Đang tải... (xem toàn văn)
Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần lớn các công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh ĐỀ TÀI KHOA HỌC : Một số bài toán lượng giác hay và khó Tổ 4 Lớp : Toán 2 Niên khoá : 2008 – 2011 Tp.Tuy Hoà, tháng 1 năm 2010 Mục lục : 1 Chương I : Biến đổi lượng giác Chương II : Ứng dụng của lượng giác trong hình học Chương III : Phương trình lượng giác Chương IV : Bất phương trình lượng giác Chương V : Bất đẳng thức lượng giác ư2 ư CHNGI: BINILNGGIC Bi1:Cho 2 2 1 2 2 1 tan tan 2 tan tan . 2 tan tan 2 2 2 2 2 n n n n a a a a a S a - - = + + + .Tỡm lim n n S đƠ Gii: Tacú 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = - 2 tan 2 tan 2 tan 2 tanx x x x - = 2 tan tan 2 tan 2 2 tanx x x x = - (1) Thayvo(1)ricngvtheov,ta c: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 2 1 1 1 tan tan tan 2tan 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 2 tan tan 2 tan 2 tan 2 2 2 2 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a - - - - ỡ = - ù ù ù = - ù ù ù + = - ớ ù ù ù ù = - ù ù ợ ta n 2 ta n 2 n n n a S a = - lim tan lim 2 tan 2 n n n n n a S a đƠ đƠ ổ ử ị = - ỗ ữ ố ứ tan n S a a = - Bi2: Cho 2 cos cos cos 2 2 2 n n x x x P = .Tỡm lim n n P đƠ Gii: T sin 2 sin 2 2sin cos cos 2sin a a a a a a = ị = 2 2 2 3 3 1 sin sin 2 co s , co s 2 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 co s , 2 sin 2 s in 2 co s 2 2 sin 2 n n n x x x x x x x x x x x x - ỡ ù = = ù ù ù ù ù ù = ớ ù ù ù ù ù = ù ù ợ ư3 ư Nhõnvtheovtac: sin 2 sin 2 n n n x P x = ị sin lim lim 2 sin 2 n n n n n x P x đƠ đƠ = sin lim sin 2 2 n n n x x x x đƠ = ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ = sin x x Bi3:Rỳtgnbiuthc: 2 2 2 . 2 n n A = + + + 14444244443 Gii: Tacúvin=1: 1 2 2cos 4 A p = = Taschngminh: 2cos 2 n n A p = (*) Vin=1,ngthcỳng Gis(*)ỳngtin=k,tcl: 2cos 2 k k A p = Tachngminh(*)ỳngvin=k+1,tcl 1 1 2cos 2 k k A p + + = Thtvy: 1 1 2 2 2 k k A + + = + + 1442443 2 k A = + = 2(cos2 cos 2 k p p + 1 1 4cos( )cos( ) 2 2 k k p p p p + + = + - 1 2cos 2 k p + = (pcm) Vytheonguyờnlớquynp,tacú : 2cos 2 n n A p = 4 Bài 4: Cho vài ( hoặc tất cả) các số 1 2 3 , , , ., n a a a a bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng 1. Chứng tỏ rằng: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 3 . 2sin 45 2 2 2 2 2 2 . 2 n n n a a a a a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø = + + + + o Chẳng hạn với 1 2 3 . 1 n a a a a = = = = = ta được: 1 1 1 1 1 45 2sin(1 )45 2cos 2 2 2 2 4 2 2 n n n - - + + + + = = + + o o 1442443 Giải: Ta sẽ tiến hành từ công thức nửa góc: 2sin 2 2cos 2 a a = ± - trong đó dấu “+” hoặc” – “được chọn cho phù hợp với qui luật về dấu của hàm sin. Sử dụng công thức này ta lần lượt định được sin các góc: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 . 