Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 ®iÓm) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a +b b + c c + d d + a + + + Tìm giá trị biểu thøc: M= c + d d + a a +b b + c Câu2: (1 điểm) = abc + bca + cab Chứng minh S số phơng Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ôtô cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác ã a Chứng minh r»ng: BOC = µA + ·ABO + ·ACO Cho S µ A b BiÕt ·ABO + ·ACO = 900 − tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C Câu 5: (1,5điểm) Cho đờng thẳng đờng thẳng song song CMR có đờng thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200 Câu 6: (1,5điểm) Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6 11 Hãy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm HÕt Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A =x +8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD - HÕt -Đề số Thời gian làm bài: 120 phút a a+b+c Câu ( 2®) Cho: Chøng minh:   = d b+c+d  a c b = = C©u (1đ) Tìm A biết rằng: A = b+c a+b c+a a b c = = b c d C©u (2đ) a) A = Tìm x Z để A Z tìm giá trị x+3 x2 b) A = − 2x x+3 C©u (2đ) Tìm x, biết: a) x3 = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chứng minh MHK vuông cân HÕt -Đề số Thời gian làm : 120 phút Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Câu : ( điểm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ? Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a c = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠ b, c≠ d) ta b d suy đợc tỉ lệ thøc: a) a c = a−b c−d b) a+b c+d = b d Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 1)( x2 4)( x2 7)(x2 10) < Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + | x-c| + | x-d| víi a ·ADC Chøng minh rằng: DB < DC Câu 5: ( điểm ) T×m GTLN cđa biĨu thøc: A = x − 1004 - x + 1003 HÕt Đề số 14 Thời gian : 120 Câu (2 điểm): Tìm x, biết : a 3x +5x = 4x-10 b 3+ 2x  + > 13 Câu 2: (3 điểm ) a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2, Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giái to¸n b Chøng minh r»ng: Tỉng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n ∈ N) C©u : (1điểm )cho hình vẽ , biết + + γ = 1800 chøng minh Ax// By α A x C B y Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ãABC =1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u (1 ®iĨm ) TÝnh tỉng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 HÕt -§Ị sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí: Bài 2: (2,5đ) 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = x + x Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O lần lợt trực tâm , trọng tâm giao điểm ®êng trung trùc tam gi¸c Chøng minh r»ng: a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biÓu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007 - HÕt -Đề 16 Thời gian làm bài: 120 phút Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn ®Ị thi häc sinh giái to¸n 2 + 0,(1).3 = + = 10 10 10 10 30 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ 0,(32)= 0,12+ 0, 1000 1000 Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = (01).32 = = 12 32 + 100 1000 99 1489 12375 Câu IV : Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = 5 VËy ®a thức cần tìm : P(x) = x( x 1)( x − 2) − 5x( x − 1) + 2( x − 3) + 16 => P(x) = 25 x - x + 12x + 10 2 C©u V: a) DƠ thÊy ∆ ADC = ∆ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB mặt khác góc ADC = gãc ABE => DC ⊥ Víi BE b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN ⊥ MP MN = 2 DC = BE =MP; Vậy MNP vuông cân M - Đáp án đề 24 Bài 1: Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi to¸n 3 3 − + + 10 11 12 + A= 5 5 − + − − 10 11 12 a) 3 + − (0,25®) 5 + − 1 1   1 1 3 − + + ÷ 3 + − ÷  10 11 12  +   A= (0,25®) 1 1   1 1 −5 − + + ÷ 5 + − ÷  10 11 12   4 A= −3 + =0 5 (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + + 2102 2102 − (0,25®) 3B = 2102 1; B= (0,25đ) Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ) mà 415 > 311 ⇒ 430 > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) = 36 > 29 (0,25®) 33 > 14 ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lợt số ngày làm việc máy ⇒ x1 x2 x3 = = (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 lần lợt số làm việc máy y1 y2 y3 = = (2) (0,25®) Gäi z1, z2, z3 lần lợt công suất máy z1 z2 z3 = = ⇒ 5z1 = 4z2 = 3z3 ⇔ 1 (3) Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ) (0,25đ) Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn ®Ị thi häc sinh giái to¸n x1y1z1 x2 y2z2 x3y3z3 395 = = = = 15 40 395 Tõ (1) (2) (3) ⇒ 18 15 (0,5®) ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội lần lợt 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5đ) ã · ⇒ ABM (1) (0,25®) = ADM · · · Ta cã BMC = MBD + BDM (gãc ngoµi tam gi¸c) · · · · · ⇒ BMC = MBA + 600 + BDM = ADM + BDM + 600 = 1200 