BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Contents MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ II MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ III ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG IV THỜI LƢỢNG CHUYÊN ĐỀ V MỘT SỐ THUẬT NGHỮ VIẾT TẮT NỘI DUNG I Bài toán mở đầu 1.1 Những khó khăn học sinh giải BPT PP 1.2 Nhận xét phƣơng trình (3) II Cơ sở lý thuyết III Thuật tốn giải bất phƣơng trình IV Các ví dụ vận dụng BPT hữu tỷ 1.1 Ví dụ minh họa 1.2 Bài tập tự luyện 11 Bất phƣơng trình chứa dấu trị tuyệt đối 11 2.1 Ví dụ minh họa 11 2.2 Bài tập tự luyện 13 Bất phƣơng trình vơ tỷ 13 3.1 Ví dụ minh họa 14 3.2 Bài tập tự luyện 27 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Giáo dục lộ trình chuyển mạnh mẽ với chủ trƣơng “đổi tồn diện” Nói đổi toàn diện nghĩa đổi mặt, bao gồm chƣơng trình, phƣơng pháp giảng dạy, phƣơng pháp kiểm tra đánh giá,… Đề án chƣơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể có thuật ngữ “tích hợp” “liên môn” đƣợc đề cập đến nhiều Gần Bộ giáo dục tổ chức nhiều tập huấn cho giáo viên nhà quản lý nội dung Ngoài Bộ tổ chức nhiều thi liên quan nhƣ: “Thi dạy học tích hợp” cho giáo viên, thi “Sử dụng kiến thức liên môn giải vấn đề thực tiễn” cho học sinh Nhƣ thấy vấn để “Tích hợp, liên mơn” trọng tâm đổi “Đổi toàn diện” Theo quan điểm chun gia BGD tích hợp việc lồng ghép cách hữu vấn đề có liên quan đến vào chủ đề để tránh phải đề cập lại nhiều lần Đã dạy học tích hợp phải sử dụng kiến thức liên môn sử dụng kiến thức liên môn phải tích hợp, hai khái niệm gắn bó hữu với tách dời Tuy nhiên phạm vi nhỏ, đơn mơn tích hợp nội dung có liên quan đến đàm bảo tính logic kiến thức tiết kiệm đƣợc thời gian công sức ngƣời học Trong chƣơng trình Tốn học trung học phổ thơng có hai nội dung “Phƣơng trình” “Bất phƣơng trình” đƣợc xây dựng với thời lƣợng mức độ yêu cầu tƣơng đƣơng Thoạt nhìn chúng nhƣ độc lập với Tuy nhiên nghiên cứu kỹ cấu trúc nghiệm PT nhƣ BPT thấy chúng có quan hệ hữu với Từ phƣơng trình ta kết luận tập nghiệm BPT tƣơng ứng Vậy câu hỏi đặt phải đặt hai nội dung độc lập nhau? [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Chun đề khơng trả lời câu hỏi Đứng quan điểm ngƣời có hàng triệu lý để chúng đứng độc lập với Ở tiếp thu tinh thần “Đổi tồn diện” tích hợp liên mơn để đề xuất phƣơng án “Tích hợp Bất phương trình vào Phương trình” chƣơng trình phổ thơng Nói nhƣ thể nghĩa lồng ghép nội dung BPT dạy PT Thực chất giải BPT f ( x)  g ( x) tìm khoảng mà đồ thị hàm số f ( x) nằm đồ thị hàm số g ( x) , nhƣng khoảng nhƣ lại bị chi phối nghiệm phƣơng trình f ( x)  g ( x) Thực tế giải BPT f ( x)  g ( x) mà phƣơng trình f ( x)  g ( x) khơng tìm đƣợc nghiệm tƣờng minh ta kết luận cách tƣờng minh tập nghiệm BPT đƣợc Ngồi dạng BPT chƣơng trình THPT đều có dạng PT tƣơng ứng PP giải BPT coi kế thừa PP giải PT hầu hết BPT kết luận đƣợc tập nghiệm thơng qua nghiệm phƣơng trình tƣơng ứng Nội dung chuyên đề bàn phƣơng pháp II MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề xây dựng sở lý thuyết chặt chẽ để sở đắn cho việc giải BPT phƣơng pháp Từ làm sở vững cho việc tích hợp BPT vào PT Nếu đề tài đƣợc áp dụng tiết kiệm đƣợc nhiều thời lƣợng