45 ; 45 ; 45 ; .; 45 2 2 2 2 2 2 n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a - æ ö æ ö æ ö + + + + + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø o o o o Giả sử ta đã xác định được sin góc: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o trong đó 1 2 3 , , , ., n a a a a lấy các giá trị bằng +1 hoặc 1 bởi vì: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 2 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o = 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 90 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - é ù æ ö ± ± + + + + ç ÷ ê ú è ø ë û o o trong đó dấu “+” tương ứng với a=1 và dấu ” – “ ứmg với a= 1 Và 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . cos 90 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - é ù æ ö ± ± + + + + ç ÷ ê ú è ø ë û o o 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö = - + + + + ç ÷ è ø o Áp dụng công thức 2sin 2 2cos 2 a = ± - , ta có: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 2 2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö = ± + + + + + ç ÷ è ø o Để ý rằng tất cả các góc được xét đều nhỏ hơn 90 o về mặt giá trị tuyệt đối ( ngay cả 2 1 1 1 1 1 . 45 90 90 90 2 2 2 2 n n æ ö + + + + = - < ç ÷ è ø o o o o và vì dấu của các góc này được định bởi dấu của 1 a , nên căn bậc hai trong công thức cuối phải lấy dấu “+” hoặc” – “ tùy theo dấu của 1 a . Nói cách khác ta có thể viết: 5 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 . 2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 . 2 2sin 45 2 2 2 n n a a a a a a a a a a a - æ ö = + + + + + ç ÷ è ø o Giờ ta hãy dùng công thức hiển nhiên 1 1 2sin 45 2 a a = o giúp ta suy ra liên tiếp các hệ thức sau: 1 2 1 1 2 2sin 45 2 2 2 a a a a a æ ö + = + ç ÷ è ø o 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 2sin 45 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a æ ö + + = + + ç ÷ è ø o …………………………………………… 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 3 . 2sin 45 2 2 2 2 2 2 . 2 n n n a a a a a a a a a a a a a a - æ ö + + + + ç ÷ è ø = + + + + o Bài 5: Tìm điều kiện đối với a và b để hàm số : 2 sin cos y x a x b x = + + luôn đồng biến Giải: Hàm số có tập xác định D R = Có đạo hàm ' 2 cos sin y a x b x = + - Trường hợp 1: 0 ' 2 0 a b y = = Þ = > x R " Î Điều này thỏa mãn yêu cầu đề bài Trường hợp 2: 2 2 0 a b + > Ta có: 2 2 2 2 2 2 ' 2 cos sin a b y a b x x a b a b æ ö = + + - ç ÷ + + è ø Với 2 2 2 2 cos sin a a b b a b j j ì = ï + ï í ï = ï + î ( ) 2 2 ' 2 cos y a b x j = + + + vì ( ) 1 cos 1 x j - £ + £ nên ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 a b a b x a b j Û - + £ + + + £ + + Để hàm số luôn đồng biến: ' 0 y Û ³ x R " Î 2 2 2 0 a b Û - + ³ 2 2 2 a b Û + £ 2 2 4 a b Û + £ Kếi luận 2 2 4 a b + £ (chú ý 2 2 4 a b + £ vẫn đúng khi 0 a b = = ) 6 Bài 6: Cho hàm số 3 4 y x mx = - . Tính m để 1 y £ khi 1 x £ Giải: Thuận: vì 1 x £ nên ta chọn: * 1 4 x y m = Þ = - Theo giả thiết 1 y £ 4 1 m Þ - £ Þ 1 4 1 m - £ - £ Þ 3 5 m £ £ (1) Theo