SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC Có nhiều tốn hình học tưởng khơng liên quan đến diện tích, ta sử dụng diện tích lại dễ dàng tìm lời giải tốn Bài tốn : Tam giác ABC có AC = AB Tia phân giác góc A cắt BC D Chứng minh DC = DB Phân tích tốn (h.1) Để so sánh DC DB, so sánh diện tích hai tam giác ADC ADB có chung đường cao kẻ từ A Ta so sánh diện tích hai tam giác chúng có đường cao kẻ từ D nhau, AC = AB theo đề cho Giải : Kẻ DI vng góc với AB, DK vng góc với AC Xét ΔADC ΔADB : ADC ΔADC ΔADB : ADB : đường cao DI = DK, đáy AC = AB nên SADC = SADB Vẫn xét hai tam giác có chung đường cao kẻ từ A đến BC, SADC = SADB nên DC = DB Giải tương tự trên, ta chứng minh toán tổng quát : Nếu AD phân giác ΔADC ΔADB : ABC DB/DC = AB/AC Bài tốn : Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường chéo cắt O Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AC BC theo thứ tự E F Chứng minh OE = OF Giải : Cách : (h.2) Kẻ AH, BK, CM, DN vng góc với EF Đặt AH = BK = h1, CM = DN = h2 Ta có : Từ (1), (2), (3) => : Do OE = OF Cách : (h.3) Kí hiệu hình vẽ Ta có SADC = SBDC Cùng trừ S5 : S1 + S2 = S3 + S4 (1) Giả sử OE > OF S1 > S3 S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4, trái với (1) Giả sử OE < OF S1 < S3 S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4, trái với (1) Vậy OE = OF Bài toán : Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác góc AKC Giải : (h.4) Kẻ DH vng góc với KA, DI vng góc với KC Ta có : DH AN = SADN (1) DI CM = SCDM (2) Ta lại có SADN = 1/2.SABCD (tam giác hình bình hành có chung đáy AD, đường cao tương ứng nhau), SCDM = 1/2.SABCD nên SADN = SCDM (3) Từ (1), (2), (3) => DH AN = DI CM Do AN = CM nên DH = DI Do KI tia phân giác góc AKC Như xét quan hệ độ dài đoạn thẳng, ta nên xét quan hệ diện tích tam giác mà cạnh đoạn thẳng Điều nhiều giúp đến lời giải toán Bạn sử dụng diện tích để giải tốn sau : Cho tam giác ABC cân A Gọi M điểm thuộc cạnh đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI đường cao tam giác ABC Chứng minh MH + MK = BI Hướng dẫn : Hãy ý đến SAMB + SAMC = SABC Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M tam giác ABC đến ba cạnh tam giác khơng phụ thuộc vị trí M Hướng dẫn : Hãy ý đến SMBC + SMAC + SMAB = SABC Cho tam giác ABC cân A Điểm M thuộc tia đối tia BC Chứng minh hiệu khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AC AB đường cao ứng với cạnh bên tam giác ABC Hướng dẫn : Hãy ý đến SMAC - SMAB = SABC Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Các đường thẳng AD BC cắt O Gọi F trung điểm CD, E giao điểm OF AB Chứng minh AE = EB Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Bài toán : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B Oy lấy hai điểm C, D cho AB = CD Gọi M N trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy Suy luận : Vị trí đặc biệt CD CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác góc xOy Gọi C1 D1 điểm đối xứng A B qua Oz ; E F giao điểm AC1 BD1 với Oz Khi E F trung điểm AC1 BD1, vị trí MN EF Vì ta cần chứng minh MN // EF đủ (xem hình 1) Thật vậy, AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1 Mặt khác ME NF đường trung bình tam giác ACC1 BDD1 nên NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 => ME // NF NE = 1/2 NF => tứ giác MEFN hình bình hành => MN // EF => đpcm Bài toán có nhiều biến dạng” thú vị, sau vài biến dạng nó, đề nghị bạn giải xem tập nhỏ ; sau đề xuất “biến dạng” tương tự Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB CD có hai điểm D E chuyển động cho BD = CE Đường thẳng qua trung điểm BC DE cắt AB AC I J Chứng minh ΔADC ΔADB : AIJ cân Bài toán : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD AE phân giác trung tuyến tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB AC M N Gọi F trung điểm MN Chứng minh AD // EF Trong việc giải toán chứa điểm di động, việc xét vị trí đặc biệt tỏ hữu ích, đặc biệt tốn “tìm tập hợp điểm” Bài tốn : Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Dựng hình vng BCDE Tìm tập hợp C, D tâm hình vng Ta xét trường hợp hình vng BCDE “nằm ngồi” nửa đường trịn cho (trường hợp hình vng BCDE nằm đường tròn cho xét tương tự, đề nghị bạn tự làm lấy xem tập) Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi hình vng BCDE thu lại điểm B điểm I, D, E trùng với B, I tâm hình vng BCDE Vậy B điểm thuộc tập hợp cần tìm Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vng