dạy học chƣơng trình Tốn lớp 10, ta tích hợp gần nhƣ tồn tốn “Giải bất phƣơng trình” vào tốn “Giải phƣơng trình” Về mặt phƣơng pháp, chuyên đề tiếp cận vấn đề không nhƣng nâng tầm lên vị Giúp ngƣời học tự tin áp dụng phƣơng pháp hiệu để giải BPT Với phƣơng pháp học sinh không cần phải ghi nhớ “Giải BPT nhƣ nào” mà cần luyện cho sắc kỹ “Giải phƣơng trình” cần ghi nhớ “Tập nghiệm mà em tìm đƣợc, muốn em suy tập nghiệm BPT” Qua góp [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH phần tích cực vào việc đổi phƣơng pháp giảng dạy, đề cao phƣơng pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm III ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG Chuyên đề áp dụng cho đối tƣợng học sinh lớp 10,11,12 học sinh chuẩn bị thi THPT quốc gia IV THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ - Đối với học sinh giỏi: 04 tiết lớp, 04 tiết luyện tập - Đối với học sinh trung bình: 05 tiết lớp, 05 tiết luyện tập V MỘT SỐ THUẬT NGHỮ VIẾT TẮT PT: Phƣơng trình BPT: Bất phƣơng trình PP: Phƣơng pháp TXĐ: Tập xác định THPT: Trung học phổ thông Vĩnh tường, tháng 10 năm 2015 Tác giả Hồng Đức Trƣờng Tổ Tốn –Tin, TrƣờngTHPT Lê Xoay [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH NỘI DUNG I Bài tốn mở đầu Xét tốn tổng qt giải BPT có dạng f ( x)  g ( x) (1) f ( x)  g ( x) (2) Tiếp theo ta xét tốn giải phƣơng trình dạng: f ( x)  g ( x) (3) Trong tài liệu chuyên môn BPT đề xuất phƣơng pháp giải tổng quát PP biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau:   g ( x)     f ( x)  (1)    g ( x)      f ( x)   g ( x)  (i) (ii) g  x   (2)   f  x     f ( x)   g( x)  1.1 Những khó khăn học sinh giải BPT PP Các BPT dạng (1) (2) hai dạng BPT lớp BPT vô tỷ, nội dung tốn nhiều thời gian công sức học sinh lớp 10 học sinh chuẩn bị thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên giải BPT học sinh thƣờng gặp khó khăn sau:  Học sinh thƣờng nhầm lẫn hai dạng (1) (2)  Đối với dạng (1) học sinh thƣờng bỏ qua điều kiện (i) [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH  Ngay đặt điều kiện hay mắc sai lầm việc lấy tổng hợp điều kiện nghiệm 1.2 Nhận xét phương trình (3) Có thể thấy (3) dạng lớp phƣơng trình vơ tỷ PT(3) giải đơn giản PP biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau:  g  x  (3)   f ( x )  g( x )     (iii) (iv) Ở điều kiện (iii) điều kiện để hai vế không âm điều kiện để phép biến đổi tƣơng đƣơng, thay cho điều kiện xác định phƣơng trình Tuy nhiên PT học sinh khơng đặt điều kiện (iii) nghĩa biến đổi không tƣơng đƣơng, nhƣng sau thử lại tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình Nhƣ dạng phát biểu giống dạng thức nhƣng giải phƣơng trình rõ ràng đơn giản linh hoạt toán BPT tƣơng ứng Vì nhận xét nên tận dụng việc giải PT để kết luận cho việc kết luận nghiệm BPT tƣơng ứng II Cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp tính chất hàm số liên tục Định lý Cho hàm số f ( x) liên tục  a; b Khi f  a  f  b   tồn giá trị c   a; b  cho f (c)  , nói cách khác, phương trình f ( x)  có nghiệm khoảng  a; b  Đây định lý quan trọng hàm số liên tục đƣợc phát biểu chƣơng trình Giải tích lớp 11 Định nghĩa Cho hàm số f ( x) Khoảng  a; b  , (với a, b hữu hạn vô hạn) gọi khoảng hàm