giả thiết 1 2 1 1 £ - Þ £ m y 3 1 2 1 2 2 1 £ £ - Þ £ - £ - Þ £ - Þ m m m Kết hợp (1) và (2) suy ra m=3 Đảo: với m=3 x x y 3 4 3 - = Þ Theo giả thiết 1 £ x a a cos : = Î $ Û x R Vậy a a cos 3 cos 4 3 - = y 1 3 cos 3 cos £ = Û = Û a a y y Kết luận m=3 Bài 7: Chứng minh rằng nếu ) cos( ) sin( b a a m = = + trong đo p k b a ¹ - và 1 ¹ m thì biểu thức b m a m E 2 sin 1 1 2 sin 1 1 - + - = không phụ thuộc vào a và b Giải: Ta có: )] ( ) sin[( 2 sin b a b a a - + + = ) sin( ) cos( ) ( sin ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( 2 b a b a b a m b a b a b a b a - + + + = - + + - + = )] cos( ) )[sin( sin( ) sin( ) cos( ) ( sin ) sin( ) cos( ) ( cos 1 ) sin( ) cos( ) ( sin 1 2 sin 1 2 2 2 2 b a m b a b a b a b a m b a b a b a m b a b a b a m b a m a m + - - - = - + - - = - + - - - = - + - + - = - Þ Tương tự )] cos( ) )[sin( sin( 2 sin 1 b a m b a b a b m + + - - = - 1 1 sin( )[sin( ) cos( )] sin( )[sin( ) ( )] 1 1 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) E a b a b m a b a b a b mco a b a b a b m a b a b m a b = + - - - + - - + + é ù = + ê ú - - - + - + + ë û ư7 ư 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin( ) sin( ) sin ( ) cos ( ) 2 sin ( ) [1 sin ( )] 2 sin ( ) sin ( ) a b a b a b m a b a b m a b a b m a b m - = - - - + = - - - + = - + + - 2 2 2 2 sin ( ) cos ( )a b a b m = - + - - 2 1 2 m - = (khụngph thucvoav b) Bi8:Chodóys { } n u xỏcnhnhsau: .2,1),1tan(tan = - = nnnu n Chngminhrngtnticỏchngs b a , saochotacú nnuuuS nn b a + = + + = tan . 21 .2,1 = "n Gii: Theocụngthccngcung,tacú .2,1 = "n 1tan )1tan(tan )1tan(tan )1tan(tan1 )1tan(tan 1tan - - = - ị - + - - = kk kk kk kk Túsuyra: n n n kk kk kkS n k n k n k n - = - ữ ứ ử ỗ ố ổ - - = ỳ ỷ ự ờ ở ộ - - - = - = ồ ồ ồ = = = 1tan tan 1tan )1tan(tan 1 1tan )1tan(tan )1tan(tan 1 1 1 t 1tan 1 = a , 1 - = b khiú .2,1 = "n tacú: nnS n b a + = tan Vybitoỏncchngminhvistnticacỏchngs b a , nhtrờn Bi9:Dóysxỏcnhnhsau: ù ợ ù ớ ỡ - = = + 12 2 1 0 nn xx ax n=0,1,2 Bit 1 <a .Tỡmiukincaacỏcshngcadóytrờnụimtkhỏcnhau. Gii: Vỡ 1 <a nờntacú tht a cos =a vi p a < <0 Khiútacú: a a a a a a 22 2 2 1 0 2cos4cos12cos2 2cos1cos2 cos = = - = = - = = x x x Bngquinpdthy a n n x 2cos = ư8 ư Gistacú mn < m mn xx = tcl a a mn 2cos2cos = zkk mn ẻ + = ị ,222 p a a mn k 22 2 m = ị p a Lshut oligis p a lshut,tcl q p = p a Trongúp,q nguyờndngvnguyờntcựngnhau. Khiútacú: ( ) qq q q p kkkk kk p b p a p b a p a + = + = = 2222 Trongú k b nhnmt trongcỏcgiỏ tr 0,1,2.2qư1v N k ẻ a Vỡ a k k x 2cos = suyramimts k x trongdóyvụhn { } .2,1,0, =kx k sbng1phnttrongdóy huhn ỵ ý ỹ ợ ớ ỡ q l p cos vil=1,22qư1 iuúcúnghatntin<msaocho x n =x m Vykhi 1 <a ,mishngcadóyụimtkhỏcnhau,iukincnvl p a lsvụtvi cos=a Bi10:Cho V ABCcú = = CBA 24 .Chngminhrng: 5 4 coscoscos 222 = + + CBA Gii: Trchttachngminhngthcsau: ( ) 1 2 1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos = + - p p p Thtvy,nhõnc2vcho 7 2 sin