BAD1E1 D trùng với D1, E trùng với E1 I trùng với I1 (trung điểm cung AB ) Trước hết, ta tìm tập hợp E Vì B E1 thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ đến việc thử chứng minh Đ BEE1 khơng đổi Điều khơng khó Đ ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ΔADC ΔADB : BEE1 = ΔADC ΔADB : BCA (c g c) => Đ BEE1 = Đ BCA = 90o => E nằm nửa đường tròn đường kính BE1 (1/2 đường trịn 1/2 đường trịn cho nằm hai nửa mặt phẳng khác với “bờ” đường thằng BE1) Vì Đ DEB = Đ E1EB = 90o nên D nằm EE1 (xem hình 2) => Đ ADE1 = 90o = Đ ABE1 => D nằm đường trịn đường kính AE1, ABE1D1 hình vng nên đường trịn đường kính AE1 đường trịn đường kính BD1 Chú ý B D1 vị trí giới hạn tập hợp cần tìm, ta => tập hợp D nửa đường trịn đường kính BD1 (nửa đường trịn điểm A hai nửa mặt phẳng khác với bờ đường thẳng BD1) Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần ý II1 đường trung bình ΔADC ΔADB : BDD1 nên II1 // DD1 => Đ BII1 = 90 => tập hợp I nửa đường trịn đường kính BI1 (đường tròn A hai nửa mặt phẳng khác với bờ BD1) Để kết thúc, xin mời bạn giải toán sau : Bài toán : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Kẻ CH vng góc với AB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M cho OM = CH Tìm tập hợp M LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP Các bạn làm quen với bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski không bạn chưa biết bất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đến bất đẳng thức thật giản dị, gần gũi với kiến thức bạn bậc THCS Các bạn thấy : Nếu a1 ≤ a2 b1 ≤ b2 (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ Khai triển vế trái bất đẳng thức ta có : a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ => : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào hai vế ta : (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2) => : (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*) Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 b1 ≥ b2 tất bất đẳng thức đổi chiều ta có : (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**) Các bất đẳng thức (*) (**) trở thành đẳng thức a1 = a2 b1 = b2 Làm theo đường tới (*) (**), bạn giải nhiều toán thú vị Bài toán : Biết x + y = Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004 Lời giải : Do vai trị bình đẳng x y nên giả sử x ≤ y Từ => : x2003 ≤ y2003 Do (y2003 - x2003).(y - x) ≥ => : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003 Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = (x2003 + y2003) => : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm) Để ý : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức x = y = ; bạn có lời giải tốn sau : Bài tốn : Giải hệ phương trình : Nếu bạn quan tâm tới yếu tố tam giác vận dụng bất đẳng thức (*) (**) dẫn đến nhiều toán Bài tốn : Cho tam giác ABC có diện tích AH BK đường cao tam giác Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = Do vai trò bình đẳng BC CA nên giả sử BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK Do (CA - BC).(BK - AH) ≤ => : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào vế ta có : 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Đẳng thức xảy BC = CA BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC tam giác cân đỉnh C Bài toán : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c đường cao tương ứng cạnh có độ dài ha, hb, hc Chứng minh : với S diện tích tam giác ABC Lời giải : Do vai trị bình đẳng cạnh tam giác nên giả sử a≤b≤c => : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ≥ hb ≥ hc Làm lời giải toán ta có : (a + b).(ha + hb) ≥ 8S => : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1) Tương tự ta : 1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2) 1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3) Cộng vế (1), (2), (3) dẫn đến : Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC tam giác Bây bạn thử giải tập sau : 1) Biết x2 + y2 = Tìm giá trị lớn F = (x4 + y4) / (x6 + y6) 2) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 3) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c độ dài đường phân giác thuộc cạnh la, lb, lc Chứng minh : 4) Hãy dự đoán chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Từ sáng tạo toán Nếu bạn thấy thú vị với khám phá tập này, gửi gấp viết cho chuyên mục EUREKA TTT2 PHƯƠNG PHÁP HỐN VỊ VỊNG QUANH Phân tích thành nhân