số f ( x) f ( x) liên tục  a; b  không triệt tiêu điểm  a; b  Đoạn  a; b gọi [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH đoạn hàm số f ( x) f liên tục  a; b triệt tiêu (nếu có) hai đầu mút đoạn Định nghĩa tƣơng tự với nửa khoảng Sau ta gọi chung khoảng Nhận xét: Hầu hết hàm số chương trình phổ thơng có TXĐ biểu diễn thành hợp của khoảng đôi không giao Có hàm số có TXĐ khơng thể phân tích vậy, chẳng hạn hàm Dirichlet Tuy nhiên phạm vi chương trình THPT khơng gặp hàm số Hơn hàm số xuất BPT đề thi thường hàm số có hữu hạn khoảng Định lý Trên khoảng hàm số không đổi dấu Chứng minh Thật giả sử f đổi dấu khoảng  a; b  đó, nghĩa tồn  ,    a; b  cho    f   f     Nhƣng lại tồn c   ;   : f (c)  Điều mâu thuẫn  a; b  khoảng Định nghĩa Ta gọi khoảng khoảng dương f ( x) mang dấu dương Ta gọi khoảng âm f ( x) mang dấu âm Nhận xét Một BPT đưa dạng sau f  x   0; f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  Ta gọi chúng BPT có dạng chuẩn Nhận xét Nếu f ( x) hàm số liên tục liên tục đoạn nghiệm bất phương trình có dạng chuẩn hợp khoảng hàm số f ( x) Thật Ta phân tích tập xác định f ( x) thành hợp khoảng đôi khơng giao mà f ( x) liên tục Giả sử phương [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH trình f ( x)  có nghiệm x1 , x2 , , xn Các nghiệm phân hoạch khoảng liên tục thành khoảng Khi nghiệm BPT, chẳng hạn f ( x)  hợp tất khoảng dương III Thuật tốn giải bất phương trình Trên sở nhận xét chúng tơi đề xuất thuật tốn để giải BPT dựa vào phƣơng trình nhƣ sau: Bước Viết lại BPT dƣới dạng chuẩn Bước Tìm TXĐ f ( x) Bước Giải phƣơng trình f  x   Các nghiệm PT điểm phân hoạch TXĐ f ( x) thành khoảng Bước Xét dấu f(x) khoảng Bước Kết luận tập nghiệm Phân tích thuật tốn: - Bƣớc bƣớc phải làm với BPT dù làm theo cách - Bƣớc bƣớc quan trọng Để làm bƣớc học sinh phải thành thạo PP giải phƣơng trình Tuy nhiên, nhƣ phân tích việc giải PT tránh đƣợc cho học sinh nhiều phiền phức sai lầm khơng đáng có - Trong bƣớc 4, ta mở rộng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai quy tắc “đổi dấu qua nghiệm bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn” Tuy nhiên để tránh phải giải thích nhiều nghiệm bội chẵn nghiệm bội lẻ, ta hƣớng dẫn học sinh xét dấu khoảng lấy điểm khoảng xét dấu điểm Dấu điểm dấu tồn khoảng [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH - Ở bƣớc 5, BPT có dạng f ( x)  ta lấy khoảng mà f ( x) mang dấu (+) BPT có dạng f ( x)  ta lấy khoảng mà f ( x) mang dấu (+) điểm mà hàm số triệt tiêu Tƣơng tự với hai trƣờng hợp lại IV Các ví dụ vận dụng Mặc dù nội dung phƣơng pháp áp dụng cho bất phƣơng trình, từ bất phƣơng trình đại số, bất phƣơng trình mũ, logarit,…Tuy nhiên khn khổ báo cáo chun đề chúng tơi xét ví dụ minh họa với dạng BPT đại số BPT hữu tỷ 1.1 Ví dụ minh họa Đối với loại BPT Phƣơng pháp thể tính vƣợt trội Ví dụ Giải bất phƣơng trình:  x  3 x    x2  Lời giải: TXĐ D   \{-1;1} BPT   x  3 x     Đặt f ( x)  x 1  x  3 x     x 1 x   x  1 x  1 Ta có f ( x)   x  5 Lập bảng xét dấu f ( x) : x  f(x) -5 + -1 - ||  + || - Vậy tập nghiệm BPT S   5; 1  1;   Ví dụ Giải bất phƣơng trình: x2  x   2x 1 x2 Lời giải: TXĐ D   \{2} x2  x   x2  4x  x2  4x BPT   2x     Đặt f ( x)  x2 x2 