p ,ta c ữ ứ ử ỗ ố ổ + - = ữ ứ ử ỗ ố ổ - + ữ ứ ử ỗ ố ổ - - = = + - 7 4 sin 7 3 sin 7 sin 2 1 7 2 sin 7 4 sin 2 1 7 sin 7 3 sin 2 1 7 sin 2 1 7 sin 2 1 7 sin 7 3 cos 7 sin 7 2 cos 7 sin 7 cos p p p p p p p p p p p p p p p VT Nhng 7 3 7 4 p p p - = ,nờn 7 3 sin 7 4 sin p p = Vy dpcmVP VT ị = = ữ ứ ử ỗ ố ổ + - = 7 sin 2 1 7 4 sin 7 3 sin 7 sin 2 1 p p p p Tgithittacú: 9 7 4 ; 7 2 ; 7 2 4 p p p p = = = Û ï î ï í ì = = = + + Ù Ù Ù Ù Ù Ù C B A C B A C B A ( ) 2 5 4 cos cos cos 2 2 2 = + + C B A ( ) 1 2 1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 2 1 7 cos 7 3 cos 7 2 cos 2 1 7 8 cos 7 4 cos 7 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 cos 5 4 2 2 cos 1 2 2 cos 1 2 2 cos 1 = + - Û - = - - Û - = + + Û - = + + Û = + + + + + Û p p p p p p p p p C B A C B A (1) đúng Þ 2 đúng Bài 11: Cho dãy số xác định như sau: ( ) ï ï î ï ï í ì = - - - + = = + . 3 , 2 ; 2 3 1 3 2 3 3 1 1 1 n U U U U n n Tìm 2008 u Giải : Ta có: 3 2 3 2 3 2 6 cos 1 6 cos 1 12 tan - = + - = + - = p p p Viết lại biểu thức của U n+1 dưới dạng sau: ( ) 1 12 tan 1 12 tan 1 p p n n n U U U - + = + Đặt U n =tanβ thì từ (1) suy ra ( ) 2 12 tan 1 ÷ ø ö ç è æ + = + p b n U Vì 2 3 1 = U nên từ (2) và nguyên lý quy nạp ta dễ dàng suy ra: ( ) ÷ ø ö ç è æ - + = 12 1 6 tan p p n U n [...]... Trong ABEtheonh lýhms sin,ta cú: Tngt: ư12 ư Thay(3)vo(1) cú: Thay(4)vo(2) cú: Do nờnt(5)v (6)suyra: Trong ABDta cú: Tngt: Túsuyra: (8) T(1)v(2)suyra: pdngnh lýhmscosintrong cỏctamgicasABDv ACEtacú: Tacú: v theo(8)cú (11) Tngttacú: ư13 ư (12) Thay(11),(12)vo(1) cú: ( ) (13) T(9)v(13)cú (14) T(3)(4) v(14)suyra Haysaukhithay Tacú : (15) Thay(7)vo(15)cú: Hay (*) Vy(*)ỳng vliucnchngminh. Bi3:(nhlớhmscosthnhtvitgiỏc)... b +g )(1) 4 4 2 2 TheocụngthcEulervitgiỏc,tacú: 1 2 ( a + b 2 + c 2 + d 2 - e2 - f 2) ( 2) 4 Vi e = AC , f =BD ,thay(2)vo(1): KL2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 - e 2 - f 2 = a 2 + b 2 + 2 ac cos ( b +g )(3) Liỏpdngnhlớhmscos,tacú: e 2 = a 2 + b 2 - 2 abcos b (4) f 2 = c 2 + b 2 -2bc cos g (5) Thay(4)v(5)vo(3),tacú: d 2 = e 2 + f 2 - b 2 + 2accos( b + g ) = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab cos b - 2bc cos g + 2ac cos(... tana b - c Thay(4)vo(3)tacú: = Vy(2)ỳng=>pcm. A b +c tan 2 Cỏch4: à ã = C + MAC = C+ A APB à ã à 2 0 à à -C à à à à B -C 0 ã B - C à 180 - B =C+ = 90 => HAD = 2 2 2 Mtkhỏc: ã ã tan a = tan HAM - HAD ( ) à à ổ ã B - Cử = tanỗ HAM ữ ỗ 2 ữ ố ứ à à B - C ã tan HAM - tan 2 = à - C B à ã 1 +tan HAM tan 2 sin( B - C) HM HC - HB 1 Tacú: tan HAM = = = ( cot C - cot B) = ( 2) AH 2 AH 2 2 sin B sinC Thay(2)vo(1),tacú... Mtkhỏctheonhlớhmssintrong D ABCtacú: BC = 2 R sinA BC = OO1 sin BOC = OO1 sin => 2 R sin A = OO1 cos A A => OO1 = 4 R sin ( 2) 2 2 ư20 ư Thay(2)vo(1)cú: SOO 'O =2 R 2 sin 1 A B - C sin ( 3) 2 2 Licú: O ' O 2 + O ' O12 - OO12 = 2O ' I 2 + 2 2 - OO2 OI 1 = 2 R 2 - 8 R 2 sin 2 A = 2 R 2 ( 2 cos A -1)( 4) 2 