PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,5 điểm)  Tính giá trị biểu thức A   15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút)  10    15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: 2019 2018 N M x2  2x  x  2x  Câu (3,0 điểm) Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1  2    a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B =  1 1 1         2 2 2018 20192 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f(x), tìm dư phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết f(x) chia cho x - dư f(x) chia cho x + dư Giải phương trình: x 3x 2 x Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   2 a) bc ca a b 1 ; ; b) độ dài cạnh tam giác ab bc ca Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI Tính HI, IM; biết AC= 4/3AB diện tích tam giác ABC 24 cm2 Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC E D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB AC M N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB BC F H Biết diện tích tam giác ODH, ONE, OMF a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh S  3(a2 + b2 +c2) Hết Họ tên học sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019 Mơn: TỐN   10    A   15.1      15. A    .   = - = Ta có A   15 Đáp án 15   15 5   15   15 10    Điều kiện xác định M x2  x    ( x  1)( x   x 1  x 1    x   x   x    x  1  2 x   Điều kiện xác định N   x  x   (*)  x  2x   x  (**)  x2  x   x2  x      x  1 Từ (*) (**) ta x  điều kiện xác định M 1 1  1 1     Ta có:          a b c a b c  ab bc bc  1 a b  1 2(a  b  c) 1  c     2    2 2     a b c b c abc a b c  abc abc abc  a Vậy 1 1 1  2    a b c a b c Theo câu a) Ta có 1 1 1 1  2       (*) a b c a b c a b ab Áp dụng (*) ta có: 1 1 1 1 1 1           2 1 (2) 1 (2) 1 1 (Vì    ) 1 1 1     ;… 32 42 1 1 1     2 2018 2019 2018 2019 Tượng tự  1 1     ; 22 32 Suy B  2019  4076360  2019 2019 x3 3x2 x ( x 1)( x x 6) 1 x + = (1) x2 – 4x + = (2) (1) x (2) ( x 2)2 Do ( x 2)2 x nên pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S Vì ( x 1)( x 2) x x đa thức bậc nên f(x) : ( x  1)( x  2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x)  ( x  1)( x  2).q( x)  ax  b Theo đề f(x) : (x - 1) dư  f (1)   a  b  (1) f(x) : (x + 2) dư  f (2)   2a  b  (2) Từ (1) (2)  a = b = Vậy f(x) : ( x 1)( x 2) dư 2x + 5x2 + y2 = 17 – 2xy  4x2 + (x + y)2 = 17 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1;  x  17  x  Nếu x2 =  (x + y)2 = 17 (loại) Nếu x2 =  (x + y)2 = 13 (loại) Nếu x2 =  x = x = - x =  (2 + y)2 =  y = - y = - x = -2  (-2 + y)2 =  y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên b + c > a  a(b  c)  a  a(b  c)  ab  ac  a  ab  ac a 2a  2a(b  c)  a(a  b  c)   bc abc b 2b c 2c   Tượng tự ta có: ; ca abc ba abc a b c 2a 2b 2c       (dpcm) Suy ra: bc ca ab abc bca abc Ta có a + b > c 1 1 2       b  c c  a b  c  a c  a  b a  b  c (a  b )  ( a  b) a  b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 1 1     ; ca ab bc ab bc ca 1 ; ; độ dài cạnh tam giác (Đpcm) ab bc ca Do AC= ¾ AB (gt) AB.AC = 2S = 48, suy AC = (cm); AB = 8(cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC ta tính BC = 10 cm, suy AM = (cm) (1) Áp dụng tính chất canh đường cao tam giác vng ABC ta tính BH  AB2  3,6(cm) (2) BC Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có IB AB IB AB IB 30       IB  cm (3) IC AC IB  IC AB  AC 10  Từ (1), (2) (3), ta có I nằm B M; H nằm B I 4,8 Vậy: HI = BI - BH  cm MI = BM - BI  cm A B C I M H Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Đặt SABC = d2 Ta có: SODH a  DH  a DH     ;   BC  S ABC d d BC Vậy S  d  (a  b  c) E S EON b2  ON  b HC  HC       ; Tương tự    BC   BC  S ABC d d BC c BD  d BC a  b  c DH  HC  DB  1 d  a  b  c Suy ra: d BC A F c2 O b2 N M a2 B D 2 2 2 Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a  b  2ab; b  c  2bc; a  c  2ac S  (a  b  c)2  a  b2  c  2ab  2bc  2ca S  a2  b2  c2  (a  b2 )  (b2  c )  (c  a )  3(a  b2  c ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa; Điểm tồn quy tròn đến 0,5 H C ... 1 (Vì    ) 1 1 1     ;… 32 42 1 1 1     2 2018 20 19 2018 20 19 Tượng tự  1 1     ; 22 32 Suy B  20 19  4076360  20 19 20 19 x3 3x2 x ( x 1)( x x 6) 1 x + = (1) x2 – 4x + = (2)...SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 20 19 Mơn: TỐN   10    A   15.1      15. A    .   = - = Ta... : ( x  1)( x  2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x)  ( x  1)( x  2).q( x)  ax  b Theo đề f(x) : (x - 1) dư  f (1)   a  b  (1) f(x) : (x + 2) dư  f (2)   2a  b  (2) Từ (1)