x2 Ta có f ( x)   x   x  Lập bảng xét dấu f ( x) : x f(x)  + - ||  + - Vậy tập nghiệm BPT S   ;0   2;4 [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Minh họa tập nghiệm BPT đồ thị (Phần tô đậm tập nghiệm) Ví dụ Giải bất phƣơng trình: 1 1    x  x  1 x  3x  2 x  x  Lời giải: TXĐ D   \{-3;-2;-1;0} BPT  1 1    0 x  x  1 x  3x  x  x  1 1 1        x x 1 x 1 x  x  x  1  3x  x    0  x x3 2 x  x  3   3  33 x   3x  x Đặt f ( x)  Ta có f ( x)    x  x  3  3  33 x   Lập bảng xét dấu f ( x) : x f(x) 3  33  - -3 -2 + || - || - -1 || 3  33 - +  -  3  33   3  33  ; 3    0;  2     Vậy tập nghiệm BPT S   Minh họa tập nghiệm BPT đồ thị [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 10 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x f(x) -6 - + Vậy tập nghiệm BPT [3;5] Đồ thị minh họa f ( x) Nhận xét: Ở cách học sinh thường bỏ qua trường hợp sai kết hợp nghiệm Ở cách 2, học sinh xét nhiều trường hợp lấy tập nghiệm dễ dàng Ở cách ngắn gọn đơn giản Ví dụ Giải bất phƣơng trình  x  2 x  2x   x  x Lời giải Cách BPT   x      x  (I)  x  2x   x    x  2x   x    x    (II)  x  2x   x     x   x  2x   Giải hệ (I)  x   x   Giải hệ (II)   x   x   x  2x   x  2x    Vậy tập nghiệm cùa BPT S  {2} Cách TXĐ D   Đặt f ( x)   x   x  x   x  x , BPT f ( x)  [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 15 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Tc a có f ( x)    x     x  x   x   x  Xét dấu f ( x) ta có  x f(x)  - - Vậy BPT có nghiệm x = Ví dụ Giải bất phƣơng trình: 5x   x   x  Giải Cách Giải theo PP biến đổi tƣơng đƣơng ĐKXĐ: x  Bất phƣơng trình  5x   x   x   x   x   x   ( x  1)(2 x  4)  x   ( x  1)(2 x  4)  x2  x   x2  x    x  10 x    x  10 Kết hợp với điều kiện ta đƣợc nghiệm bất phƣơng trình là:  x  10 Cách TXĐ D = [2; ) BPT  f ( x)  x   x   5x   Phƣơng trình f ( x)   x   x   5x   ( x  1)(2 x  4)  x  x   x  10 x    Kết hợp đk suy x = 10  x  10 Ta có bảng xét dấu f(x) nhƣ sau: x f(x)  10 - + Từ suy tập nghiệm BPT [2;10) Đồ thị minh họa f ( x) [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 16 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Nhận xét: Ở ví dụ này, giải theo cách học sinh thực thao tác kết hợp nghiệm Ví dụ Giải bất phƣơng trình: x  3x   2x 1 Lời giải:   5 Cách TXĐ D   ;    1;      5 TH Với x  , BPT Suy BPT có nghiệm  ;   2  TH2 Với x  , BPT  x  3x   x   x  x      5 3   x  2   Suy tập nghiệm BPT S   ;     ;2  2    5 Cách TXĐ D   ;    1;    BPT  f ( x)  x  3x  Phƣơng trình f ( x)     2x 1 x  3x    x  3x   x  2x 1  x  x     x  2 x  x     Ta có bảng xét dấu f(x) nhƣ sau: x f(x)   +   5 3   + -   Suy tập nghiệm BPT S   ;     ;2  2  [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 17 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Ví dụ Giải bất phƣơng trình: x3   x   x2  x   x  x3 Lời giải: TXĐ D   1;   Đặt f ( x)  x3   x   x  x   x  , BPT  f ( x)  x3 x3   x   x2  x   x  x3 Phƣơng trình f ( x)   x  1 x3  Bình phƣơng vế ta đƣợc:  x2  x   x2  2x     x3  x   Thử lại thấy không thỏa mãn PT Vậy PT f ( x)  vô nghiệm, suy f không đổi dấu trêm D Mà f(0) < nên BPT vô nghiệm Nhận xét: Ở giải phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn việc biến đổi thuận lợi để giải BPT phép biến