Đang tải... (xem toàn văn)
Trong không gian, cho ba trục đôi một vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục . Một hệ trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc trong không gian hay hệ toạ độ . Điểm được gọi là gốc toạ độ, các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ được gọi là không gian .
Chuyên đề MỞ ĐẦU I Lí chọn chuyên đề Phương pháp toạ độ không gian nội dung quan trọng chương trình Hình học lớp 12, ứng dụng để giải nhiều dạng tập chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, tính thể tích, tính khoảng cách…Vì vậy, việc nắm vững nội dung nội dung giúp học sinh giải nhiều tốn hình học khơng gian Tuy nhiên, việc khó học sinh chọn hệ trục hợp lý để đưa tốn hình học thơng thường tốn giải phương pháp toạ độ Từ lý tơi xin trình bày phương pháp giải số tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ chun đề “Giải số tốn hình học không gian phương pháp toạ độ” Chuyên đề tài liệu dùng việc ôn thi làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 trường THPT … II Cấu trúc chuyên đề Chuyên đề gồm có phần A Các kiến thức liên quan B Giải số tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ C Bài tập tự giải Do thời gian có hạn q trình viết chun đề khơng thể tránh khỏi sai sót mong góp ý chân thành đồng chí để chn đề hồn thiện Chun đề CHUN ĐỀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN I Toạ độ điểm toạ độ vectơ Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian - Trong không gian, cho ba trục x′Ox, y′Oy , z′Oz đơi vng góc với Gọi rr r i, j , k vectơ đơn vị trục x′Ox, y′Oy , z′Oz Một hệ trục gọi hệ trục toạ độ Đề-các vng góc Oxyz khơng gian hay hệ toạ độ Oxyz Điểm O gọi gốc toạ độ, mặt phẳng (Oxy ),(Oyz ),(Ozx) đơi vng góc với gọi mặt phẳng toạ độ Không gian với hệ toạ độ Oxyz gọi không gian Oxyz z r k O r j r i y x Tọa độ điểm: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz uuuu r r r r +) M ( xM ; yM ; zM ) ⇔ OM = xM i + y M j + z M k +) Cho A ( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) ta có: uuu r AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) , AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) uuur uuur +) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = k MB ta có: ( xM = ) x A − kxB y − kyB z − kz B ; yM = A ; zM = A (Với k ≠ −1) 1− k 1− k 1− k +) Đặc biệt M trung điểm AB ( k = −1 ) ta có: xM = x A + xB y + yB z +z ; yM = A ; zM = A B 2 2 Chuyên đề Tọa độ véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oyz r r r r r +) a = ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k r r +) Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có: a1 = b1 r r r r r a = b ⇔ a2 = b2 ; a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) ; k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) a = b 3 rr r r r r r a.b = a b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; a = a12 + a22 + a32 Tích có hướng hai vectơ ứng dụng r r a 2a a 3a1 a1a r r ; ; +) Nếu a = ( a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) a, b = ÷ b b b b b b 3 1 r r r r r +) Vectơ tích có hướng c = a, b vng góc vơi hai vectơ a b r r r r r r +) a, b = a b sin(a, b) r uuur uuu [ AB, AC ] uuu r uuur uuur [ AB , AC ] AA ' +) VHộpABCDA’B’C’D’ = +) S ABC = r uuur uuur uuu [ AB, AC ] AD +) VTứdiện ABCD = Một số ý a1 = kb1 r r r r r r r +) a b phương ⇔ a, b = ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ a2 = kb2 a = kb r r r r +) a b vng góc ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = r r r r r r a +) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ , b c = (tích hỗn tạp chúng 0) uuu r uuur uuur +) A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng r r r r r +) Cho hai vectơ không phương a b vectơ c đồng phẳng với a b r r r ⇔ ∃k , l ∈ ¡ cho c = ka + lb Chuyên đề x A + xB + xC x = G y + yB + yC +) G trọng tâm tam giác ABC ⇔ yG = A z A + z B + zC z = G uuu r uuu r uuur uuur r +) G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔GA + GB + GC + GD = II Mặt phẳng Phương trình mặt phẳng Ax + By + Cz + D = với r 2 n = ( A; B; C ) phương trình tổng quát mặt phẳng, A + B +C ≠0 - Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng vectơ pháp tuyến r - Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có dạng : A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r r M ( x ; y ; z ) - Mặt phẳng (P) qua điểm 0 0 nhận a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : r r r a a a a1 a a n = a, b = ; ; ÷ b b b b b b 3 1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng - Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = (Q) : A′x + B′y + C ′z + D ' = +) (P) cắt (Q) ⇔ ( A; B; C ) ≠ k ( A '; B '; C ') +) (P) // (Q) ⇔ ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ') ( A; B; C ) = k ( A '; B '; C ') +) ( P ) ≡ (Q) ⇔ D = kD′ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = cho công thức: d ( M ,α ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Góc hai mặt phẳng Chuyên đề - Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = (Q) : A′x + B′y + C ′z + D ' = Ta có: uu r uur nP nQ uu r uur A A '+ B.B '+ C.C ' cos ϕ = cos(nP , nQ ) = uu r uur = nP nQ A + B + C A '2 + B '2 + C '2 uu r uur - ϕ = 90 ⇔ nP ⊥ nQ ⇔ hai mặt phẳng vng góc ( 0o ≤ ϕ ≤ 90o ) - Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x mặt phẳng song song chứa Ox, khơng có biến y song song chứa Oy, khơng có biến z song song chứa Oz III Đường thẳng khơng gian Phương trình đường thẳng - Phương trình tham số đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương x = x0 + a1t r a = ( a1; a2 ; a3 ) y = y0 + a2t (t ∈ ¡ ) z = z + a t - Phương trình tắc đuờng thẳng qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương r x − x0 y − y0 z − z0 = = a = ( a1; a2 ; a3 ) (Với a1a2 a3 ≠ ) a1 a2 a3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng - Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (∆) qua M có vectơ r ur phương a (∆’) qua M có vectơ phương a ' r ur uuuuu r +) (∆) chéo (∆’) ⇔ a, a ' MM ' ≠ r ur uuuuu r r ur r +) (∆) cắt (∆’) ⇔ a, a ' MM ' = với a, a ' ≠ r ur r [a, a '] = +) (∆) // (∆’) ⇔ M ∉ ∆ ' r ur r [a, a '] = +) (∆) ≡ (∆') ⇔ M ∈ ∆ ' - Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Chuyên đề r Cho đường thẳng (∆) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương a = (a1; a2 ; a3 ) r mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) rr +) (∆) cắt (α) ⇔ a.n ≠ rr a.n = +) (∆) // (α) ⇔ M ∉ (α ) rr a.n = +) (∆) nằm mp(α)⇔ M ∈ (α ) Khoảng cách r - Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆) qua M0 có vectơ phương a uuuuur r [M M , a] d ( M , ∆) = r a r - Khoảng cách hai đường chéo nhau: (∆) qua M có vectơ phương a r ur uuuuu r [ a , a '] MM ' ur r ur (∆’) qua M có vectơ phương a ' d (∆, ∆ ') = [a, a '] Góc - Góc ϕ hai đường thẳng (∆) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương r r a = ( a1; a2 ; a3 ) (∆’) qua M ′( x0′ ; y0′ ; z0′ ) có vectơ phương a = ( a '1; a '2 ; a '3 ) r ur a.a ' r ur a1.a '1 + a2 a '2 + a3.a '3 cos ϕ = cos(a, a ') = r ur = a a' a12 + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 - Góc đường thẳng mặt phẳng (∆) qua M có vectơ phương r r a = ( a1; a2 ; a3 ) , mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi ϕ góc hợp (∆) mặt phẳng (α) r r sin ϕ = cos( a, n) = Aa1 + Ba2 + Ca3 A2 + B + C a12 + a22 + a32 Chuyên đề B GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình I Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán Các dạng toán thường gặp: + Định tính: Chứng minh quan hệ vng góc, song song, … + Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, … + Bài tốn cực trị, quỹ tích Một số lưu ý chọn hệ trục toạ độ Chọn hệ trục cho hình lập phương, hình hộp chữ nhật Ta chọn gốc tọa độ đỉnh hình lập phương hình hộp chữ nhật chọn tia Ox, Oy, Oz ba cạnh hình xuất phát từ đỉnh (hình vẽ) Chọn hệ trục cho hình chóp tứ giác Ta chọn tâm đáy gốc toạ độ, tia Ox, Oy, Oz qua đỉnh chóp tứ giác (hình vẽ) Chuyên đề Chọn hệ trục tọa độ cho hình tam diện vng (hình có ba mặt đơi vng góc) Ta chọn ba mặt làm ba mặt phẳng toạ độ (hình vẽ) Chọn