ −= 2 0 cos )(cos.cos.2 π xdxe x 0,25 §Æt cosx = t. 10 0 2 =→= =→= tx tx π 2 0 1 22 0 1 .2)(.2.2 1 0 1 0 1 0 1 =−=         −===⇒ ∫∫∫ ttttt eedteetedtdtetI * ( ) =−== ∫∫ 2 0 2 0 2 3coscos 2 1 2sin.sin ππ dxxxxdxxI 3 2 0 2 3 3sin sin 2 1 =       − π x x ( ) 3 8 3 2 22sin.sin 2 0 cos =+=+⇒ ∫ π xdxxe x 0,25 0,5 2 0 2 2cos. 2 2cos 22 ≥+−−+⇔−+≥+ x xxe x xxe xx XÐt hµm sè: ., 2 2cos)( 2 Rx x xxexf x ∈+−−+= xxexf x +−−= 1sin)(' Rxxexf x ∈∀>−+=⇒ 0cos1)('' => f’(x) lµ hµm sè ®ång biÕn vµ f’(x) = 0 cã tèi ®a mét nghiÖm. KiÓm tra thÊy x = 0 lµ mét nghiÖm cña f’(x). => f’(x) = 0 cã duy nhÊt mét nghiÖm x = 0. B¶ng biÕn thiªn : x −∞ 0 +∞ f’(x ) - 0 + f(x) 0,25 0,25 0 Rxxf 0)( . 2 2cos 2 Rx x xxe x ++ 0,25 0,25 Va 2 điểm 1 d: a(x - 1)+ b(y -2) = 0 <=> ax + by - a - 2b = 0 ĐK: a 2 + b 2 > 0 Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; -1) của (C) đến d bằng 3. ( ) 22 22 333 22 , baba ba baba dId +== + = = = =+ ba a aba 4 3 0 068 2 a = 0: chọn b = 1 => d: y - 2 = 0 a = - b 4 3 : chọn a = 3, b = - 4 => d: 3x - 4 y + 5 = 0. Vậy có hai đờng thẳng thoả mãn bài toán có phơng trình là: y - 2 = 0 và 3x - 4 y + 5 = 0. 0,25 0,25 0,5 2 Gọi A là biến cố lập đợc số tự nhiên chia hết cho 5, có 5 chữ số khác nhau. * Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau: 5880 4 7 5 8 = AA số * Lập số tự nhiên chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau: gọi số có dạng a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 . Có các trờng hợp sau: + a 5 = 0: chọn a 1 a 2 a 3 a 4 có 4 7 A cách. + a 5 = 5: chọn a 1 có 6 cách ( vì a 1 0, a 1 a 5 ) chọn a 2 a 3 a 4 có 3 6 A cách. => có 4 7 A + 6. 3 6 A = 1560 số => P(A) = 49 13 5880 1560 = 0,25 0,25 0,25 0,25 Vb 2 điểm 1 +Đờng thẳng BC vuông góc AH: 3x - 4y + 27= 0 nên có véc tơ chỉ phơng là: ( ) 4;3 = U . Đờng thẳng BC qua B(2; -1) => phơng trình BC: 4 1 3 2 + = yx 0534: =+ yxBC + Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: 0,25 0,25 I A H C D 5 5 4 3 H I A B C B' )3;1( 3 1 052 0534 = = =+ =+ C y x yx yx + Gọi B là điểm đối xứng của B qua d 2 , I là giao điểm của BB và d 2 . + Đờng thẳng BB vuông góc d 2 : x + 2y - 5 = 0 nên có véc tơ chỉ phơng là: ( ) 2;1' = U . BB qua B(2; -1) => phơng trình BB: 2 1 1 2 + = yx 052:' = yxBB + Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: )1;3( 1 3 052 052 I y x yx yx = = =+ = + Vì I là trung điểm BB nên: )3;4(' 32 42 ' ' B yyy xxx BIB BIB == == + Đờng AC qua C và B nên có phơng trình: y - 3 =0. + Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: )3;5( 3 5 02743 03 = = =+ = A y x yx y 0,25 0,25 2 1004 2009 2 2009 1 2009 0 2009 . CCCCS ++++= (1) <=> 1005 2009 2007 2009 2008 2009 2009 2009 . CCCCS ++++= (2) (vì kn n k n CC = ) (1) + (2): ( ) 2009 2009 2009 1005 2009 1004 2009 2 2009 1 2009 0 2009 11 2 +=+++++++= CCCCCCS 2008 2 = S 0,5 0,5 Ngày 07 tháng 03 năm 2009 Ngời ra đề Nguyễn Hữu Thận d 1 d 2 . Trờng THPT Hàm Rồng Đề KTCL theo khối thi đại học Năm học 200 8-2 009 Môn : Toán - Khối D Thời gian làm bài : 180 phút Ngày thi : 1 4-0 3- 2009 A. phần. CCCCS ++++= Trờng THPT Hàm Rồng Đáp án đề KTCL theo khối thi đại học Năm học 200 8-2 009 Môn: toán khối D Ngày thi : 1 4-0 3- 2009 Câu ý Nội dung Điểm I 2điểm