đổi tương đương Khi đưa giải PT ta biến đổi hệ thử lại Đồ thị minh họa hàm f ( x) Ví dụ 10 Giải bất phƣơng trình: Lời giải: Cách TXĐ D   x2  x   x2  x   x  Từ BPT nhận thấy x    x2  x     x  x  1  2x    x2  x   x  x  , từ BPT  2x  2x  x   2x  x  2  x   2x2  x   2x2  x   [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 18 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH  x2  x   x2  x   x2  x    x  2  2x2  x   2x    7 x  x   x  2    x     8 Tập nghiệm BPT 0;   7 Cách TXĐ D   Đặt f ( x)  x  x   x  x   x  , BPT  f ( x)  Xét phƣơng trình f ( x)  , ta thấy x  4 nghiệm PT Xét x  4 , PT  2x  2x  x   2x  x  2  x   x2  x   x2  x   Từ ta có hệ pt: x  2   2x  x   2x  x   2  2x  x   x     2 x  x  x   x  x   x     Thử lại thỏa mãn; phƣơng trình có nghiệm: x = 0, x = Xét dấu f(x) ta có x f(x)  + -  +  8 Từ bảng xét dấu suy tập nghiệm BPT 0;   7 Minh họa tập nghiệm BPT đồ thị [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 19 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x   2x x   2x  x2  4x  Ví dụ 11 Giải bất phƣơng trình: HD: ĐKXĐ: x  1 Đặt f ( x)  x   x x   x  x  x  BPT  f ( x)  PT : f ( x)    x   2x  x  x 1 1    x    Xét dấu f ( x) ta có: x f(x) -1 -  + - Tập nghiệm BPT S   1;0  1;   Ví dụ 12 Giải bất phƣơng trình x2  8x 15  x2  2x 15  4x2 18x 18 Lời giải:  x  x  15  x    Điều kiện:  x  x 15    x  5 TXĐ D   ; 5 {3}  5;    x   4 x 18 x  18  Đặt f ( x)  x2  8x 15  x2  x 15  x2 18x 18, BPT f ( x)  f ( x)    x  5  x  3   x  5  x  3   4x  6 x  3 [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 20 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH     x  5  x  3   x  5  x  3  x  25  x  3   x   x  3      x  25  x  3   x  3  x  25  x  3   x  3 2 x    x  3  x  34     17 x  Xét dấu f ( x) x  f(x) -5 - 17 -  + 17  ;   3  Tập nghiệm BPT: S  {3}   Ví dụ 13 Giải bất phƣơng trình :  x   x  4  x  10  3x Lời giải: Cách ĐKXĐ: 2  x  Đặt t   x  2  x Từ suy t  10  3x  4  x Bất phƣơng trình trở thành: 2t  t   t  Nghiệm bất phƣơng trình x2 Cách TXĐ D   2; 2 BPT  f ( x)   x   x  4  x  10  3x  Đặt t   x  2  x Từ suy t  10  3x  4  x Phƣơng trình f ( x)  trở thành: 2t  t  t   t  Giải ta đƣợc x   x  Xét dấu f ( x) ta có [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 21 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x -2 f(x) - 6 +  Vậy tập nghiệm BPT S   ;2  5  Ví dụ 14 Giải bất phƣơng trình: x   x2  x   x (1) Lời giải : Cách Tập xác định: D  [0;2  3]  [2+ 3; ) Ta có x  nghiệm (1) Với x  chia vế (1) cho Đặt t  x  x ta đƣợc: x 1  x 4 3 x x 1  x   t  ( t  ) x x Ta đƣợc bất phƣơng trình: t  t   Giải bất phƣơng trình  t   T  [0; ]  [4; ) tập nghiệm bất phƣơng trình Cách 2.Tập xác định: D  [0;2  3]  [2+ 3; ) Đặt f ( x)  x   x  x   x BPT cho  f ( x)  Giải PT f ( x)  Dễ thấy x  không nghiệm phƣơng trình Với x  , PT  x  Đặt t  x  1  x 4 3 x x 1  x   t  ( t  ) x x Ta đƣợc phƣơng trình: t  t    t  [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 22 BÁO CÁO CHUN ĐỀ Thay TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x  x   2x  x     x  x  Xét dấu f(x) ta đƣợc x f(x) + 2 - 2 ` -  + Suy tập nghiệm BPT  T  [0; ]  [4; ) Ví dụ 15 Giải bất phƣơng trình: x2  x   x  5x2  x  Lời giải: Cách Điều kiện xác