hệ trục tọa độ cho hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đáy hình vng, hình chữ nhật (hình vẽ) Chọn hệ trục tọa độ cho hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đáy có yếu tố vng góc đỉnh mà cạnh bên vng góc Ví dụ hình thang vng, tam giác vng, tứ giác có hai cạnh vng góc (hình vẽ) Chun đề Chọn hệ trục cho hình chóp tam giác (hình vẽ) Chọn hệ trục cho hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vng (hình vẽ) II Các dạng tập Bài tập hình chóp Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vng O, OB=a, OC= a , (a>0) đường cao OA= a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình A(0;0; a 3) , B( a;0;0), C (0; a 3;0), vẽ Khi O(0;0;0), Chuyên đề z A a3 N C O y a M B a x a a a a 3 M ; ; ÷, gọi N trung điểm AC ⇒N 0; ; ÷ 2 2 MN đường trung bình tam giác ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) uuuu r a a uuur a a OM = ; ; ÷, ON = 0; ; ÷ 2 2 uuuu r uuur 3a a a a [OM ; ON ] = ; ; ÷= 4 4 ( ) a2 r r 3; 1; = n , với n = ( 3; 1; 1) r Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : 3x + y + z = Ta có: d ( B; (OMN )) = 3.a + + = +1+1 Cách 2: a 15 a a 15 Vậy, d ( AB; OM ) = = 5 A a N O C a M B a Gọi N điểm đối xứng C qua O 10 Chuyên đề x = − t ptts SB: y = − 3t , SC: z = 4t 15 ⇒ I ; ; ÷, 8 2 x = y = − 3t (P): x + y − z − = z = 4t uuu r uur IH IK = … 51 32 K 0; ; ÷ ⇒ cos (·SHB ) , ( SBC ) = 25 25 IH IK ) ( Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vng cân A, AB = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ∆ABC Đặt SG = x (x >0) Xác định giá trị x để góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) 60o Cách 1: BC = a a a ; AG = Gọi E, F hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF hình vng a ⇒ AG = AE ⇒ AE = AF = Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), B(a;0;0), Gọi M trung điểm BC ⇒ AM = a a a a C(0; a; 0), G ; ; ÷, S ; ; x ÷ 3 2 z x S F A E B C y G M x uur a a uur 2a a r a 2a uuu SA = ; ; x ÷, SB = ; − ; − x ÷, SC = − ; ; − x ÷ 3 3 12 Chuyên đề uur uur a2 a r r a [ SA; SB] = 0; ax; − ÷ = a 0; x; − ÷ = a.n1 , với n1 = 0; x; − ÷ 3 3 3 uur uuu r r a a2 a r [ SA; SC ] = ( −ax;0; ) = − a x;0; − ÷ = − a.n2 , với n2 = x; 0; − ÷ 3 3 uur uur r Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có vectơ pháp tuyến n1 uur uuu r r Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC nên có vectơ pháp tuyến n2 Góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) 60o ⇔ cos60o = a a 3 a2 = 29 2 9x + a a x2 + + 9 0.x + x.0 + a2 0+ x + a a2 2 2 ⇔ x + a = a ⇔ x = a ⇔ x = ⇔ = 9x + a2 a Vậy x = Cách 2: Gọi M trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC (∆ABC vng cân) Ta có: SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC Suy ra: BC ⊥ ( SAM ) S I C A G M B · Dựng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA IC ⊥ SA ⇒ BIC góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) ∆SAB = ∆SAC (c − c − c ) ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân I a a BC = a 2; AM = BM = MC = BC = ; AG = 2 13 Chuyên đề ∆AIM ~ ∆AGS ⇒ IM = SG ⇔ IM = AM a = x = AS SG + AG 3ax 2 x + 2a ax 2 x2 + 2a a 3.3ax · · = 30o ⇔ BM = IM tan 30o ⇔ = Ta có: BIC = 60o ⇔ BIM 2 x + 2a a ⇔ x + 2a = x ⇔ x + 2a = 27 x ⇔ 18 x = 2a ⇔ x = a ⇔ x = a Vậy x = Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm ∆ABC Gọi I a a 3 a ⇒ OA = , OI = BC = 2 Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: trung điểm BC, ta có: AI = z S M N h B I C x y O a A a a a a ; 0; ÷ ⇒ I − ; 0; ÷, B − ; ; ÷, O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A 6 a a a a h a a h C− ; − ; ÷, M − ; ; ÷và N − ; − ; ÷ 2 12 12 14 Chuyên đề 2 r uuuu r uuur ah uur uuu r r a a 3 ⇒ n( AMN ) = AM , AN = ; 0; ÷, n( SBC ) = SB, SC = −ah; 0; ÷ 24 r r r uuur 5a uuuu a 10 ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n ( AMN ) n ( SBC ) = ⇒ h = ⇒ S ∆AMN = AM , AN = 12 16 Ví dụ Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải z D + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O D ∈Ox; C ∈ Oy B ∈ Oz ⇒ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) ⇒ Phương trình mặt phẳng (BCD) là: y x y z + + = 1⇔ 3x + 3y + 4z - 12 = 4 A Suy khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) C B x Ví dụ Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh đề 1, O trọng tâm tam giác ∆ABC I trung điểm SO a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC b) H chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G ∆SAC Lời giải a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O gốc tọa độ A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy x 6 6 ;0;0 ÷; B − ; − ;0 ÷; C − ; ;0 ÷; S 0;0 ⇒A ÷; I 0;0; ÷ z S M I B C O A x 15 y Chuyên đề uur uuur uur uuur 6 3 ; ;− ;0; Ta có: BC = (0;1;0) ; IC = − ÷; ⇒ BC , IC = − ÷ 6 6 ⇒ Phương trình mặt phẳng (IBC) là: − 6 ( x − 0) + 0( y − 0) + (z − )=0 6 uur uur r SA = ;0; − Hay: − x + z − = mà ta lại có: ÷⇒ SA// u SA (1;0; − 2) 3 Phương trình đường thẳng SA: x = + t ; y = 0; z = − 2t +t (1) x = (2) y = + Tọa độ điểm M nghiệm hệ: z = − t (3) − x + z − = (4) Thay (1), (2), (3) (4): ⇒x= uuur uuur 3 6 uur ; y = 0; z = ⇒M ;0; ;0; − ÷; ⇒ SM = ÷⇒ SA = SM 12 4 12 12 12 B ⇒ M nằm đoạn SA V( SBCM ) SM = = ⇒ V ( SABC ) SA z S H I G C O A x b) Do G trọng tâm tam giác ∆ASC ⇒ SG qua trung điểm N AC 16 N y Chuyên đề ⇒ GI ⊂ (SNB) ⇒ GI SB đồng phẳng (1) uur 6 ; ; ;− ; Ta lại có G ÷ ⇒ GI = − ÷ 18 18 18 uur uur uur ⇒ GI = − ;− ; ÷ ⇒ GI SB = ⇒ GI ⊥ SB (2) 18 18 Từ (1) (2) ⇒ GI ⊥ SB = H Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d(M, (OAB)) = ⇒ zM = Tương tự ⇒ M(1; 2; 3) ⇒ (ABC): x y z + + =1 a b c M ∈ ( ABC ) ⇒ (1) ⇒ = z C + + = (1) VO ABC = abc (2) a b c 3 + + ≥ 33 a b c a b c c O a ⇒ abc ≥ 27 (2) ⇒ Vmin = 27 ⇔ M b H B y A x = = = a b c Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng A, AD=a, AC=b, B=c Tính diện tích tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S ≥ abc ( a + b + c ) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) uuur uuur uuur uuur BC = ( −c; b;0 ) , BD = ( −c;0; a ) , BC , BD = ( ab; ac; bc ) 17 Chuyên đề S BCD = uuur uuur 2 BC , BD = a b + a 2c + b 2c 2 ñpcm ⇔ a 2b2 + a 2c + b 2c ≥ abc(a + b + c) ⇔ a 2b + a 2c + b 2c ≥ abc(a + b + c ) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: z D a 2b + b 2c ≥ 2ab 2c b 2c + c a ≥ 2bc a c a + a 2b ≥ 2ca 2b Cộ ng vế: a 2b + a 2c + b 2c ≥ abc (a + b + c ) y A C B x Bài tập hình lăng trụ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Chứng minh AC' vng góc với mặt phẳng (A'BD) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy A' ∈ Oz z A' D' C' B' A B D y C x ⇒ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)⇒ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = r uuuu r ⇒Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n( A ' BC ) = ( 1;1;1) AC ' = ( 1;1;1) Vậy AC' vng góc với (A'BC) Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' 18 Chuyên đề Giải Cách 1: Vì các mặt bên lăng trụ AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác hình vng nên Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0;0;0), C’ z A’ B’ a C A x D y B a a a a a a a a B ; ; ÷, C − ; ; ÷, A '(0; 0; a), B ' ; ; a ÷, C ' − ; ; a÷ 2 2 2 2 Ta có: B ' C '//BC , B ' C '// ( A ' BC ) ⇒ d ( B ' C ', A ' B ) = d ( B ' C ', ( A ' BC ) ) = d ( B ', ( A ' BC ) ) uuuu r a a uuuur a a A' B = ; ; − a ÷, A ' C = − ; ; − a÷ 2 2 uuuu r uuuu r a2 3 r 3 2 r A ' B ∧ A ' C = 0; a ; ÷ = a 0; 1; ÷ = a n , với n = 0; 1; ÷ r Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n : 0( x − 0) + 1( y − 0) + d ( B ', ( A ' BC ) ) 3 a ( z − a) = ⇔ ( A ' BC ) : y + z− =0 2 a 3 a a + a − 2 = = a 21 = 7 1+ Vậy d ( A ' B, B ' C ' ) = a 21 Cách 2: Vì các mặt bên lăng trụ hình vng nên: AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a 19 Chuyên đề ⇒ tam giác ABC, A’B’C’ tam giác Ta có: B ' C '//BC ⇒ B ' C '//( A ' BC ) ⇒ d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) A’ C’ B’ F H C A D B BC ⊥ FD ⇒ BC ⊥ ( A ' FD) Ta có: BC ⊥ A ' D ( ∆ A ' BC caâ n taï i A ') Dựng FH ⊥ A ' D Vì BC ⊥ ( A ' BC ) ⇒ BC ⊥ FH ⇒ FH ⊥ ( A ' BC ) ∆A’FD vng có: 1 a 21 = + = + = ⇒ FH = 2 FH A' F FD 3a a 3a a 21 Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy tam giác đề cạnh a AA1 = 2a Vậy d ( A ' B; B ' C ') = FH = vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A≡ O; B∈Oy; A1∈Oz Khi đó: A(0;0;0), z B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a a C1 ; ;2a ÷và D(0;a;a) 2 A B1 C1 D M B A 20 x C Chuyên đề y Do M di động AA1, tọa độ M(0;0;t) với t ∈ [0;2a] Ta có : S∆DC1M = uuur uuuur DC1 , DM 2 uuur a a DC1 = ;− ;a ÷ uuur uuuur −a 2 ⇒ (t − 3a; 3(t − a ); a 3) Ta có: DG, DM = uuuur DM = ( 0; −a; t − a ) uuur uuuur a ⇒ DG, DM = (t − 3a) + 3(t − a) + 3a 2 a = 4t − 12at + 15a 2 a S∆DC1M = 4t − 12at + 15a 2 Giá trị lớn S DC1M tùy thuộc vào giá trị tham số t Xét f(t) = 4t2 −12at + 15a2 f(t) = 4t2 − 12at + 15a2 (t ∈[0;2a]) f '(t) = 8t −12a f '(t ) = ⇔ t = 3a Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn S DC1M a 15 t =0 hay M ≡ A = C CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài (Trích đề thi Đại học khối D 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho ∆ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) 21 Chun đề Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc mặt phẳng (AOB), (BOC), (COD) mặt phẳng (ABC) Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm ∆ABC Chứng minh 1 1 = + + 2 OH OA OB OC Chứng minh cos α + cos β + cos γ = Chứng minh cos α + cos β + cos γ ≤ Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đôi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc ϕ (OMN) (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ∆ANP Chứng minh góc hai mặt phẳng (NOM) (POM) vuông 1 = + 2 a b c Bài Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, (·ABC ),( SBC ) = 600 Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAB) (SBC) Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với 22 Chun đề (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích ∆MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) (SCD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng (α) qua AB vng góc với SC Tìm điều kiện h theo a để (α) cắt cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Tính h theo a để (α) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích ∆SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần 23 Chun đề Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = cm Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với (α) Chứng minh HK qua trọng tâm G ∆SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) · Tìm điều kiện a b để cos CMN = Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a ∆SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) Mặt phẳng (α) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ (α) cắt cạnh SB, SD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO = 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh ∆B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 ≤ m ≤ a) Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆SBM lớn nhất, nhỏ 24 Chuyên đề a , gọi K giao điểm BM AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) (SBK) Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a Tìm điểm M cạnh AA cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k Cho m = (0 < k < a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có AB = 2, AD = 4, AA = Các uuuu r uuur uuur uuur điểm M, N thỏa AM = m AD, BN = mBB ' (0 ≤ m ≤ 1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương 25 Chuyên đề Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D · có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA theo a để B’MDN hình vng 26 ...Chun đề CHUN ĐỀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ A KIẾN THỨC LIÊN QUAN I Toạ độ điểm toạ độ vectơ Định nghĩa hệ trục toạ độ không gian - Trong không gian, cho... + a32 Chuyên đề B GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm... Một hệ trục gọi hệ trục toạ độ Đề- các vng góc Oxyz khơng gian hay hệ toạ độ Oxyz Điểm O gọi gốc toạ độ, mặt phẳng (Oxy ),(Oyz ),(Ozx) đơi vng góc với gọi mặt phẳng toạ độ Không gian với hệ toạ