ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: Tìm tất ba số nguyên dương  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa mãn: p  p  3  q  q  3  n  n  3 Câu 2: Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x3  x2  x 1  Khơng giải phương trình, tính tổng: S a  b5 b5  c c  a   a b bc ca Câu 3: Cho tam giác ABC ,  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB  LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu 1: Tìm tất ba số nguyên dương  p; q; n  , p , q số nguyên tố thỏa mãn: p  p  3  q  q  3  n  n  3 Khơng tính tổng qt, giả sử p  q Trường hợp 1: p   p  p  3    3  2.5  10  10  q  q  3  n  n  3  10  n2  3n  q  3q   n2  q    3n  3q   10   n  q  n  q    n  q   10   n  q  n  q  3 Vì p  p  3  q  q  3  n  n  3 mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q   nq3 223 Mà 10  1.10  2.5 n  q   10 n  q  n      n  q 1 n  q 1 q  So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương  p; q; n  cần tìm  2;3;  Trường hợp 2: p   p  p  3    3  3.6  18  18  q  q  3  n  n  3  18  n2  3n  q  3q   n2  q    3n  3q   18   n  q  n  q    n  q   18   n  q  n  q  3 Vì p  p  3  q  q  3  n  n  3 mà p ; q ; n số nguyên dương  n  q   n  q   3 3  Mà 18  1.18  2.9  3.6 n  q   18 n  q  15  n      n  q 1  n  q 1 q  So với điều kiện thỏa mãn Vậy ba số nguyên dương  p; q; n  cần tìm  3;7;8 Trường hợp 3: p  Ta chứng minh với số ngun a khơng chia hết cho tích a  a  3 ln chia dư Thật vậy: Nếu a : dư  a  3k   a   3k   a  a  3   3k  1 3k    9k  15k  : dư Nếu a : dư  a  3k   a   3k   a  a  3   3k   3k  5  9k  21k  10 : dư Trở lại tốn chính: Vì q  p   p 3; q  p  p  3  q  q  3 : dư Mà n  n  3 : dư (nếu n 3) n  n  3 n  p  p  3  q  q  3  n  n  3 Suy khơng có ba số ngun dương  p; q; n  thỏa mãn yêu cầu toán Câu 2: Gọi a , b , c ba nghiệm phương trình x3  x2  x 1  Khơng giải phương trình, tính tổng: S a  b5 b5  c c  a   a b bc ca Vì a , b , c ba nghiệm phương trình x3  x  x   Khi phân tích đa thức x3  x2  x 1 thừa số ta được: x3  x2  x    x  a  x  b  x  c    x  a  x  b  x  c   x3  x  3x  2  x3   a  b  c  x   ab  bc  ca  x  abc  x3  x  3x  2   abc    ab  bc  ca    abc   57 9  a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca      2.3  2 2 2 2 Tính a b  b c  c a : 2 2 a 2b2  b2c2  c2 a   ab  bc  ca    ab  bc  bc  ca  ca  ab   a 2b2  b2c  c a   ab  bc  ca   2abc  a  b  c  9  a 2b2  b2c  c a  32     2 3 Tính a  b  c : a3  b3  c3   a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca   3abc  57 417   a  b3  c        2  Vậy:  abc     ab  bc  ca   abc    57  2  a b c    a 2b  b c  c a     a  b3  c  417  Khi ta có: a  b5 b5  c c  a   a b bc ca 2  S   a  a b  a b  ab3  b4    b4  b3c  b2c  bc3  c  S   c  c3a  c a  ca3  a   S  2a4  2b4  2c4  a3b  b3a  b3c  c3b  a3c  c3a  a 2b2  b2c  c 2a  S   a  b4  c4  2a 2b2  2b2c  2c a    a  a3b  a3c   b4  b3a  b3c    c4  c3a  c3b    a 2b2  b2c  c 2a   S   a  b  c   a  a  b  c   b3  a  b  c   c  a  b  c    a 2b  b c  c a   S   a  b2  c    a3  b3  c3   a  b  c    a 2b  b 2c  c 2a  2  57  417 3465  S         Câu 3: Cho tam giác ABC ,  AB  AC  , với ba đường cao AD , BE , CF đồng quy H Các đường thẳng EF , BC cắt G , gọi I hình chiếu H GA Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM A I E O F G B H D C M A' Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp tứ giác AFHE nội tiếp  điểm A , F , H , E , I thuộc đường tròn  tứ giác AIFE nội tiếp  GI GA  GF GE 1 Dễ dàng chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp  GF.GE  GB.GC  2 Từ 1   suy ra: GI GA  GB.GC  tứ giác BCAI nội tiếp (điều phải chứng minh) Chứng minh GH  AM Gọi  O  đường tròn ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA '  O  Vì tứ giác BCAI tứ giác nội tiếp  I   O   AIA  90  AI  AI hay AI  AG Mà HI  AG (giả thiết)  AI  HI  A , I , H thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh A ' H qua trung điểm M BC (tứ giác BHCA ' hình bình hành)  M , I , H thẳng hàng Xét AGM có: AD  AM , MI  AG AD cắt MI H  H trực tâm tam giác AGM  GH  AM Suy điều phải chứng minh Câu 4: Cho a , b , c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    a  b2  c 2 a b c Dấu đẳng thức xảy nào? Trường hợp 1: Nếu tồn ba số a , b , c thuộc nửa khoảng 1  1 2  0;  ta có      a  b  c   a  b  c Khi bất đẳng a b c  3 thức cần chứng minh 1 1 ta có a  b  c   a    a  3 3 3 7 tương tự b  ; c  Vậy a; b; c   ;  3 3 3 1 Ta chứng minh  x  4 x  x   ;  (*) x 3 3 Trường hợp 2: a  ; b  ; c  Thật (*)   x4  4x3  4x2  x4  4x3  4x2 1    x  1  x2  x  1    x  1  x 1  2  với x   13 ; 73  1  a  4a  ;  b  4b  ;  c  4c  a b c 1 Từ suy    a  b2  c  4  a  b  c   12  a b c 1     a  b2  c (đpcm) a b c Dấu “  ” xảy a  b  c  Vậy Câu 5: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB  iả sử hơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài t điểm O bất có màu vàng mặt phẳng ẽ đường tr n  O,  điểm P bất  O  ựng hình thoi OAPB có cạnh có đường ch o OP ễ thấy OA  OB  AB  AC  BC  Th o giả thiết, , B phải tô hác màu vàng hác màu o P phải tơ vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tô vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có hoảng cách đơn vị độ dài s: Số thay bất số thực dương  ...LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN – AMSTERDAM LẦN NĂM HỌC 2017 - 2018 Câu 1: Tìm tất ba số nguyên dương  p; q; n  , p , q số nguyên... minh tứ giác BCAI nội tiếp Gọi M trung điểm BC Chứng minh GH  AM A I E O F G B H D C M A' Chứng minh tứ giác BCAI nội tiếp Dễ dàng chứng minh tứ giác AIFH nội tiếp tứ giác AFHE nội tiếp  điểm... nội tiếp  I   O   AIA  90   AI  AI hay AI  AG Mà HI  AG (giả thiết)  AI  HI  A , I , H thẳng hàng Mà dễ dàng chứng minh A ' H qua trung điểm M BC (tứ giác BHCA ' hình bình hành)