định: x  Bình phƣơng vế rút gọn ta đƣợc : x( x  2)( x  1)  x( x  2)  2( x  1) Chia vế cho ( x  1) ta đƣợc bất phƣơng trình: x( x  2) x( x  2) 2 2 x 1 x 1 Đặt t  x( x  2) ( t  ) ta đƣợc bất phƣơng trình: 2t  3t   x 1 Giải bất phƣơng trình ta đƣợc tập nghiệm cuối bất phƣơng trình là: T=[3  13; ) [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 23 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Cách Đặt f ( x)  x  x   x  5x  x  , BPT  f ( x)  PT f ( x)   x( x  2)( x  1)  x( x  2)  2( x  1)  Đặt t  x( x  2) x( x  2) 2 2 x 1 x 1 x( x  2) ( t  ) ta đƣợc phƣơng trình: 2t  3t    t  x 1 Từ suy x   13 Xét dấu f(x) ta có tập nghiệm T=[3  13; ) Minh họa tập nghiệm BPT đồ thị Ví dụ 16 Giải bất phƣơng trình    6 3x  1   x3  x  1  x3  x    3x  x Lời giải TXĐ D   \{0}   6   Đặt f ( x)  3x  1   x3  x  1  x3  x    3x , BPT  f ( x)  x    PT f ( x)   3x3  3x  x   x   x3  x  1  x3  x   Đặt t  x3  x  ta đƣợc phƣơng trình:  t  t  1  3t  x  3   x  3t  [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 24 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x   x  x   x   x  26 x  18 x  27      x  9  87  26 3 2  Lập bảng xét dấu f ( x) ta có tập nghiệm S   ;  9  87   9  87    0;  26 26    Ví dụ 17 Giải bất phƣơng trình 32 x  32 x  x  15  20 Lời giải: TXĐ D    ;   Đặt f ( x)  32 x  32 x  x  15  20, BPT  f ( x)    15 Giải phƣơng trình f ( x)    x    x  15  28 Đặt  x    y  15  x  15  y  2, ( y   ) ta đƣợc hệ phƣơng trình  2  y    x  15  Giải hệ PT ta đƣợc x  , x    221 16 Lập bảng xét dấu f ( x) ta đƣợc tập nghiệm bất phƣơng trình   221  S   ;  16 2  Nhận xét Đối với BPT ví dụ 16, khơng chuyển phương trình khó khăn Ví dụ 18 Giải bất phƣơng trình: x  x   3x   Lời giải: TXĐ D   ;    Đặt f  x   x  x   3x   Ta có: f   x   5x  3x     f (x) đồng biến ,  3  3x Mặt khác f (1)  nên phƣơng trình f (x)  có nghiệm x  1 Lập bảng xét dấu f(x) ta suy tập nghiệm BPT S   1;   3 [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 25 BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Ví dụ 19 Giải bất phƣơng trình Lời giải 6x   2x BPT  x   8x3  8x3  x  Đặt f ( x)  8x3  x  1, BPT  f ( x)  Xét phƣơng trình f ( x)   8x3  x   Dễ thấy phƣơng trình khơng có nghiệm thỏa mãn x  Ta xét x  Khi đặt x  cos t , t 0;  PT  8cos3 t  6cos t    2cos3t   cos3t   2    t   k  t   k   3   3t     k 2 t     k 2     5 7  Do t   0;   t   , ,  Suy phƣơng trình có nghiệm 9 9   5 7 x  cos ; x  cos ; x  cos 9 Xét dấu f ( x) ta có tập nghiệm BPT là: 7 5      S  cos ;cos   cos ;   9     Minh họa tập nghiệm BPT đồ thị Ví dụ 20 Giải bất phƣơng trình 3  x    x  x  11  x  x  x  11  [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 26 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH Lời giải:   BPT  f ( x)  PT  f ( x)     x    3 x   x  3  f ( x)   x  x  x  11  x  x  x  11  2, TXĐ D   Đặt 3  x    x2       x   3  x  2  x  3  2 2  Xét hàm số g (t)  t  t  2, dễ dàng chứng minh g(t) đồng biến Suy  x  3 3 x    x2   3  x  2 2 x    x  x2   x2  x     x    Lập bảng xét dấu f ( x) suy tập nghiệm BPT S   2;3 3.2 Bài tập tự luyện Giải bất phƣơng trình sau  4x  3 x  3x   8x  2 x   x   3x  2 x  x   x   x   49 x  x  42  181  14 x x3   x2  3x  x3  (3x2  x  4) x   x  41x  4x x  18  