Bài tập dành cho học sinh giỏi A . Phần dãy số 1. Cho dãy số dơng ( ) n u a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng k ta đều có: ( ) 2 2 1 2 1 2 3 1 1 3 4 ( 1) . . 2 . 1 2 3 k k k k k k u u u u u u u k k k - ổ ử + ữ ỗ ữ Ê + + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ + ố ứ b) Biết 1 lim n i x i u a R đƠ = = ẻ ồ Đặt 3 1 1 2 1 2 3 1 2 . . 1 n n n V u u u u u u u u u voi n= + + + + Chứng minh rằng dãy số ( ) n V có giới hạn 2. Cho a>0 Xét dãy số xác định nh sau ( ) 1 2 3 1 3 1 3 n n n n u a u u u u + ỡ = ù ù ớ ù + = + ù ợ Hãy chứng minh dãy số ( ) ( ) : 1 n n n v v a u= - có giới hạn? Hãy tìm giới hạn đó 3. Cho hai dãy ( ) ( ) 0 0 0 0 , , 0 n n i i i i u v voi u v = = > và 1 1 1 1 , 2 2 n n n n n n u u v v v u + + = + = + Chứng minh rằng: { } 2006 2006 , 2007Max u v > 4. Cho dãy số 3 1 .sin n n i k S k n = = ồ , với * n ẻ N . Tính lim n x S đƠ 5. Cho dãy số ( ) 1 2 1 1 2 : 1 1 1, 2 4 n n n n n u u u u u voi n n N + ỡ ù ù = ù ù ù ù ớ ổ ử ù ữ ỗ ù ữ ỗ = + + " ẻ ù ữ ỗ ữ ù ữ ỗ ố ứ ù ù ợ . Tìm lim n x u đƠ 6. Cho dãy số ( ) 1 4 1 2 : 9 10 n n n n u u x u x + ỡ = ù ù ù ù + ớ ù = ù ù ù ợ . Chứng minh rẵng: 4 5 5 4 n u< Ê với mọi n>1 7. Cho dãy số ( ) ( ) 1 2 1 1, 2 : 1 n n n n u u u u u u + ỡ = = ù ù ớ ù = - ù ợ Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 . 1 1. n n S u u u u= + + + + - 1,2,3, . n CMR voi n thi S" = là số chính phơng? 8. Cho dãy Fibonaci: 1 2 1 1 1; ; 2 n n n u u u u u voi n - + = = = + > Đặt 2 2 2 3 3 6 n n n n v u u u voi n + - - = + + > Tìm UCLN ( ) ( ) { } 6666 666 ; u u v v 9. Cho dãy số ( ) 1 2 1 1 5, 11 : 2 3 , 2,3,4, . n n n n u u u u u u n + - ỡ = = ù ù ớ ù = - = ù ợ Chứng minh rằng 2007 u chia hết cho 11 10. Cho dãy ( ) ( ) 1 2 2 * 1 2008 : 1 2 , n n n n u u u u a u a voi n N + ỡ = ù ù ớ ù = + - + ẻ ù ợ Với giá trị nào của a thì dãy số ( ) n u có giới hạn? Tìm lim n x u đƠ . B. Phần bài tập hình học không gian 11. Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BC=BD=AD. Gọi M,N lần lợt là trung điểm các cạnh AB và CD. Một mp(P) đi qua N, M cắt AC và BD lần lợt tại P và Q. Xác định vị trí của mp(P) để tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất? 12. Cho tứ diện ABCD có BC=DA=a, CA= DB=b và AB.DC= 2 c . P là một điểm nào đó trong không gian. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(P)=PA+PB+PC+PD 13. Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC. Gọi , ,a b g là các góc do các mặt (ABD), (ABC), (ACD) tạo với mặt (BCD) và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác (BCD). Chứng minh rằng: cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 3 3 3 3 cos .3 cos .3 cos .3 a b b g g a b g g a b a a b g + + + + + + + + + + 14. Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BD, AD=BC. Gọi I, J lần lợt là trung điểm các cạnh AB và CD. Một mp(P) đi qua IJ cắt BC và AD lần lợt tại M và N. Xác định vị trí của M sao cho diện tích tứ giác IMJN lớn nhất. Khi đó thể tích của khối chóp AIMJN có đạt giá trị lớn nhất không? 15. Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác. Một mp(P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ cắt các đoạn thẳng AB', BC', CD' và DA' lần lợt tại M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mp(P) sao cho diện tích của tứ giác MNPQ nhỏ nhất? 16. Cho tứ diện SABC, trên SA, SB lấy M, N sao cho 2SM=MA, SN=2NB. Một mặt phẳng (P) qua M và N song song với SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó? 17. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau tại A , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, mp(P) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với AI. Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mp(P)là: 2 2 2 2 3MB MC MD MA+ + = 18. Cho mp(P) //AB, mp(P)//CD, mp(P) cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện. Tìm tỷ số thể tích giữa hai khối do thiết diện chí ta diện theo k, với k là tỷ số khoảng cách từ AB, CD đến mp(P). C. Phần giải PT và hệ PT 19. Giải PT: 2 2 3 2 9 4 2 16 5x x x x- + + - + = 20. Giải PT: 2 2 2 30 2008. 30 4 2008 30. 2008x x x- - + = 21. Giải hệ PT: 2 2 2 8 16 xy x y x y x y x y ỡ ù ù + + = ù ù + ớ ù ù ù + = - ù ợ 22. Giải PT: 2 3 2 4 1 2 x x x voi x + + = - 23. Tìm m để PT có nghiệm duy nhất: ( ) ( ) 2 5 2 5x x x x m+ + - - + - = 24. Giải hệ PT: 2 2 2 2 2 2 3 2 1 x y z xy xz yz x y zy xz yx ỡ ù + + + - - = ù ớ ù + + - - =- ù ợ 25. Giải PT: 2 2 9 1 x x x + = + + 26. Giải và biện luận PT: 3 2 3 2 2 1x mx x m x mx x m m x+ + + + - + - + = + 27. Giải PT: 2 3 2 11 21 3 4 4 0x x x- + - - = 28. Giải PT: 2 3 2( 2) 5 1x x+ = + 29. Giải PT: ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2x x x x+ - + = + + 30. Giải PT: 2 4 2 4 13 9 16x x x x- + + = . dãy số ( ) 1 2 1 1 5, 11 : 2 3 , 2,3,4, . n n n n u u u u u u n + - ỡ = = ù ù ớ ù = - = ù ợ Chứng minh rằng 2007 u chia hết cho 11 10. Cho dãy ( ) ( ). ) n u có giới hạn? Tìm lim n x u đƠ . B. Phần bài tập hình học không gian 11. Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BC=BD=AD. Gọi M,N lần lợt là trung