sở GD - Đt Nam Định đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông năm học 2008 -2009 môn : toán - đề chuyên lê hồng phong Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai 2 . . 0a x b x c+ + = có hai nghiệm dơng 1 2 ;x x thì phơng trình 2 0cx bx a+ + = cũng có hai nghiệm 3 4 ;x x đồng thời: 1 2 3 4 4x x x x+ + + . Bài 2: 1. Cho a; b; c là các số thực đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c A a b a c b c b a c a c b = + + 2. Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn: 3 3 3 3 0x y z xyz+ + = . Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 27 6 2008 B x y y x z x= + + Bài 3: 1. Giải hệ phơng trình: ( ) 2 2 2 2 3 0 1 4 5 3 x x y x x x y x = = + + 2. Giải phơng trình: ( ) ( ) 4 4 1 3 34x x + = Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O. Lấy A và B là hai điểm thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM không vuông góc với d đồng thời M không thuộc d. Các đờng thẳng MA, Mo, MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M). Đờng thẳng PQ cắt d tại S. 1. Chứng minh: 2 2 2 MA MB AB+ > 2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R). Bài 5: 1. Cho a; b là các số thực dơng thoả mãn: a + b =1. Chứng minh rằng: 2 2 1 1 6 .a b a b + + 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dơng x; y; z sao cho: ( ) 2 2 2x y z x y+ + + là số chính phơng. .hết Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định sở GD - Đt Nam Định đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông năm học 2008 -2009 môn : toán - đề chuyên lê hồng phong đáp án và thang điểm bài đáp án điểm Bài 1(1;5đ) Với 0 x > 0 ta có : 2 0 0 2 0 0 1 1 0 0ax bx c a b c x x + + = + + = 0.25 Do đó nếu 1 2 ;x x là nghiệm dơng của PT: 2 . . 0a x b x c+ + = thì : 3 4 1 2 1 1 ;x x x x = = là nghiệm của PT: 2 0cx bx a+ + = 0.5 Ta có: 1 2 3 4 1 2 1 2 1 1 x x x x x x x x + + + = + + + . 0.25 Theo BĐT côsi: 1 2 1 2 1 1 2; 2x x x x + + (Vì 1 2 ;x x dơng) Vậy: 1 2 3 4 4x x x x+ + + . 0.5 Bài 2(2,0đ) 1. .( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) a b c b c a c a b A a b a c b c b c b a c a c a c b a b = + + 0.25 = ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a b c b c a c a b a b a c b c 0.25 Ta có:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0 0.25 Vậy A = 0 0.25 2.Phân tích 3 3 3 2 2 2 3 ( )(x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + + . 0.25 Do x; y; z dơng nên x + y + z > 0 2 2 2 0x y z xy yz xz + + = 0.25 Mặt khác: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z xy yz xz x y y z z x x y z + + = + + = = 0.25 Vậy: ( ) ( ) ( ) 27 6 2008 B x y y x z x= + + 0.25 Bài 3(2,0đ) 1. ( ) 2 2 2 2 3 0 1 4 5 3 x x y x x x y x = = + + Nếu hệ có nghiệm (x; y) từ (1) 2 2 3y x x = thay vào (2) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x x = + + + (3) Do 2x 2 - 4x + 3 > 0 và ( ) 2 2 1 1x x + 0.25 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x + + + Vậy từ (3) ( ) 2 2 2 1 2 4 3 2 0 2x x x x x + = Với x = 2 thay vào hệ ta đợc y = 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2 0.5 0.25 2. Đặt x - 2 = t, ta đợc phơng trình ( ) ( ) 4 4 1 1 34t t+ + = 4 2 4 2 2 12 2 34 6 16 0(*)t t t t + + = + = Giải phơng trình (*) ta đợc 2 2 2t t= = Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 2 2 2; 2 2x x= + = M 0.25 0.25 0.25 0.25 Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định (1) (2 ) d S C D Q II P R Không làm mất tính tổng quát giả sử MA > MB. 1. Gọi C; D là giao điểm của d với (O; R). Ta có ã 0 90CMD = Mà OA = OB < R A và B nằm giữa C và D ã AMB nhỏ hơn ã CMD ã AMB là góc nhọn. Kẻ BH vuông góc với AM thì H nằm giữa AvàM (Vì MA > MB) Xét tam giác vuông AHB và MHB, theo định lý Pitago ta có: 2 2 2 AB AH HB= + và có HB <MB; AH < MA Vậy 2 2 2 2 2 2 2 MA MB AH HB MA MB AB+ > + + > (đpcm) 2. Kẻ QE // d (E MP) . Gọi I là trung điểm của PQ và K QE= MRI . Ta có OI PQ ( Bán kính vuông góc với dây tại trung điểm của dây) Theo GT OA = OB suy ra KQ = KE ( Vì QE // AB) Vì K là trung điểm của QE và I là trung điểm của PQ nên IK//PE Do đó: ã ã QIK QPE= (1) (Hai góc đồng vị) mà ã ã QRM QPM= (2) (Cùng chắn cung QM của (O) ) Từ ( 1) và (2) suy ra ã ã QRK QIK= suy ra tứ giác QRIK là tứ giác nội tiếp Ta có: ã ã KQI BSQ= (3) ( hai góc đồng vị ) ã ã KQI KRI= (4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK) Từ (3) và (4) suy ra tứ giác SRIQ là tứ giác nội tiếp ã ã 0 90SRO SIO = = SR OR suy ra SR là tiếp tuyến của (O; R) 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5(1,5đ) Ta có 1 1 4 x y x y + + (*) x,y dơng. Thật vậy (*) ( ) ( ) 2 2 4 0x y xy x y + (luôn đúng).Vậy (*)đúng 0.25 Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 . 2 2a b a b ab ab a b + = + + + + áp dung (*) ta đợc: 2 2 2 2 1 1 4 4 2 2ab a b ab a b + = + + + (Vì a; b > 0 và a + b = 1 ) mặt khác ( ) ( ) 2 2 1 2 4 2 2 a b ab ab a b + = + .Vậy 2 2 1 1 6 .a b a b + + 0.25 0.25 2. Với x, y, z là các số nguyên dơng ta có 0.25 Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định . O H BA E I K ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1x y z x y z x y z+ + < + + < + + + . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2x y z x y z x y z x y z x y+ + + = + + + + + + > + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( 1) 2 1 2 2x y z x y z x y z x y z x y+ + = + + + + + < + + + Từ đó suy ra : ( ) 2 2 2x y z x y+ + + là số chính phơng thì ( ) 2 2 2x y z x y+ + + = ( ) 2 x y z+ + suy ra x = y. Với x = y tuỳ ý thì: ( ) 2 2 2x y z x y+ + + = ( ) 2 2x z+ luôn là số chính phơng. Vậy các bộ ba số x; y; z thoả mãn yêu cầu bài toán là (n; n; k) với n; k là các số nguyên tuỳ ý 0.25 0.25 Trần Văn Biền - Trờng THCS Trần Huy Liệu - Vụ Bản - Nam Định . sở GD - Đt Nam Định đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông năm học 2008 -2009 môn : toán - đề chuyên lê hồng phong Bài 1: Chứng minh. Định sở GD - Đt Nam Định đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào trung học phổ thông năm học 2008 -2009 môn : toán - đề chuyên lê hồng phong đáp án và thang điểm