3  x  2x  44x  18 3x    x  3x2  14 x   3x    x  16    4x2 3 x   10  x  x  x  1  x x   x x  x  11 x  91  x   x 12 x 1 x   x2  x  2x [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 27 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH 2 13  x  x x    x  x 14 x    x  x2  x  11 15 x x  2( x  x  1) 1 16 x 11x2  25x  12  x2  x  KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua ví dụ ta thấy, với BPT thơng thƣờng, việc áp dụng phƣơng pháp cho lời giải sáng hơn, tránh đƣợc sai lầm mà học sinh mắc phải, giúp em học sinh đạt thành tích cao kỳ thi THPT quốc gia Trên nội dung chuyên đề thảo luận việc “Tích hợp bất phương trình vào phương trình” Nói “tích hợp” chun đề giải đƣợc mục tiêu dạy học tích hợp giúp học sinh tiết kiệm đƣợc thời gian công sức tận dụng thành có sẵn nội dung phƣơng trình trƣớc Chun đề “Phƣơng pháp giải toán” Phƣơng pháp thực chất tận dụng kỹ có sẵn việc giải phƣơng trình để kết luận cho tập nghiệm BPT Thực tế giải phƣơng trình, niềm vui mà có đƣợc tập nghiệm PT đƣợc tìm thấy Tuy nhiên có vậy! Tại ta không đặt câu hỏi nghiệm để làm gì? Dùng vào việc gì? Phƣơng pháp tận dụng đƣợc điều Chun đề trình bày đầy đủ sở lý luận phƣơng pháp trình bày hệ thống ví dụ minh họa toán BPT đại số Những loại BPT trình khác đƣợc áp dụng hồn tồn tƣơng tự, chúng tơi hồn thiện hệ thống ví dụ dịp khác Từ lý luận nhận xét chúng tơi cho hồn tồn dạy lồng ghép cách hữu hai nội dung PT BPT với Điều khơng tiết kiệm đƣợc thời gian công sức ngƣời học mà phù hợp với quy luật hai mai mặt vật tƣợng khách quan Chúng mong đƣợc phản hồi từ quý đồng nghiệp để chuyên đề đƣợc hoàn thiện KIẾN NGHỊ Kiến nghị với Bộ giáo dục thông qua Sở giáo dục, xây dựng chƣơng trình giáo dục mới, nghiên cứu phƣơng pháp để dạy lồng ghép nội dung “Bất phƣơng trình” dạy nội dung “Phƣơng trình” Các phƣơng pháp khác nên phƣơng pháp tham khảo [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 28 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Vũ Tuấn, Đại số 10 bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [02] Nguyễn Huy Đoan, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [03] Vũ Tuấn, Đại số 11 bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [04] Nguyễn Huy Đoan, Đại số 11 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [05] Phạm Quốc Phong, Chuyên đề nâng cao Đại số THPT, NXB Giáo dục Việt Nam, 2005 [06] Phan Dỗn Thoại, Phương pháp giải tốn Đại số 10 theo chủ đề, NXB Giáo dục Việt Nam, 2006 [07] Lê Hồnh Phò, 10 trọng điểm luyện thi ĐH – CĐ mơn Tốn, NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh, 2014 [THPT LÊ XOAY] | HỒNG ĐỨC TRƢỜNG 29 ... đạt thành tích cao kỳ thi THPT quốc gia Trên nội dung chuyên đề thảo luận việc Tích hợp bất phương trình vào phương trình Nói tích hợp chuyên đề giải đƣợc mục tiêu dạy học tích hợp giúp học... CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀO PHƢƠNG TRÌNH x   2x x   2x  x2  4x  Ví dụ 11 Giải bất phƣơng trình: HD: ĐKX : x  1 Đặt f ( x)  x   x x   x  x  x  BPT  f ( x)  PT : f... đƣợc bất phƣơng trình: 2t  3t   x 1 Giải bất phƣơng trình ta đƣợc tập nghiệm cuối bất phƣơng trình l : T=[3  13; ) [THPT LÊ XOAY] | HOÀNG ĐỨC TRƢỜNG 23 BÁO CÁO CHUN ĐỀ TÍCH HỢP BẤT PHƢƠNG