TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN MỘT SỐ BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC Tạp chí tư liệu tốn học Cực trị số phức dạng tốn khỵ hay xuất đề thi thử đề thi minh họa THPT Quốc Gia Bộ GD&ĐT Dạng toán thường thë cho dạng đại số nhiên cỵ mối liên hệ đặc biệt với toán hënh học phẳng mà cụ thể hënh học Oxy lớp 10 Trong viết tïi trënh bày số toán tïi sáng tác để cỵ thể cỵ nhën sâu mối quan hệ hai dạng toán đồng thời giúp bạn chuẩn bị cho kë thi tới! I ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   3i  17 ; z2   Biết z1   i  k  z2   i  k   Tìm k P  z1  z2 đạt giá trị lớn A k  B k  2 C k  3 D k  5 Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tëm GTLN P  z  8i  z   9i A P  109 B P  1  109 Câu 3: Cho số phức z1 thỏa mãn z1    C P  109  D P  109  5i 3i   z1   , z2  a  bi với 4 4  a  b   Biết z1  i  z2  i Tëm GTNN P  z1   i  z2   i A P  38 B P  39 C P  38 D P  39 Câu [Sưu tầm]: Cho số phức z thỏa mãn z  z  i   z  i  Tëm GTLN biểu thức P  z   2i A P  30 2 B P  30 3 C P  30 4 D P  30 5 Câu 5: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo 2 không âm, z3 số thực khïng âm Biết z2  z3  z2  z1  z3  z1 Gọi M,n giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z2  z1 z3  z1 Khi đỵ M.n bằng? A M.n  90 B M.n  80 C M.n  100 D M.n  70  z2  z2  Câu : Cho số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời  , với z3  1  i Biết   z1  z3  z3  z2  z0  z1  a  bi   a, b , c , d  R  Tëm giá trị lớn biểu thức P  ad  bc z  z  c  di  A P  17 B P  18 C P  19 D P  20  z1  i  a  bi Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tëm GTLN biểu thức P  ad  bc Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CHINH PHỤC CÁC BÀI TỐN TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ A P  Câu B P  D P  C P   z1  a  bi  a  2b  8: Cho số phức  thỏa mãn  Tìm z1  z2 biểu thức  z2  c  di c  d  P  z1   4i  z1  z2  z2   4i đạt giá trị nhỏ A  29 B  29 C  29 D  29 Câu 9: Gọi z1  a  bi , z2  c  di nghiệm phương trënh z  2  z  2  đồng thời thỏa mãn ac  bd  Gọi M, n giá trị lớn giá trị nhỏ P  z1 z2 Tình giá trị biểu thức S  M  n 14 13 11 12 C S  A S  B S  D S  5 5  z1   i  k  z2   i  k     Câu 10: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  mi  m  R       z2  R Tëm k biểu thức P   đạt giá trị nhỏ z1 z2 A k  B k  3 C k  4 D k  II LỜI GIẢI Câu 1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   3i  17 ; z2   Biết z1   i  k  z2   i  k   Tìm k P  z1  z2 đạt giá trị lớn A k  B k  2 C k  3 D k  5 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải I J M H A K N Gọi M  z1  , N  z2  , I  2;  , J  0; 1  Theo giả thiết ta cỵ:  Điểm M thuộc đường trín C  tâm I bán kính R1  17  Điểm N thuộc đường trín C  tâm J bán kính R2  | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  z   3i  17 Ta thấy số phức z   i thỏa mãn  Điều chứng tỏ A  1; 1   z   giao điểm C  , C  theo giả thiết ta suy A , M , N thẳng hàng Gọi H,K hënh chiếu I,J lên MN  P  MN  HK  IJ Dấu “=” xảy MN IJ Khi đỵ phương trënh MN qua điểm A cỵ vector pháp tuyến IJ  3; 3  MN : x  y   Từ suy điểm M  6;  , N  0; 2  Vậy k  z1   i  4i   i   5 z2   i 2i   i Chọn ý D Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tëm GTLN P  z  8i  z   9i A P  109 B P  1  109 C P  109  D P  109  Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Gọi I  1;  , A  7;  , B  1;  M Yêu cầu toán chuyển tëm giá trị lớn biểu thức P  MB  MA Ý tưởng cho toán ta sử dụng D I bất đẳng thức tam giác, cỵ số A C K nên ta nảy ý tưởng tëm điểm K cố định thỏa mãn MA  MK Giả sử B tồn điểm K thë ta cỵ: 2  MA  MK  MA  MK  MI  IA      MI  IK   MI  IK  IA2  MI IK  IA  3 MI  IK  IA2   IA2    R2   Dễ thấy điều luïn Để tồn điểm K thë     IK  IA  đỵ lụn tồn điểm K cố định thỏa mãn MA  MK điểm K nằm IC R Lấy điểm K thuộc IC cho IK  Ta có: IK IA  IM  IAM IMK  c.g.c   MA  MK Vậy M thay đổi thë MA  MK Theo bất đẳng thức tam giác thë ta cỵ: P  MB  MA   MB  MK   BK Ta có: K  ;   P  BK  109 2  Chọn ý A Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | CHINH PHỤC CÁC BÀI TỐN TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Câu 3: Cho số phức z1 thỏa mãn z1    5i 3i   z1   , z2  a  bi với 4 4  a  b   Biết z1  i  z2  i Tëm GTNN P  z1   i  z2   i A P  38 B P  39 C P  38 D P  39 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Theo giả thiết ta cỵ điểm M  z1   d1 : x  y   , N  z2   d2 :   2 xy10 Giao điểm d1 , d2 I  0; 1  Theo giả thiết ta cỵ MI  NI Gọi điểm A  3;   P  MA  NA  P.IN  AM.IN  AN IN  AM.IN  AN IM Theo bất đẳng thức Ptolemy ta có: AM.IN  AN IM  AI MN AI MN  P  AM  AN  IN Ta có cos  d1 , d2   Theo định lý hàm số Cosine M A I ta có: N MN  MI  NI  MI NI cos MIN  2 MN   cos MIN   P  AI  39 NI Dấu “=” xảy AMIN nội tiếp đường trín MIN  60 o Chọn ý B Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z  z  i   z  i  Tëm GTLN biểu thức P  z   2i A P  30 2 B P  30 3 C P  30 4 D P  30 5 2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:  16 z   z  i   z  i       z  i   z  i  2 Từ sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta cỵ  P    2 z 2 i1  30 2 Chọn ý A | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 5: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo 2 không âm, z3 số thực khïng âm Biết z2  z3  z2  z1  z3  z1 Gọi M,n giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z2  z1 z3  z1 Khi đỵ M.n bằng? A M.n  90 B M.n  80 C M.n  100 D M.n  70 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Gọi M  3;  , A  z2  , B  z3  Theo giả thiết ta cỵ: 2 z2  z3  z2  z1  z3  z1  AB2  MA2  MB2  MA  MB Do z2 số ảo với ảo khïng âm, z3 số thực khïng âm nên ta cỵ điều kiện 10 A  a ;  , B  0; b  a , b   MA.MB   b  10  3a   a     Ta có: P  z2  z1 z3  z1  MA.MB   a  a  10    3; 30  Vậy P  3, max P  30 Chọn ý A  z2  z2  Câu : Cho số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời  , với z3  1  i   z1  z3  z3  z2  z0  z1  a  bi Biết   a, b , c , d  R  Tëm giá trị lớn biểu thức P  ad  bc  z0  z2  c  di A P  17 B P  18 C P  19 D P  20 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Gọi A  z1  , B  z2  , M  z3  , C  z0  Theo giả thiết ta cỵ z1  z3  z3  z2  AM  MB , suy CA   a ; b   z0  z1  a  bi  A đối xứng với B qua điểm M Mặt khác   z0  z2  c  di CB   c ; d  Vậy P  ad  bc  SABC Do AB  z1  z2  nên để diện tìch lớn thë d C ; AB max Gọi A  x ; y  , B  2  x ; 3  y  mà A,B thuộc elip nên ta cỵ: A  4;  , B  2; 3   AB : x  y   Sử dụng tiếp giả thiết z   z   ta suy điểm C thuộc vào elip cỵ phương trënh 2  y   E :  x       C sin  ; cos  4 2  Ta có d C ; AB     12  sin           Pmax  18 3  Chọn ý B Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CHINH PHỤC CÁC BÀI TỐN TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ  z1  i  a  bi Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tëm GTLN biểu thức P  ad  bc A P  B P  D P  C P  Nguyễn Minh Tuấn   Lời giải   Gọi A  0;  , B  z1  , C  z2  B  0; , C  0; Bổ đề: Cho hai đường trín đồng tâm C1  O ; R  C C  O ; R '  R  R ' Các điểm B C di động C1  , C  tương ứng Khi đỵ S đạt max O trực tâm tam giác ABC O nằm tam O giác Thật vậy, cố định B đường thẳng AB cố B định Giả sử AB cắt C  M N, diện tích lớn A CO  AB Tương tự cố định C Tức O trực tâm ABC Khi C điểm cung lớn MN hay O nằm tam giác ABC Áp dụng với A  0;   BC Ox Do tình đối xứng nên cỵ thể gọi B Ta có AB.CO   Vậy Pmax       b2 ; b , C   b2 ; b  b   B  2; 1    b   b   b  b  1  b  1  C  1; 1 2   ad  bc  SABC max  Chọn ý A  z1  a  bi  a  2b  Câu 8: Cho số phức  thỏa mãn  Tìm z1  z2 biểu thức  z2  c  di c  d  P  z1   4i  z1  z2  z2   4i đạt giá trị nhỏ A  29 B  29 C  29 D  29 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải  a  2b   M  d1 : x  y    Gọi A  6;  , D  2; 4  , M  z1  , N  z2  Mặt khác  c  d    N  d2 : x  y   Theo bất đẳng thức tam giác ta cỵ: P  z1   4i  z1  z2  z2   4i  AM  MN  ND  AN  ND  AD  | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN   M  d1  AD  M  5;  Phương trënh AD : x  y   Khi đỵ  N  d  AD  N 4;     Suy z1  z2   29 Chọn ý A Câu 9: Gọi z1  a  bi , z2  c  di nghiệm phương trënh z  2  z  2  đồng thời thỏa mãn ac  bd  Gọi M, n giá trị lớn giá trị nhỏ P  z1 z2 Tình giá trị biểu thức S  M  n 14 13 11 12 C S  A S  B S  D S  5 5 Nguyễn Minh Tuấn Lời giải Gọi A  z1  , B  z2  , ac  bd   OA.OB   OA  OB 1 z1 z2  OA.OB  2 Trường hợp 2: Xét hai điểm A,B nằm hai đường vụng gỵc y  kx , y   x k Trường hợp 1: Xét A,B nằm hai trục tọa độ thë ta cỵ: P   x2 y 1   9k k2  2 Tọa độ điểm A thỏa mãn   x   y   OA  A A 9k  9k  9k   y  kx  k2  1 Tương tự OB  Theo giả thiết ta cỵ: P  z1 z2  SOAB  2 9k  k  1  9k   k    k2  10  9k  1 k     k  1  S  23 Dấu “=” xảy A,B Theo AM – GM ta có  k  1 k    10  k    S  Theo Cauchy – Shwarz ta có giao điểm elip với trục tọa độ hoán vị min P   10 Chọn ý C Vậy hai trường hợp ta cỵ  max P    z1   i  k  z2   i  k     Câu 10: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  mi  m  R       z2  R Tëm k biểu thức P   đạt giá trị nhỏ z1 z2 A k  B k  3 C k  4 D k  Nguyễn Minh Tuấn Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | CHINH PHỤC CÁC BÀI TỐN TÌM GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Lời giải Gọi M  3;  , A  z1  , B  z2  Theo giả thiết thë ta cỵ M,A,B thẳng hàng đồng thời A thuộc Oy, B thuộc Ox Phương trënh đoạn AB theo đoạn chắn là: AB : x y   1, M  AB     A  a;  , B  0; b  a, b    a b a b 4 Theo Cauchy – Schwarz ta có: P        a b 5 a b 15 Dấu “=” xảy a  ; b   k  4 Chọn ý C | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor ... olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 5: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo 2 không âm, z3 số thực... bán kính R2  | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  z   3i  17 Ta thấy số phức z   i thỏa mãn  Điều chứng...  AM  MN  ND  AN  ND  AD  | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   M  d1  AD  M  5;  Phương trënh AD