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5®) ⇒ FBM ®Ịu (0,25®) ⇒ DFBAMB (c.g.c) (0,25®) A · · ⇒ DFB = AMB = 1200 (0,5đ) E D Bài 6: Ta có x = ⇒ f(2) + ( ) = (0,25®) 1 x = ⇒ f( ) + (2) = (0,25®) 2 47 ⇒ f (2) = (0,5®) 32 F M B C - đáp án đề 25 Câu a.Nếu x suy x = (tho· m·n) NÕu < suy x = -3 (thoã mãn) Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi häc sinh giái to¸n b x x − y =1 = − = ⇒ y 6 x − = y =  x − =  y = −1  x − = −6 ; hc   y = −3  x − = −2 y = x − = hc   y = −2  x − = −3 ;hc  ;hc  y = −6  x − = −1 ; hc  y = x − = ; Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c Tõ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi x y z 3x y z 3x − y + z 30 = = ⇒ = = = = =2 21 14 10 61 89 50 63 − 89 + 50 15  x = 42; y = 28; z = 20 Câu c A tích 99 số âm  1.3 2.4 5.3 99.101    − A =  − ÷ − ÷1 − ÷  − = g g ggg ÷ 1002    16   100  1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 = g = > ⇒ A< − 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 d x +1 = x −3 B= x −3+ 4 = 1+ B nguyªn ⇔ x −3 x −3 ˆ ⇔ x − ∈ U′( 4) nguen x −3 ⇒ x ∈ { 4; 25;16;1; 49} C©u Thời gian thực tế nhiều thời gian dự ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h V t V 1 Ta cã: V = va t = V = 2 (t1 thời gian AB với V1; t2 thêi gian ®i CB víi V2) t t t t −t 15 2 tõ t = ⇒ = = − = = 15  t2 = 15 = 60 = giê VËy qu·ng ®êng CB 3km, AB = 15km Ngời xuất phát tõ 11 giê 45 – (15:4) = giê Câu Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM e Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Tam giác AIB = tam giác CID cã (IB = ID; gãc I = gãc I2; IA = IC) f Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)  gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND  tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c)  Gãc I3 = gãc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN g Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900  gãc AIB < 900  gãc BIC > 900 h NÕu AC vuông góc với DC AB vuông góc với AC tam giác ABC vuông A Câu − x + 10 10 10 = 1+ P lín nhÊt lín nhÊt 4− x 4− x 4− x 10 XÐt x > th× 0 4− x 10  lớn x số nguyên dơng nhá nhÊt 4− x P= 4–x=1x=3 ®ã 10 = 10  Plín nhÊt = 11 4− x - Híng dẫn chấm đề 26 Bài : a) Tìm x Ta cã x − + 5x =9 x − = 9-5x * 2x –6 ≥ ⇔ x ≥ ®ã 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15 kh«ng tho· m·n (0,5) * 2x – < ⇔ x< ®ã – 2x = 9-5x ⇒ x= tho· mãn (0,5) Vậy x = Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi häc sinh giái to¸n   b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) :  + + +  = 3 6 (0,5) ( v× 12.34 – 6.68 = 0) c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A1 Để A = tức x +1 x −1 =5⇔ x= ⇔x= (1) Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy : tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc CDM ) = 2DCM Tơng tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn) MDB = CAB (góc có cạnh tơng ứng vuông góc nhọn ) Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bµi : Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = ( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤ víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x DÊu (=) xảy x = -4 Khi P có giá trị lớn 21 híng dÉn ®Ị 27 Câu 1: (3đ) Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM -1 Tuyển chọn đề thi học sinh giái to¸n n b/ 2 + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy 2n (1/2 +4) = 25 suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5đ c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ 3n.10 M10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 M10 suy 3n.10-2n.5 M10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z lần lợt lµ sè häc sinh cđa 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, zz+) ta có: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 43 40 10 Ta cã: 43 = 43 43 = (43 ) 43 43 tận 433 tËn cïng lµ suy 4343 tËn cïng bëi 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 0,5® suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® 43 17 suy -0,7(43 -17 ) số nguyên Bài 3: 4đ( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ c/ Gọi H chân đờng cao vuông gãc kỴ tõ A xng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5đ gọi O giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán OAB= OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5® suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC VËy ®iĨm O cè ®Þnh - 0,5® Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ) a a + a = 2a víi a ≥ (0,25®) Víi a < a + a = (0,25đ) b a - a -Víi a≥ th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + ≥ ⇒ x ≥ - Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x – = x – (0,5®) -Víi x + < → x< - Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x + = 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ) a.Tìm x, biết: 5x - - x = ⇔ x − = x + (1) §K: x ≥ -7 5 x − = x + ( 1) ⇒  5 x − = − ( x + ) (0,25 ®) (0,25 ®) … (0,25 ®) VËy cã hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= 2/3 (0,25®) b 2x + 3 - 4x < (1,5®) ⇔2x + 3 < + 4x (1) Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán ĐK: 4x +9 x ≥ − −2 < x < −3 (1) ⇔ − ( x + ) < x < x + (t/mĐK) (0,5đ) Câu 3: Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số phải chia hết cho Vậy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã: ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× ≤ a ≤ ; b ≥ ; ≤ c ≤ Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hÕt cho võa chia hÕt cho → chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ) -Vẽ hình ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt ln ®óng (0,5®) -Qua N kỴ NK // AB ta cã EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) Đáp án đề 29 Bài 1: Ta cã: 102007 + 10 = + 2007 10A = 2007 10 + 10 + (1) 102008 + 10 = + 2008 T¬ng tù: 10B = (2) 2008 10 + 10 + 9 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 > 2008 10 + 10 + Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán       ÷ ÷  ÷ 1 A = 1 − (1 + 2).2 ÷ 1 − (1 + 3).3 ÷ 1 − (1 + 2006)2006 ÷  ÷ ÷  ÷      = 2007.2006 − 10 18 2007.2006 − = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Bµi 3:(2®iĨm) Tõ: (2) x 1 x − = ⇒ = − y y y Quy đồng mẫu vế phải ta có : = x-2 Do : y(x-2) =8 Để x, y nguyên y x-2 phải ớc Ta có số nguyên tơng ứng cần tìm bảng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Céng vÕ víi vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 · Bµi 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đờng thẳng CK I A Ta có: VIBC cân nên IB = IC · · VBIA = VCIA (ccc) nªn BIA = CIA = 1200 Do đó: I Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại K WWW.VNMATH.COM B C Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán VBIA = VBIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Tõ chøng minh trªn ta cã: · BAK = 700 - Đáp án đề 30 Câu 1: ( ®iĨm ) 1 < víi mäi n nên ( 0,2 điểm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 ®iÓm ) −1 −1 −1 n −1 a Do Mặt khác: C= = = 1 1 + + + + ( n − 1).( n + 1) 1.3 2.4 3.5 ( 0,2 ®iĨm) 1 1 1 1  −  − + − + − + +  ( 0,2 ®iÓm) 1 n −1 n + 1  3  1 1 + − −  < = víi k = 1,2……… n ( 0,25 ®iĨm ) k Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 sè ta cã: k +1 k + k +1 1.1 k + = < k k k Suy < k +1 + + + + k +1 k +1  1 < 1+  −  k  k k +1 k +1 k = k 1 + = 1+ k +1 k k ( k + 1) ( 0,5 điểm ) Lần lợt cho k = 1,2, 3,…………………… n n < +3 (0,5 ®iĨm ) n +1 + + n +1 < n +1− < n +1 n n råi céng lại ta đợc ( 0,5 điểm) => [ ] = n Câu (2 điểm ) Gọi , hb ,hc lần lợt độ dài đờng cao tam giác Theo đề ta có: + hb hb + hc hc + 2( + hb + hc ) + hb + hc = = = = 20 10 ( 0,4 ®iĨm ) hc hb = = => : hb : hc = : 2: ( 0,4 ®iĨm ) 1 Mặt khác S = a.ha = bhb = chc ( 0,4 ®iĨm ) 2 a b c = = 1 => (0 , ®iĨm ) hb hc => 1 1 1 => a :b : c = h : h : h = : : = 10 : 15 : (0 ,4 ®iĨm ) a b c VËy a: b: c = 10 : 10 : C©u 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A , tia Oy lÊy B′ cho O A′ = O B′ = a ®iĨm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A = B B điểm ) Gọi H K lần lợt hình chiếu Của A B đờng thẳng A B y Tam giác HA A = tam giác KB B ( 0,25 ( 0,25 Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán ( cạnh huyền, gãc nhän ) ( 0,5 ®iĨm ) => H A′ = KB′, ®ã HK = A′B′ (0,25 ®iĨm) Ta chứng minh đợc HK AB (Dấu = ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iĨm) ®ã A′B′ ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iĨm ) Câu ( điểm ) Giả sử a + b + c = d ∈ Q ( 0,2 ®iĨm ) => a+ b=d− a => b +b +2 bc = d + a + 2d a => bc = ( d + a − b − c ) − 2d a (1) ( 0,2 ®iĨm) ( 0,2 ®iĨm) => 4bc = ( d + a − b − c ) + d2a – 4b ( d + a − b − c ) a ( 0,2 ®iĨm) => d ( d + a − b − c ) a = ( d + a − b − c ) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iĨm) * NÕu d ( d + a − b − c ) # th×: ( a= d + a − b − c ) + 4d a 4ab số hữu tỉ 4d ( d + a − b − c ) (0,2 5®iĨm ) ** NÕu d ( d + a − b − c ) = th×: d =0 hc d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iĨm ) + d = ta cã : a+ b+ c =0 => (0,25 ®iĨm ) a = b = c = 0∈Q + d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) => V× a, b, c, d ≥ nªn VËy a = 0∈Q bc = − d a ( 0,25 ®iĨm ) a số hữu tỉ Do a,b,c có vai trò nh nên a , b , c sè h÷u tØ NgyÔn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM ... Câu (2đ) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp... 10 Câu 2: ((3®) a 130 häc sinh thc líp 7A, 7B, 7C cđa mét trêng cïng tham gia trång c©y Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết... Ngyễn Đình Đạt su tầm biên soạn lại WWW.VNMATH.COM Tuyển chọn đề thi häc sinh giái to¸n b Chøng minh r»ng: Tæng A =7 +72 +73 +74 + +74 n chia hÕt cho 400 (n ∈ N) Câu : (1điểm )cho hình vẽ , biết α