SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2018 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (2,0 điểm) 2x 1 có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt  C  hai x 1 điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết P  2;5  2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  25m , chiều rộng AD  20m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C 1) Cho hàm số y  Câu II (2,0 điểm) � (3 x  1)  y  y  3x  � 1) Giải hệ phương trình � xy  x   x  � 2) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11và tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12 Câu III (2,0 điểm) 1) Cho dãy số  un  xác định u1  1, un 1   un2  , n �1 Xét tính đơn điệu bị chặn un  un  2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / / CD, AB  CD) có AD  DC , D(3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC Câu IV (3,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng 1) Gọi S tâm hình vng A ' B ' C ' D ' SA , BC có trung điểm M N Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ( ABCD) góc 600 AB  a 2) Khi AA '  AB Gọi R, S nằm đoạn thẳng A’D, CD’ cho RS vng a góc với mặt phẳng (CB ' D ') RS  Tính thể tích khối hộp ABCD A’B’C’D’ theo a 3) Cho AA '  AB  a Gọi G trung điểm BD ' , mp  P  thay đổi qua G cắt đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng H , I , K Tìm giá trị lớn biểu thức T 1   D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H Câu V (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a  ab  abc abc - Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị coi thi số 1: Chữ kí giám thị coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu Câu I.1 1,0 đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT Năm học 2018-2019 Mơn thi: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Nội dung 2x 1 có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt  C  x 1 hai điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết P  2;5  hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C ) nghiệm phương trình 2x 1   x  m � x  (m  3) x  m    1 ( x  1 không nghiệm (1)) x 1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình  1 có hai Điểm Cho hàm số y  nghiệm phân biệt �   � m  2m  13  � m �� �x1  x2  m  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có: � �x1 x2  m  Giả sử A  x1 ;  x1  m  , B  x2 ;  x2  m  Khi ta có: AB   x1  x2  PA   x1   PB   x2   0,25 0,25    x1  m     x1      x2  m     x2   2 0,25   x2   , 2   x1   Suy PAB cân P Do PAB � PA2  AB 2 2 �  x1     x2     x1  x2  �  x1  x2    x1  x2   x1 x2   �m  � m  4m   � � Vậy giá trị cần tìm m  1, m  5 m  5 � Câu I.2 Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  25m , chiều rộng AD  20m 1,0 đ chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C Giả sử đường từ A đến C gặp vạch chắn MN E đặt NE  x(m)( x �[0; 25]) � AE  x  102 ; CE  (25  x)  10 Thời gian làm đường từ A đến C t ( x )  AE  CE  15 30 (25  x)  100 x  100  ( h) 15 30 0,25 0,25 0,25 t '( x)  x 15 x  100  (25  x) 30 (25  x)  100 ; t '( x)  � x (25  x)  100  (25  x) x  100 �x(25  x) �0 �� x [(25  x)  100]  (25  x) ( x  100) � �x �25 �x �25 � � �� � � 4(25  x)2 ( x  25)  x [400  (25  x) ]=0 ( x  5)[4(25  x) ( x  5)  x (45  x)]=0 � � � x  5; 20  725 10  725 , t (25)  , t (5)  � Thời gian ngắn làm đường từ 30 30 A đến C (giờ) CâuII.1 � (3x  1)  y  y  3x  (1) � 1,0 đ Giải hệ phương trình � xy  x   x  (2) � 0,25 t (0)  0,25 �y �0 � Điều kiện � x � � � (1) � (3 x  1)  x   y  y (*) xét hàm số f (t )  t  4t (t �[0; �)); từ (*) ta có f ( x  1)  f ( y ) f '(t )  4t  4; f '(t )  � t  bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy : hàm số nghịch biến [0;1] ; đồng biến [1; �) + Nếu 3x  y thuộc [0;1] [1; �) ta có x   y � y  3x  thay vào (2) ta có � 3x  x   �x  3x(3x  1)  x   x  � x  x   x  � � �� (thỏa 3x   x   �y  � mãn) +Nếu 3x  y không thuộc [0;1] [1; �) 3x y 1 3x �  � x( y 1) 1 �y 3x   y     từ (2) � 3x ( y  1)  ( x   1)2  vơ lý Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1; 4) CâuII.2 Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT tổ 1,0 đ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11và tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12 Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên  Số phần tử không gian mẫu là: n(  )= C12  792 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi A biến cố “ Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12'' Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : + tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 2 2 1 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = C4 C3 C5  C4 C3 C5  C4 C3 C5  330 330  Xác suất cần tìm P  792 12 Câu III.1 1,0 đ Cho dãy số  un  xác định u1  1, un 1  chặn  un  * Chứng minh un  0, n �� (1) u1   (1) n = Giả sử uk  0, k �1 � uk 1  0,25 0,25 0,25  un2  , n �1 Xét tính đơn điệu bị un (1) 0,25  uk2  uk  0 uk  uk2  * Vậy (1) n = k + � un  0, n ��  un2  1  un2   un2 un 1  un   un   0, n �1 � un 1  un , n ��* un un 0,25 0,25 � dãy số  un  giảm *  Do dãy số  un  giảm nên un �u1 , n � �un  un  Câu III.2 1,0 đ 1, � n �* �  un �1, n ��* � dãy số 0,25 bị chặn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD, AB  CD) có AD  DC , D (3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC Gọi H hình chiếu D AC D ' giao điểm DH với AD Vì DC  AD nên mà �  DCA � ADC cân D � DAC �  DCA � (so le trong) � DAH � D �' AH � CAB x y6  Câu III.1 1,0 đ H trung điểm BB’ BB ' qua B vng góc với AC Ta viết phương trình BB’: H  BB '�AC � H  4;  Có H trung điểm DD ' Do D '  5;1 uuuur AB qua M nhận MD ' làm vtcp nên phương trình AB : x  y   � AC �AB  A  2;0  uuur uuuur Ta có ADCD ' hình bình hành nên AD  D ' C Do đó, C  6;  Gọi d đường trung trực DC , suy d : 3x  y  17  Gọi I  d �AB , I trung �53 11 � �43 11 � điểm AB AB �d  I � ; �� B � ; � 10 10 � � �5 � uuu r Đường thẳng BC qua C nhận CB làm vectơ phương nên BC : x  13 y  106  Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng 1) Gọi S tâm hình vng A ' B ' C ' D ' SA , BC có trung điểm M N Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 600 AB  a 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi H trung điểm AC => SH trung tuyến tam giác .SAC Mặt khác SAC cân S => SH đường cao � SH  AC  SAC    ABC  ;  SAC  � ABC   AC � � � SH � SAC  ; SH  AC � � SH   ABC  Câu III.2 1,0 đ Gọi I trung điểm AH , mà M trung điểm SA => IM đường trung bình �IM / / SH � tam giác SAH � � IM  SH � � SH   ABC  � � � �� IM   ABC  � MNI   MN ,  ABC    60 IM / / SH � 3 ABC vuông cân B , có AB = a => BC = a; AC  a => CI = CI  AC  a 4 a �  450 NC  BC  ; ABC vuông cân B � � AC 2 �  a 10 � MI  IM tan 600  a 30 Xét CNI CÓ : NI  CI  CN  2CI CN cos ICN 4 a 30 1 a 30 � SH  2MI  � VS ABC  SABC SH  AB.BC.SH  3 12 Khi AA '  AB Gọi R, S nằm đoạn thẳng A’D, CD’ cho RS 0,25 0,25 0,25 0,25 a vng góc với mặt phẳng (CB ' D ') RS  Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a uuuur ur uuuuur r uuuuu r ur ur r ur ur r r ur ur ur Đặt A ' A  m, A ' D '  n, A ' B '  p � m  n  p  b; m.n  n p  p.m  uuuur uuuur uuuur uuuur A ' R  x A ' D; D ' S  y.D ' C Ta có 0,25 uuuur ur r uuuur ur ur uur uuur uuuuur uuuur A ' R  x.m  x.n; D ' S  y.m  y p � RS  RA '  A ' D '  D ' S ur r ur   y  x  m   1 x n  y p Do đường thẳng RS vng góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có ur r ur ur r uuu r uuuur � y  x  m    x  n  y p m  n  � �RS B ' C  � �� r uuuur ur r ur ur ur �uuu y  x m   1 x n  y p m  p   � �RS D ' C  � � x � uuuur uuuur uuuur uuuur  y  x  � � �� �� Vậy R, S điểm cho A ' R  A ' D; D ' S  D ' C 2y  x  3 � �y  �       0,25 0,25 Câu III.3 1,0 đ uuu r ur r ur b2 b a � RS   m  n  p � RS  � RS   � b  a � VABCD A ' B 'C ' D '  a 3 3 3 Cho AA '  AB  a Gọi G trung điểm BD ' , mp  P  thay đổi qua G cắt đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng H , I , K Tìm giá trị lớn biểu thức 1 T   D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H 0,25 0,25 Vì AA '  AB  a nên ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương có G trung điểm BD ' nên G tâm ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi E, F tâm ADD'A' BB'C'C � E, F trung điểm A'D B'C; G trung điểm EF uuu r uuuu r uuur uuuur uuur uuur r uuuur uuuur uuur uuuu r � GA  GB '  GC  GD '  2GE  2GF  � D ' G  D ' A  D'C  D'B' uuuur D ' A uuuuur D ' C uuuuu r D ' B ' uuuu r uuuur a uuuu r a uuuuu r a uuuuur � 4D ' G  D ' H  D ' K  D ' I � D ' G  D ' I  D ' K  D ' H (1) D'H D'K D'I 4D ' I 4D ' K 4D ' H   Vì điểm H,I,K,G đồng phẳng nên uuur uur uuur uuuuur uuuuu r uuuu r uuuur uuuuu r uuuur GH  kGI  l.GK � D ' H  D ' H  k ( D ' I  D ' G )  l ( D ' K  D ' G ) uuuur uuuu r uuuuu r uuuuu r k l � D 'G  D ' I  D ' K  D ' H (2) k  l 1 k  l 1 k  l 1 uuuu r uuuuu r uuuuu r a a a D ' I , D ' K , D ' H không đồng phẳng nên từ (1) (2) ta   1 4D ' I 4D ' K 4D ' H ta chứng minh (ab  bc  ca ) � (a  b  c ) nên 1 1 1 T   � (   )  D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H D ' I D ' H D ' K 3a 3a Nghĩa là: (P) qua G song song với � D'H  D'I  D'K  3a mp(ABC) Vậy giá trị lớn T 3a a , b , c Cho số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  ab  abc abc a  4b 4b  2 a.4b a 4b ab ab Vì a,b,c số dương �a��� Đẳng thức xảy � a  4b Vì a,b,c số dương � a  4b  16c �3 a.4b.16c � a  4b  16c �12 abc a  4b  16c ۣ abc   Đẳng thức xảy � a  4b  16c 12 �T  Câu V 1,0 đ 0,25 0,25 0,25  1 0,25 a  4b a  4b  16c  Từ (1) (2) => � ab  abc � 12 a  4b a  4b  16c � a  ab  abc �a   � a  ab  abc �  a  b  c  12 ۳  a  ab  abc  P 4 a  b  c 4 a  b  c abc (3) Đặt t  a  b  c (t  0) 6 Từ (3) xét f (t )   (t  0); f '(t )    ; f '(t )  � t  4t t 2t t *) Bảng biến thiên : � t f '(t ) + � f (t ) 12  P � f a b c Nhìn vào bảng biến thiên   f( ) 12, a, b, c � �a  21 � �a  4b  16c � � đẳng thức xảy � � � �b  abc  � � 84 � � c � � 336 Vậy giá trị nhỏ P -12 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu Câu I.1 1,0 đ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT Năm học 2018- 2019 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)... mục khối 12' ' Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : + tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết... phục dân tộc" Đồn trường THPT tổ 1,0 đ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11và tiết mục khối 10 Ban tổ chức