tử kĩ chương trình đại số bậc THCS Kĩ sử dụng giải toán : biến đổi đồng biểu thức tốn học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Sách giáo khoa lớp giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử Sau xin nêu phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp phương pháp quen thuộc đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, đẳng thức Phương pháp dựa vào số nhận xét sau : 1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) = a = b F(a, b, c) chứa nhân tử a - b, b - c c - a Bài tốn : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Nhận xét : Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b Tương tự F(a, b, c) chứa nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) biểu thức bậc ba, F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a) Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Bài tốn : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) Nhận xét : Tương tự toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng F(a, b, c) biểu thức bậc bốn, (a - b)(b - c) (c - a) bậc ba, F(a, b, c) phải có thừa số bậc a, b, c Do vai trò a, b, c nên thừa số có dạng k(a + b + c) Do : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = ; b = ; c = => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) 2/ Trong số toán, F(a, b, c) biểu thức đối xứng a, b, c F(a, b, c) ≠ a = b ta thử xem a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu khơng, thỏa mãn F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, từ chứa nhân tử b + c, c + a Bài toán : Chứng minh : Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) với số nguyên lẻ n Nhận xét : Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = (*) Do ta thử phân tích biểu thức F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử Chú ý x = - y F(x, y, z) = - y2z + y2z = nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự toán 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z) Do (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = Tương đương với : x + y = y + z = z + x = Nếu x + y = chẳng hạn x = - y n lẻ nên xn = (-y)n = -yn Vậy : 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) Tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có đpcm Có ta phải linh hoạt tình mà hai ngun tắc khơng thỏa mãn : Bài tốn : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz Nhận xét : Ta thấy x = y hay x = -y F(x, y, z) ≠ Nhưng thay x = -(y + z) F(x, y, z) = nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx dư Do : F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Ta thêm bớt vào F(x, y, z) lượng 3x2y + 3xy2 để nhân kết Các bạn dùng phương pháp kết nêu để giải tập sau Bài toán : Tính tổng : k = 1, 2, 3, Bài toán : Chứng minh (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia hết cho 5(a - b)(b c)(c - a) TS Lê Quốc Hán (ĐH Vinh) MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁO Bằng kiến thức hình học lớp ta giải phương trình bậc hai ẩn không ? Câu trả lời trường hợp tổng qt khơng được, nhiều trường hợp ta tìm nghiệm dương Ví dụ : Tìm nghiệm dương phương trình x2 + 10x = 39 Lời giải : Ta có : x2 + 10x = 39 tương đương x2 + 2.5.x = 39 Từ biến đổi trên, ta hình dung x cạnh hình vng diện tích hình vng x2 Kéo dài cạnh hình vng thêm đơn vị (như hình vẽ), ta dễ thấy : Hình vng to có độ dài cạnh x + có diện tích 64 Do : (x + 5)2 = 64 = 82 tương đương x + = hay x = Vậy phương trình có nghiệm dương x = Phương pháp nhà toán học Italia tiếng Jerơm Cacđanơ (1501 1576) sử dụng tìm nghiệm dương phương trình x2 + 6x = 31 Các bạn tìm nghiệm dương phương trình x2 - 8x = 33 phương pháp hình học thử xem ? MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN), bạn gặp dạng tốn tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số 2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chúng ta xét số ví dụ minh họa Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trị a, b nhau, khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ... chia hết cho (vì hai chữ số tận 90 ) nên 1234567 890 khơng số phương Bài tốn : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết... hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương 2 Dùng tính chất số dư Chẳng hạn em gặp toán sau : Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng... Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2 Bài toán : Chứng minh số 1234567 890 khơng phải số