Thay(4)vo(3)tac 2 cos A - 1 2 cos A- 1 = B-C B - C 2 ( sin B - sinC) 4 sin cos 2 2 2 ( sin B - sinc) => tan O 'OO = 1... tiI,P,Q,R.DthyrngB,P,Q,Rlmthngimiuho.RừrngIltrungimPQ,vy theohthcNewtonvihngimiuho,tacú: IB 2 = IP. IR 2 IP IR ổ IB ử => ỗ ữ = IA IA ố IA ứ A tan 2 = tan a cotIRA 2 à à ã ã ã B - C( 2) IRA = IBD , IBD = 2 (soletrong) Thay(2)vo(1)tacúpcm. *Chỳý:Vibitptrờnchỳngemara5cỏchchngminhkhỏcnhau.Núichung,mtbitoỏn cúnhiucỏchgiiv5chaphilmtconslnngitadngvictỡmtũi.No,thkhỏm phỏmtconngcỏokhỏcxem,cỏchgiith6anginhngnhtoỏnhctinngnht y!... ư CụngthcEulercchngminh. 2.pdngcụngthc r =4 R sin A B C sin sin vtheogithitsuyra: 2 2 2 r 2 - 1 = => r + R = R 2 4 R 4 => r 2 + 2 Rr + R 2 = 2 2 R => r 2 = R 2 -2 Rr TheocụngthcEulerphn1,tac r 2 =d e2 hayIO=r(pcm) à à Bi6:ChotamgiỏcABCvi B >C GiOltõmngtrũnnitip,O'ltõmngtrũnngoi tip,O1 ltõmngtrũnbngtipgúcAtamgiỏc.Chngminhrng: tan OO 'O = 1 2(sin B - sin C) 2 cos A -1 Gii: Rừrng OBI1 = OCO1 =90 =>BOCO1... DdngthyrngPATMltgiỏcnitip. ã ã =>PJM = PAM =a ã Mtkhỏc PIM = B - C 2 Túsuyra: tan a cot B - C PM MI MI IJ = = (1 ) 2 JM PM MJ IJ Theo h thc lng trong tam giỏc vuụng, ta cú: ỡMI = IC2 IJ ù ớ 2 ùMJ = IJ ợ IJ Vythayvo(1)tac: 2 B - C ổ IC ử 2 2 tan a cot =ỗ ữ = tan IJC = tan a 2 ố JC ứ úlpcm. Cỏch3: A B-C = tan a cot 2 2 A B-C B - C tan tan = tan a tan 2 2 2 B - C tan tana 2 (1 = ) A B +C tan tan 2 2 ngthc... A, c = 2 R3 sinB => abc = 8 R1 R2 R3 sin A sin B sinC => R1 R2 R3 = R 3 (1 ) pdngnhlớhmssintrongtamgiỏcMAB,tacú: MB =2 R3 sina Tngt MC = 2 R sina 1 MA = 2 R sina 2 => MA.MB.MC =8 R1 R2 R3 sin 3a ( 2) Thay(1)vo(2)tacú MA.MB.MC =8 R3 sin3a (pcm) 1 2 5.Tacú S MAC = MC.b sina Theocõu4tacú: MC =2 R1sina v R1 = a absin2a => S = MAC 2sin C 2sinC Lớluntngt: bcsin2 a S = MAB 2 sin A acsin2a S = MBC 2sinB =>... 0 sin (120 + b ) sin ( 60 -b ) Tacú: ộổ 3ử 2 ự sin 3b = 3sin b - 4sin b = 4 sin b ờỗ - sin2 b ỳ ữ ờỗ 2 ữ ỳ ứ ởố ỷ 3 = 4sin b ộsin 2 60 0 - sin2 b ự ở ỷ ( ) ( = 4sin b sin 60 0 + b sin 60 0 -b ) ( 3) Thay(3)vo(2): 0 n = CY = 4d sin a sin b sin ( 60 +b ) 0 Lớluntngt: m = CX = 4d sin a sin b sin ( 60 +a ) TrongtamgiỏcXYZ,ỏpdngnhlớhmscos,tacú: XY 2 = m 2 + n 2 - 2 mncosg = 16 d 2 sin 2 b sin 2 a ộsin 2... ngkớnhngtrũnngoitiptamgiỏcny.Theonhlớhmssintrongtamgiỏcny,tacú: ( ) ( ( ) ( ) 0 FG = e = d sin 60 0 + a => sin 60 + a = 1 ) 0 EG = f = d sin 60 0 + b => sin 60 + b = 1 EF = g = d sin g => sing = 1 e d 1 f d 1 g d1 Vythayvo(4),tacú: e2 + f 2 - 2ef cosg XY 2 = 16d2 sin 2 a sin 2 b d2 1 = 16d 2 sin 2 a sin 2 b g2 = 16d2 sin 2 a sin 2 b sin2 g 2 d 1 => XY =4d sin a sin b sing Dovaitrũnhnhau,tacngcú: YZ = ZX = 4dsin a . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh ĐỀ TÀI KHOA HỌC : Một số bài toán lượng giác hay và khó Tổ 4 Lớp : Toán 2 . Chương I : Biến đổi lượng giác Chương II : Ứng dụng của lượng giác trong hình học Chương III : Phương trình lượng giác Chương IV : Bất phương trình lượng giác
